Agrégation mathématiques externe 2023, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2023

Pas encore noté

Intégrales de Wallis et théorème de convergence dominée
Développements en série entière et holomorphie
Convergence uniforme sur tout compact
Transformation de Fourier
Distributions à support compact et théorème de Paley-Wiener

Explorer les annales

BanqueAgrégation Année2023 FilièreExterne MatièreMathématiques

Annales Agrégation Externe Mathématiques Agrégation Externe 2023 Externe Mathématiques Mathématiques 2023

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Difficile

Factorisation eulérienne du sinus, intégrales de Wallis et transformée de Fourier des distributions à support compact

Le problème part de la factorisation eulérienne du sinus et en propose une nouvelle preuve par passage à la limite d'une formule explicite faisant intervenir des intégrales de type Wallis. Il applique ensuite cette formule au caractère rationnel des valeurs de la fonction zêta en les entiers pairs, avant d'étudier, dans ses parties les plus avancées, deux théorèmes de type Paley-Wiener qui montrent que la transformation de Fourier réalise une bijection entre certains espaces de fonctions ou de distributions à support compact.

1Partie I : estimations sur des intégralesÉtablir des propriétés élémentaires des intégrales de type Wallis, notamment leur stricte positivité, à l'aide des formules de Taylor et du théorème de convergence dominée.
2Partie II : factorisation eulérienne partielle du sinusÉtablir une formule explicite reliant le produit partiel de la factorisation eulérienne du sinus à une intégrale, et étudier le passage à la limite.
3Partie III : application au caractère rationnel de valeurs de zêtaAppliquer la formule précédente pour montrer le caractère rationnel de sommes de type ζ(2ℓ)/π^(2ℓ).
4Partie IV : deux familles d'espaces vectorielsIntroduire brièvement les espaces de fonctions et de distributions utilisés dans la suite du problème.
5Parties V, VI et VII : théorèmes de type Paley-WienerDémontrer que la transformation de Fourier réalise une bijection entre des espaces de fonctions de classe C∞ à support compact (partie V), puis de distributions à support compact (parties VI et VII).

Difficile. Le sujet, divisé en sept parties, est décrit comme très long : seules les très bonnes copies ont abordé les cinq premières parties, moins de 10 % sont allées jusqu'à la partie VI, et la moyenne des admissibles n'est que de 7,75/20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,75 / 20 · écart-type 3,57 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,75/ 20
Écart-type: 3,57

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Formules de Taylor mal énoncées · Notation de Landau mal comprise · Positivité stricte démontrée trop lourdement

Le sujet, très long, n'exigeait pas d'être traité en totalité : les très bonnes copies ont abordé les cinq premières parties, une minorité est allée jusqu'à la partie VI et seule une dizaine de copies ont abordé la partie VII. Dans la grande majorité des cas, environ deux tiers des copies se sont limitées aux trois premières parties. Le jury souligne qu'une forte proportion de candidats a manqué de méthode pour une rédaction efficace, et que c'est davantage le volume abordé avec rigueur, plutôt que la seule technicité, qui a départagé les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formules de Taylor mal énoncéesQ1b
Les formules de Taylor sont régulièrement énoncées de manière erronée à la question 1b.
2
Notation de Landau mal compriseQ2
La notation de Landau n'est parfois pas comprise à la question 2 : un équivalent contenant un terme quadratique sans intérêt est confondu avec un développement limité réellement informatif.
3
Positivité stricte démontrée trop lourdementQ3, Q5
Pour montrer la stricte positivité d'une intégrale, certaines copies dépensent beaucoup d'énergie à le faire par récurrence sur n, alors qu'un argument de continuité, positivité et non-nullité suffit.
4
Inégalité triangulaire utilisée avant l'intégrabilitéQ7a
Il est illégitime d'essayer de majorer une intégrale par l'inégalité triangulaire avant d'avoir justifié son existence : il faut d'abord établir l'intégrabilité de la fonction.
5
Convergence uniforme confondue avec convergence simpleQ9c, Q9d, Q10
La convergence uniforme est parfois confondue avec la convergence simple, et la convergence uniforme sur tout compact de R n'implique pas la convergence uniforme sur R.
« parfois la convergence uniforme est confondue avec la convergence simple »
6
Affirmation fausse sur les zéros du sinusQ12
Un nombre très important de copies ont affirmé à tort que la fonction sinus ne s'annule pas sur l'intervalle considéré, alors que seule la fonction du produit partiel devait être étudiée.
« Un nombre très important de copies ont assuré que la fonction sin ne s’annule pas sur »

Ce qui a été bien réussi

La partie I, élémentaire, doit pouvoir être traitée au moins partiellement par tout candidat au concours.
D'excellentes copies ont donné des preuves plus expéditives de la stricte positivité de l'intégrale demandée en question 3.
Dans la grande majorité des copies, environ deux tiers, les trois premières parties ont été abordées.

