CAPES mathématiques externe 2023, épreuve 2Sujet et rapport du jury

• -la résolution des exercices proposés ;
• -une analyse de leur pertinence au regard des objectifs des programmes ;
• -une évaluation des productions d'élèves (identification et traitement d'erreurs, valorisation de réussites, propositions de remédiation ou d'approfondissement) ;
• -la conception d'une séquence portant sur un thème en lien avec les exercices du dossier (structuration du cours, choix d'activités, cohérence didactique, réflexion sur l'usage d'outils numériques, intégration d'éléments d'histoire des mathématiques, liens avec d'autres disciplines, etc.).

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPES de l'enseignement public
• -Section mathématiques - externe

• -Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé
• -Section mathématiques - externe

• -des questions posées au candidat (pages 1 à 4) ;
• -du dossier sur lequel portent ces questions (pages 5 à 14).

Partie 1 : aires

La notion d'aire au collège

• 1.Proposer une figure de même aire et de périmètre plus grand que le modèle, puis une figure de même périmètre et d'aire plus grande que le modèle.
• 2.Quels apprentissages peut viser l'enseignant en proposant cette situation ?
• 3.Donner deux arguments justifiant l'intérêt pédagogique d'organiser un travail en groupes autour de cette situation.
• 4.À partir des figures proposées en annexe 4, quelle question pourrait être posée pour réinvestir l'un des apprentissages de l'exercice de l'annexe 3 ?

• 1.Analyser en termes de réussites et d'erreurs la solution proposée par l'élève de l'annexe 5 bis.
• 2.En prenant appui sur la démarche de cet élève, rédiger une correction de cet exercice telle qu'elle pourrait être donnée à copier par les élèves dans leur cahier.

La notion d'aire au lycée

• 1.Écrire les énoncés mathématiques sur le calcul intégral (définition, propriété) que doivent mobiliser les élèves pour répondre correctement.
• 2.Dans un QCM, les réponses fausses proposées, appelées distracteurs, correspondent en général à des erreurs courantes. Indiquer la bonne réponse et analyser les distracteurs de l'annexe 7.
• 3.Une majorité d'élèves a répondu « d. » à la question posée. Proposer un exercice qui pourrait permettre de remédier à l'erreur commise.

IV - Démonstration d'un théorème du cours

V - Mobilisation de compétences mathématiques

• 1.Analyser la production de l'élève (annexe 8 bis) au regard des compétences raisonner et calculer.
• 2.L'élève a choisi l'axe de symétrie de la parabole comme axe des ordonnées du repère. Quel autre repère aurait-il pu également choisir pour faciliter les calculs ? Rédiger une correction de l'exercice dans ce nouveau repère.

VI - Algorithmique et programmation

• 1.Pour utiliser la méthode de Monte-Carlo (annexe 9) en classe terminale spécialité mathématiques, un enseignant hésite entre les deux situations de l'annexe 10. Quelle situation paraît la plus pertinente à ce niveau ?
• 2.Expliquer le résultat obtenu et analyser les erreurs commises par l'élève (annexe 11 bis) dans le programme qu'il produit en réponse à l'exercice d'application de la méthode de Monte Carlo donné en annexe 11.
• 3.Proposer une correction de ce programme.
• 4.Que représente, dans un autre domaine des mathématiques, le résultat obtenu à l'exercice de l'annexe 11 ?

