Endomorphismes nilpotents : décomposition en valeurs singulières, réduction de Jordan et polynômes de Hall
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Cette composition de mathématiques générales s'ouvre sur trois exercices de groupes, d'arithmétique et d'algèbre euclidienne, avant un problème sur les endomorphismes nilpotents. Celui-ci part de la décomposition en valeurs singulières, retrouve la réduction de Jordan, relie les orbites du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur les matrices nilpotentes symétriques, puis dénombre, sur un corps fini, les sous-espaces stables d'un endomorphisme nilpotent via les polynômes de Hall.
1Exercice 1Étudier l'ordre des éléments d'un groupe cyclique et une congruence modulo 4.
2Exercice 2Résoudre une équation dans Z/3Z et traiter une question d'arithmétique associée.
3Exercice 3Construire l'application linéaire adjointe entre espaces euclidiens à l'aide du théorème de représentation de Riesz.
4Problème, partie IRappeler l'énoncé et une démonstration de la décomposition en valeurs singulières.
5Problème, partie IIÉtudier l'action du groupe orthogonal produit sur les endomorphismes nilpotents d'indice au plus 2 et de rang fixé.
6Problème, partie IIIPrésenter la réduction de Jordan classifiant les orbites du groupe linéaire sur les matrices nilpotentes.
7Problème, partie IVÉtablir une bijection entre orbites du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur les matrices nilpotentes symétriques, sur un corps algébriquement clos.
8Problème, partie VDémontrer, sur un corps fini, l'existence des polynômes de Hall comptant les sous-espaces stables d'un endomorphisme nilpotent de type de Jordan donné.
Difficile. La moyenne des admissibles est de 7,75 sur 20 avec un écart-type de 3,68, et le jury relève que la majorité des candidats ne maîtrisent pas des concepts élémentaires, avec des questions comme la 5 réussies à moitié par seulement 15% des candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Notion d'ordre d'un élément mal maîtrisée · Inclusion Z/dZ dans Z/nZ à tort · Non-dégénérescence du produit scalaire mal utilisée
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Le jury salue les efforts des candidats sur la qualité des notations et l'usage à bon escient des symboles logiques, mais observe qu'un grand nombre d'entre eux ne maîtrisent pas des concepts et résultats élémentaires. De nombreuses erreurs auraient pu être évitées par une vérification plus soigneuse plutôt qu'une précipitation vers la question suivante.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Notion d'ordre d'un élément mal maîtriséeExercice 1, Q1
La définition de l'ordre d'un élément est connue, mais son usage concret ne l'est pas : il était fréquent de lire qu'un groupe cyclique d'ordre n contient un unique élément d'ordre n.
2
Inclusion Z/dZ dans Z/nZ à tortExercice 1
Il n'est pas vrai que si d divise n, alors le groupe Z/dZ est inclus dans Z/nZ ; seul est naturel l'homomorphisme surjectif d'anneaux de Z/nZ vers Z/dZ.
3
Non-dégénérescence du produit scalaire mal utiliséeProblème Q1
Pour l'inclusion ker(u) inclus dans ker(u*u), un argument invoquant à tort la non-dégénérescence du produit scalaire à partir d'une égalité de normes n'est pas correct.
4
Injectif n'implique pas bijectif en généralProblème Q4
Certains candidats ont écrit qu'injectif implique bijectif en dimension finie pour un endomorphisme, alors qu'il s'agissait ici d'une application linéaire entre deux espaces distincts.
5
Somme directe de plusieurs sous-espaces mal maîtriséeProblème Q12.a
Près de 80% des candidats ayant abordé cette question ne peuvent écrire correctement l'objectif de leur démonstration et bricolent avec des intersections deux à deux au lieu de la définition correcte.
6
Théorème spectral appliqué sans rigueur suffisanteProblème Q5
Le procédé de Gram-Schmidt appliqué après le théorème spectral modifie potentiellement les vecteurs construits, ce qui invalide la relation recherchée si ce point n'est pas traité avec soin.
Ce qui a été bien réussi
Les trois premières questions du problème ont été réussies par l'ensemble des candidats.
La question 2 de l'exercice 3 a été souvent correctement traitée.
Les trois quarts des candidats ont abordé la question 11 du problème, souvent avec succès.
L'associativité de la somme directe est connue et utilisée avec conviction dans les questions suivant la question 12.a.
Conseils du jury
Vérifier la qualité de sa réponse avant de se précipiter vers la question suivante, le temps gagné étant parfois chèrement payé.
