Agrégation mathématiques externe 2021, épreuve 1Sujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

INFORMATION AUX CANDIDATS

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Notations, vocabulaire et rappels

• -On désigne par Z l'anneau des entiers relatifs, Q le corps des nombres rationnels, P l'ensemble des nombres premiers.
• -Soit A un anneau commutatif, unitaire (c'est-à-dire possédant un élément neutre pour la multiplication).
  • - A^×désigne le groupe des éléments inversibles de A.
  • -On note A[X] l'anneau des polynômes à coefficients dans A et, pour tout entier naturel n, A_n[X] l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients dans A.
  • -On dénote par M_n(A) l'anneau des matrices (n, n) à coefficients dans A et T_n(A) l'ensemble des matrices (n, n) triangulaires inférieures à coefficients dans A.
  • -Un polynôme de A[X] est dit unitaire lorsque son coefficient dominant est 1.
  • -Une fonction f de A dans A est dite polynomiale s'il existe un polynôme P dans A[X] tel que :
    ∀a ∈ A, f(a) = P(a).
  • -Par convention, un produit d'éléments de A indexé sur l'ensemble vide est égal à 1.
• -Soient k et n deux entiers naturels. On désigne par (n/k) le coefficient binomial " k parmi n ", c'est-à-dire le nombre de possibilités de choisir k éléments dans un ensemble à n éléments; si n = k = 0, ce nombre vaut 1 . Si k > n, cette quantité est nulle, par convention.
• -Pour tout entier naturel k, on introduit le polynôme à coefficients rationnels
  H_k(X) = {1, si k = 0; (X(X − 1)⋯(X − k + 1))/(k!), sinon .
• -On définit l'anneau des entiers de Gauss de la manière suivante :
  Z[i] = {a + ib; a, b ∈ Z}.
  Si z est un entier de Gauss et a, b sont les entiers tels que z = a + ib, on note
  N(z) = zz¯ = (a + ib)(a − ib).

• -On introduit l'opération de dérivation discrète :
  Δ : Q[X], →, Q[X]; P(X), ↦, P(X + 1) − P(X)
  On définit les itérées de cette opération par récurrence :
  ∀P ∈ Q[X], Δ^0(P) = P et ∀k ∈ N^∗, Δ^k(P) = Δ(Δ^(k − 1)(P)).
• -On rappelle la définition d'un polynôme interpolateur de Lagrange. Soit n ∈ N. Soit k ∈ {0, ⋯, n}. Le polynôme L_k^n(X) est l'unique polynôme de degré n de Q[X] tel que, pour tout h ∈ {0, ⋯, n}, L_k^n(h) = δ_(kh) où δ_(kh) est le symbole de Kronecker (il vaut 0 si k ≠ h et 1 si k = h ). Plus précisément,
  L_k^n(X) = ∏_(i = 0, i ≠ k)^n(X − i)/(k − i).

Exercices Préliminaires

Exercice 1

• 1.Justifier que les polynômes H_0, H_1, H_2 et H_3 forment une famille libre dans Q[X].
• 2.Expliciter le sous-espace vectoriel F de Q[X] engendré par les polynômes H_0, H_1, H_2 et H_3.
• 3.Justifier que Δ induit un endomorphisme sur F.

• 4.Déterminer le polynôme caractéristique de Δ_F.
• 5.Déterminer le polynôme minimal de Δ_F.
• 6.L'endomorphisme Δ_F est-il diagonalisable?

Exercice 2

• 1.Soient a_0, a_1, …, a_n dans k et soit P le polynôme P = ∑_(j = 0)^n a_j X^j. Expliciter en fonction de P et x_0, …, x_n le vecteur :
  V(x_0, …, x_n)(a_0; a_1; ⋮; a_n)
• 2.Justifier qu'il existe une matrice T dans M_(n + 1)(k), de déterminant 1, telle que
  V(x_0, …, x_n)T = (1, x_0, x_0^2, ⋯, x_0^(n − 1), 0; 1, x_1, x_1^2, ⋯, x_1^(n − 1), 0; 1, x_2, x_2^2, ⋯, x_2^(n − 1), 0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; 1, x_n, x_n^2, ⋯, x_n^(n − 1), ∏_(i = 0)^(n − 1)(x_n − x_i))
• 3.En déduire, par récurrence, une expression du déterminant de V(x_0, …, x_n) en fonction de x_0, …, x_n.

