Agrégation mathématiques externe 2022, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2022

Pas encore noté

Réduction des endomorphismes
Groupes finis et théorème de Lagrange
Corps finis
Représentations linéaires des groupes finis
Dénombrement
Morphismes de groupes

Explorer les annales

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Présentation du sujet

Difficile

Représentations irréductibles du groupe d'Heisenberg sur un corps fini, précédées de quatre exercices d'algèbre

L'épreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe 2022 comporte quatre exercices d'algèbre suivis d'un problème. Les exercices portent sur les racines carrées de matrices, les matrices unipotentes, les corps finis et les p-groupes. Le problème classifie les représentations irréductibles complexes du groupe d'Heisenberg sur un corps fini, puis détermine celles qui admettent une droite fixe sous un sous-groupe, en s'appuyant sur un argument de Gelfand fondé sur la commutativité d'une algèbre de convolution.

1Exercice 1 : racines carrées de matricesRacines carrées d'une matrice à similitude près, cas des symétries et des matrices nilpotentes.
2Exercice 2 : matrices nilpotentes et unipotentesApplication élévation au carré sur les matrices unipotentes et son injectivité.
3Exercice 3 : corps finisCaractéristique, morphisme de Frobenius et unicité du sous-corps de cardinal q.
4Exercice 4 : p-groupesOrdre des éléments d'un p-groupe et sous-groupes de matrices unipotentes.
5Problème : groupe d'Heisenberg et représentations distinguéesSix parties : structure du groupe d'Heisenberg, involutions, algèbre de convolution, multiplicité un, classification des représentations irréductibles et droites fixes.

Difficile. Selon le rapport, la deuxième partie du problème n'a été abordée que par un tiers des copies, la troisième par un cinquième, et les deux dernières quasiment pas.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Réciproques oubliées · Point de vue géométrique négligé · Commutativité oubliée

Les exercices ont été largement abordés, mais le problème beaucoup moins au fil des parties. Le jury relève des rédactions désinvoltes, des raisonnements fragiles et des récurrences mal formalisées ; plus que la technicité, c'est le volume traité qui a départagé les candidats. Il insiste sur la nature des objets manipulés et sur les hypothèses de commutativité.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Réciproques oubliéesExercice 1, questions 3 et 4
Les conditions nécessaires et suffisantes sont rarement établies : la réciproque est souvent omise, et un cardinal est affirmé sans vérifier que les éléments sont distincts.
2
Point de vue géométrique négligéExercice 1
Pour montrer que deux matrices sont semblables, l'interprétation en termes d'endomorphismes est peu utilisée.
« le point de vue géométrique n'est que rarement adopté, notamment pour démontrer la similitude de deux matrices. »
3
Commutativité oubliéeExercices 2 et 4
Les identités de factorisation, l'égalité (AB)^k = A^k B^k et la formule du binôme sont appliquées à des matrices sans vérifier qu'elles commutent.
4
Noyau d'une application non morphismeExercice 2 et question 12 du problème
L'injectivité d'une application qui n'est pas un morphisme ne se prouve pas par son noyau, et l'argument de dimension finie ne vaut que pour une application linéaire.
« l'application φ n'est pas un morphisme et la démonstration de son injectivité ne peut donc pas faire intervenir un noyau »
5
Récurrences mal rédigéesExercice 3, question 3
Le prédicat doit être écrit clairement, surtout s'il dépend d'un second paramètre.
« il est souhaitable de rédiger correctement les raisonnements par récurrence et notamment de faire apparaître clairement un prédicat »
6
Réponses à moitiéProblème, question 2.c ; exercice 3, question 6
Pour les ordres des éléments de H3(F), il fallait aussi montrer que chaque ordre possible est atteint ; pour le sous-corps de cardinal q, montrer l'existence et l'unicité.

Ce qui a été bien réussi

Les exercices 1 et 2 ont été abordés par la quasi-totalité des copies.
L'exercice 3 a été abordé par plus des deux tiers des copies et l'exercice 4 par plus de la moitié.
La première partie du problème a été abordée par environ trois quarts des copies.