Partie 2 : initiation au raisonnement

VII - Éléments d'une séquence d'enseignement

• 1.Les figures de l'annexe 13, numérotées 1, 2 et 3 ont été obtenues en codant des quadrilatères ABCD pour illustrer les propriétés d'un parallélogramme.
  • a.Énoncer la propriété illustrée par chacune de ces figures, sous la forme : « Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ... ».
  • b.Quand dit-on qu'une propriété vérifiée par un quadrilatère caractérise un parallélogramme ? On parle alors de propriété caractéristique.
  • c.Donner une propriété vérifiée par tout parallélogramme qui pourrait convaincre des élèves que toutes les propriétés ne sont pas caractéristiques.
  • d.La propriété codée par la figure 3 est-elle caractéristique d'un parallélogramme ? Justifier.
  • e.Quels peuvent être les avantages et les inconvénients de présenter une propriété à l'aide d'une figure codée plutôt qu'avec son énoncé ?
• 2.Dans l'extrait de manuel « Méthode 2 » de l'annexe 13, sont décrites des méthodes pour « tracer un parallélogramme connaissant trois de ses sommets ».
  • a.Donner les étapes d'un autre programme de construction permettant d'obtenir un parallélogramme à partir de trois points et à l'aide de ses diagonales. Expliciter la propriété qui permet de justifier cette construction.
  • b.En appliquant ce programme de construction, un élève pense que cette méthode ne convient pas parce qu'il obtient un rectangle. Quelles explications peuvent lui être apportées ?

VIII - Classification d'exercices

IX - Analyse de productions d'élèves

• 1.Élève 1
  • a.Expliquer l'intérêt de la multiplication par 4.
  • b.Rédiger un raisonnement justifiant l'affirmation « donc logiquement, x doit finir par 2 » tel qu'il pourrait figurer dans les cahiers des élèves d'une classe de troisième.
  • c.Proposer une autre rédaction de ce raisonnement tel qu'il pourrait figurer dans les cahiers des élèves d'une classe de terminale option « mathématiques expertes ».
• 2.Élève 2
  • a.Comment aider l'élève à trouver ce qui ne convient pas dans son programme ?
  • b.Réécrire le programme proposé par l'élève pour qu'il donne les solutions de l'équation 5, 25x + 2, 5y = 338.
• 3.Élève 3
  • a.Analyser l'erreur de l'élève.
  • b.Résoudre dans N^2 l'équation diophantienne 21x + 10y = 1352.

X - Analyse de ressources

• 1.Exercice de l'annexe 16
  • a.Quel type de démarche cet exercice permet-il de mettre en défaut ?
  • b.Quel travail sur les quantificateurs peut être conduit à partir de cet exercice ?
  • c.Donner des arguments en faveur d'un temps de travail en groupes pour traiter cet exercice en classe.
• 2.Exercice de l'annexe 17
  • a.Rappeler les différentes étapes d'un raisonnement par récurrence.
  • b.Comment pourrait-on expliquer à une classe de Terminale la mise en défaut du raisonnement pour démontrer l'hérédité lorsque k = 1 ?.

Dossier : Partie 1

• -Notion de longueur : cas particulier du périmètre.
• -Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération.

• -Formule du périmètre d'un carré, d'un rectangle.
• -Formule de la longueur d'un cercle.

• -Unités usuelles d'aire et leurs relations : multiples et sous-multiples du m^2.
• -Formules de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un disque.

Annexe 3 : exercice sur les notions d'aire et de périmètre (d'après l'IREM des Pays de la Loire)
Inventer des figures à partir de la figure présente au centre du tableau et les positionner dans les cases correspondantes. Chercher à compléter toutes les cases.

Annexe 4 : figures (extrait du manuel Delta Mathématiques 6e, Magnard)

Annexe 5 bis : production d'un élève

• -Calcul intégral

• -Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive définie sur un segment [a, b], comme aire sous la courbe représentative de f. Notation ∫_a^b f(x)dx.
• -Théorème : si f est une fonction continue positive sur [a, b], alors la fonction F_a définie sur [a, b] par F_a(x) = ∫_a^x f(t)dt est la primitive de f qui s'annule en a.