• 4.Soit P un polynôme dans K[X] de degré n tel que P(k) ⊂ k. Soient a_0, a_1, …, a_n dans K tels que P = ∑_(j = 0)^n a_j X^j. On suppose que k contient n + 1 éléments distincts x_0, …, x_n. Démontrer que P ∈ k[X].
  Indication : On pourra utiliser V(x_0, …, x_n)(a_0; a_1; ⋮; a_n).
• 5.On note E = {P ∈ K[X]|P(k) ⊂ k}.
  • (a)On suppose que k est un corps infini. Démontrer que
    E = k[X].
  • (b)On suppose que k est un corps fini. On note q son cardinal. On note I l'idéal de K[X] engendré par le polynôme X^q − X. Démontrer que
    E = {P + Q; P ∈ I et Q ∈ k[X]}

Exercice 3

• 1.Soient x_0, x_1 ∈ Z. Soit P ∈ Q[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X − x_0)(X − x_1) en fonction de x_0, φ(P)(x_0, x_1) et P(x_0).
• 2.En déduire que
  Ent(T_2(Z)) = {P ∈ Q[X]|P(Z) ⊂ Z et φ(P)(Z^2) ⊆ Z.}.
  Indication : Etant donné P ∈ Q[X], on pourra exprimer en fonction de y, φ(P)(x_0, x_1), P(x_0) et P(x_1) la matrice P(T) pour toute matrice
  T = (x_0, 0; y, x_1), x_0, x_1, y dans Z.

Exercice 4

• 1.Démontrer que toute fonction de Z/pZ dans lui-même est polynomiale.
• 2.Déterminer le nombre de fonctions polynomiales de Z/pZ dans lui-même.
• 3.Donner un exemple de fonction de Z/4Z dans lui-même qui n'est pas polynomiale.

Problème

• -Soit A un anneau intègre; on note K son corps de fractions.
  Un polynôme P de K[X] est dit à valeurs entières sur A lorsque P(A) ⊆ A.

• Soit E un sous-ensemble de A.

• • -On définit
    Ent(E, A) = {P ∈ K[X]|P(E) ⊆ A}
    et, pour tout entier naturel n,
    Ent_n(E, A) = {P ∈ K_n[X]|P(E) ⊆ A}.
    On admettra sans le vérifier que Ent(A) est un anneau.
    Lorsque E = A, on note plus simplement Ent(A) et Ent_n(A) pour Ent(A, A) et Ent_n(A, A) respectivement.
  • -Soit n un entier naturel. On dit qu'une famille P_0, ⋯, P_n est une base régulière de Ent_n(E, A) si pour tout entier k compris entre 0 et n, P_k est un polynôme dans Ent(E, A) de degré k, et pour tout P ∈ Ent_n(E, A), il existe d'uniques λ_0, ⋯, λ_n dans A, tels que
    P(X) = ∑_(i = 0)^n λ_i P_i(X).
  • -On dit qu'une famille (P_n)_(n ∈ N) est une base régulière de Ent(E, A) si pout tout entier naturel n, P_0, ⋯, P_n est une base régulière de Ent_n(E, A).

I Polynômes à valeurs entières sur Z

• 1.Soit p un nombre premier. Démontrer que le polynôme
  1/p(X^p − X)
  est à valeurs entières sur Z.
• 2.Soit k un entier naturel.
  • (a)Quelles sont les racines du polynôme H_k ?
  • (b)Démontrer que le polynôme H_k appartient à Ent(Z).
• 3.Démontrer que la famille (H_k)_(k ∈ {0, …, n}) est une Q-base de Q_n[X].
• 4.Soit P ∈ Q[X] de degré n. Soit (b_k)_(k ∈ {0, …, n}) dans Q^(n + 1) tel que
  P(X) = ∑_(k = 0)^n b_k H_k(X)

• (a)Démontrer qu'il existe une matrice M dans M_(n + 1)(Z) telle que
  (P(0); ⋮; P(n)) = M(b_0; ⋮; b_n)
• (b)Démontrer qu'il existe une matrice N dans M_(n + 1)(Z) telle que
  (b_0; ⋮; b_n) = N(P(0); ⋮; P(n))
• (c)En déduire que les assertions suivantes sont équivalentes :
  • (i) P est un polynôme à valeurs entières
  • (ii) P({0, …, n}) ⊆ Z.

5. En déduire que la famille des (H_k)_(k ∈ N) forme une base régulière de Ent(Z).
6. (a) Démontrer que, pour tout P dans Ent(Z) de degré n, n!P ∈ Z[X].

• (b)Démontrer que n! est le plus petit entier naturel non nul k tel que kEnt_n(Z) ⊂ Z[X].

7. On rappelle qu'il est admis que Ent(Z) est un anneau.

• (a)Démontrer que Ent(Z) est un anneau intègre.
• (b)Déterminer Ent(Z)^×.
• (c)Démontrer que, pour tout entier non nul k, le polynôme H_k est irréductible dans Ent(Z).