Conseils du jury

Soigner la rédaction, qui fait l'objet d'un item spécifique du barème.
Vérifier la nature des objets manipulés avant d'utiliser noyau, dimension ou injectivité.
Ne pas affirmer de propriété sans précaution : la restriction d'une bijection n'est pas toujours une bijection.
Être vigilant sur les notations additive ou multiplicative des groupes étudiés.
Connaître la définition d'un sous-corps, qui est un attendu du programme.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2022.

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Liberte
Egalité
Fraternité

SESSION 2022

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques générales

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Notations, vocabulaire et rappels

Soit F un corps. On note

car(F)

sa caractéristique et

F^*

le groupe des éléments inversibles de F. On désigne par F[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans F. Pour deux entiers naturels non nuls

m

n

, on note

M_(m, n)(F)

l'ensemble des matrices à

m

lignes et

n

colonnes à coefficients dans

F

; lorsque

m = n

, on note aussi

M_n(F)

l'algèbre des matrices carrées de taille

n

à coefficients dans F et

GL_n(F)

le groupe formé par le sous-ensemble des matrices inversibles dans

M_n(F)

; on note

I_n

la matrice identité de

M_n(F)

.
On fixe

n

un entier

⩾ 1

. On note ~ la relation de similitude sur

M_n(F)

A \sim B s'il existe P dans GL_n(F) telle que B = PAP^(- 1).

On rappelle qu'il s'agit d'une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence sont appelées les classes de similitude. Deux matrices dans une même classe de similitude sont dites semblables.

Pour un entier

r ⩾ 1

, des entiers

n_1, \dots, n_r

tous

⩾ 1

, et des matrices

A_1, \dots, A_r

telles que

A_i

appartienne à

M_(n_i)(F)

pour tout entier

i

compris entre 1 et

r

, on note

diag(A_1, \dots, A_r)

la matrice diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont dans l'ordre

A_1, \dots, A_r

. Ainsi, on a :

diag(A_1, \dots, A_r) = (A_1; ⋱; A_r) \in M_(n_1 + \dots + n_r)(F).

Pour une matrice

M

dans

M_n(F)

, on note

μ_M

son polynôme minimal et

χ_M

son polynôme caractéristique. La sous-algèbre de

M_n(F)

formée par l'ensemble des polynômes en

M

est notée

F[M]

.
On dit qu'une matrice

N

dans

M_n(F)

est nilpotente s'il existe un entier

k > 0

tel que

N^k = 0

; on note alors

d(N)

l'indice de nilpotence de

N

, c'est à dire le plus petit entier

k

qui vérifie cette propriété.

On pose

J_n = (0, 1, 0, \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, 1; 0, \dots, \dots, \dots, 0) \in N_n(F),

la matrice de Jordan nilpotente de taille

n

.
On pourra utiliser la décomposition de Jordan d'un élément

N

N_n(F)

:
il existe un unique entier

r ⩾ 1

, et une unique suite d'entiers

n_1, \dots, n_r

vérifiant

1 ⩽ n_1 ⩽ \dots ⩽ n_r

n_1 + \dots + n_r = n

telle que

N \sim diag(J_(n_1), \dots, J_(n_r)).

On dit qu'une matrice

M

dans

M_n(F)

est unipotente s'il existe une matrice nilpotente

N

telle que

M = I_n + N

.
On note

N_n(F)

l'ensemble des matrices nilpotentes de

M_n(F)

. On définit l'ensemble des matrices unipotentes de

M_n(F)

comme :

U_n(F) = I_n + N_n(F) = {I_n + N, N ∈ N_n(F)}.

V

V^'

sont des

F

-espaces vectoriels de dimension finie, on note

Hom_F(V, V^')

F

-espace vectoriel des applications F-linéaires de

V

dans

V^'

. On pose

End_F(V) = Hom_F(V, V)

, et on note

GL_F(V)

l'ensemble des endomorphismes inversibles de

End_F(V)

; on rappelle que

GL_F(V)

est un groupe pour la loi de composition.