Annexe 7 : QCM (extrait de l'évaluation TIMMS 2008)

• a.5,6
• b.6,0
• c.6,8
• d.7,6

Annexe 8 : problème des arches paraboliques

Annexe 8 bis : production d'un élève

• -Afin de representer le problème d'Archimède, nous prenors une fonction y définie sur ℝ dont la courbe ef est semblable à une arche parabolique. f(x) = − x^2 + 8
  hauteur base are
• -La base est donc 2√2 + 2√2 = 4√2
  - Selon archiméde: aire: 2/3 base × hauteur done 2/3 base × hauteur = 2/34√2 × 8 = (64√2)/3
• -On calcul e'intégrale pour vérifier l'affúmation d'Archiméde g(x) = − x^2 + 8
  ∫_(− 2√2)^(2√2)f(x)dx = [F(x)]_(− 2√2)^(2√2)
  F(x) = − 1/3x^3 + 8x + k verification: f^′(x) = − 3/3x^2 + 8 = − x^2 + 8 = f(x)
  ∫_(− 2√2)^(2√2)f(x)dx = f(2√2) − f(− 2√2), = − 1/3(2√2)^3 + 8(2√2) − (− 1/3(− 2√2)^3 + 8(− 2√2)); = (64√2)/3

On génère des points au hasard dans ce rectangle.
On estime l'aire de la surface inconnue par la proportion de points à l'intérieur de la surface multipliée par l'aire du rectangle.

Situation n^∘1	Situation n°2
La courbe Γ représente la fonction f définie sur [ − 1/2; 1/2]parf(x) = √(1 − 4x^2). Déterminer l'aire de la portion du plan délimitée par la courbe Γ et l'axe des abscisses.	La courbe C représente la fonction f définie sur ] − 1/2; 1/2[ par f(x) = x/(√(1 − 4x^2)). Déterminer l'aire de la portion du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = 1/4

• -la courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par :
  f(x) = 1/(√(2π))e^(− (x^2)/2)
• -I'axe des ordonnées ;
• -I'axe des abscisses ;
• -la droite d'équation x = 1.

• 1.from math import*
• 2.from random import*
• 3.
• 4.def f(x):
• 5. y = exp(− x^∗ x/2)/sqrt(2^∗ pi)
• 6.return y
• 7.
• 8.def aire(n):
• 9.compteur=0
• 10.for k in range(n) :
• 11.x=random()
• 12. y = random()
• 13.if y < f(x) :
• 14.compteur=compteur+1
• 15.return compteur

aire(1000000)
1

Dossier: Partie 2

• -poursuivre la formation du citoyen commencée dans le cadre du socle commun ;
• -assurer une solide formation aux futurs scientifiques sans décourager les autres ;
• -éclairer les élèves sur l'intérêt de faire des mathématiques en première pour servir un grand nombre de projets d'études.

• -raisonnement inductif : conjecturer une proposition générale à partir de la vérification de cas particuliers ;
• -raisonnement abductif : sachant que A implique B et voulant démontrer B, on peut être amené à conjecturer A.

Parallélogramme

DÉFINITION
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

ÉNONCÉ ABCD est un parallélogramme, compléter la figure.

SOLUTION
Avec l'équerre et la règle non graduée ou la réquerre (d'après la définition)

(1) On trace la droite parallèle à (AD) passant par B. 2 Puis, on trace la droite parallèle à (AB) qui passe par D.
Ces droites se coupent en C.
Avec le compas et la règle non graduée (d'après la propriété sur les longueurs des côtés opposés)

(1) On trace un arc de cercle de centre D et de rayon AB, 2 puis, l'arc de cercle de centre B et de rayon AD. Les arcs se coupent en C.

x=0
y=0
while 5.25*x+2.5*y != 338 :
    x=x+1
    y=y+1
print (x,y)

• -Pour n = 1 : P(1) est vraie car il n'y a qu'une boule.
• -Supposons que, pour un entier naturel non nul k fixé, P(k) est vraie. Prenons une urne qui contient ( k

• 1. boules. On enlève une boule ; il en reste alors k qui, par hypothèse de récurrence, sont de la même couleur. On enlève une autre boule et on remet la première : il y a encore k boules dans l'urne qui sont donc, par hypothèse de récurrence, toutes de la même couleur. La première boule enlevée a donc la même couleur que les autres. Donc les ( k + 1 ) boules de l'urne sont de même couleur ; donc P(k + 1) est vraie.

• Conclusion : P(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.