Préférer une récurrence rigoureuse à l'usage de points de suspension, surtout au niveau de l'agrégation.
Toujours préciser les bases choisies lorsqu'on manipule un endomorphisme associé canoniquement à une matrice entre deux espaces euclidiens abstraits.
Soigner particulièrement les questions faciles, sur lesquelles le jury distingue les candidats par la précision de la rédaction.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2023.
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La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.
Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.
Notations et vocabulaire
Pour chaque nombre q qui est une puissance d'un nombre premier, on note 𝔽_q un corps fini à q éléments.
Le cardinal d'un ensemble fini X est noté |X|.
Si a et b sont deux entiers, on définit
[ [a, b] ] = {{a, a + 1, …, b}, si a ⩽ b,; ∅, sinon .
La dimension d'un espace vectoriel E de dimension finie est notée dimE. Le noyau et l'image d'une application linéaire u sont respectivement notés keru et imu. On note End(E) l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel E, id_E l'identité de E, et GL(E) le groupe des éléments inversibles de End(E).
Soient un entier naturel n et un corps 𝕂.
La notation ℳ_n(𝕂) désigne la 𝕂-algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans 𝕂. On note I_n la matrice unité dans ℳ_n(𝕂) et GL_n(𝕂) le groupe des éléments inversibles de ℳ_n(𝕂).
La transposée d'une matrice M est notée ^t M. Une matrice carrée est dite symétrique si elle est égale à sa transposée. On pose :
O_n(𝕂) = {M ∈ GL_n(𝕂)|^t M = M^(− 1)}.
C'est un sous-groupe de GL_n(𝕂), ce qu'on ne demande pas de justifier.
Lorsqu'un groupe G opère sur un ensemble E, les parties de E qui sont des orbites pour l'opération de G sont appelées des G-orbites.
Exercice 1
1.Soit n un entier strictement positif. Démontrer que pour chaque diviseur positif d de n, le groupe cyclique (ℤ/nℤ, +) possède un unique sous-groupe d'ordre d.
2.Soit q un entier naturel impair. On considère G = (ℤ/(4q)ℤ)^∗, le groupe des éléments inversibles de l'anneau ℤ/(4q)ℤ.
a)Déterminer les ordres respectifs dans G des classes modulo 4q de 2q − 1 et de 2q + 1.
b)Le groupe G est-il cyclique?
Exercice 2
1.Déterminer l'ensemble des couples (x, y) dans (ℤ/3ℤ)^2 tels que x^2 + y^2 = 0.
2.Déterminer l'ensemble des couples ( x, y ) dans ℤ^2 tels que x^2 − 5y^2 = 33.
3.Déterminer l'ensemble des couples ( x, y ) dans ℚ^2 tels que x^2 − 5y^2 = 33.
Exercice 3
Soient E et F deux espaces vectoriels euclidiens. On note (,)_E le produit scalaire de E et (,)_F celui de F. Soit u : E → F une application linéaire.
1.Soit y dans F. Démontrer qu'il existe un unique vecteur z dans E tel que (z, x)_E = (y, u(x))_F
pour tout x dans E.
2.En déduire qu'il existe une et une seule application u^∗ : F → E telle que (u^∗(y), x)_E = (y, u(x))_F
pour tout (x, y) dans E × F. Justifier que u^∗ est linéaire.
Problème
Partie I
Notations et vocabulaire. Soient E et F deux espaces vectoriels euclidiens. On note (,)_E le produit scalaire de E et (,)_F celui de F. On pose m = dimF et n = dimE. Soit u : E → F une application linéaire. L'application u^∗ définie dans l'exercice 3 est appelée adjoint de u. Cette définition généralise la notion d'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien au cas d'une application linéaire entre deux espaces euclidiens.
On admet sans justification les propriétés suivantes :
-si G est un troisième espace vectoriel euclidien et si v : F → G est une application linéaire, alors (v ∘ u)^∗ = u^∗ ∘ v^∗,
-l'application u est l'adjoint de u^∗, autrement ditu = (u^∗)^∗.
-pour tout x dans E, on a ((u^∗ ∘ u)(x), x)_E = (u(x), u(x))_F ⩾ 0.
-les composées u^∗ ∘ u et u ∘ u^∗ sont des endomorphismes auto-adjoints de E et F, respectivement.
Pour tout nombre réel λ, on pose :
-E_λ = ker(u^∗ ∘ u − λid_E),
-F_λ = ker(u ∘ u^∗ − λid_F).