On note C le corps des nombres complexes et

R

le corps des nombres réels. Si

p

est un nombre premier, on note

F_p

le corps

Z/pZ

On rappelle le théorème de Cauchy :
Soit

G

un groupe fini. On note

n

son ordre. Si

p

est un nombre premier diviseur de

n

, alors

G

contient un élément d'ordre

p

Dans tous les exercices,

n

désigne un entier

⩾ 1

Exercice 1

Soit

A

une matrice dans

M_n(C)

. Une matrice

M

dans

M_n(C)

telle que

M^2 = A

est appelée une racine carrée de

A

. On note

R(A)

l'ensemble des racines carrées de

A

1.Soient $A$ et $B$ deux matrices semblables dans $M_n(C)$ . Démontrer que $R(A)$ et $R(B)$ sont en bijection.
2.Soit $α$ dans C. Justifier que $R(αI_n)$ est une réunion de classes de similitude.
3.Déterminer le nombre de classes de similitude dont est constitué $R(I_n)$ .
4.Déterminer le nombre de classes de similitude dont est constitué l'ensemble $R(0)$ des racines carrées de la matrice nulle de $M_n(C)$ .
Indication : On pourra utiliser la décomposition de Jordan.
5.On suppose, dans cette question, que $A$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont deux à deux distinctes. On fixe une matrice $P$ dans $GL_n(C)$ telle que $PAP^(- 1)$ est diagonale.
- a)Démontrer que si $M$ est une racine carrée de $A$ , alors $PMP^(- 1)$ est également diagonale.
- b)En déduire le nombre de racines carrées de $A$ .
- c)Donner un exemple de matrice de $A$ dans $M_2(C)$ diagonalisable dont au moins une racine carrée n'est pas diagonalisable.
6.La matrice $- I_n$ admet-elle des racines carrées dans $M_n(R)$ ?
On distinguera selon la parité de $n$ .
7.Démontrer que la matrice $J_(2n)^2$ est semblable à la matrice $diag(J_n, J_n)$ et $J_(2n + 1)^2$ à la matrice $diag(J_n, J_(n + 1))$ .
8.On suppose dans cette question que $A$ est nilpotente. $A$ est donc semblable à une unique matrice de la forme $diag(J_(n_1), \dots, J_(n_r))$ , où $r$ est un entier $⩾ 1$ et $n_1, \dots, n_r$ sont des entiers tels que $1 ⩽ n_1 ⩽ \dots ⩽ n_r$ et $n_1 + \dots + n_r = n$ .
- a)Dans le cas où $r = 4$ , et $(n_1, n_2, n_3, n_4) = (3, 4, 4, 4), A$ admet-elle une racine carrée?
- b)Dans le cas où $r = 4$ , et $(n_1, n_2, n_3, n_4) = (3, 4, 4, 6), A$ admet-elle une racine carrée?
- c)Dans le cas où $r = 5$ , et $(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5) = (1, 1, 1, 3, 3)$ , $A$ admet-elle une racine carrée?
- d)Décrire brièvement, en langage naturel, un algorithme permettant de déterminer si la matrice $A$ admet une racine carrée à partir de la donnée de la suite ordonnée $n_1, \dots, n_r$ .

Exercice 2

Soit F un corps.

1.Déterminer le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de la matrice $J_n$ . Que vaut l'indice de nilpotence $d(J_n)$ ?

2.Soit $r$ un entier naturel $⩾ 1$ . Soit $n_1, \dots, n_r$ une famille de $r$ entiers vérifiant $1 ⩽ n_1 ⩽ \dots ⩽ n_r$ et $n_1 + \dots + n_r = n$ . Démontrer que $d(diag(J_(n_1), \dots, J_(n_r))) = n_r$ .
3.Soit $N$ dans $N_n(F)$ .
- a)Démontrer que $μ_N = X^(d(N))$ .
- b)Déterminer la dimension de $F[N]$ .
4.Soit $N$ dans $N_n(F)$ . Démontrer que $I_n + N$ est une matrice inversible.

