CAPES mathématiques externe 2021, épreuve 1Sujet et rapport du jury

CONCOURS EXTERNE CAPES / CAPES-CAFEP

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPES de l'enseignement public :
  • -Section MATHEMATIQUES
    Concours
    Section/option
    Epreuve
    Matière E|B|E 1/3/0/01 1|0|1 0|5|4|0

• Section : LANGUES REGIONALES Option BRETON

• • -Section : LANGUES REGIONALES Option KANAK - NENGONE
    Concours E/BIE
    
    Section/option 0|பு7 71 E
    
    Epreuve 1|0|2
    
    Matière 0|4/6/6

• Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :

• -Section MATHEMATIQUES
  Concours
  Section/option
  Epreuve
  Matière E|B|F 1/3/O/OE 1|0|1 0|5|4|0
  • -Section : LANGUES REGIONALES Option BRETON
    Concours
    Section/option
    Epreuve
    Matière E|BF 0|4|4|1|E 1|0|2 0|4|6|6

Partie A : étude des nombres harmoniques

• I.Démontrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 ,
  ∫_k^(k + 1)1/x dx ⩽ 1/k ⩽ ∫_(k − 1)^k 1/x dx.
• II.En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 ,
  ln(n + 1) ⩽ H_n ⩽ 1 + ln(n).
• III.À l'aide de la relation précédente :
  • 1.Démontrer que la suite (H_n)_(n ⩾ 1) diverge vers + ∞.
  • 2.Démontrer que
    H_n ∼ _(+ ∞)ln(n).
• IV.On considère désormais les suites (u_n)_(n ⩾ 1) et (v_n)_(n ⩾ 1) définies par
  u_n = H_n − ln(n), v_n = H_n − ln(n + 1).
  • 1.Démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
  • 2.En déduire que ces deux suites convergent vers une même limite positive. Cette limite est notée γ.
• V.1. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 1 ,
  0 ⩽ H_n − ln(n) − γ ⩽ ln(1 + 1/n).
  • 2.Écrire en langage Python une fonction prenant comme argument un nombre réel ε strictement positif et renvoyant une valeur approchée de γ à ε près. On suppose que l'on dispose de la fonction math.log() pour le logarithme népérien.

Partie B : le problème de Bâle

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul et tout réel t ∈ [0; π],

2. En déduire que, si t ∈ ]0; π],

3. Calculer la valeur de D_n(0).
   IX. On considère la fonction f définie sur [0; π/2] par

1. Démontrer que f est continue sur [0; π/2].
2. Démontrer que f est dérivable en 0.
3. Démontrer que f est de classe C^1 sur [0; π/2].

• X.1. Démontrer, à l'aide d'une double intégration par parties, que pour tout entier naturel k non nul,
  ∫_0^π((t^2)/(2π) − t)cos(kt)dt = 1/(k^2)
  • 2.En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
    B_n = ∫_0^π((t^2)/(2π) − t)(D_n(t) − 1)/2 dt.
  • 3.Déterminer la valeur de
    ∫_0^π(t − (t^2)/(2π))dt
  • 4.En déduire que, pour tout entier naturel n non nul,
    (π^2)/6 − B_n = 1/2∫_0^π(t − (t^2)/(2π))D_n(t)dt
  • 5.En déduire que, pour tout entier naturel non nul,
    (π^2)/6 − B_n = ∫_0^(π/2)t/(sin(t))(2 − (2t)/π)sin((2n + 1)t)dt
• XI.Déterminer une fonction g de classe C^1 sur [0; π/2] telle que
  (π^2)/6 − B_n = ∫_0^(π/2)g(t)sin((2n + 1)t)dt
• XII.Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que
  lim_(n → + ∞)∫_0^(π/2)g(t)sin((2n + 1)t)dt = 0
• XIII.En déduire la limite de la suite (B_n)_(n ⩾ 1).
  
  \section*{Partie C : les lois géométriques}
• XIV.Démontrer que, pour tout x ∈ ] − 1; 1[, la série de terme général x^k converge et que
  ∑_(k = 0)^(+ ∞)x^k = 1/(1 − x)
• XV.Justifier, pour tout x ∈ ] − 1; 1[, les égalités suivantes :
  ∑_(k = 1)^(+ ∞)kx^(k − 1) = 1/((1 − x)^2), ∑_(k = 2)^(+ ∞)k(k − 1)x^(k − 2) = 2/((1 − x)^3).
  On citera précisément les théorèmes utilisés.

• XVI.Soit p un réel appartenant à l'intervalle ]0; 1[. Démontrer qu'on définit une loi de probabilité sur l'univers ℕ^∗ en posant, pour tout k ∈ ℕ^∗,
  p_k = p(1 − p)^(k − 1).
  On rappelle qu'une variable aléatoire définie sur un univers Ω suit la loi géométrique de paramètre p si X(Ω) = ℕ^∗ et, pour tout entier k ⩾ 1,
  ℙ(X = k) = p_k.
  On note alors X↪G(p).
• XVII.Soit X une variable aléatoire telle que X↪G(p).
  Démontrer que X admet une espérance, notée 𝔼(X), et une variance, notée 𝕍(X), vérifiant :
  𝔼(X) = 1/p, 𝕍(X) = (1 − p)/(p^2).
• XVIII.Soient X_1, …, X_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout i ∈ [ [1; n] ], X_i↪G(p_i), où p_i ∈ ]0; 1[.
  • 1.Donner l'espérance de la variable aléatoire ∑_(i = 1)^n X_i en fonction des p_i.
  • 2.Démontrer que, pour tout entier n ⩾ 1,
    𝕍(∑_(i = 1)^n X_i) = ∑_(i = 1)^n 1/(p_i^2) − ∑_(i = 1)^n 1/(p_i).

Partie D : inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

XIX. Inégalité de Markov

XX. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Partie E : le problème du collectionneur

3. En déduire la loi de T_2.
4. On suppose que la collection contient 100 animaux. Calculer le nombre minimal d'achats que le collectionneur doit effectuer pour que la probabilité d'obtenir deux animaux différents soit supérieure ou égale à 0,99.
5. Pour tout entier k ∈ [ [1; n] ], justifier que

6. En déduire, pour k ⩾ 2, une expression de T_k en fonction des Z_i.
7. Démontrer que Z_k suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de Z_k.
8. En déduire que

9. Donner un équivalent de 𝔼(T_n) lorsque n tend vers + ∞.
   XXIV. On admet que les variables aléatoires Z_k, 1 ⩽ k ⩽ n, sont mutuellement indépendantes.

• 1.Exprimer 𝕍(T_n) en fonction de n, B_n et H_n.
• 2.En déduire que 𝕍(T_n) ⩽ (n^2 π^2)/6.