Conseils du jury

Ne pas chercher à maximiser le volume traité au détriment de la rigueur : une rédaction complète et méthodique sur une partie limitée du sujet est plus payante.
Toujours énumérer et vérifier clairement les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, en particulier pour la convergence dominée ou l'interversion limite-intégrale.
Justifier l'intégrabilité d'une fonction avant d'utiliser l'inégalité triangulaire sur une intégrale.
Ne pas confondre convergence simple et convergence uniforme, ni convergence uniforme sur tout compact et convergence uniforme globale.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2023.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Liberté
Égalité
Fraternité

SESSION 2023

AGREGATION
Concours externe

Section
MATHÉMATIQUES

Composition d'analyse et probabilités

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Présentation du sujet

Le sujet est un problème qui comporte sept parties :

-La partie I étudie des estimations sur des intégrales utiles dans les parties II et III.
-La partie II a pour but principal d'établir la formule suivante que l'on peut qualifier de factorisation eulérienne partielle de la fonction sinus : pour tout $(n, z) \in ℕ^* \times ℂ$ on a
$sin(z) = z\prod_(k = 1)^n(1 - (z^2)/((πk)^2)) \times 1/(2W_(2n))\int_(- 1)^1 e^(- izx)cos^(2n)(π/2x)dx,$
où $(W_n)_(n ⩾ 1)$ désigne une suite d'intégrales particulières. On étudie également le passage à la limite $n \to + \infty$ .
-La partie III donne une application de la formule (1) au caractère rationnel des nombres $1/(π^(2ℓ))\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k^(2ℓ))$ pour tout $ℓ \in ℕ^*$ .
-La partie IV a pour objet d'étudier très brièvement deux familles d'espaces vectoriels qui seront utiles dans les parties suivantes.
-La parties V, VI et VII s'attellent à démontrer deux théorèmes qui montrent que la transformation de Fourier réalise une bijection entre certains espaces étudiés dans la partie IV. Le premier concerne les fonctions de classe $C^\infty$ sur $ℝ$ à support compact (partie V) et le second, plus général, concerne les distributions sur $ℝ$ à support compact (parties VI et VII). Ce dernier théorème explique a posteriori pourquoi l'intégrale du membre droit de la formule (1) est supportée sur [-1, 1].

La formule (1) sert de fil conducteur dans tout le sujet à partir de la question 8 et pourra être utilisée si besoin pour toute question ultérieure du sujet. Les différentes parties II, III, IV, V, VI et VII sont globalement indépendantes. Cependant, certaines questions du sujet ont des énoncés ou indications qui font mention de façon explicite à des questions antérieures (dont on pourra admettre les réponses).

Notations, vocabulaire et rappels

Rappel du principe des zéros isolés. Soit

F : U \to ℂ

une fonction holomorphe sur un ouvert connexe

U

ℂ

. Soit

z_0

dans

U

tel que

F(z_0) = 0

. Si

F

n'est pas identiquement nulle sur

U

alors il existe

ε > 0

vérifiant :

∀z ∈ U∖{z_0}, |z − z_0| < ε ⇒ F(z) ≠ 0.

Autrement dit, les zéros d'une fonction holomorphe non identiquement nulle sont isolés.
Rappel sur l'holomorphie et la convergence uniforme sur tout compact. Soit

(F_n)_(n \in ℕ)

une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert

U

ℂ

. Si la suite

(F_n)_(n \in ℕ)

converge uniformément sur tout compact de

U

vers une fonction

F : U \to ℂ

alors

F

est holomorphe sur

U

et la suite des dérivées

(F_n^')

converge uniformément sur tout compact vers

F^'

-Pour tout entier naturel $n$ , on note $W_n = \int_0^1 cos^n((πx)/2)dx$ .
-Pour tous $n$ dans $ℕ$ et $x$ dans $ℝ$ , on définit le nombre $ρ_n(x)$ comme suit
$x \in [ - 1, 1], \Rightarrow, ρ_n(x) = 1/(2W_(2n))cos^(2n)(π/2x); x \notin [ - 1, 1], \Rightarrow, ρ_n(x) = 0.$
En particulier, on a $ρ_0(x) = 1/21_([ - 1, 1])(x)$ et la formule $\int_ℝ ρ_n(x)dx = 1$ .
-Pour tout $z$ dans $ℂ$ , on note
$P_n(z) = z\prod_(k = 1)^n(1 - (z^2)/((πk)^2)) et ρˆ_n(z) = \int_ℝ e^(- izx)ρ_n(x)dx$
-Les parties IV, V, VI et VII font intervenir plusieurs familles de $ℂ$ -espaces vectoriels de fonctions à valeurs complexes (on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'espaces vectoriels) :
- -On note, pour un entier naturel $n$ ,
  $D^n(ℝ) = {f ∈ C^n(ℝ),, ∀x ∉ [ − 1, 1] f(x) = 0}, et,; D^∞(ℝ) = {f ∈ C^∞(ℝ),, ∀x ∉ [ − 1, 1] f(x) = 0}.$
- -On note $H(ℂ)$ l'espace vectoriel des fonctions holomorphes sur $ℂ$ .
- -Pour un entier relatif $N$ , on considère les sous-espaces vectoriels suivants :
  - - $H^N(ℂ) = {F ∈ H(ℂ), ∃C > 0 ∀z ∈ ℂ |F(z)| ⩽ C(1 + |z|)^(− N)e^(|Im(z)|)}$ ,
  - - $H^N(ℝ)$ désigne le sous-espace vectoriel des restrictions à $ℝ$ des fonctions de $H^N(ℂ)$ :
    $H^N(ℝ) = {F_(|ℝ), F ∈ H^N(ℂ)} avec {F_(|ℝ) : ℝ, → ℂ; ξ, ↦ F(ξ).$
- -On note
  $H^\infty(ℝ) = ⋂_(N \in ℤ)H^N(ℝ) et H^(- \infty)(ℝ) = ⋃_(N \in ℤ)H^N(ℝ).$

