CAPES mathématiques externe 2018, épreuve 1Sujet et rapport du jury

CAPES externe mathématiques - épreuve 1 2018

Pas encore noté

Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes
Séries entières et développement en série entière
Division euclidienne et écriture en base deux
Nombres dyadiques et densité dans R
Suites trigonométriques et raisonnement par disjonction de cas

Explorer les annales

BanqueCAPES Année2018 FilièreExterne MatièreMathématiques

Annales CAPES Externe Mathématiques CAPES Externe 2018 Externe Mathématiques Mathématiques 2018

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury

Corrigé : pas encore disponible
Lecture en ligne : pas encore disponible
Versions LaTeX et Word : pas encore disponibles

Source du document : capes-math.org

Présentation du sujet

Difficile

Écriture dyadique des nombres réels : suites adjacentes, écriture en base deux, nombres dyadiques et convergence de la suite cos(2^n π θ) (CAPES externe mathématiques, première composition)

Le sujet de la première composition du CAPES externe de mathématiques 2018, option mathématiques, porte sur l'écriture dyadique des nombres réels. Après des rappels sur les suites adjacentes et leurs applications classiques (calcul du nombre e, série harmonique alternée), il introduit l'écriture en base deux des entiers puis des réels, avant d'étudier la convergence de la suite extraite cos(2 puissance n fois pi theta) à l'aide du développement dyadique de theta.

1Partie A : suites adjacentesPropriétés générales des suites adjacentes, application au calcul approché et à l'irrationalité du nombre e, développement en série entière et calcul de la somme de la série harmonique alternée (ln 2).
2Partie B : écriture d'un entier en base deuxDémonstration de l'existence et de l'unicité de l'écriture binaire d'un entier naturel, puis algorithmes de conversion selon la méthode naïve et la méthode de Horner.
3Partie C : nombres dyadiquesDéfinition et propriétés de l'ensemble des nombres dyadiques, démonstration de l'existence et de l'unicité du développement dyadique fini d'un nombre dyadique positif non entier.
4Partie D : développement dyadique illimitéSuites dyadiques propres et impropres, existence et unicité du développement dyadique propre de tout réel de l'intervalle [0,1[, densité des nombres dyadiques et de leur complémentaire dans R.
5Partie E : suite extraite de la suite cos(nπθ)Étude de la convergence de la suite cos(nπθ), puis de la suite extraite cos(2 puissance n fois pi theta) à l'aide du développement dyadique de theta, aboutissant à une condition nécessaire et suffisante de convergence.

Difficile. La moyenne de cette composition est de 9,61/20 avec un écart-type de 4,30 ; le rapport souligne explicitement que la qualité des copies a été particulièrement faible à cette session, avec des taux de réussite très bas sur plusieurs items ciblés (6,5 % sur le développement en série entière, 0,7 % sur le raisonnement par disjonction de cas).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,61 / 20 · écart-type 4,3 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,61/ 20
Écart-type: 4,3

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Développement en série entière très peu réussi · Écriture d'un algorithme peu maîtrisée · Raisonnement par disjonction de cas presque jamais réussi