On suppose jusqu'à la fin de cette partie que

car(F) \neq 2

5.Soit $N$ dans $N_n(F)$ .
- a)Démontrer que $2N + N^2$ est une matrice nilpotente telle que $d(2N + N^2) = d(N)$ .
- b)Démontrer l'égalité $F[2N + N^2] = F[N]$ . En déduire que $N$ est un polynôme en $2N + N^2$ .
6.On considère l'application
$φ : N_n(F), \to, N_n(F); N, \mapsto, 2N + N^2$
- a)Démontrer que l'application $φ$ est une injection de $N_n(F)$ dans lui-même.
- b)Soit $N$ dans $N_n(F)$ d'indice $d(N) = n$ . Démontrer que $2N + N^2 \sim J_n$ .
- c)En déduire que $φ$ est une bijection de $N_n(F)$ dans lui-même.
7.En déduire que l'application qui envoie une matrice sur son carré ( $U \mapsto U^2$ ) définit une bijection de $U_n(F)$ dans lui-même.
8.Dans cette question uniquement, F est le corps des nombres complexes C.
- a)Soit $M$ une matrice dans $GL_n(C)$ . On suppose $M$ diagonalisable. Démontrer qu'il existe une matrice $P$ dans $GL_n(C)$ telle que $M = P^2$ .
- b)Démontrer que l'application qui envoie une matrice sur son carré $(P \mapsto P^2)$ définit une surjection de $GL_n(C)$ sur lui-même. Est-elle injective ? Indication : on pourra utiliser la décomposition de Dunford.
9.L'application qui envoie une matrice sur son carré $(P \mapsto P^2)$ définit-elle une surjection de $GL_n(R)$ sur lui-même?

Exercice 3

Soit

p

un nombre premier.
On rappelle que, si k est un corps de caractéristique

p

, on a l'identité remarquable :

(X + Y)^p = X^p + Y^p

dans l'algèbre des polynômes à coefficients dans k en deux variables

X

Y

.
Dans cet exercice, K désigne un corps algébriquement clos qui contient le corps

F_p

. Pour

x

dans K, on pose

φ_p(x) = x^p

Justifier que K est un corps de caractéristique $p$ .

On rappelle alors que

φ_p

est un morphisme du corps K, appelé morphisme de Frobenius.
Pour tout entier

k ⩾ 1

, on note

φ_p^k

k

-ième itéré de

φ_p

, défini par récurrence sur

k

φ_p^1 = φ_p et si k ⩾ 2, φ_p^k = φ_p^(k - 1) \circ φ_p.

Démontrer que $φ_p$ est un automorphisme du corps $K$ .
Démontrer que pour tout entier $k ⩾ 1$ , on a :

\forallx \in K, φ_p^k(x) = x^(p^k)

Soit

k

un entier

⩾ 1

. On pose

q = p^k

φ_q = φ_p^k

. Soit

L = {x ∈ K, φ_q(x) = x}

.
4. Démontrer que

L

est de cardinal inférieur ou égal à

q

.
5. Démontrer que

L

est de cardinal exactement

q

.
6. Démontrer que

L

est le seul sous-corps de

K

de cardinal

q

On désigne alors par

F_q

le corps

L

, c'est-à-dire l'unique sous-corps de

K

de cardinal

q

.
7. Démontrer que

φ_q(F_(q^2)) \subset F_(q^2)

puis que

F_q = {x ∈ F_(q^2), φ_q(x) = x}

Exercice 4

Soit

p

un nombre premier. Un groupe dont l'ordre est une puissance de

p

est appelé un

p

groupe. Si

G

est un groupe, un sous-groupe de

G

dont l'ordre est une puissance de

p

est appelé un

p

-sous-groupe de

G

Soit $α$ un entier $⩾ 1$ et soit $H$ un $p$ -sous-groupe de $GL_n(F_p)$ d'ordre $p^α$ .

a)Démontrer que tout élément $x$ de $H$ vérifie $x^(p^α) = I_n$ .
b)En déduire que $H \subset U_n(F_p)$ .

Soit $H$ un sous-groupe de $GL_n(F_p)$ contenu dans $U_n(F_p)$ .

a)Démontrer qu'il existe un entier $α > 0$ tel que tout élément $x$ de $H$ vérifie $x^(p^α) = I_n$ . Indication : on pourra considérer $α$ tel que $p^α ⩾ n$ .
b)En déduire que $H$ est un $p$ -groupe. Indication : On pourra utiliser le théorème de Cachy rappelé en préambule du sujet.