Partie I

1.a) Donner sans justification l'allure du graphe de la fonction $f : t \mapsto - ln(cos(t))$ sur $[0, π/2[$ .
1.b) Démontrer qu'il existe une constante $M > 0$ telle que, pour tout $t \in [0, π/2[$ , on a $f(t) ⩾ Mt^2$ . Indication : On pourra
- -ou bien appliquer une formule de Taylor à $f$ entre 0 et $t$ ;
- -ou bien justifier d'abord l'inégalité $inf_(1 < t < π/2)(f(t))/(t^2) ⩾ - 4/(π^2)ln(cos(1))$ puis étudier un prolongement continu de la fonction $t \in ]0, 1] \mapsto (f(t))/(t^2)$ à [0, 1].
2.Pour tout réel $y > 0$ , démontrer que l'on a $lim_(n \to + \infty)cos^n(y/(\sqrtn)) = e^(- y^2/2)$ .
3.Pour tout réel $α ⩾ 0$ , justifier que l'intégrale $I(α) = \int_0^(+ \infty)x^α e^(- (πx)^2/8) dx$ est bien définie et est un nombre strictement positif.
4.Démontrer que la suite de terme général $\int_0^(\sqrtn)x^α cos^n((πx)/(2\sqrtn))dx$ est convergente. Indication : on pourra introduire la notation $g_n(x) = x^α cos^n((πx)/(2\sqrtn))1_([0, \sqrtn])(x)$ .
5.Vérifier l'inégalité $W_n > 0$ pour tout $n \in ℕ$ et démontrer les deux équivalents
$\int_0^1 x^α cos^n((πx)/2)dx \sim _(n \to + \infty)(I(α))/(n^((1 + α)/2)) et 1/(W_n)\int_0^1 x^α cos^n((πx)/2)dx \sim _(n \to + \infty)(I(α))/(I(0)n^(α/2))$
où l'on rappelle que $W_n$ est défini par la formule intégrale $W_n = \int_0^1 cos^n((πx)/2)dx$ .

Partie II

On utilise les notations introduites en préambule. Sauf mention contraire, on suppose

n ⩾ 1

.
6. Calculer

ρ_n^'(x)

ρ_n^('')(x)

pour

x

dans ] - 1, 1[. Puis démontrer qu'il existe un nombre

β_n

tel que

\forallx \in ] - 1, 1[ ρ_n(x) + 1/((πn)^2)ρ_n^('')(x) = β_n ρ_(n - 1)(x).

7.a) Justifier que l'intégrale

ρ_n ˆ(z) = \int_ℝ e^(- izx)ρ_n(x)dx

est bien définie pour tout

z \in ℂ

et démontrer l'inégalité

sup_(ξ \in ℝ)|ρ_n ˆ(ξ)| ⩽ 1

.
7.b) Démontrer l'égalité

(1 - (z^2)/((πn)^2))ρ_n ˆ(z) = β_n ρ_(n - 1)ˆ(z)

pour tout

z \in ℂ

.
7.c) En déduire la valeur de

β_n

pour tout

n \in ℕ^*

.
On note désormais

P_n(z) = z\prod_(k = 1)^n(1 - (z^2)/((πk)^2))

pour tout

z \in ℂ

8.Grâce aux questions précédentes, démontrer que l'on a la factorisation suivante :
$sin(z) = P_n(z)ρ_n ˆ(z).$

9.a) Pour tous

z \in ℂ

x \in [ - 1, 1]

, démontrer l'inégalité

|e^(izx) - 1| ⩽ |x|(e^(|z|) - 1)

à l'aide du développement en série entière de la fonction exponentielle.
9.b) En déduire l'inégalité

|ρˆ_n(z) - 1| ⩽ 2(e^(|z|) - 1)\int_0^1 xρ_n(x)dx

.
9.c) Pour tout réel positif

K

, démontrer que la suite de fonctions

(ρ_n ˆ)_(n ⩾ 1)

converge uniformément sur le disque fermé

{z \in ℂ, |z| ⩽ K}

vers la fonction constante 1 .
9.d) Pour tout réel positif

K

, démontrer que la suite de fonctions

(P_n)_(n ⩾ 1)

converge uniformément sur le disque fermé

{z \in ℂ, |z| ⩽ K}

et déterminer sa limite.
10. La suite de fonctions

(P_n)_(n ⩾ 1)

converge-t-elle uniformément sur

ℝ

On fixe désormais une partie

A

ℂ

non bornée.
11.a) Si la suite

(ρ_n ˆ)_(n ⩾ 1)

est uniformément bornée sur

A

, c'est-à-dire

sup_(n ⩾ 1)sup_(z \in A)|ρ_n ˆ(z)| < + \infty

, démontrer que l'on a forcément

lim_(|z| \to + \infty; z \in A)|ρ_n ˆ(z)| = 0

pour tout

n ⩾ 2

.
11.b) Conclure que

(ρ_n ˆ)_(n ⩾ 1)

ne converge pas uniformément sur

A

Partie III

On pourra utiliser les équivalents obtenus à la question 5, ainsi que le résultat de la question 8 : pour tous

n

dans

ℕ^*

ξ

dans

ℝ

, on a

sin(ξ) = P_n(ξ)ρ_n ˆ(ξ) avec P_n(ξ) = ξ\prod_(k = 1)^n(1 - (ξ^2)/((πk)^2)).

