Agrégation mathématiques externe 2017, épreuve 1Sujet et rapport du jury
Agrégation externe mathématiques - composition de mathématiques générales 2017
- Réduction des endomorphismes et polynôme minimal
- Réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents
- Commutant et bicommutant d'un endomorphisme
- Décomposition de Dunford (composantes semi-simple et nilpotente)
- Produit tensoriel et algèbre multilinéaire
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Présentation du sujet
DifficileRéduction des endomorphismes en dimension finie : réduction de Jordan, théorème du bicommutant, décomposition de Dunford et théorie des répliques de Chevalley (agrégation externe de mathématiques, épreuve écrite de mathématiques générales)Afficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileL'épreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 traite de la réduction des endomorphismes en dimension finie. Après trois exercices préliminaires sur les matrices de rang 1 et le dual d'un espace de matrices, le sujet redémontre le théorème de réduction de Jordan pour un endomorphisme nilpotent, puis le théorème du bicommutant, avant de proposer une version constructive de la décomposition de Dunford et d'introduire la théorie des répliques de Chevalley à l'aide du produit tensoriel.
- 1Exercices préliminairesCaractérisation des matrices de rang 1, isomorphisme entre le dual de l'espace des matrices et un espace de matrices, condition d'existence de bases réalisant une matrice donnée pour une application linéaire.
- 2Partie I : réduction de JordanDémonstration par récurrence que tout endomorphisme nilpotent d'un espace de dimension finie se décompose en somme directe de sous-espaces stables sur lesquels il est cyclique.
- 3Partie II : bicommutantDémonstration du théorème du bicommutant affirmant que le bicommutant d'un endomorphisme u coïncide avec la sous-algèbre K[u] qu'il engendre.
- 4Partie III : décomposition de Dunford pour une matriceConstruction algorithmique, par une suite de matrices définie par récurrence, de la décomposition d'une matrice en somme d'une composante semi-simple et d'une composante nilpotente qui commutent.
- 5Partie IV : théorie des répliques de ChevalleyÉtude de l'action d'une matrice sur des espaces de tenseurs construits par produit tensoriel, et introduction de la notion de réplique d'une matrice.
Difficile. La moyenne des candidats admissibles à cette épreuve est de 8,22/20 avec un écart-type de 3,24 ; le rapport indique que les parties III et IV ont été peu abordées et rarement bien traitées, la partie IV n'ayant été correctement menée que par les toutes meilleures copies.
L'épreuve en chiffres
Moyenne 8,22 / 20 · écart-type 3,24 · où vous situez-vous ?Afficher ou masquer la section
L'épreuve en chiffres
- Moyenne
- 8,22/ 20
- Écart-type
- 3,24
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesNon-unicité de l'écriture A = XY mal justifiée · Confusion entre commutant et bicommutant · Erreur logique grave sur la nilpotenceAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesLe sujet portait sur la réduction des endomorphismes en dimension finie, à travers trois exercices préliminaires puis quatre parties de difficulté croissante allant de la réduction de Jordan à la théorie des répliques de Chevalley. Les correcteurs constatent, à quelques exceptions près, une présentation soignée des copies, mais regrettent une rédaction souvent imprécise, notamment l'omission de justifications intermédiaires pourtant attendues d'un futur enseignant. Les parties I et II ont été correctement abordées par une large part des candidats, tandis que les parties III et IV, plus exigeantes, ont été beaucoup moins traitées.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Non-unicité de l'écriture A = XY mal justifiéeExercice préliminaire, matrices de rang 1
Dans l'exercice préliminaire sur les matrices de rang 1, plusieurs candidats ont tenté de justifier la non-unicité de l'écriture A = XY par un raisonnement général au lieu de fournir un contre-exemple, argument qui tombait en défaut dans certains cas particuliers.