Soit $G$ un groupe fini. On désigne par $r$ son ordre.

a)Démontrer que $G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique $𝔖_r$ .
b)En déduire que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_r(F_p)$ .

Soit $G$ un groupe fini. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) $G$ est un $p$ -groupe.
(ii)Il existe $r$ dans $N∖{0}$ tel que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_r(F_p)$ contenu dans $U_r(F_p)$ .

Problème

Notations, vocabulaire et rappels

Soit

G

un groupe.
On définit le centre de

G

, noté

Z(G)

par

Z(G) = {g \in G, \forallx \in G, gx = xg}

.
Pour tout

(g, h)

dans

G^2

, on définit le commutateur de

g

h

, noté

[g, h]

, en posant

[g, h] = ghg^(- 1)h^(- 1)

.
On définit alors le sous-groupe dérivé de

G

, noté

D(G)

, comme le sous-groupe de

G

engendré par tous ses commutateurs.
On admet que

Z(G)

D(G)

sont des sous-groupes distingués de

G

.
On note

Gˆ

le groupe multiplicatif des morphismes de groupes de

G

dans

C^*

.
On note

Aut(G)

le groupe des automorphismes de

G

, c'est-à-dire des morphismes bijectifs de

G

dans lui-même. Le morphisme identité, noté

Id_G

, en est l'élément neutre.
Pour

g

un élément de

G

H

un sous-groupe de

G

, on note

HgH

l'ensemble

{h_1 gh_2, (h_1, h_2) ∈ H^2}

Soit

G

un groupe fini et soit

V

un C-espace vectoriel de dimension finie.
On rappelle que

(π, V)

est une représentation de

G

π : G \to GL_C(V)

est un morphisme de groupe.
On rappelle qu'une représentation

(π, V)

G

est irréductible si

V \neq {0}

et si les seuls sousespaces de

V

stables par

π(g)

pour tout

g

dans

G

sont {0} et

V

.
Si

H

est un sous-groupe de

G

, on note

V^H

le sous-espace vectoriel des éléments de

V

fixés par

H

pour l'action de

G

sur

V

, c'est-à-dire :

V^H = {x ∈ V, ∀h ∈ H, π(h)(x) = x}.

On dit que deux représentations

(π, V)

(π^', V^')

G

sont isomorphes s'il existe un isomorphisme

u

V

dans

V^'

tel que pour tout

g

dans

G, u \circ π(g) \circ u^(- 1) = π^'(g)

.
On note

C[G]

C

-espace vectoriel des fonctions de

G

dans

C

: il a pour dimension l'ordre de

G

et pour base canonique

(δ_g)_(g \in G)

, où, pour

g

dans

G, δ_g

est la fonction qui à

x

dans

G

associe 1 si

x = g

et 0 sinon.
Soit

F

un corps. Pour

x, y

z

dans

F

, on pose

h(x, y, z) = (1, x, z; 0, 1, y; 0, 0, 1) \in M_3(F)

, et :

H_3(F) = {h(x, y, z), (x, y, z) ∈ F^3}.

Partie I

On admet que, pour tout

(x, y, z, x^', y^', z^')

dans

F^6

, on a

h(x, y, z)h(x^', y^', z^') = h(x + x^', y + y^', z + z^' + xy^').

Pour tout $(x, y, z)$ dans $F^3$ , justifier que $h(x, y, z)$ est inversible et déterminer son inverse.

On admet que

H_3(F)

est un sous-groupe de

GL_3(F)

2.Soit $(x, y, z)$ dans $F^3$ .
- a)Pour tout entier naturel $n$ , justifier l'égalité :
  $h(x, y, z)^n = h(nx, ny, nz + (n(n - 1))/2xy).$
- b)Soit $p$ un nombre premier impair. On suppose dans cette question que F est un corps de caractéristique $p$ . Justifier que $h(x, y, z)$ est d'ordre 1 ou $p$ .
- c)Dans le cas où F est un corps de caractéristique 2,
  - i.Quels sont les ordres des éléments de $H_3(F)$ ?
  - ii.Dans le cas où F est de plus un corps fini de cardinal $q$ , expliciter le nombre d'éléments d'ordre 2.
3.Justifier la relation $[h(x, y, z), h(x^', y^', z^')] = h(0, 0, xy^' - yx^')$ pour $(x, y, z, x^', y^', z^')$ dans $F^6$ .
4.En déduire que $Z(H_3(F)) = D(H_3(F)) = {h(0, 0, z), z ∈ F}$ .

