CAPES mathématiques externe 2022, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Concours externe - Troisième concours CAPES / CAPES-CAFEP

Première épreuve écrite disciplinaire

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES de l'enseignement public
• Section MATHEMATIQUES - EXTERNE - public

• Section MATHEMATIQUES - TROISIEME CONCOURS - public

• Section : LANGUES REGIONALES Option BRETON - public

• Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé

• -Section MATHEMATIQUES - EXTERNE - privé
  
  Concours E|B|F
  
  Section/option 1/3/O/O/E
  
  Epreuve 1|0|1
  
  Matière 9|3/9/0
• -Section MATHEMATIQUES - TROISIEME CONCOURS - privé
  
  Concours E|B|W
  
  Section/option 1/3/0/01E
  
  Epreuve 1|0|1
  
  Matière 9/3/9/0
• -Section : LANGUES REGIONALES Option BRETON - privé
  
  Concours E|B|F
  
  Section/option 0|4|4|1|E
  
  Epreuve 1|0|2
  
  Matière 9/3/9/0

Problème n° 1 : VRAI - FAUX

I. Ensembles de nombres

• 1.Tout entier relatif non nul possède un inverse dans ℤ pour la multiplication.
• 2.La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
• 3. 1/3 est un nombre décimal.
• 4. √5 est un nombre irrationnel.
• 5.Pour tout n dans ℕ, √n est un nombre irrationnel.
• 6.La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
• 7.La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

II. Géométrie dans le plan

• 8.Dans un plan muni d'un repère cartésien, 2x = 3 est l'équation d'une droite.
• 9.Dans un plan euclidien muni d'un repère orthonomé, on considère les points A(1, 1), B(− 1, 2), C(1, − 1), D(4, 5).
  Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
• 10.Dans un plan euclidien, on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 4. Soit le point D tel que AD^(→−) = 1/2AC^(→−) + AB^(→−). Alors AD^(→−) ⋅ AC^(→−) = 20.

III. Géométrie dans l'espace

• 11.Si deux droites D et D^′ sont parallèles à un même plan P, alors D est parallèle à D^′.
• 12. 2x + 3y = 3 est l'équation d'une droite.
• 13.La droite Δ définie par le système d'équations {x + 2y + z = 2; x + y − z = 0
  • a.passe par le point A de coordonnées (1, 0, 1),
  • b.a comme vecteur directeur le vecteur u⃗ de coordonnées (1; 2; 1).
  • c.est contenue dans le plan P d'équation 3x + 4y − z = 2.

IV. Matrices

• 14.Les matrices (1, 1; 1, 1) et (1, 2; 1, 2) ont le même rang.
• 15.Les matrices (1, 1; 1, 1) et (1, 2; 1, 2) sont semblables.
• 16.La matrice (1, 1; 0, 1) est diagonalisable.
• 17.La matrice (1, 1; 0, 2) est diagonalisable.

V. Suites

• 18.Si elle est décroissante et minorée par 0 alors elle converge vers 0.
• 19.Si (u_(2n))_n et (u_(2n + 1))_n convergent alors (u_n)_n converge.

VI. Probabilités

• 20.La probabilité qu'il ait cinq réponses correctes est égale à 1/(32).
• 21.La probabilité qu'il ait exactement trois réponses correctes est égale à (10)/(32).
• 22.Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque mauvaise réponse aucun. La note moyenne à laquelle il peut prétendre est 2,5 sur 5.

VII. Arithmétique

• 23.Si trois nombres entiers relatifs a, b, c sont tels que a et b divisent c, alors ab divise c.
• 24.Si trois nombres entiers relatifs a, b, c sont tels que a divise b et c, alors bc est un multiple de a.
• 25. 19x ≡ 3[53] admet des solutions dans ℤ.

Problème n° 2 : convexité

I. Préliminaires

• 1.Traduire à l'aide de quantificateurs que f est croissante sur I.
• 2.Traduire à l'aide de quantificateurs que f n'est pas croissante sur I.
• 3.Traduire à l'aide de quantificateurs que f est une fonction affine sur I.
• 4.Traduire à l'aide de quantificateurs que f est continue en un point a de I.

