Agrégation mathématiques externe 2026, épreuve 2Sujet

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de mathématiques de l'agrégation externe 2026 ?

Elle porte sur l'analyse (suites, séries, fonctions holomorphes, transformée de Fourier, déterminations du logarithme) et les probabilités (variables aléatoires, convergence en loi), appliquées à l'étude des sommes de fractions unitaires.

Q: Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties I, II et III peuvent être abordées de manière autonome, que la partie V ne dépend que des parties I et III, et que les parties IV et VI s'appuient sur les résultats des parties précédentes.

Q: Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les séries numériques et leur convergence, les fonctions holomorphes et méromorphes, la transformée de Fourier, les variables aléatoires discrètes et continues, et la convergence en loi vers une loi gaussienne.

Q: Ce sujet mélange-t-il plusieurs domaines des mathématiques ?

Oui, il combine l'analyse réelle et complexe, les probabilités et l'arithmétique, en les articulant autour d'un même objectif : caractériser les réels qui sont somme d'inverses de puissances p-ièmes d'entiers distincts.

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la seconde épreuve écrite de la session 2026

Pas encore noté

Suites et séries numériques
Fonctions holomorphes et méromorphes
Transformée de Fourier
Probabilités : variables aléatoires et convergence en loi
Arithmétique des entiers
Développements en série entière du logarithme

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Présentation du sujet

Développements en série de Sylvester et sommes de fractions unitaires

Le problème détermine les réels qui s'écrivent comme somme finie ou infinie d'inverses de puissances p-ièmes d'entiers naturels distincts. Il introduit d'abord le développement p-adique et le développement en série de Sylvester d'un réel, puis mobilise des outils d'analyse complexe et de probabilités avant d'établir un théorème de Paul Lévy et un théorème de Ronald Graham sur ces sommes de fractions unitaires.

1I. Développement p-adique et développement en série de SylvesterConstruction et unicité du développement p-adique d'un réel, puis introduction de la suite et de la série de Sylvester associées à un réel.
2II. Estimations préliminairesÉtude d'une fonction Tp liée aux fractions unitaires, de son prolongement holomorphe Gp, et calcul de la somme des inverses des carrés via une fonction méromorphe H.
3III. Déterminations du logarithmeÉtude des déterminations continues du logarithme complexe sur différents ouverts et de leurs propriétés d'holomorphie.
4IV. Sommes de fractions unitairesÉtude de l'ensemble des sommes de sous-séries d'une série convergente à termes positifs, avec plusieurs exemples explicites dont les inverses des carrés et des cubes.
5V. Un théorème de Paul Lévy sur les séries de SylvesterÉtude probabiliste du développement en série de Sylvester d'une variable aléatoire uniforme sur [0,1] et démonstration d'un théorème de convergence en loi.
6VI. Un théorème de Ronald GrahamDémonstration, à l'aide de méthodes arithmétiques et matricielles, du théorème de Graham caractérisant les rationnels somme de puissances p-ièmes d'entiers distincts.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2026.

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SESSION 2026

AGREGATION
Concours externe

Section MATHÉMATIQUES

Composition d'analyse et probabilités

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Rappels et notations

L'un des objectifs du problème est de déterminer, pour tout entier

p ⩾ 2

, les nombres qui sont la somme finie d'inverses de puissances

p

-ièmes d'entiers naturels distincts.
Par exemple, pour

p = 2

, on établira qu'un nombre rationnel

x

peut s'écrire comme somme finie d'inverses de carrés d'entiers naturels distincts si et seulement si

x \in [0, (π^2)/6 - 1[ \cup [1, (π^2)/6[

Dans la partie I, on rappelle des propriétés classiques des développements

p

-adiques de nombres réels et on introduit la notion de développement en série de Sylvester de nombre réel. Les propriétés obtenues dans cette partie sont utilisées dans les parties IV et V.
Dans la partie II, on mène l'étude d'une suite définie implicitement et on propose de calculer une somme célèbre. Les résultats établis dans cette partie sont mis à profit dans la partie IV. Dans la partie III, on s'intéresse aux déterminations du logarithme, dont on donne une application à la partie V.
Dans la partie IV, on dégage des propriétés relatives aux fractions unitaires et on amorce le début de la résolution du problème annoncé. Cette partie constitue un prérequis pour la partie VI.
Dans la partie V, on établit un théorème de Paul Lévy concernant le développement en série de Sylvester d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1].
Dans la partie VI, on démontre le résultat annoncé, dû à Ronald Graham.
Ainsi, les parties I, II et III peuvent être abordées de manière autonome; la partie V, pour sa part, ne dépend que des parties I et III.