8. (a) Soit k ∈ {0, …, n}. Démontrer que

• (b)En déduire que, pour P polynôme de Q[X] de degré n, P est un polynôme à valeurs entières si et seulement si P prend des valeurs entières sur n + 1 entiers consécutifs.

9. Soit P un polynôme de Q[X] de degré n s'écrivant, par la question 3,

• (a)Démontrer que, pour tout entier naturel non nul ℓ,
  ∑_(i = 0)^ℓ(− 1)^i(ℓ/i) = 0.
• (b)En déduire que, pour tout k ∈ {0, ⋯, n},
  b_k = ∑_(i = 0)^k(− 1)^(k − i)(k/i)P(i).

• • (c)Démontrer que
    ΔP(X) = ∑_(k = 0)^(n − 1)b_(k + 1)H_k(X),
    puis que, pour tout k dans {0, …, n}, on a
    b_k = Δ^k(P)(0).
• 10.Pour tout polynôme unitaire P ∈ Z[X], on introduit
  d(P) = pgcd(P(z); z ∈ Z).
  • (a)Calculer d(X^5 + X).
  • (b)Démontrer que d(P) divise n ! pour tout P ∈ Z[X] de degré n.
  • (c)Donner un polynôme P dans Z[X], unitaire et de degré n, tel que d(P) = n !.

II Généralisation des polynômes à valeurs entières sur un anneau A

• 1.Soit P dans Ent(A) de degré n. Soient a_0, ⋯, a_n ∈ A. Soit
  d = ∏_(0 ≤ i < j ≤ n)(a_j − a_i).
  Démontrer que dP ∈ A[X].
  Indication : On pourra utiliser l'exercice 2.
• 2.En déduire qu'il existe α_n dans A∖{0} tel que α_n I_n ⊆ A.
• 3.En déduire qu'il existe β_n dans K^×tel que I_n = β_n A.
• 4.Démontrer qu'il existe une base régulière de Ent(A).
• 5.On considère l'anneau Z[i].
  • (a)Propriétés de Z[i].
    • i.Soit N l'application qui envoie un élément z dans Z[i] sur zz¯. Démontrer que N est à valeurs dans N.
    • ii.Démontrer que
      Z[i]^× = {z ∈ Z[i]|N(z) = 1} = {1, − 1, i, − i}.
      iii. Démontrer que Z[i] est un anneau euclidien.
  • (b)Justifier que Ent(Z[i]) possède une base régulière.
  • (c)Soient
    Q_0(X) = 1, Q_1(X) = X, Q_2(X) = 1/(1 + i)(X^2 − X).
    Démontrer que la famille (Q_0, Q_1, Q_2) forme une base régulière de Ent_2(Z[i]).

III Polynômes à valeurs entières sur un sous-ensemble de Z

• -Soit x ∈ Q. On définit la valuation p-adique de x, notée v_p(x) de la façon suivante :
  • -Si x est non nul, v_p(x) est l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de x. En d'autres termes, si x = p^α a/b, avec α ∈ Z, a, b entiers tous deux premiers avec p, alors v_p(x) = α.
  • - v_p(0) = + ∞.

• -Soit E un sous-ensemble non vide de Z. On appelle suite p-ordonnée de E toute suite a_– = (a_n)_(n ∈ N) telle que :
  • - a_0 ∈ E,
  • - a_1 ∈ E et a_1 minimise la valuation p-adique de a_1 − a_0, c'est-à-dire
    v_p(a_1 − a_0) = min_(x ∈ E)v_p(x − a_0).
  • -Pour tout entier k ≥ 2, a_k ∈ E et a_k minimise la valuation p-adique de (a_k − a_(k − 1))⋯(a_k − a_1)(a_k − a_0), c'est-à-dire
    v_p(∏_(i = 0)^(k − 1)(a_k − a_i)) = min_(x ∈ E)v_p(∏_(i = 0)^(k − 1)(x − a_i)).
• 1.Soit a_– = (a_n)_(n ∈ N) une suite p-ordonnée de E. Démontrer que pour un entier naturel k strictement inférieur au cardinal de E, on a ∏_(i = 0)^(k − 1)(a_k − a_i) ≠ 0.

• 2.Démontrer que la suite des entiers naturels N_– = (n)_(n ∈ N), est une suite p-ordonnée de Z.
• 3.En déduire que
  k! = ∏_(p ∈ P)V_k(Z, N_–, p).
  On introduit
  Z_((p)) = {a/b; a ∈ Z, b ∈ Z∖{0}|pgcd(a, b) = pgcd(b, p) = 1}.
  On admet que Z_((p)) est un sous-anneau de Q.
• 4.Démontrer que Z_((p)) = {x ∈ Q|v_p(x) ≥ 0}. Caractériser de même Z_((p))^×en utilisant v_p.