L'ensemble E_λ est un sous-espace vectoriel de E et hérite par restriction du produit scalaire de E une structure d'espace vectoriel euclidien. De façon similaire, F_λ est un sous-espace vectoriel de F et en hérite une structure d'espace vectoriel euclidien.
1.Démontrer que ker(u^∗ ∘ u) = keru.
2.Démontrer que les valeurs propres de u^∗ ∘ u et de u ∘ u^∗ sont des nombres réels positifs.
3.Soit λ un nombre réel strictement positif. Vérifier que u(E_λ) ⊂ F_λ et que u^∗(F_λ) ⊂ E_λ.
Pour tout nombre réel strictement positif λ, on note u_λ : E_λ → F_λ l'application linéaire induite par u.
4.Soit λ un nombre réel strictement positif. Démontrer que dimE_λ = dimF_λ et que u_λ/√λ est une isométrie de E_λ sur F_λ.
5.On note λ_1, λ_2, …, λ_r les valeurs propres non-nulles de u^∗ ∘ u, répétées selon leurs multiplicités. Établir l'existence de bases orthonormées (e_1, e_2, …, e_n) et (f_1, f_2, …, f_m) de E et F, respectivement, telles que u(e_i) = {√(λ_i)f_i, si 1 ⩽ i ⩽ r,; 0, si r + 1 ⩽ i ⩽ n.
6.Soit M une matrice à m lignes et n colonnes et à coefficients réels et soit r le rang de M.
a)Démontrer l'existence d'une suite décroissante (σ_1, σ_2, …, σ_r) de réels strictement positifs et de matrices orthogonales P et Q, P ∈ O_m(ℝ) et Q ∈ O_n(ℝ), telles que M = PDQ, où D est la matrice dont les coefficients d_(i, j) sont donnés par d_(i, j) = {σ_i, si 1 ⩽ i = j ⩽ r,; 0, sinon.
b)On suppose que m = n et que M est inversible. Dans le contexte et avec les notations de la question a), démontrer que le produit PQ ne dépend que de M et non de la factorisation M = PDQ utilisée.
Indication : on pourra examiner la décomposition polaire de M.
Partie II
Dans cette partie, on se place sur le corps ℝ des nombres réels et on se donne un entier n ⩾ 1. On note ℰ_n(ℝ) le sous-ensemble de ℳ_n(ℝ) formé des matrices de carré nul.
Pour chaque entier naturel r tel que 2r ⩽ n et chaque suite décroissante σ = (σ_1, σ_2, …, σ_r) de réels strictement positifs, on note K_(r, σ) la matrice carrée d'ordre n dont les coefficients k_(i, j) sont donnés par
k_(i, j) = {σ_i, si 1 ⩽ i ⩽ r et j = r + i,; 0, sinon.
La matrice ^t K_(r, σ)K_(r, σ) est diagonale. La suite de ses coefficients diagonaux comporte d'abord r zéros, puis σ_1^2, σ_2^2, …, σ_r^2, et enfin n − 2r zéros.
7.Soit E un ℝ-espace vectoriel euclidien de dimension n et u un endomorphisme de E. Soit r le rang de u. Justifier l'existence d'une base orthonormée (e_1, e_2, …, e_n) de E telle que (e_1, e_2, …, e_r) soit une base de im u.
8.Soit E un ℝ-espace vectoriel de dimension n et u un endomorphisme de E vérifiant u^2 = 0. Démontrer que le rang r de u vérifie 2r ⩽ n.
9.Soit M dans ℰ_n(ℝ) et soit r le rang de M.
a)Démontrer l'existence d'une matrice P dans O_n(ℝ) telle que PMP^(− 1) soit de la forme (0, B; 0, 0),
où B est une matrice à r lignes et n − r colonnes et où les deux blocs diagonaux sont les matrices carrées nulles d'ordre r et n − r.
b)Démontrer l'existence d'une suite décroissante σ = (σ_1, σ_2, …, σ_r) de réels strictement positifs et d'une matrice Q dans O_n(ℝ) telles que QMQ^(− 1) = K_(r, σ). Indication : on pourra appliquer à la matrice B les résultats de la partie I.
10.On définit une action du groupe O_n(ℝ) sur l'ensemble ℰ_n(ℝ) par P ⋅ M = PMP^(− 1) pour (P, M) dans O_n(ℝ) × ℰ_n(ℝ). Démontrer que chaque orbite contient une unique matrice de la forme K_(r, σ).
Définitions et notations concernant les partitions.