Démontrer que $ρ_n ˆ$ ne s'annule pas sur $] - π, π[$ .
13.a) Trouver quatre réels $a_n, b_n, c_n$ et $d_n$ tels que l'on a le développement limité à l'ordre 3 :

P_n(ξ) = a_n + b_n ξ + c_n ξ^2 + d_n ξ^3 + ξ^3 ε_n(ξ) avec lim_(ξ \to 0)ε_n(ξ) = 0

13.b) Justifier que

ρ_n ˆ

est une fonction de classe

C^\infty

sur

ℝ

et que son développement limité en

ξ = 0

à l'ordre 3 est

ρ_n ˆ(ξ) = 1 - ξ^2\int_0^1 x^2 ρ_n(x)dx + ξ^3 σ_n(ξ) avec lim_(ξ \to 0)σ_n(ξ) = 0

Indication : on pourra développer en série entière

e^(- ixξ)

ξ = 0

dans la définition de

ρ_n ˆ(ξ)

.
13.c) Déduire de ce qui précède la valeur de la limite

lim_(n \to + \infty)\sum_(k = 1)^n 1/(k^2)

.
14. En notant

ρˆ_n^'

la dérivée de

ρ_n ˆ

, démontrer la formule suivante :

∀ξ ∈ ] − π, π[∖{0}, ∀n ∈ ℕ^∗, (cos(ξ))/(sin(ξ)) = (ρ_n ˆ^′(ξ))/(ρ_n ˆ(ξ)) + 1/ξ − 2ξ∑_(ℓ = 0)^(+ ∞)(ξ^(2ℓ))/(π^(2(ℓ + 1)))(∑_(k = 1)^n 1/(k^(2(ℓ + 1)))).

Démontrer la formule suivante :

∀ξ ∈ ] − π, π[∖{0} (ξcos(ξ))/(sin(ξ)) = 1 − 2∑_(ℓ = 1)^(+ ∞)(ξ^(2ℓ))/(π^(2ℓ))(∑_(k = 1)^(+ ∞)1/(k^(2ℓ))).

Indication : on pourra notamment analyser

ρ_n ˆ(ξ)

grâce à la question 9.c). Quant au terme dérivé

ρˆ_n^'(ξ)

, au moins deux stratégies sont possibles :

-ou bien écrire une formule intégrale sur [-1, 1] de $ρˆ_n^'(ξ)$ et utiliser la question 5;
-ou bien également faire appel à la question 9.c).

Expliquer dans les grandes lignes comment démontrer que le nombre $1/(π^(2ℓ))\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k^(2ℓ))$ est rationnel pour tout $ℓ$ dans $ℕ^*$ .

Partie IV

Les espaces vectoriels étudiés dans cette partie sont définis en préambule.
17. Soit

n

un entier naturel. Démontrer que la fonction suivante

f \mapsto ‖f‖_(D^n(ℝ))

est une norme sur l'espace vectoriel

D^n(ℝ)

‖f‖_(D^n(ℝ)) = \sum_(k = 0)^n sup_(x \in ℝ)|f^((k))(x)|.

Dans la suite, l'espace vectoriel

D^n(ℝ)

est systématiquement muni de la norme

‖‖_(D^n(ℝ))

.
18. Pour tout

n \in ℕ^*

, démontrer que l'application linéaire

f \mapsto f^((n))

est continue de

D^n(ℝ)

dans

D^0(ℝ)

.
19. Justifier que l'application

F \mapsto F_ℝ

est bijective de

H^N(ℂ)

sur

H^N(ℝ)

, pour tout

N \in ℕ

.
20.a) Pour tout

n \in ℕ^*

, on considère la fonction

F_n

définie comme suit :

\forallz \in ℂ∖πℤ F_n(z) = (sin(z))/(z\prod_(k = 1)^n(1 - (z^2)/((πk)^2)))

Justifier que la fonction

F_n

est holomorphe sur

ℂ∖πℤ

.
20.b) Démontrer que

F_n

admet un unique prolongement holomorphe sur

ℂ

que l'on note encore

F_n : ℂ \to ℂ

.
20.c) Pour tout

N

dans

ℤ

, démontrer que

F_n

appartient à

H^N(ℂ)

si et seulement si on a

N ⩽ 1 + 2n

.
Indication :

-pour l'implication $F_n \in H^N(ℂ) \Rightarrow N ⩽ 1 + 2n$ , on pourra se restreindre à $ℝ$ ;
-pour l'implication $N ⩽ 1 + 2n \Rightarrow F_n \in H^N(ℂ)$ , on pourra distinguer selon que la condition $|z| ⩽ (n + 1)π$ est satisfaite ou non.

