CAPES mathématiques externe 2017, épreuve 1Sujet et rapport du jury

L'épreuve, option mathématiques, comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie le réseau Z² du plan euclidien : ses Z-bases, les transformations linéaires et isométries qui le conservent, un pavage du plan et des frises associées. Le second détermine toutes les applications f définies sur ]0,+∞[ à valeurs dans ]0,+∞[ qui vérifient l'équation fonctionnelle f(xf(y)) = yf(x) et sont bornées sur ]1,+∞[.

1. 1Problème 1, Partie A : Z-bases du réseauCaractériser les Z-bases du réseau Z².
2. 2Problème 1, Partie B : transformations linéaires du réseauÉtudier les transformations linéaires conservant le réseau.
3. 3Problème 1, Partie C : isométries du réseauIdentifier les isométries conservant le réseau.
4. 4Problème 1, Partie D : un pavage du planÉtudier un pavage du plan associé au réseau.
5. 5Problème 1, Partie E : un sous-groupe et deux frisesÉtudier un sous-groupe d'isométries et deux frises associées au réseau.
6. 6Problème 2, Parties I à IV : équation fonctionnelle f(xf(y)) = yf(x)Caractériser les applications f bornées sur ]1,+∞[ vérifiant cette équation, en étudiant les involutions et les points fixes de f.

Difficile. Le rapport donne des taux de réussite inférieurs à 45 % sur trois des quatre items mis en avant (43 % sur les propriétés du déterminant, 30 % sur les transformations géométriques, 27 % sur la substitution de variable), et signale des difficultés marquées en théorie des ensembles et en logique.

Le premier problème portait sur l'étude des bases et des isométries du réseau Z², puis sur un pavage du plan et deux frises. Le calcul matriciel et l'algèbre linéaire sont globalement bien connus et maîtrisés, mais des difficultés persistantes en théorie des ensembles, en logique et sur les notions de groupe pénalisent de nombreuses copies.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.