II. Quelques propriétés et exemples

• 5.Écrire une inégalité, analogue à (★), caractérisant une fonction concave sur I.
• 6.Caractérisation graphique de la convexité.
  • a.Soit (x, y) ∈ I^2 tel que x < y. Démontrer que z ∈ [x; y] si et seulement si il existe λ ∈ [0; 1] tel que z = λx + (1 − λ)y.
  • b.Sans démonstration, illustrer l'inégalité de convexité (★) par une figure.
• 7.Opérations et convexité.
  • a.Soient f et g des fonctions convexes sur I. Démontrer que f + g est convexe sur I.
  • b.Soient f une fonction convexe sur I à valeurs dans J et g une fonction convexe et croissante sur J. Démontrer que g ∘ f est convexe sur I.
  • c.Sans démonstration, énoncer une propriété du même type qui permettrait de conclure que g ∘ f est concave.

• 8.Quelques exemples.
  L'étude des exemples qui suivent prendra appui sur la définition de la convexité et sur les résultats précédemment démontrés.
  • a.Démontrer que la fonction valeur absolue est convexe sur ℝ.
  • b.Démontrer que la fonction f : x ⟼ x^2 est convexe sur ℝ.
  • c.On cherche à démontrer que la fonction ln est concave sur ℝ_+^∗.
    Soit (x, y) ∈ (ℝ_+^∗)^2 tel que x < y. On considère la fonction g définie sur [0;1] par
    ∀t ∈ [0; 1], g(t) = ln(tx + (1 − t)y) − tln(x) − (1 − t)ln(y).
    • i.Étudier la monotonie de la fonction g^′, dérivée de g, sur [0; 1].
    • ii.Démontrer que :
      1/y ⩽ (ln(x) − ln(y))/(x − y) ⩽ 1/x.
    • iii.En déduire le signe de g^′(0) et de g^′(1).
    • iv.Déduire des questions précédentes que g ' s'annule une unique fois sur [0; 1].
    • v.Déterminer le signe de g sur [0; 1] et conclure.
• 9.Généralisation de l'inégalité de convexité.
  Soit f une fonction convexe sur I.
  Démontrer que pour tous n ∈ ℕ^∗, (x_1, x_2, …, x_n) ∈ I^n et (λ_1, λ_2, …, λ_n) ∈ (ℝ_+)^n tels que ∑_(k = 1)^n λ_k = 1, on a
  ∑_(k = 1)^n λ_k x_k ∈ I
  et
  f(∑_(k = 1)^n λ_k x_k) ⩽ ∑_(k = 1)^n λ_k f(x_k).
• 10.Deux applications.
  • a.À l'aide de la concavité de ln, démontrer que pour tout (a, b, c) ∈ (ℝ_+^∗)^3, on a
    3√(abc) ⩽ (a + b + c)/3.
  • b.Démontrer que ln ∘ ln est concave sur ]1, + ∞[.
    En déduire que pour tout (x, y) ∈ (]1, + ∞[)^2, on a
    ln((x + y)/2) ⩾ √(ln(x)ln(y)).

III. Inégalités des trois pentes et conséquences

• 11.a. On suppose dans cette question que la fonction f est convexe sur I.
  Soient a ∈ I et (t, u) ∈ (I∖{a})^2 tel que t < u.
  • i.On suppose que t < u < a. D'après la question 6.a., on sait qu'il existe λ ∈ ]0; 1[ tel que u = λt + (1 − λ)a.
    Démontrer que f(u) − f(a) ⩽ λ(f(t) − f(a)) puis que Δ_a(t) ⩽ Δ_a(u).
  • ii.On admet que cette dernière inégalité reste vraie pour a < t < u et pour t < a < u. Que peut-on en déduire pour Δ_a ?
• b.On suppose dans cette question que, pour tout a ∈ I, Δ_a est croissante sur I∖{a}. Soient (x, y) ∈ I^2 tel que x < y et λ ∈ [0; 1[.
  • • i.Démontrer que Δ_x(λx + (1 − λ)y) ⩽ Δ_x(y).
    • ii.En déduire que f est convexe sur I.
  • c.Donner une condition nécessaire et suffisante sur Δ_a pour que f soit convexe sur I.

