CAPES mathématiques externe 2023, épreuve 1Sujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES de l'enseignement public

• -Section : mathématiques - Externe
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
• -Section : mathématiques - Troisième concours
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|V 1/3/0/0/E 1|0/1 9/3/9/0
• -Section : langues régionales option breton
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 0|4|4|1|E 1/012 9/3/90

• Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé

• -Section : mathématiques - Externe
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 1/3/0/0/E 1|0/1 9/3/9/0
• -Section : mathématiques - Troisième concours
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|W 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
• -Section : langues régionales option breton
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 0|4|4|1|E 1/0/2 9/3/9/0

Problème n° 1 : VRAI - FAUX

• 1.Une fonction f définie sur ℝ n'est pas paire si, et seulement si, pour tout x dans ℝ, f(x) ≠ f(− x).
• 2.Soit une fonction f définie et continue sur [a; b] et à valeurs dans [a; b].
  L'équation f(x) = x admet au moins une solution dans l'intervalle [a; b].
• 3.Soient deux fonctions f et g définies et continues sur [a; b] et à valeurs dans ℝ.
  Si ∫_a^b f(x)dx > ∫_a^b g(x)dx, alors pour tout x ∈ [a; b], on a f(x) > g(x).
• 4.Si la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est nulle, alors la fonction est nulle sur cet intervalle.
• 5.Les solutions de l'équation différentielle y^(′′) − 3y^′ + 2y = 2 sont les fonctions
  x ⟼ kexp(2x) + 1
  où k désigne un nombre réel quelconque.
• 6.La négation de l'assertion « toute suite réelle majorée converge » est « il existe des suites réelles minorées qui ne convergent pas ».
• 7.Soit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_n = 1 − 1/7 + 1/(7^2) − … + 1/((− 7)^n).
  La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un nombre réel strictement plus grand que 1.

• 8.Un cycliste parcourt 40 km la semaine 0. Il décide que, chaque semaine, il parcourra 5km de plus que la distance parcourue lors de la semaine précédente.
  La fonction seuil présentée ci-dessous, écrite en langage Python, permet de déterminer le numéro de la semaine où la distance totale qu'il aura parcourue sera supérieure à un nombre n donné.

def seuil(n) :
    
k = 0
    
u = 40
    
S = 40
    while 
S < n :
        
k = k + 1
        
S = S + u + 5
    return k

II. Géométrie

• 9.Étant donnés trois points A, B et C du plan, la contraposée de l'assertion
  ABC est un triangle rectangle en A ⟹ AB^2 + AC^2 = BC^2
  est
  AB^2 + AC^2 = BC^2 ⟹ ABC est un triangle rectangle en A.
• 10.On se place dans un plan vectoriel P muni d'un produit scalaire noté ( . | . ) et d'une norme associée notée ‖. |. Soient x et y dans P tels que ‖x‖ = ‖y‖.
  Les vecteurs x + y et x − y sont orthogonaux.
• 11.On se place dans un plan vectoriel P muni d'un produit scalaire noté ( . | . ).
  Pour tous vecteurs x, y et z de P, on a (x|z) = (y|z) ⟹ x = y.
• 12.Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, on considère les points A(− 4, 1), B(3, 0) et C(5, 4).
  La médiatrice de [AC] a pour équation x + y = 3.
• 13.Dans le plan affine euclidien muni d'un repère cartésien orthonormé, l'ensemble des points d'affixe z tels que |z − 2| = |z + 1| est réduit au point d'affixe 1/2.
• 14.Dans le plan affine euclidien orienté muni d'un repère cartésien orthonormé direct d'origine O, on considère les points A et B d'affixes respectives √3 − i et √3 + i.
  L'angle orienté (OA^(→−), OB^(→−)) mesure π/3 modulo 2π.
• 15.Dans l'espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, le plan P d'équation x − 2y + 3z = − 5 et la droite D de représentation paramétrique {x = − 2 + t; y = − t; z = − 1 − t(t ∈ ℝ) sont perpendiculaires.

III. Matrices

• 16.La matrice (0, 1; 1, 0) est inversible et diagonalisable dans M_2(ℝ), espace des matrices à coefficients réels à 2 lignes et 2 colonnes.
• 17.Si A et B sont des matrices carrées à n lignes et n colonnes telles que AB = 0, alors A ou B n'est pas inversible.

IV. Pourcentages

• 18.En 2019, le prix du tabac a augmenté de 12%, en 2020 de 16%, en 2021 de 7%. L'augmentation du prix du tabac de 2019 à 2021 a été de 35%.
• 19.Armelle et Boris ne suivent pas les mêmes enseignements. La semaine 1, Armelle a réussi 50% des exercices qu'elle a traités et Boris 90% des exercices qu'il a traités. La semaine 2, Armelle a réussi 20% des exercices qu'elle a traités et Boris 40% des exercices qu'il a traités.
  Sur l'ensemble de la quinzaine, Boris a nécessairement réussi un plus grand pourcentage d'exercices traités qu'Armelle.