Soient n et ℓ des entiers naturels. Une partition de n de longueur ℓ est une suite décroissante λ = (λ_1, λ_2, …λ_ℓ) de ℓ entiers naturels non nuls telle que n = ∑_(i = 1)^ℓ λ_i. On note |λ| = n. Les termes de cette suite sont appelés les parts de la partition λ (par convention, l'indexation commence à 1). Par commodité d'écriture, on étend la notion de part de la partition λ aux indices strictement supérieurs à ℓ en posant λ_i = 0, pour tout entier i > ℓ. Par convention, on note ∅ l'unique partition de longueur 0 de l'entier 0.
Ainsi, si l'on désigne par 𝒫_n l'ensemble des partitions de l'entier n, alors 𝒫_0 = {∅}, 𝒫_1 = {(1)}, 𝒫_2 = {(2), (1, 1)}, 𝒫_3 = {(3), (2, 1), (1, 1, 1)}, 𝒫_4 = {(4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1)}, etc.
Un élément d'un ensemble 𝒫_n, pour un entier n non précisé, est simplement appelé partition.
Il est commode de représenter graphiquement une partition λ par son diagramme de Ferrers : chaque part non nulle de λ est visualisée par une ligne de boîtes, les différentes lignes étant empilées de bas en haut et alignées à gauche. Par exemple, le diagramme de Ferrers de la partition de 10 de longueur 3, (5, 3, 2), est représenté ci-dessous.
On remarque que le nombre de lignes du diagramme de Ferrers de la partition λ est la longueur de λ.
La réflexion selon la bissectrice du premier quadrant (représentée en pointillé ci-dessous) envoie le diagramme de Ferrers d'une partition λ sur le diagramme de Ferrers d'une autre partition, appelée partition conjuguée de λ, de longueur λ_1 et notée λ^′. On admet qu'il s'agit bien d'une partition.
La figure de droite ci-dessus présente le résultat de cette opération de conjugaison lorsqu'on l'applique à la partition (5, 3, 2) : on obtient (3, 3, 2, 1, 1). Les candidats pourront vérifier que la conjuguée de la partition (4) est (1, 1, 1, 1) et que la partition (3, 2, 1) est égale à sa conjuguée. La conjugaison des partitions d'un même entier n est une opération involutive : pour toute partition λ, on a (λ^′)^′ = λ et |λ^′| = |λ|. Pour chaque entier i ⩾ 1, la i-ième part λ_i^′ de λ^′ est égale au nombre de parts de λ supérieures ou égales à i; en particulier, λ_1^′ est la longueur de λ. Ces propriétés sont admises et pourront être utilisées sans justification dans la suite du problème.
Pour chaque entier strictement positif d, on note J˜_d la matrice carrée d'ordre d avec des zéros partout sauf sur la première sous-diagonale, où l'on met des 1. Par exemple,
La matrice J˜_d (respectivement, J_λ ) peut être considérée comme appartenant à ℳ_d(𝕂) (respectivement, ℳ_(|λ|)(𝕂)) quel que soit le corps 𝕂.
Partie III
Soit 𝕂 un corps. On se donne E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme nilpotent de E.
Si x est un élément de E, on note ⟨x⟩_u le sous-espace vectoriel de E engendré par les éléments x, u(x), u^2(x), … et on définit la hauteur de x comme l'entier h ⩾ 0 tel que u^i(x) ≠ 0 si 0 ⩽ i < h et u^i(x) = 0 si i ⩾ h. Ainsi le vecteur nul est de hauteur 0 et la hauteur d'un vecteur non nul est strictement positive.
11.Soit x un élément non nul de E. On note h la hauteur de x.
a)Démontrer que (x, u(x), …, u^(h − 1)(x)) est une base de ⟨x⟩_u.
b)Démontrer que ⟨x⟩_u ∩ keru est une droite vectorielle et donner un vecteur générateur de cette droite.
12.On suppose ici qu'il existe une suite finie (z_1, z_2, …, z_m) d'éléments non nuls de im u telle que im u soit la somme directe ⟨z_1⟩_u ⊕ ⟨z_2⟩_u ⊕ ⋯ ⊕ ⟨z_m⟩_u, et pour chaque i ∈ [ [1, m] ], on choisit y_i ∈ E tel que u(y_i) = z_i. On note F la somme ⟨y_1⟩_u + ⟨y_2⟩_u + ⋯ + ⟨y_m⟩_u et G un supplémentaire de F ∩ keru dans keru. On pose ℓ = m + dimG.
a)Démontrer que la somme ⟨y_1⟩_u + ⟨y_2⟩_u + ⋯ + ⟨y_m⟩_u est directe.