On note

Ab(H_3(F))

le quotient

H_3(F)/D(H_3(F))

5.En considérant l'application
$H_3(F), \to, F^2; h(x, y, z), \mapsto, (x/y)$
démontrer qu'il existe un isomorphisme entre les groupes $Ab(H_3(F))$ et $(F^2, +)$ .
6.Soient $ψ_1$ et $ψ_2$ dans $(F, +)ˆ$ . Soit $ψ_1 \otimes ψ_2$ l'application de $F^2$ dans $C^*$ définie par :
$\forall(x, y) \in F^2, ψ_1 \otimes ψ_2(x/y) = ψ_1(x)ψ_2(y).$
- a)Justifier que $ψ_1 \otimes ψ_2$ est un morphisme de groupes.
- b)Soit $j$ l'application définie par :
  $j :, (F, +)ˆ^2 \to (F^2, +)ˆ; (ψ_1, ψ_2) \mapsto ψ_1 \otimes ψ_2$
  Démontrer que $j$ est un isomorphisme entre les groupes $(F, +)ˆ^2$ et $(F^2, +)ˆ$ .
7.Exhiber un isomorphisme de groupe entre $H_3(F)ˆ$ et $Ab(H_3(F))ˆ$ , et déterminer enfin un isomorphisme explicite entre $H_3(F)ˆ$ et $(F, +)ˆ^2$ .

Soit

p

un nombre premier et soit

k

un entier

\geq 1

. On pose

q = p^k

. On reprend les notations de l'exercice 3.

8.Démontrer que $(F_p, +)$ et $(F_p, +)ˆ$ sont isomorphes.
9.Démontrer que $(F_q, +)$ et $(F_p^k, +)$ sont isomorphes.
10.En déduire l'ordre de $H_3(F_q)ˆ$ .

Partie II

Soient

G

un groupe fini et

σ

dans

Aut(G)

. On suppose que

σ

est une involution, c'est à dire que

σ^2 = Id_G

. On note

τ : G \to G

l'application définie par

τ(g) = σ(g)^(- 1)

. On pose

G^+ = {g ∈ G, σ(g) = g} et G^− = {g ∈ G, σ(g) = g^(− 1)}.

Démontrer que $G^+$ est un sous-groupe de $G$ .

On suppose désormais que

G

est d'ordre impair. On considère l'application

Φ : G, \to G; x, \mapsto x^2

a) Soit $x$ dans $G$ . Démontrer qu'il existe $y$ dans $G$ tel que $x = y^2$ .

Indication : on pourra considérer

x^(|G| + 1)

où

|G|

désigne l'ordre de

G

.
b) Démontrer que

Φ

est une bijection de

G

dans lui-même.
13. Démontrer que l'application

Φ

induit deux bijections, de

G^+

dans

G^+

et de

G^-

dans

G^-

respectivement.

On introduit l'application

m : G^- \times G^+ \to G

définie par

m(x^-, x^+) = x^-x^+.

Démontrer que l'application $m$ est bijective.
Démontrer que pour tout $g$ dans $G$ , on a : $τ(G^+gG^+) = G^+τ(g)G^+ = G^+gG^+$ .

Partie III

Soit

G

un groupe fini d'élément neutre

e

. Pour

f

f^'

dans

C[G]

g

dans

G

, on définit :

f*f^'(g) = \sum_(x \in G)f(x)f^'(x^(- 1)g).

Ainsi

f*f^' \in C[G]

et la quantité

f*f^'

est clairement linéaire en

f

f^'

.
16. Démontrer que pour tout

(a, b)

dans

G^2

, on a :

δ_a*δ_b = δ_(ab)

.
17. On admet que

(C[G], *)

est une C -algèbre. Démontrer que

δ_e

en est l'unité.