De façon parfaitement similaire, on pourrait vérifier que la fonctionnelle suivante est une norme sur l'espace vectoriel

H^N(ℝ)

‖F‖_(H^N(ℝ)) = sup_(z \in ℂ)|F(z)|(1 + |z|)^N e^(- |Im(z)|),

où l'on identifie toute fonction

F

dans

H^N(ℝ)

à son unique prolongement holomorphe

F

dans

H^N(ℂ)

via la question 19.
21. Pour tout

N \in ℤ

, démontrer que l'application linéaire

F \mapsto F^'

est continue de l'espace

H^N(ℝ)

dans lui-même (pour la norme ci-dessus).
Indication : on pourra démontrer et exploiter la formule

F^'(z) = 1/π\int_(- π)^π e^(- iθ)F(z + 1/2e^(iθ))dθ

pour tout

z \in ℂ

, puis on pourra traiter le cas

N < 0

et enfin le cas

N ⩾ 0

Partie V

La convention pour la transformation de Fourier est la suivante : pour toute fonction

f : ℝ \to ℂ

appartenant à l'espace de Lebesgue

L^1(ℝ)

(i.e.

f

est mesurable et

\int_ℝ|f(x)|dx < + \infty

), on note

\forallξ \in ℝ fˆ(ξ) = \int_ℝ e^(- ixξ)f(x)dx

On pourra si besoin utiliser sans preuve le résultat suivant : si une fonction continue

f

appartient à

L^1(ℝ)

et vérifie

fˆ \in L^1(ℝ)

alors on a la formule d'inversion

\forallx \in ℝ f(x) = 1/(2π)\int_ℝ e^(ixξ)fˆ(ξ)dξ.

Les espaces

D^n(ℝ)

sont inclus dans

L^1(ℝ)

. Le but de cette partie est de démontrer que la transformation de Fourier réalise une bijection de

D^\infty(ℝ)

sur

H^\infty(ℝ)

.
Les espaces

D^n(ℝ)

H^N(ℝ)

seront munis des normes définies dans la partie IV.
22. Démontrer que les applications linéaires suivantes sont bien définies et sont continues :

D^0(ℝ), \to H^0(ℝ), D^1(ℝ), \to H^0(ℝ); f, \mapsto fˆ, f, \mapsto f^'

Indication : on pourra faire appel à la question 18. On ne demande pas de démontrer la linéarité de ces applications.
Notation : On note alors

fˆ : ℂ \to ℂ

(respectivement

f^' ˆ : ℂ \to ℂ

) l'unique prolongement holomorphe de la transformée de Fourier de

f

(respectivement de

f^'

) dont l'existence est justifié à la question 19.
23.a) Pour tout

f \in D^1(ℝ)

et pour tout

z \in ℂ

, démontrer la formule

izfˆ(z) = f^' ˆ(z)

.
23.b) Pour tout

n \in ℕ^*

, utiliser ce qui précède pour démontrer la continuité de l'application

D^n(ℝ), \to H^n(ℝ); f, \mapsto f^.

Seulement pour les trois questions suivantes, on définit la fonction

ψ : ℝ \to ℝ

par :

|x| ⩽ 1 \Rightarrow ψ(x) = 1 - \sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(2^k)cos(4^k πx),; |x| > 1 \Rightarrow ψ(x) = 0.

24.a) Démontrer que

ψ \in D^0(ℝ)

.
24.b) Calculer

ψˆ(4^ℓ π)

pour tout

ℓ \in ℕ^*

.
24.c) En déduire que

ψˆ \notin H^1(ℝ)

Dans les quatre questions suivantes, on fixe un entier

N ⩾ 2

et une fonction

F

dans

H^N(ℝ)

(on note encore

F : ℂ \to ℂ

son unique prolongement holomorphe appartenant à

H^N(ℂ)

, voir la question 19).
25.a) Pour tous

x \in ℝ

η \in ℝ

, justifier que l'intégrale

\int_ℝ|e^(ixξ)F(ξ + iη)|dξ

est bien définie. Puis démontrer qu'il existe un nombre

M > 0

(indépendant de

N

F

) tel que

\forallx \in ℝ η \in ℝ \int_ℝ|e^(ixξ)F(ξ + iη)|dξ ⩽ Me^(|η|)‖F‖_(H^N(ℝ)).

25.b) Pour tous

x \in ℝ

η \in ℝ

, démontrer l'identité

\int_ℝ e^(ixξ)F(ξ)dξ = e^(- xη)\int_ℝ e^(ixξ)F(ξ + iη)dξ

Indication :

-ou bien dériver par rapport à $η$ et utiliser la question 21 ;
-ou bien intégrer la fonction holomorphe $z \in ℂ \mapsto e^(ixz)F(z)$ sur le contour formé par le rectangle de sommets d'affixes $- K, K, K + iη, - K + iη$ .

25.c) En déduire que, pour tout réel

x

tel que

x \notin [ - 1, 1]

, on a

\int_ℝ e^(ixξ)F(ξ)dξ = 0

.
25.d) Pour tout

x \in ℝ

, on pose

f(x) = 1/(2π)\int_ℝ e^(ixξ)F(ξ)dξ

. Démontrer que

f

appartient à

D^(N - 2)(ℝ)

et que l'on a

fˆ = F

.
26. Conclure que la transformation de Fourier

f \mapsto fˆ

réalise une bijection de

D^\infty(ℝ)

sur

H^\infty(ℝ)

.
27.a) On reconsidère la fonction

ρ_n

(définie en préambule). Pour tout

n \in ℕ^*

, démontrer que

ρ_n

est de classe

C^(2n - 1)

sur

ℝ

.
27.b) Démontrer que

ρ_n

n'est pas de classe

C^(2n)

sur

ℝ

.
27.c) À l'aide des questions 8 et 20.c), expliquer pourquoi il existe une infinité d'entiers naturels

N

pour lesquels il existe une fonction

F

H^N(ℝ)

telle que l'on ne peut pas améliorer la conclusion

« » «f \in D^(N - 2)(ℝ)»

de la question 25.d) par la conclusion plus forte

« » «f \in D^(N - 1)(ℝ)»

Notations relatives à la théorie des distributions

-Algèbre

S(ℝ)

. On note

S(ℝ)

l'espace de Schwartz, c'est-à-dire l'espace vectoriel des fonctions

φ : ℝ \to ℂ

de classe

C^\infty

vérifiant

\forall(k, ℓ) \in ℕ^2 sup_(x \in ℝ)|x^k φ^((ℓ))(x)| < + \infty.