« Un argument du type « quitte à changer l’ordre des colonnes de A » n’a évidemment pas sa place ici. »
- 2Confusion entre commutant et bicommutantQ1, partie II
Dès la première question de la partie II, les correcteurs ont constaté que de nombreux candidats confondaient les notions de commutant et de bicommutant d'un endomorphisme.
« Les correcteurs ont constaté des confusions entre commutant et bicommutant. »
- 3Erreur logique grave sur la nilpotenceQ6, partie I
Pour établir une propriété de nilpotence attendue à la question 6 de la partie I, un nombre notable de candidats se contente de vérifier numériquement que les matrices données, élevées au carré, sont nulles, et pense avoir ainsi démontré le résultat général demandé.
« un certain nombre de candidats vérifient que les matrices données, élevées au carré, sont nulles et pensent avoir ainsi prouvé le résultat attendu. »
- 4Facteurs simples confondus avec racines simplesQ1 et Q3, partie III
Dans la partie III, un nombre non négligeable de candidats confond la notion de polynôme à facteurs simples avec celle de polynôme à racines simples, erreur qui n'est valable que dans un corps de décomposition.
« un nombre non négligeable de candidats a semblé confondre «à facteurs simples» et «à racines simples »
- 5Question 4 de la partie III mal maîtriséeQ4, partie III
Cette question, qui ne demandait que de manier correctement des sommes sans recourir à des outils plus sophistiqués, n'a pas été très réussie par les candidats qui l'ont abordée.
« La question 4 n’a pas été très réussie, alors qu’elle ne présentait pas de difficulté autre que le fait de manier correctement des sommes. »
- 6Partie IV quasiment non traitéePartie IV, Q2b
La partie IV, sur la théorie des répliques de Chevalley, a été peu abordée et n'a été traitée correctement que par les toutes meilleures copies ; certains candidats ont proposé, à la question 2b, des formules de déterminant par blocs sans fondement.
« En 2.b. Les correcteurs ont vu des «formules» de déterminant blocs fantaisistes. »
Ce qui a été bien réussi
- La question 1 de la partie I, sur l'égalité liant la dimension de K[u] et le degré du polynôme minimal, a été assez bien traitée, que ce soit à l'aide d'un isomorphisme ou de la seule division euclidienne.
- La question 3a de la partie I, classique, a été bien réussie.
- La question 4 de la partie I ne posait pas de difficulté particulière et a été globalement bien réussie.
- La question 2 de la partie II, sur l'inclusion de K[u] dans le bicommutant, a été globalement bien réussie.
- Les questions 6a et 6b de la partie II ont été globalement réussies par les candidats.
Conseils du jury
- Rédiger de manière synthétique, claire et précise en explicitant systématiquement toutes les hypothèses utilisées.
- Ne pas se contenter d'affirmations du type « il est clair que » sans un minimum de justification, même pour un résultat simple.
- Ne pas négliger les parties finales d'un sujet même lorsqu'elles paraissent plus exigeantes : tout raisonnement argumenté y est valorisé.
- Vérifier soigneusement les inclusions réciproques lors de la démonstration d'une égalité entre deux ensembles.
- Ne pas confondre des notions voisines mais distinctes, comme commutant et bicommutant, ou facteurs simples et racines simples.
- Apporter le plus grand soin à la présentation des copies, désormais corrigées sous forme numérisée.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2017.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 ?
Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes en dimension finie : réduction de Jordan, théorème du bicommutant, décomposition de Dunford et théorie des répliques de Chevalley.
Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 ?
La moyenne des candidats admissibles à cette épreuve est de 8,22/20, avec un écart-type de 3,24.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 ?
Le jury relève une confusion entre commutant et bicommutant, une confusion entre polynôme à facteurs simples et à racines simples, ainsi qu'une erreur logique grave consistant à vérifier numériquement une propriété de nilpotence au lieu de la démontrer.
Cette épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2017 est-elle difficile ?
Oui : la moyenne de 8,22/20 et le faible taux de traitement des parties III et IV, cette dernière n'étant réussie que par les meilleures copies, en font une épreuve jugée exigeante par le jury.
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