CAPES mathématiques externe 2014, épreuve 1Sujet et rapport du jury

La première épreuve écrite du CAPES externe de mathématiques 2014 comporte deux problèmes indépendants. Le premier, d'algèbre et de géométrie, cherche à caractériser toutes les applications du plan qui transforment toute droite en droite. Le second, d'analyse, étudie la structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre puis quelques propriétés de solutions particulières, en s'appuyant sur le théorème de Cauchy-Lipschitz.

1. 1Problème 1, Partie A : conséquences de la condition des droites et exemplesÉtude des propriétés conservées par une application transformant les droites en droites, puis exemples d'applications affines vérifiant cette condition.
2. 2Problème 1, Partie B : endomorphismes de l'anneau RDémonstration que tout endomorphisme de corps de R compatible avec l'ordre est l'identité.
3. 3Problème 1, Partie C : un cas particulierÉtude d'une application fixant les trois points du repère et vérifiant la condition des droites.
4. 4Problème 1, Partie D : cas généralConclusion : caractérisation de toutes les applications du plan vérifiant la condition des droites.
5. 5Problème 2, Partie A : généralitésStructure vectorielle de l'ensemble des solutions de l'équation homogène et théorème de Cauchy-Lipschitz.
6. 6Problème 2, Partie B : solutions bornées d'une équation à coefficients constantsÉtude de l'équation y'' + by = f suivant le signe de b et recherche d'une solution particulière.
7. 7Problème 2, Partie C : propriétés des solutionsÉtude des zéros des solutions d'une équation y'' + b(t)y = 0, par l'absurde et par convexité.

Difficile. La moyenne à cette composition n'est que de 9,03/20 avec un écart-type de 4,47, et le rapport signale plusieurs points mal maîtrisés : notion de bijectivité, notations ensemblistes, et résolution de l'équation différentielle de la question B.1.1 trop rarement réussie.

Moyenne

9,03/ 20

Écart-type

4,47

1er quartile

6,2

3e quartile

12,11

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Le sujet mêle géométrie affine et analyse des équations différentielles. Les méthodes de raisonnement (récurrence, absurde, analyse-synthèse) sont souvent bien identifiées et annoncées, mais les démonstrations restent fréquemment incomplètes, notamment sur la bijectivité et les notations ensemblistes du problème 1, et sur la première partie du problème 2.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.