On rappelle que

S(ℝ)

est stable par produit et transformation de Fourier :

\forallφ \in S(ℝ) \forallψ \in S(ℝ) φψ \in S(ℝ) et φˆ \in S(ℝ).

Le produit de convolution

φ*ψ

est défini par

\forallx \in ℝ (φ*ψ)(x) = \int_ℝ φ(x - y)ψ(y)dy.

On vérifie que

φ*ψ \in S(ℝ)

et que l'on a les formules suivantes

(φ*ψ)^' = φ^'*ψ = φ*ψ^', φ*ψˆ = φˆψˆ et 1/(2π)φˆ*ψˆ = φψˆ.

-Espace

S^'(ℝ)

. On note

S^'(ℝ)

l'espace vectoriel des distributions tempérées sur

ℝ

, c'est-à-dire l'ensemble des formes linéaires

T : S(ℝ) \to ℂ

pour lesquelles il existe un entier naturel

N

et une constante

C > 0

tels que

\forallφ \in S(ℝ) |T(φ)| ⩽ C\sum_((k, ℓ) \in ℕ^2; max(k, ℓ) ⩽ N)sup_(x \in ℝ)|x^k φ^((ℓ))(x)|.

Rappelons également qu'il est traditionnel d'écrire

T(φ) = ⟨T, φ⟩

. La transformée de Fourier de

T

est la distribution tempérée, notée

Tˆ

, définie par

\forallφ \in S(ℝ) ⟨Tˆ, φ⟩ = ⟨T, φˆ⟩.

On rappelle également que l'application

T \mapsto Tˆ

est une bijection de

S^'(ℝ)

.
-Support. Le support d'une fonction

f : ℝ \to ℂ

est le fermé, noté

Supp(f)

, défini par l'adhérence suivante

Supp(f) = {x ∈ ℝ, f(x) ≠ 0}^–.

Pour tout

T \in S^'(ℝ)

et toute partie fermée

A \subset ℝ

, on dit que

T

est à support dans la partie

A

, ce que l'on note

Supp(T) \subset A

, si la condition suivante est vérifiée pour tout élément

φ \in S(ℝ)

Supp(φ) \subset A^c \Rightarrow ⟨T, φ⟩ = 0.

-Notation

T_f

. Pour toute fonction

f : ℝ \to ℂ

, si la forme linéaire

φ \mapsto \int_ℝ f(x)φ(x)d(x)

est bien définie sur

S(ℝ)

, elle est notée

T_f

. Dans le cas où

T_f \in S^'(ℝ)

, on pourra écrire

⟨T_f, φ⟩ = \int_ℝ f(x)φ(x)d(x)

Par exemple, si

f

appartient à

L^1(ℝ)

L^\infty(ℝ)

, alors

T_f

est dans

S^'(ℝ)

. Dans le cas particulier où

f \in L^1(ℝ)

, alors

fˆ \in L^\infty(ℝ)

et on a :

T_f ˆ = T_(fˆ).

Partie VI

Les deux premières questions de cette partie portent sur un exemple permettant d'appréhender le lien entre support et appartenance à l'espace

H^(- \infty)(ℝ)

. Pour tout

a \in ℝ

et tout

φ \in S(ℝ)

, on note

δ_a(φ) = φ(a)

la masse de Dirac de

φ

a

.
28.a) Démontrer que

δ_a

est une distribution tempérée et donner un exemple de partie compacte

A \subset ℝ

vérifiant

Supp(δ_a) \subset A

.
28.b) Pour tout

a \in ℝ

, déterminer une fonction

f : ℝ \to ℂ

telle que

δ_a ˆ = T_f

et déterminer une condition nécessaire et suffisante sur

a \in ℝ

assurant que

f \in H^(- \infty)(ℝ)

On va généraliser cette situation. On fixe

F

dans

H^(- \infty)(ℝ)

et l'on cherche à démontrer l'existence d'une unique distribution tempérée

T

S^'(ℝ)

à support dans [-1, 1] telle que

Tˆ = T_F

. On admet que la transformation de Fourier induit une bijection de l'espace

S^'(ℝ)

dans lui-même. Cela justifie qu'il existe une unique distribution tempérée

T

telle que

Tˆ = T_F

Ainsi, le seul point manquant est de démontrer que le support de

T

est inclus dans [-1, 1]. Cela fait l'objet des questions suivantes.
29. Justifier que la forme linéaire

T_F : φ \mapsto \int_ℝ F(x)φ(x)dx

est bien définie sur

S(ℝ)

et est une distribution tempérée.

Dans le reste de la partie, on admet l'existence d'une fonction

u

D^\infty(ℝ)

, positive, paire et d'intégrale 1 . On définit alors la suite de fonctions

(u_n)_(n \in ℕ^*)

comme suit

\foralln \in ℕ^* \forallx \in ℝ u_n(x) = nu(nx).

