CAPES mathématiques externe 2019, épreuve 1Sujet et rapport du jury

L'épreuve, option mathématiques, comporte deux problèmes indépendants. Le premier mêle algèbre et géométrie : il représente les isométries directes du plan à l'aide des nombres complexes, puis introduit les quaternions sous forme matricielle pour paramétrer les isométries directes de l'espace euclidien de dimension 3. Le second étudie des variables aléatoires suivant une loi géométrique, à travers des séances de tir à l'arc et la notion de taux de panne, en s'appuyant sur l'étude de séries entières.

1. 1Problème 1, Partie A : rotations et translations du planReprésenter les rotations et translations du plan à l'aide des nombres complexes.
2. 2Problème 1, Partie B : une construction géométriqueDécomposer une rotation plane en produit de deux réflexions orthogonales.
3. 3Problème 1, Partie C : structure des quaternionsConstruire l'ensemble des quaternions sous forme matricielle et en donner une base.
4. 4Problème 1, Parties D et E : conjugué et norme sur les quaternionsÉtudier le conjugué, les parties réelle et imaginaire, et la norme d'un quaternion.
5. 5Problème 1, Partie F : quaternions unitaires et rotations vectoriellesParamétrer les rotations vectorielles de l'espace de dimension 3 à l'aide des quaternions unitaires.
6. 6Problème 2, Partie A : quelques études de sériesÉtudier des séries entières et déterminer un rayon de convergence.
7. 7Problème 2, Partie B : étude d'une séance de tir à l'arcModéliser une expérience aléatoire de tir à l'arc à l'aide d'une loi géométrique.
8. 8Problème 2, Parties C et D : variable discrète sans mémoire et taux de panneÉtudier une variable aléatoire discrète sans mémoire et la notion de taux de panne.

Difficile. Le rapport donne des taux de réussite très bas sur plusieurs questions clés : environ 8,7 % de bonnes réponses sur la question VIII.2, 16,2 % sur la question VII.1, 3,7 % sur la question XI.2 et 17,6 % sur la question II.2.

Le premier problème mêlait algèbre et géométrie autour des isométries du plan et de l'espace, le second portait sur des variables aléatoires suivant une loi géométrique et sur les séries entières. Le jury relève une amélioration du traitement des raisonnements par récurrence et une bonne maîtrise des notions de base d'algèbre linéaire, mais aussi des lacunes marquées sur les séries entières, les quaternions et la rigueur des justifications.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.