Soit (

π, V

) une représentation de

G

. On définit une application

π˜

C[G]

dans

End_C(V)

en posant pour tout

f

dans

C[G]

π˜(f) = \sum_(g \in G)f(g)π(g) \in End_C(V).

Démontrer que $π˜$ est un morphisme d'algèbres.

Partie IV

Pour

G

un groupe fini, on considère

σ, G^+

τ

comme dans la partie II. Pour

f

dans

C[G]

, on note

τ˜(f)

l'application

f \circ τ

. On note

C[G^+∖G/G^+]

le sous-espace vectoriel de

C[G]

défini par :

C[G^+∖G/G^+] = {f ∈ C[G], ∀(x, y) ∈ (G^+)^2, ∀g ∈ G, f(xgy) = f(g)}.

Une représentation

(π, V)

G

, est dite distinguée si

V^(G^+) ≠ {0}

19.Démontrer que pour deux représentations isomorphes de $G, (π^', V^')$ et $(π, V)$ , on a : $dim(V^('G^+)) = dim(V^(G^+))$ .

En particulier la propriété d'être distinguée ne dépend que de la classe d'isomorphisme d'une représentation.

20.Démontrer que pour tous $f, f^'$ dans $C[G]$ , on a $: τ~(f*f^') = τ~(f^')*τ~(f)$ .
21.Démontrer que $C[G^+∖G/G^+]$ est stable par *.

On suppose désormais

G

d'ordre impair.

22.Démontrer que pour tout $f$ dans $C[G^+∖G/G^+]$ , on a : $τ~(f) = f$ .
23.En déduire que les éléments de $C[G^+∖G/G^+]$ commutent pour la loi $*$ , puis que $π˜(C[G^+∖G/G^+])$ est une famille commutative dans $End_C(V)$ .
24.Démontrer que, pour tout $f$ dans $C[G^+∖G/G^+], V^(G^+)$ est stable par $π˜(f)$ .

On note, dans toute la suite de cette partie,

F \subset End_C(V^(G^+))

l'espace vectoriel des endomorphismes induits par les éléments de

π˜(C[G^+∖G/G^+])

sur

V^(G^+)

25.Soit $u$ dans $F$ et soit $λ$ dans C une valeur propre de $u$ . Démontrer que le sous-espace propre $Ker(u - λId_(V^(G^+)))$ est stable par tous les éléments de $F$ .

On suppose désormais

(π, V)

irréductible et distinguée.

26.Démontrer que pour tout $v$ dans $V∖{0}$ , pour tout $w$ dans $V$ , il existe $f$ dans $C[G]$ telle que $π˜(f)(v) = w$ .
27.En déduire que pour tout $v$ dans $V^(G^+)∖{0}$ , pour tout $w$ dans $V^(G^+)$ , il existe $f$ dans $C[G^+∖G/G^+]$ telle que $π˜(f)(v) = w$ .
28.Démontrer que $F$ ne contient que des homothéties puis que $dim(V^(G^+)) = 1$ .

On vient donc de démontrer que si

G

est d'ordre impair, et que (

π, V

) est une représentation irréductible distinguée de

G

, alors

dim(V^(G^+)) = 1

Partie V

Soient

p

un nombre premier et

k

un entier

\geq 1

. On pose

q = p^k

. On reprend les notations de l'exercice 3.

29.Quelles sont les représentations de dimension 1 de $H_3(F_q)$ à isomorphisme près ? Combien y en a-t-il?

Soit

ψ

dans

(F_q, +)ˆ

. On suppose

ψ

n'est pas constant égal à 1 . Pour

f

dans

C[F_q]

h(x_0, y_0, z_0)

dans

H_3(F_q)

, on définit

ρ_ψ(h(x_0, y_0, z_0))f

dans

C[F_q]

par :

ρ_ψ(h(x_0, y_0, z_0))f : x \mapsto ψ(z_0 + xy_0)f(x + x_0).