V. Arithmétique

• 20.Soit n un entier naturel.
  n^3 − n est pair.
• 21.Soient un entier relatif x et un entier naturel non nul n.
  Si x^2 ≡ 9[n] alors x ≡ 3[n] ou x ≡ − 3[n].

VI. Dénombrement

• 22.Le nombre de parties d'un ensemble à 10 éléments est égal à 100.
• 23.Étant donné un entier naturel n supérieur ou égal à 3 , on trace dans un plan n droites de sorte qu'il n'existe pas parmi elles deux droites parallèles ni trois droites concourantes. Le nombre de triangles ainsi obtenus est égal à (n(n − 1)(n − 2))/6.

VII. Probabilités

• 24.On choisit un numéro entre 1 et 6 . On lance un dé équilibré à 6 faces jusqu'à l'obtention du numéro choisi.
  La probabilité de devoir effectuer au moins 3 lancers pour obtenir le numéro choisi est (5^2)/(6^2).
• 25.Soient A et B deux événements de probabilité non nulle dans un espace probabilisé (Ω, A, ℙ).
  A et B sont indépendants si et seulement si A¯ et B¯ sont indépendants.

Problème n° 2 : équations fonctionnelles

I. Quelques résultats classiques

• 1.Dérivabilité
  Soient un intervalle I de ℝ, non vide et non réduit à un point, une fonction f : I ⟶ ℝ et un élément a de I.
  • a.Donner une définition de l'assertion «f est dérivable en a⟩.
  • b.On suppose que f est dérivable en a et on note f^′(a) le nombre dérivé de f en a. Démontrer que f admet un développement limité d'ordre 1 en a, qui est
    f(x) = f(a) + (x − a)f^′(a) + g(x)
    où g est une fonction négligeable devant x ↦ x − a en a. On pourra considérer la fonction ε : I ⟶ ℝ définie par ε(x) = (f(x) − f(a))/(x − a) − f^′(a) si x ≠ a et ε(a) = 0.
  • c.i. Démontrer que si f est dérivable en a alors f est continue en a.
    • ii.Donner, sans démonstration, un contre-exemple pour l'assertion réciproque.
  • d.Soit g : I ⟶ ℝ. Démontrer que si f et g sont dérivables en a alors fg l'est aussi. Expliciter (fg)^′(a).
  • e.Soient J un intervalle de ℝ tel que f(I) ⊂ J et une fonction g : J ⟶ ℝ. Démontrer que si f est dérivable en a et si g est dérivable en f(a), alors g ∘ f est dérivable en a. Expliciter (g ∘ f)^′(a).
• 2.La fonction logarithme népérien
  On appelle fonction logarithme népérien l'unique primitive de x ⟼ 1/x sur ℝ_+^∗ s'annulant en 1, on la note ln.
  Ainsi ln est dérivable sur ℝ_+^∗, on a ln′(x) = 1/x et ln(1) = 0.
  L'objectif de cette question 2. est de démontrer des propriétés élémentaires du logarithme népérien, dont la plupart figurent au programme de Terminale. À ce stade, ces propriétés sont supposées ne pas encore avoir été établies. De même, la fonction exponentielle de base e n'est pas supposée avoir été introduite et ne pourra être utilisée.
  • a.Démontrer que pour tout (x, y) ∈ (ℝ_+^∗)^2, on a ln(xy) = ln(x) + ln(y). On pourra considérer, pour y ∈ ℝ_+^∗ fixé, la fonction φ définie sur ℝ_+^∗ par
    φ(x) = ln(xy) − ln(x) − ln(y).
  • b.En déduire que, pour tout x ∈ ℝ_+^∗ et tout n ∈ ℕ^∗, on a ln(x^n) = nln(x) et ln(1/x) = − ln(x).

• c.Le but de cette question est de déterminer toutes les fonctions g : ℝ_+^∗ ⟶ ℝ dérivables sur ℝ_+^∗ telles que, pour tout (x, y) ∈ (ℝ_+^∗)^2, on a g(xy) = g(x) + g(y). Soit g une telle fonction.
  • i.Déterminer g(1).
  • ii.Démontrer que, pour tout (x, y) ∈ (ℝ_+^∗)^2, on a g^′(xy) = (g^′(x))/y.
  • iii.En déduire qu'il existe une constante c ∈ ℝ telle que, pour tout y ∈ ℝ_+^∗, on a g^′(y) = c/y.
  • iv.Déterminer l'ensemble des fonctions g dérivables sur ℝ_+^∗ qui sont solutions de l'équation fonctionnelle g(xy) = g(x) + g(y).
• d.Démontrer que ln est strictement croissante sur ℝ_+^∗.
• e.Soit A ∈ ℝ. Après avoir vérifié qu'il existe n dans ℕ^∗ tel que n ⩾ A/(ln2), démontrer que, pour tout nombre réel x tel que x ⩾ 2^n, ln(x) ⩾ A.
• f.Expliciter les limites de ln en + ∞ et en 0^+.
• g.Démontrer que ln réalise une bijection de ℝ_+^∗ sur ℝ.
• h.Démontrer que pour tout (a, b) ∈ (ℝ_+^∗)^2, on a