Indication : On pourra vérifier que u(⟨y_i⟩_u) ⊂ ⟨z_i⟩_u, pour tout i ∈ [ [1, m] ], puis exploiter ce fait.
b)Justifier que u(F) = imu.
c)Démontrer que E = F ⊕ G.
d)Établir l'existence d'une suite finie (x_1, x_2, …, x_ℓ) d'éléments non nuls de E telle que E soit la somme directe ⟨x_1⟩_u ⊕ ⟨x_2⟩_u ⊕ ⋯ ⊕ ⟨x_ℓ⟩_u.
13.Établir l'existence d'une suite finie (x_1, x_2, …, x_ℓ) d'éléments de E telle que E soit la somme directe ⟨x_1⟩_u ⊕ ⟨x_2⟩_u ⊕ ⋯ ⊕ ⟨x_ℓ⟩_u. On effectuera une démonstration par récurrence que l'on rédigera avec soin.
Étant donnée une partition λ, de longueur ℓ, on dit que (E, u) est de type λ s'il existe une suite finie (x_1, x_2, …, x_ℓ) d'éléments de E telle que chaque x_i soit de hauteur λ_i et E soit la somme directe ⟨x_1⟩_u ⊕ ⟨x_2⟩_u ⊕ ⋯ ⊕ ⟨x_ℓ⟩_u.
14.a) Soit λ une partition. Démontrer que (E, u) est de type λ si et seulement s'il existe une base de E dans laquelle u a pour matrice J_λ.
b)Soit λ une partition. On suppose que (E, u) est de type λ. Pour chaque entier i ⩾ 1, exprimer dim(keru^i) − dim(keru^(i − 1)) en fonction de i et des parts λ_1^′, λ_2^′, … de la partition conjuguée de λ.
Remarque : on rappelle que u^0 = id_E.
c)Soit λ et μ deux partitions. On suppose que (E, u) est à la fois de type λ et de type μ. Démontrer que λ = μ.
15.Soit n un entier naturel.
a)Soit M dans ℳ_n(𝕂) une matrice nilpotente. Démontrer l'existence et l'unicité d'une partition λ de l'entier n telle que M soit semblable à J_λ.
b)On se replace dans le contexte de la partie II. Donner, en fonction de r et σ, la partition λ de n telle que K_(r, σ) soit semblable à J_λ.
c)Démontrer que dans ℳ_n(𝕂), deux matrices nilpotentes proportionnelles (c'est-àdire, se déduisant l'une de l'autre par multiplication par un scalaire non nul) sont semblables.
Partie IV
Le corps 𝕂 est ici supposé algébriquement clos et de caractéristique différente de 2 . On se donne un entier naturel n ⩾ 1.
16.Pour chaque entier strictement positif d, on note P˜_d la matrice carrée symétrique d'ordre d avec des zéros partout sauf sur l'antidiagonale, où l'on met des 1. Par exemple, P˜_4 = (0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0).
On vérifie sans difficulté que (P˜_d)^2 = I_d et que P˜_d J˜_d(P˜_d)^(− 1) = ^t(J˜_d). On ne demande pas de le démontrer.
Soit λ une partition de n.
a)Exhiber une matrice symétrique P dans GL_n(𝕂) telle que PJ_λ P^(− 1) = ^t(J_λ) et P^2 = I_n.
b)Trouver une matrice Q dans GL_n(𝕂) telle que QJ_λ Q^(− 1) soit symétrique. Indication : on pourra chercher Q sous la forme aI_n + bP avec (a, b) ∈ 𝕂^2.
17.a) Soit D dans ℳ_n(𝕂) une matrice diagonalisable et soit α_1, α_2, …, α_n les valeurs propres de D, répétées selon leurs multiplicités. Construire un polynôme f(X) de 𝕂[X] tel que f(α_i)^2 = α_i pour chaque i ∈ [ [1, n] ], puis justifier que f(D)^2 = D.
b)On définit par récurrence une suite (C_k) d'entiers naturels en posant C_0 = 1 et en demandant que C_(k + 1) = ∑_(i = 0)^k C_i C_(k − i) pour k ⩾ 0. On définit le polynôme à coefficients entiers Φ(X) = 1 si n = 1 et pour n ⩾ 2, Φ(X) = 1 − 2∑_(k = 0)^(n − 2)C_k X^(k + 1)
Calculer l'image de Φ(X)^2 dans l'anneau quotient ℤ[X]/(X^n).
c)Donner un polynôme g(X) dans 𝕂[X] tel que g(N)^2 = I_n + N pour toute matrice nilpotente N de ℳ_n(𝕂).