• a.En utilisant la question 11, démontrer l'inégalité des trois pentes :
  (f(b) − f(a))/(b − a) ⩽ (f(c) − f(a))/(c − a) ⩽ (f(c) − f(b))/(c − b).
  • b.Illustrer cette inégalité par une figure.
• 13.a. Théorème de la limite monotone.
  Soit φ une fonction croissante sur l'intervalle ]a; b[ avec (a, b) ∈ ℝ^2 et a < b.
  • i.Démontrer que si φ est majorée alors elle admet une limite finie à gauche en b, égale à la borne supérieure de l'ensemble {φ(x); x ∈ ]a, b[}.
    • ii.Sans démonstration, que peut-on dire si φ est minorée?
  • b.Soit (a, b, c) ∈ I^3 tel que a < b < c.
    • i.En appliquant le théorème de la limite monotone à Δ_b, démontrer que f est dérivable à gauche et à droite en b et que
      (f(b) − f(a))/(b − a) ⩽ f_g^′(b) ⩽ f_d^′(b) ⩽ (f(c) − f(b))/(c − b)
    • ii.Montrer que f est continue en b.
  • c.Donner un exemple d'une fonction convexe et non continue sur un intervalle.

IV. Caractérisation des fonctions convexes dérivables

• 14.Dans cette question, on suppose f convexe sur I.
  • a.Montrer que pour tout (a, b) ∈ I^2 tel que a < b, on a
    f^′(a) ⩽ (f(b) − f(a))/(b − a) ⩽ f^′(b),
    et en déduire que f^′ est croissante.
  • b.Justifier que la courbe représentative de f est au-dessus de toutes ses tangentes.
• 15.Dans cette question, on suppose f^′ croissante sur I.
  Soit (x, y) ∈ I tel que x < y. On considère la fonction φ définie sur [0; 1] par
  ∀t ∈ [0; 1], φ(t) = tf(x) + (1 − t)f(y) − f(tx + (1 − t)y).
  • a.Démontrer que φ est dérivable sur I et déterminer sa dérivée φ^′.
  • b.En utilisant le théorème des accroissements finis pour f entre x et y, démontrer qu'il existe γ ∈ ]0; 1[ tel que pour tout t ∈ [0; 1],
    φ^′(t) = (x − y)(f^′(γx + (1 − γ)y) − f^′(tx + (1 − t)y)).
  • c.En déduire les variations de φ.
  • d.En déduire que la fonction f est convexe sur I.
• 16.Démontrer qu'une fonction f deux fois dérivable sur I est convexe sur I si et seulement si f^(′′) est positive sur I.

V. Différentes inégalités

• 17.Soit f : ℝ_+^∗ ⟶ ℝ une fonction concave.
  On définit la fonction ψ : {(ℝ_+^∗)^2, ⟶, ℝ; (x, y), ⟼, yf(x/y)
  • a.Démontrer que pour tout (x_1, x_2, y_1, y_2) ∈ (ℝ_+^∗)^4, on a
    ψ(x_1, y_1) + ψ(x_2, y_2) ⩽ ψ(x_1 + x_2, y_1 + y_2).
  • b.En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout (x_1, …, x_n, y_1, …, y_n) ∈ (ℝ_+^∗)^(2n), on a
    ∑_(k = 1)^n ψ(x_k, y_k) ⩽ ψ(∑_(k = 1)^n x_k, ∑_(k = 1)^n y_k)
• 18.Application.
  Soient p, q ∈ ]1; + ∞[ tels que 1/p + 1/q = 1.
  Dans cette question, f : t ⟼ t^(1/p)
  • a.Démontrer que f est concave sur ℝ_+^∗.
  • b.Soient n ∈ ℕ^∗ et (a_1, …, a_n, b_1, …, b_n) ∈ (ℝ_+^∗)^(2n).
    En utilisant (★★), démontrer l'inégalité de Hölder :
    ∑_(k = 1)^n a_k b_k ⩽ (∑_(k = 1)^n a_k^p)^(1/p)(∑_(k = 1)^n b_k^q)^(1/q).