On remarque que

u_n

est positive, paire, de classe

C^\infty

, d'intégrale 1 et à support dans

[(- 1)/n, 1/n]

.
30.a) Démontrer que l'application linéaire

U_n

, définie comme suit, est une distribution tempérée :

U_n : S(ℝ), \to ℂ; φ, \mapsto ⟨T, φ*u_n⟩

Indication : pour tout

k \in ℕ^*

, on pourra démontrer qu'il existe un nombre

C > 0

(dépendant de

k

) tel que, pour tout

(x, y) \in ℝ^2

, on a

|x|^k ⩽ C(|x - y|^k + |y|^k)

. Pour cela, on pourra, raisonner par convexité ou vérifier directement que l'on a

|x| ⩽ 2(|x - y|^k + |y|^k)^(1/k)

.
30.b) En exploitant l'identité

Tˆ = T_F

, démontrer que

U_n ˆ

est de la forme

T_(Ψ_n)

où la fonction

Ψ_n : ℝ \to ℂ

est donnée par

\foralln \in ℕ^* \forallξ \in ℝ Ψ_n(ξ) = F(ξ)uˆ(ξ/n).

30.c) À l'aide de la question 26, démontrer qu'il existe une fonction

g_n

dans

D^\infty(ℝ)

telle que pour tout réel

ξ

on a

Ψ_n(ξ) = g_n ˆ((1 + 1/n)ξ)

.
30.d) En déduire qu'il existe une fonction

f_n \in C^\infty(ℝ)

à support dans

[ - (1 + 1/n), 1 + 1/n]

telle que les deux distributions

U_n

T_(f_n)

soient égales.
31.a) Fixons

φ \in S(ℝ)

(k, ℓ) \in ℕ^2

. Démontrer que l'on a

sup_(x \in ℝ)sup_(t \in [x - 1, x + 1])|x|^k|φ^((ℓ + 1))(t)| < + \infty.

31.b) Démontrer alors que, pour tous entiers naturels

k

ℓ

, on a

lim_(n \to + \infty)sup_(x \in ℝ)|x^k(φ*u_n)^((ℓ))(x) - x^k φ^((ℓ))(x)| = 0.

Indication : on pourra utiliser l'identité

\int_ℝ u_n(y)dy = 1

et en déduire la valeur de la limite

lim_(n \to + \infty)\int_(- 1/n)^(1/n)|y|u_n(y)dy

.
32. Conclure que le support de

T

est inclus dans [-1, 1].

On donne une modeste application probabiliste. On note

X

une variable aléatoire réelle dont on note

μ

la loi (qui est une mesure de probabilité sur

ℝ

) et

Φ : ξ \in ℝ \mapsto 𝔼[e^(iξX)] \in ℂ

la fonction caractéristique.
33.a) Démontrer que l'application linéaire

M : S(ℝ) \to ℂ

définie

par⟨M, φ⟩ = \int_ℝ φ(x)dμ(x)

est une distribution tempérée.
33.b) Démontrer que

Mˆ

est de la forme

T_f

pour une fonction

f : ℝ \to ℂ

à déterminer.
33.c) En supposant

Φ

dans

H^(- \infty)(ℝ)

, démontrer l'égalité

P(X \in [ - 1, 1]) = 1

.
Indication : on pourra admettre la propriété suivante : pour tout nombre rationnel

a > 1

, il existe une fonction

φ_a \in S(ℝ)

qui vérifie

-pour tout $x \in ] - \infty, a]$ on a $φ_a(x) = 0$ ;
-pour tout $x \in ]a, + \infty[$ on a $φ_a(x) > 0$ ,

puis démontrer et exploiter les égalités

\int_ℝ φ_a(x)dμ(x) = 0

Partie VII

Dans les questions qui suivent, on pourra admettre et utiliser qu'il existe une fonction

χ

dans

C^\infty(ℝ)

qui vérifie les deux conditions suivantes :

i)pour tout réel $x \in ] - \infty, 1]$ , on a $χ(x) = 1$ ,
ii)pour tout réel $x \in [2, + \infty[$ , on a $χ(x) = 0$ .

34.a) À l'aide de la fonction

χ

, démontrer que, pour tout

δ \in ]0, 1]

, il existe une fonction affine

s_δ : ℝ \to ℝ

telle que la fonction

χ_δ : x \in ℝ \mapsto χ(s_δ(|x|))

soit de classe

C^\infty

et vérifie les trois conditions suivantes :

i)pour tout réel $x \in [ - 1 - δ, 1 + δ]$ on a $χ_δ(x) = 1$ ,
ii)pour tout réel $x \notin ] - 1 - 2δ, 1 + 2δ[$ on a $χ_δ(x) = 0$ ,
iii)pour tout $m \in ℕ$ et tout $x \in ℝ$ on a $|(χ_δ)^((m))(x)| ⩽ δ^(- m) \times sup_(x \in ℝ)|χ^((m))(x)|$ .