Le sujet portait sur l'écriture dyadique des nombres réels, depuis les suites adjacentes jusqu'à la convergence de la suite cos(2 puissance n fois pi theta). Toutes les parties ont été abordées de manière significative, mais peu de candidats traitent les questions de synthèse en fin de partie ou les applications numériques. Le jury a ciblé trois items particulièrement discriminants (développement en série entière, écriture d'un algorithme, raisonnement par disjonction de cas) dont les taux de réussite sont très faibles, révélant des lacunes sur les séries entières, la rigueur des quantificateurs et la manipulation des inégalités strictes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Développement en série entière très peu réussiIII.1
Pour cet item ciblé par le jury (question III.1), environ 6,5 % des candidats ont répondu correctement, 57,0 % de manière incorrecte ou incomplète, et 36,5 % n'ont pas abordé la question ; seuls 10,3 % de ceux qui l'ont abordée ont réussi.
« Environ 6,5% des candidats ont répondu correctement à cet item ; 57,0% n'ont pas répondu correctement ou de manière incomplète »
2
Écriture d'un algorithme peu maîtriséeV.3 ou VI.3
Pour cet item (questions V.3 ou VI.3), environ 19,5 % des candidats ont répondu correctement, 23,6 % de manière incorrecte ou incomplète, et 56,9 % n'ont pas abordé la question.
« Environ 19,5% des candidats ont répondu correctement à cette question »
3
Raisonnement par disjonction de cas presque jamais réussiXVI.2
Pour cet item (question XVI.2), seuls 0,7 % des candidats ont répondu correctement, et beaucoup de candidats abordant cette question ont supposé à tort que theta était un nombre entier.
« Envir on 0,7% des candidats ont répondu correctement à cette question »
4
Formule de Taylor confondue avec le développement en série entièrePartie A, question III
Parmi les erreurs les plus courantes, la formule de Taylor est utilisée pour calculer le développement en série entière de 1/(1-x), alors qu'elle ne fournit qu'un développement limité.
« la formule de Taylor est utilisée pour calculer le développement en série entière »
5
Justification des inégalités strictes insatisfaisanteA.I.3, A.II.3, D.X.4
Le traitement des inégalités strictes est souvent insatisfaisant : le raisonnement est souvent faux dans les questions A.I.3 et D.X.4, et la justification est passée sous silence dans quasiment toutes les copies à la question A.II.3.
« dans les questions A.I.3 et D.X.4, le raisonnement est souvent faux et dans la question A.II.3, la justification est passée sous silence »
6
Propriétés de la division euclidienne oubliéesIV.2
Dans la question IV.2, le fait que le reste de la division euclidienne soit positif et strictement inférieur au diviseur est très souvent oublié par les candidats.
« le fait que le reste est positif et strictement inférieur au diviseur est très souvent oublié »

Ce qui a été bien réussi

On constate une amélioration du traitement des raisonnements par récurrence, bien que les quantificateurs soient parfois encore absents ou mal utilisés.
Les raisonnements par l'absurde sont très souvent bien menés et clairement rédigés.
L'intégration par parties est bien maîtrisée, même si peu de candidats pensent à justifier la classe C1 des fonctions utilisées.
Les candidats relativement nombreux ayant abordé la partie E connaissent bien les formules de trigonométrie qui y étaient utilisées.
Toutes les parties de ce problème ont été abordées de manière significative par les candidats.

Conseils du jury

Soigner la rédaction des raisonnements par récurrence, en évitant les formules comme « en itérant le processus » ou « récurrence évidente ».
Justifier systématiquement les hypothèses des théorèmes utilisés, notamment la classe C1 des fonctions dans une intégration par parties.
Ne pas négliger les questions de synthèse en fin de partie ni les applications numériques demandées.
Utiliser rigoureusement les quantificateurs et ne jamais employer les symboles d'implication ou d'équivalence comme simple abréviation de « donc ».
Éviter les formulations comme « évident », « trivial » ou « forcément », qui masquent une incapacité à argumenter.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2018.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la première composition du CAPES externe de mathématiques 2018 ?

Le sujet porte sur l'écriture dyadique des nombres réels : suites adjacentes, écriture en base deux, nombres dyadiques et développement dyadique, puis convergence de la suite cos(2 puissance n fois pi theta).

Quelle est la moyenne à la première composition du CAPES externe de mathématiques 2018 ?

La moyenne est de 9,61/20, avec un écart-type de 4,30.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette première composition du CAPES externe de mathématiques 2018 ?

Le jury relève une confusion entre la formule de Taylor et le développement en série entière, une justification insatisfaisante des inégalités strictes, un oubli fréquent des propriétés du reste de la division euclidienne, et une très faible réussite sur le raisonnement par disjonction de cas.

Cette première composition du CAPES externe de mathématiques 2018 est-elle difficile ?

Oui : la moyenne de 9,61/20 et les très faibles taux de réussite sur plusieurs items ciblés (6,5 % sur les séries entières, 0,7 % sur la disjonction de cas) témoignent d'une session jugée particulièrement faible par le jury.

Pas de description pour le moment

Commentaires• CAPES mathématiques externe 2018, épreuve 1

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...