II. Première équation fonctionnelle de Cauchy

• a.Déterminer f(0).
• b.Démontrer que f est une fonction impaire.
• c.Démontrer que, pour tout entier naturel n et tout nombre réel x, f(nx) = nf(x).
• d.En déduire que, pour tout nombre rationnel r et tout nombre réel x, f(rx) = rf(x).
• e.Démontrer qu'il existe un nombre réel a tel que, pour tout nombre rationnel r, f(r) = ar.

4. Première méthode

• a.Après avoir justifié l'existence de ces intégrales, démontrer que, pour tout nombre réel x :
  f(x) = ∫_0^1 f(x + t)dt − ∫_0^1 f(t)dt

• • b.Démontrer que, pour tout nombre réel x :
    f(x) = ∫_x^(x + 1)f(t)dt − ∫_0^1 f(t)dt
  • c.Démontrer que f est dérivable sur ℝ et déterminer f^′.
  • d.Conclure.

III. Restriction des hypothèses

• 6.Continuité en un point

• • a.Démontrer que f est continue en 0.
  • b.Démontrer que f est continue sur ℝ.
  • c.Conclure.
• 7.Monotonie

• • a.Justifier qu'il existe deux suites (a_n)_(n ∈ ℕ) et (b_n)_(n ∈ ℕ) telles que :
    • i.pour tout entier naturel n, (a_n, b_n) ∈ ℚ^2.
    • ii. (a_n)_(n ∈ ℕ) est croissante et (b_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
    • iii. lim_(n → + ∞)a_n = lim_(n → + ∞)b_n = x_0.
  • b.Démontrer que f(x_0) = x_0 f(1).
  • c.Conclure.
• 8.Encadrement

• • a.Démontrer que, pour tout entier naturel n, il existe un nombre rationnel r_n tel que nx − r_n ∈ [α; β].
  • b.On pose f(1) = a. Démontrer que, pour tout entier naturel n :
    |f(nx − r_n)| ⩾ n|f(x) − ax| − |a||nx − r_n|.
  • c.Conclure.

IV. D'autres équations fonctionnelles

• 9.Deuxième équation fonctionnelle de Cauchy

• • a.Démontrer que f(0) = 1 ou que f est la fonction nulle sur ℝ.
  • b.On suppose maintenant que f n'est pas la fonction nulle sur ℝ.
    • i.Démontrer que pour tout nombre réel x, on a f(x) > 0.
    • ii.Pour tout réel x, on pose g(x) = ln(f(x)). Démontrer que, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, on a g(x + y) = g(x) + g(y).
    • iii.En déduire qu'il existe un nombre réel a tel que, pour tout nombre réel x, f(x) = exp(ax) (où exp désigne la fonction exponentielle réciproque de la fonction logarithme népérien étudiée dans la partie I) et conclure.

10. Équation fonctionnelle de Jensen

• • a.Exprimer la propriété vérifiée par les fonctions qui satisfont l'équation fonctionnelle de Jensen, à l'aide d'une phrase faisant intervenir la notion de moyenne.
  • b.Démontrer que
    ∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x + y) = f(x) + f(y) − f(0).
  • c.On pose f(0) = b. Pour tout nombre réel x, on pose g(x) = f(x) − b.
    Déterminer l'équation fonctionnelle vérifiée par g et résoudre l'équation fonctionnelle de Jensen.
• 11.On se propose de déterminer l'ensemble des fonctions f : ℝ_+^∗ ⟶ ℝ continues sur ℝ_+^∗ telles que
  ∀x ∈ ℝ_+^∗, f(x) = f((x^2 + 16)/(2x)).
  Soit f une telle fonction.
  • a.On considère les fonctions
    g :, ℝ_+^∗, ⟶, ℝ; x, ⟼, (x^2 + 16)/(2x)
    et
    h : ℝ_+^∗, ⟶ c; x, ⟼ R; ⟼ g(x) − x
  • i.Dresser le tableau des variations de g, déterminer g(4) et préciser les limites de g en 0^+et en + ∞.
  • ii.Étudier le signe de la fonction h sur ℝ_+^∗.
  • b.i. Soient x ∈ [4; + ∞[ et la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_0 = x et u_(n + 1) = (u_n^2 + 16)/(2u_n).
    À l'aide de la question a, démontrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est convergente et déterminer sa limite.
  • ii.En déduire que, pour tout x ∈ [4; + ∞[, on a f(x) = f(4).
• c.Procéder de manière analogue à la question b pour démontrer que, pour tout x appartenant à ]0; 4[, on a f(x) = f(4).
• d.Conclure.