Indication : on pourra commencer par étudier le cas

x ⩾ 0

et chercher

s_δ

tel que

s_δ(1 + δ) = 1

s_δ(1 + 2δ) = 2

.
34.b) Pour tout

δ \in ]0, 1]

et tout couple

(k, ℓ) \in ℕ^2

, démontrer qu'il existe une constante positive

C(χ, k, ℓ)

ne dépendant que de

χ, k

ℓ

telle que

\forallf \in C^\infty(ℝ) sup_(x \in ℝ)|x^k(χ_δ f)^((ℓ))(x)| ⩽ (C(χ, k, ℓ))/(δ^ℓ)\sum_(m = 0)^ℓ sup_(|x| ⩽ 1 + 2δ)|f^((m))(x)|.

Dans la série de questions suivantes, on fixe une distribution tempérée

T

sur

ℝ

à support dans

[ - 1, 1]

et l'on souhaite démontrer que sa transformée de Fourier

Tˆ

est de la forme

T_F

pour une certaine fonction

F \in H^(- \infty)(ℝ)

.
Dans un premier temps, on commence par construire une fonction

F

candidate.
On pose

\forall(x, ξ) \in ℝ \times ℂ χ_(δ, ξ)(x) = χ_δ(x)e^(- ixξ).

35.a) Pour tout

δ \in ]0, 1]

et tout

ξ \in ℂ

, justifier que la fonction

χ_(δ, ξ)

appartient à l'espace de Schwartz

S(ℝ)

et que le nombre

⟨T, χ_(δ, ξ)⟩

est indépendant de

δ

Pour tout

ξ \in ℂ

, on note désormais

F(ξ) = ⟨T, χ_(δ, ξ)⟩

la valeur commune pour

δ

parcourant ]0,1].
35.b) Démontrer que

F

est une fonction holomorphe sur

ℂ

Indication : on pourra utiliser la question 34.b avec

δ = 1

f(x) = e^(- ixξ) - \sum_(p = 0)^q((- ixξ)^p)/(p!)

avec

q \in ℕ

entier naturel tendant vers

+ \infty

.
35.c) Démontrer que

F

appartient à

H^(- \infty)(ℝ)

Indication : on pourra utiliser la question 34.b avec

δ = 1/(1 + |ξ|)

f(x) = e^(- ixξ)

.
Dans un second temps, on va démontrer que

Tˆ = T_F

.
36.a) Pour tout entier

q \in ℕ^*

, on note

⌊\sqrtq⌋

la partie entière de

\sqrtq

(c'est-à-dire le plus grand entier naturel inférieur à

\sqrtq

). Démontrer qu'il existe une constante numérique

C > 0

telle que pour tout

f \in C^1(ℝ)

et tout entier

q \in ℕ^*

on a

|\int_(- ⌊\sqrtq⌋)^(⌊\sqrtq⌋)f(ξ)dξ - 1/q\sum_(p = - q⌊\sqrtq⌋)^(q⌊\sqrtq⌋ - 1)f(p/q)| ⩽ C/(\sqrtq) \times sup_(ξ \in ℝ)|f^'(ξ)|.

36.b) Pour toute fonction

φ \in S(ℝ)

, démontrer que l'on a

lim_(q \to + \infty)sup_(x \in ℝ)|χ_1(x)φˆ(x) - (χ_1(x))/q\sum_(p = - q⌊\sqrtq⌋)^(q⌊\sqrtq⌋)e^((- ixp)/q)φ(p/q)| = 0.

Indication : on pourra admettre et exploiter la formule

φˆ(x) = \int_ℝ e^(- ixξ)φ(ξ)dξ

que l'on pourra découper selon que

|ξ| ⩽ ⌊\sqrtq⌋

|ξ| > ⌊\sqrtq⌋

.
36.c) Pour toute fonction

φ \in S(ℝ)

et tout couple

(k, ℓ) \in ℕ^2

, démontrer que l'on a également

lim_(q \to + \infty)sup_(x \in ℝ)|x^k(d^ℓ)/(dx^ℓ)(χ_1(x)φˆ(x) - (χ_1(x))/q\sum_(p = - q⌊\sqrtq⌋)^(q⌊\sqrtq⌋)e^((- ixp)/q)φ(p/q))| = 0.

Conclure que $Tˆ = T_F$ .
Indication : outre les questions précédentes, on pourra également utiliser le résultat de la question 21 impliquant que $F^' \in H^(- \infty)(ℝ)$ .
Remarque : il n'est pas attendu de démontrer que $T_F$ est une distribution tempérée. En effet, cela découle soit de la question 29 , soit de l'identité $Tˆ = T_F$ (une fois démontrée).

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMTATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière EIAE 1/3/0/0/A 1|0|2 26178

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de maths 2023 ?

Elle porte sur les intégrales de Wallis, la convergence dominée, les développements en série entière, la convergence uniforme, la transformation de Fourier et le théorème de Paley-Wiener sur les distributions à support compact.

Quelle est la moyenne de l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe maths 2023 ?

La moyenne des admissibles est de 7,75/20, avec un écart-type de 3,57.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation 2023 ?

Des formules de Taylor mal énoncées, une confusion entre convergence simple et convergence uniforme, l'usage illégitime de l'inégalité triangulaire avant d'avoir justifié l'intégrabilité, et une affirmation fausse sur les zéros du sinus.

Faut-il traiter tout le sujet de l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe maths 2023 pour réussir ?

Non, le sujet est très long et il n'était pas attendu que chaque candidat l'aborde en totalité ; les très bonnes copies se sont limitées aux cinq premières parties sur sept.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2023, épreuve 2

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...