On admet que l'application

ρ_ψ(h(x_0, y_0, z_0)) : f \mapsto ρ_ψ(h(x_0, y_0, z_0))f

est un endomorphisme de

C[F_q]

; ainsi,

ρ_ψ

définit une application de

H_3(F_q)

dans

End_C(C[F_q])

30.Démontrer que ( $ρ_ψ, C[F_q]$ ) est une représentation de $H_3(F_q)$ .
31.Démontrer que, pour tout $x$ dans $F_q, 1/q\sum_(y \in F_q)ψ(xy) = δ_0(x)$ .
32.Démontrer que tout sous-espace vectoriel non réduit à ${0}$ de $C[F_q]$ et stable par $ρ_ψ(h(x_0, y_0, z_0))$ , pour tout $(x_0, y_0, z_0)$ dans $F_q^3$ , contient $δ_0$ .
33.En déduire que ( $ρ_ψ, C[F_q]$ ) est une représentation irréductible.
34.Démontrer que, pour tous $ψ$ et $ψ^'$ , deux éléments distincts et non constants à 1 de $(F_q, +)ˆ$ , les représentations ( $ρ_ψ, C[F_q]$ ) et ( $ρ_(ψ^'), C[F_q]$ ) ne sont pas isomorphes (on pourra s'intéresser à l'action de $Z(H_3(F_q))$ sur les représentations en question).
35.Quelle est la dimension de ( $ρ_ψ, C[F_q]$ )?
36.En déduire toutes les classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de $H_3(F_q)$ .

Partie VI

On reprend les notations de l'exercice 3. On note

s

la restriction de

φ_q

F_(q^2)

. On pose

G = H_3(F_(q^2))

et on définit l'application

σ : G \to G

par :

\forall(x, y, z) \in F_(q^2), σ(h(x, y, z)) = h(s(x), s(y), s(z)).

37.Démontrer que $σ$ est un élément d'ordre 2 de $Aut(G)$ .
38.Justifier que le sous-groupe $G^+$ , défini en partie II, est égal à $H_3(F_q)$ .
39.Déterminer les représentations de dimension 1 distinguées de $G$ à isomorphisme près. Combien y en a-t-il?

Soit

ψ

un élément de

(F_(q^2), +)ˆ

, dont on suppose qu'il n'est pas constant égal à 1 . On dispose d'après la partie V d'une représentation

(ρ_ψ, C[F_(q^2)])

associée à

ψ

40.Démontrer que la représentation ( $ρ_ψ, C[F_(q^2)]$ ) est distinguée si et seulement si, pour tout $x$ dans $F_q, ψ(x) = 1$ .

On suppose désormais que la représentation

(ρ_ψ, C[F_(q^2)])

est distinguée.

41.Démontrer que pour tout $x$ dans $F_(q^2)∖F_q$ , il existe $(z_0, y_0)$ dans $F_q^2$ tel que $ψ(z_0 + xy_0) \neq 1$ .
42.En déduire que pour cette représentation, on a : $dim(C[F_(q^2)]^(G^+)) = 1$ , même si $p = 2$ .
43.Expliciter une bijection naturelle entre les classes d'isomorphisme de représentations irréductibles de $G^+$ et celles des représentations irréductibles distinguées de $G$ .

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Concours E|A|E

Section/option 1/3/0/0/A

Epreuve 1|0|1

Matière 0|3|7|6

Questions fréquentes

4 questions

Quel était le sujet de mathématiques générales de l'agrégation externe de maths 2022 ?

Quatre exercices d'algèbre (racines carrées de matrices, matrices unipotentes, corps finis, p-groupes) puis un problème sur les représentations irréductibles du groupe d'Heisenberg sur un corps fini.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées à l'épreuve de maths générales de l'agrégation 2022 ?

Réciproques oubliées, commutativité non vérifiée avant d'utiliser le binôme ou des factorisations, noyau utilisé pour une application qui n'est pas un morphisme et récurrences mal formalisées.

Quelle part du problème de l'agrégation externe de maths 2022 a été traitée ?

Environ trois quarts des copies ont abordé la première partie, un tiers la deuxième, un cinquième la troisième ; la quatrième a été très peu abordée et les deux dernières quasiment pas.

Qu'est-ce qui a départagé les candidats à l'écrit de l'agrégation de maths 2022 ?

Selon le jury, c'est davantage le volume traité que la technicité, avec une attention particulière portée à la qualité de la rédaction.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2022, épreuve 1

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