18.On rappelle le résultat suivant : chaque matrice P de ℳ_n(𝕂) s'écrit de façon unique sous la forme P = D + N, où D est une matrice diagonalisable et N est une matrice nilpotente telles que DN = ND; de plus, il existe un polynôme h(X) de 𝕂[X] tel que D = h(P).
a)Soit P dans ℳ_n(𝕂), écrit sous la forme P = D + N comme ci-dessus. Démontrer que si P est inversible, alors D l'est aussi, et qu'en ce cas il existe un polynôme j(X) ∈ 𝕂[X] tel que D^(− 1) = j(P).
b)Soit P dans GL_n(𝕂). Établir l'existence d'une matrice R de GL_n(𝕂) telle que R^2 = P, et justifier qu'on peut en outre exiger que R soit un polynôme en P. Indication : on pourra écrire P = D + N = D(1 + D^(− 1)N).
c)Soit P dans GL_n(𝕂). Démontrer l'existence d'une matrice Q dans O_n(𝕂) et d'une matrice symétrique S dans GL_n(𝕂) telles que P = QS, et justifier qu'on peut en outre exiger que S soit un polynôme en ^t PP.
19.Soit A et B deux matrices symétriques appartenant à ℳ_n(𝕂). On suppose que A et B sont semblables. Démontrer l'existence d'une matrice Q dans O_n(𝕂) telle que B = QAQ^(− 1).
On note 𝒩_n(𝕂) l'ensemble des matrices nilpotentes dans ℳ_n(𝕂) et on considère l'action de GL_n(𝕂) sur 𝒩_n(𝕂) définie par P ⋅ M = PMP^(− 1) pour (P, M) ∈ GL_n(𝕂) × 𝒩_n(𝕂). On note 𝒩_n^(sym)(𝕂) le sous-ensemble de 𝒩_n(𝕂) formé des matrices nilpotentes symétriques.
20.Vérifier que pour tout (P, M) dans O_n(𝕂) × 𝒩_n^(sym)(𝕂), on a P ⋅ M ∈ 𝒩_n^(sym)(𝕂).
L'action de GL_n(𝕂) sur 𝒩_n(𝕂) se restreint donc en une action de O_n(𝕂) sur 𝒩_n^(sym)(𝕂).
21.Justifier que l'application 𝒪 ↦ 𝒪 ∩ 𝒩_n^(sym)(𝕂) est une bijection de l'ensemble des GL_n(𝕂) orbites dans 𝒩_n(𝕂) sur l'ensemble des O_n(𝕂)-orbites dans 𝒩_n^(sym)(𝕂).
On suppose ici que 𝕂 est un corps de caractéristique 2.
a)Démontrer que les deux matrices (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0) et (1, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 1) de ℳ_3(𝕂) sont sem- blables.
b)Le résultat de la question 19 est-il encore valable si 𝕂 est un corps algébriquement clos de caractéristique 2 ?
Partie V
Étant donnés un corps 𝕂, un 𝕂-espace vectoriel E, un endomorphisme u de E, et un sousespace F de E stable par u, on note u|_F et u|_(E/F) les endomorphismes de F et E/F induits par u. (Explicitement, u|_(E/F) est l'unique application de E/F dans lui-même telle que
u|_(E/F)(x + F) = u(x) + F
pour tout x dans E.) Plus généralement, si F_1 et F_2 sont deux sous-espaces de E stables par u et tels que F_2 ⊂ F_1, on note u|_(F_1/F_2) l'endomorphisme de F_1/F_2 induit par u. Les endomorphismes u|_F, u|_(E/F) et u|_(F_1/F_2) sont nilpotents dès que u l'est.
On note 𝒫 l'ensemble des partitions. Pour (λ, μ) dans 𝒫^2, on écrit μ ⊂ λ pour indiquer que le diagramme de Ferrers de μ est inclus dans celui de λ. Autrement dit, μ ⊂ λ si et seulement si μ_i ⩽ λ_i pour tout i ⩾ 1. Visiblement, μ ⊂ λ est équivalent à μ^′ ⊂ λ^′.
23.Dans cette question, 𝕂 est un corps, E est un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, u est un endomorphisme nilpotent de E, et F est un sous-espace de E stable par u. Soit λ le type de (E, u).
a)Soit μ le type de (F, u|_F). Démontrer que μ ⊂ λ.
b)Soit ν le type de (E/F, u|_(E/F)). Démontrer que ν ⊂ λ.
