CAPES mathématiques externe 2012, épreuve 1Sujet et rapport du jury

La première composition du CAPES externe de mathématiques 2012 comporte trois problèmes indépendants. Le premier étudie la notion de continuité uniforme d'une fonction réelle, jusqu'à la démonstration du théorème de Heine. Le deuxième étudie des marches aléatoires sur une droite puis sur un plan, à partir de résultats d'analyse sur les sommes harmoniques et les coefficients binomiaux centraux. Le troisième ramène un problème de sommes d'entiers consécutifs à la résolution de l'équation de Pell-Fermat x carré moins 2 y carré égale 1.

1. 1Problème 1 : continuité uniformeDéfinition et négation de la continuité uniforme à l'aide de quantificateurs, étude de fonctions lipschitziennes, exemples et contre-exemples, puis démonstration du théorème de Heine par l'absurde à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass.
2. 2Problème 2, partie A : résultats d'analyseÉquivalents de la somme harmonique et d'une somme en 1/k carré, puis étude d'une suite liée aux coefficients binomiaux centraux à l'aide de la formule de Stirling.
3. 3Problème 2, parties B et C : marches aléatoiresCalcul de probabilités de retour à l'origine et de l'espérance du nombre de passages en un point, pour une marche aléatoire sur une droite puis sur un plan.
4. 4Problème 3 : équation de Pell-FermatRéduction d'un problème de sommes d'entiers consécutifs à l'équation x carré moins 2 y carré égale 1, algorithme de recherche des solutions, puis construction de l'ensemble de toutes les solutions par une suite récurrente.

Difficile. La moyenne de cette composition est de 10,05/20 avec un écart-type de 4,49, et les taux de réussite par compétence sont faibles : 40 % pour la négation d'une proposition, 11 % pour l'écriture d'un algorithme, et seulement 15 % pour un raisonnement par récurrence correctement rédigé sur l'ensemble du sujet.

Moyenne

10,05/ 20

Écart-type

4,49

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Le sujet de cette première composition était constitué de trois problèmes : continuité uniforme, marches aléatoires, et équation de Pell-Fermat. Le jury a porté une attention particulière à la négation d'une proposition, à l'élaboration d'une démonstration faisant intervenir des quantificateurs, à l'écriture d'un algorithme et à la rédaction d'un raisonnement par récurrence, quatre compétences pour lesquelles les taux de réussite sont faibles. Le problème 1, le plus abordé car proche de questions de cours, est mal traité faute d'une maîtrise suffisante des quantificateurs et des manipulations d'inégalités.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.