À (λ, μ, ν) dans 𝒫^3 et à un corps 𝕂, on associe l'ensemble 𝒢_(μ, ν)^λ(𝕂) défini de la façon suivante : on pose n = |λ|, on note E l'espace vectoriel 𝕂^n, et on appelle u l'endomorphisme nilpotent de E dont la matrice dans la base canonique est J_λ; alors 𝒢_(μ, ν)^λ(𝕂) est l'ensemble des sous-espaces vectoriels F de E stables par u tels que (F, u|_F) est de type μ et (E/F, u|_(E/F)) est de type ν. D'après la question 23, une condition nécessaire pour que 𝒢_(μ, ν)^λ(𝕂) ne soit pas vide est d'avoir μ ⊂ λ et ν ⊂ λ. Pour des raisons de dimension, il est également nécessaire que |λ| = |μ| + |ν|.
24.On prend λ = (3, 2), μ = (2, 1), ν = (2). Soit q une puissance d'un nombre premier. Déterminer le cardinal de 𝒢_(μ, ν)^λ(𝔽_q).
La fin du problème a pour objectif d'établir de façon générale que le cardinal de 𝒢_(μ, ν)^λ(𝔽_q) est donné par un polynôme en q.
25.Soit 𝕂 un corps, soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, et soit u un endomorphisme nilpotent de E. Soit λ le type de (E, u).
a)Quel est le type de (imu, u|_(imu)) ?
b)Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u et soit μ le type de (F, u|_F). On suppose que u|_(E/F) = 0. Démontrer que le diagramme de Ferrers de μ s'obtient à partir de celui de λ en supprimant des boîtes, au plus une par ligne.
d)Dans le contexte de la question b), exprimer les parts de la partition conjuguée μ^′ en fonction des parts de λ^′ et des dimensions des espaces F ∩ (imu + keru^i) pour i ⩾ 0.
26.Soit 𝕂 un corps et soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie. On note n la dimension de E et on se donne une suite strictement croissante (E_0, E_1, …, E_n) de sous-espaces vectoriels de E; ainsi chaque espace E_i est de dimension i.
a)Soit F un sous-espace vectoriel de E. Démontrer que pour chaque i ∈ [ [1, n] ], le sous-espace vectoriel F ∩ E_(i − 1) de F ∩ E_i est de codimension 0 ou 1 .
Dans le contexte de la question a), la suite des dimensions des espaces F ∩ E_i augmente au plus de 1 à chaque étape; la dimension de F est donc égale au cardinal de l'ensemble
I = {i ∈ [ [1, n] ]|F ∩ E_(i − 1) ≠ F ∩ E_i}.
Étant donnée une partie I de l'ensemble [ [1, n] ], nous notons 𝒞_I l'ensemble des sousespaces vectoriels F de E vérifiant (∗). Chaque élément F de 𝒞_I est un espace vectoriel de dimension |I|.
Pour chaque i ∈ [ [1, n] ], on choisit un vecteur v_i de E_i n'appartenant pas à E_(i − 1). La famille (v_1, v_2, …, v_n) est alors une base de E; on note (v_1^∗, v_2^∗, …, v_n^∗) sa base duale.
Soit I une partie de [ [1, n] ]. Posons d = |I| et notons i_1, i_2, …, i_d les éléments de I, énumérés de façon croissante. Nous dirons d'une famille de vecteurs de E qu'elle est I-échelonnée réduite si elle comporte d termes, notés w_1, w_2, …, w_d, tels que pour tous j dans [ [1, n] ] et k dans [ [1, d] ], on ait :
v_j^∗(w_k) = 1 si j = i_k,; v_j^∗(w_k) = 0 si j > i_k ou si (j < i_k et j ∈ I).
b)Soit I une partie de [ [1, n] ] et soit F dans 𝒞_I. Démontrer que F possède une unique base I-échelonnée réduite.
c)Soit I une partie de [ [1, n] ]. Établir l'existence d'une bijection entre 𝒞_I et l'ensemble des familles de vecteurs I-échelonnées réduites.
d)On suppose que 𝕂 est le corps 𝔽_q. Soit I une partie de [ [1, n] ]. Exprimer le cardinal de 𝒞_I en fonction de q et de I.
27.Soit r un entier strictement positif et soient e = (e_1, e_2, …, e_r) et f = (f_1, f_2, …, f_r) deux suites d'entiers naturels telles que f_i ⩽ e_i pour chaque i dans [ [1, r] ].
a)Trouver un polynôme A_(e, f)(X) à coefficients entiers positifs satisfaisant la propriété suivante : si q est une puissance d'un nombre premier et si E est un 𝔽_q-espace vectoriel muni d'une suite croissante (E_0, E_1, …, E_r) de sous-espaces vectoriels telle que E_0 = {0}, E_r = E et e_i = dim(E_i/E_(i − 1)) pour chaque i ∈ [ [1, r] ], alors A_(e, f)(q) est le nombre de sous-espaces vectoriels F de E vérifiant f_i = dim(F ∩ E_i)/(F ∩ E_(i − 1)) pour chaque i ∈ [ [1, r] ].
b)Dans le cadre de la question a), vérifier que A_(e, f)(X) est de degré ∑_(1 ⩽ i ⩽ j ⩽ r)(e_i − f_i)f_j.
À une partition λ dans 𝒫, on associe l'entier d(λ) = ∑_(i ⩾ 1)λ_i^′(λ_i^′ − 1)/2.
À (λ, μ, κ) dans 𝒫^3 et à un corps 𝕂, on associe l'ensemble ℬ_(μ, κ)^λ(𝕂) défini de la façon suivante : on pose n = |λ|, on note E l'espace vectoriel 𝕂^n, on appelle u l'endomorphisme nilpotent de E dont la matrice dans la base canonique est J_λ, et on note ℓ la longueur de κ; alors ℬ_(μ, κ)^λ(𝕂) est l'ensemble des suites décroissantes (F_0, F_1, F_2, …, F_ℓ) de sous-espaces vectoriels de E stables par u telles que F_0 = E, (F_ℓ, u|_(F_ℓ)) soit de type μ, et pour chaque i dans [ [1, ℓ] ], dimF_(i − 1)/F_i = κ_i et u|_(F_(i − 1)/F_i) = 0.
On munit 𝒫 d'une relation d'ordre partiel de la façon suivante : pour (λ, μ) ∈ 𝒫^2, on écrit μ ⩽ λ si |λ| = |μ| et μ_1 ⩽ λ_1, μ_1 + μ_2 ⩽ λ_1 + λ_2, μ_1 + μ_2 + μ_3 ⩽ λ_1 + λ_2 + λ_3, …
28.Soit (λ, μ, κ) dans 𝒫^3. On recherche un polynôme B_(μ, κ)^λ(X) à coefficients entiers positifs tel que, pour toute puissance q d'un nombre premier, B_(μ, κ)^λ(q) soit le cardinal de ℬ_(μ, κ)^λ(𝔽_q).
a)Établir l'existence de B_(μ, κ)^λ(X) dans le cas où κ est de longueur 1. Indication : on pourra utiliser la question 25d).
b)Traiter le cas général.
c)Soit (κ, ν) dans 𝒫^2. Démontrer que B_(∅, κ)^ν(X) = 1 si κ = ν^′ et B_(∅, κ)^ν(X) = 0 si κ≮ν^′.
d)Démontrer que le polynôme B_(μ, κ)^λ(X) est nul ou est de degré d(λ) − d(μ) − d(κ^′).
29.Soit (λ, μ, ν) dans 𝒫^3. Démontrer l'existence d'un polynôme G_(μ, ν)^λ(X) à coefficients entiers tel que, pour toute puissance q d'un nombre premier, G_(μ, ν)^λ(q) soit le cardinal de 𝒢_(μ, ν)^λ(𝔽_q). Indication : on pourra méditer sur l'égalité B_(μ, κ)^λ(q) = ∑_(ν ∈ 𝒫)|𝒢_(μ, ν)^λ(𝔽_q)|B_(∅, κ)^ν(q).
30.Démontrer que le polynôme G_(μ, ν)^λ(X) est nul ou est de degré majoré par d(λ) − d(μ) − d(ν).
INFORMATION AUX CANDIDATS
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2023 ?
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Le problème porte sur les endomorphismes nilpotents, via la décomposition en valeurs singulières, la réduction de Jordan et les polynômes de Hall, complété par des exercices de groupes, d'arithmétique et d'espaces euclidiens.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve ?
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Le jury relève une maîtrise insuffisante de concepts élémentaires comme l'ordre d'un élément, la somme directe de plusieurs sous-espaces, et une application trop rapide du théorème spectral sans vérifier les conséquences du procédé de Gram-Schmidt.
L'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2023 est-elle difficile ?
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Oui, la moyenne des admissibles est de 7,75 sur 20 avec un écart-type de 3,68, et plusieurs questions n'ont été réussies à moitié que par une minorité de candidats.
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