Dans tout le sujet, on note

ℕ

l'ensemble des entiers naturels et

ℕ^∗ = ℕ∖{0}

.
Si

p

q

sont des entiers naturels tels que

p ⩽ q

, on pose

[ [p, q] ] = {k \in ℕ; p ⩽ k ⩽ q}

ℤ

désigne l'ensemble des entiers relatifs,

ℚ

l'ensemble des nombres rationnels,

ℝ

l'ensemble des nombres réels et

ℂ

l'ensemble des nombres complexes.
Si

x \in ℝ, ⌊x⌋

désigne la partie entière de

x

.
Si

z \in ℂ

, on note

Re(z)

Im(z)

les parties réelle et imaginaire de

z

.
L'exponentielle complexe d'un nombre complexe

z

est notée

exp(z)

e^z

.
La fonction sinus est définie sur

ℂ

par

sin : z \mapsto (e^(iz) - e^(- iz))/(2i)

.
Une suite réelle

u = (u_n)_(n \in ℕ^*)

stationne à la valeur

x \in ℝ

s'il existe

N \in ℕ^*

tel que pour tout entier

n ⩾ N, u_n = x

. Une suite réelle

u

est dite stationnaire s'il existe un réel

x

tel que

u

stationne à la valeur

x

I. Développement $p$ -adique et développement en série de Sylvester

Dans cette partie, on se donne un entier

p \in ℕ∖{0, 1}

et un réel

x \in ]0, + \infty[

. On considère les suites

(u_n)_(n \in ℕ), (v_n)_(n \in ℕ)

(b_n)_(n \in ℕ)

telles que pour tout

n \in ℕ

u_n = (⌊p^n x⌋)/(p^n), v_n = u_n + 1/(p^n) et b_n = {⌊x⌋, si n = 0; ⌊p^n x⌋ − p⌊p^(n − 1)x⌋, sinon.

1.(a) Montrer que pour tout $n \in ℕ, u_n ⩽ x < v_n$ .
- (b)Montrer que les suites $(u_n)_(n \in ℕ)$ et $(v_n)_(n \in ℕ)$ sont adjacentes et convergent vers $x$ .
2.Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, b_n \in [ [0, p - 1] ]$ .
3.Montrer que la série $\sum(b_n)/(p^n)$ converge et que $x = ⌊x⌋ + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(b_n)/(p^n)$ .
4.Montrer que la suite $(b_n)_(n \in ℕ^*)$ ne stationne pas à la valeur $(p - 1)$ .
5.Montrer que $(b_n)_(n \in ℕ^*)$ est l'unique suite à valeurs dans $[ [0, p - 1] ]$ ne stationnant pas à la valeur $(p - 1)$ telle que $x = ⌊x⌋ + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(b_n)/(p^n)$ .
Cette dernière expression constitue le développement $p$ -adique du réel $x$ et, pour tout $n \in ℕ^*, b_n$ est appelé le $n$ -ième chiffre de $x$ en base $p$ .
6.(a) Dans cette question 6.(a), on suppose disposer de $(a, b) \in (ℕ^*)^2$ tel que $x = a/b$ et on considère la suite $(θ_n)_(n \in ℕ)$ telle que $θ_0 = a$ et, pour tout $n \in ℕ$ ,
$θ_(n + 1) = p(θ_n - b⌊θ_n/b⌋).$
Montrer que pour tout $n \in ℕ, (θ_n)/b = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(b_(n + k))/(p^k)$ et $b_n = ⌊(θ_n)/b⌋$ .
- (b)En déduire que $x$ est rationnel si et seulement si la suite $(b_n)_(n \in ℕ^*)$ est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire qu'il existe $(N, q) \in (ℕ^*)^2$ tel que pour tout entier $n ⩾ N, b_(n + q) = b_n$ .
7.On considère la suite $(s_n)_(n \in ℕ^*)$ telle que $s_1 = 2$ et, pour tout $n \in ℕ^*, s_(n + 1) = s_n^2 - s_n + 1$ .
- (a)Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, s_n > 1$ et que $s_n\to-_(n \to + \infty)^ + \infty$ .
- (b)Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, \sum_(k = n)^(+ \infty)1/(s_k) = 1/(s_n - 1)$ .
8.On considère la suite $(x_n)_(n \in ℕ^*)$ telle que $x_1 = x$ et, pour tout $n \in ℕ^*$ ,
$x_(n + 1) = x_n - 1/(⌊1/x_n⌋ + 1).$
- (a)Montrer que la suite $(x_n)_(n \in ℕ^*)$ est bien définie.

Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose

q_n = ⌊1/x_n⌋ + 1

- (b)Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, q_n > 0, q_n(q_n - 1) ⩽ 1/(x_(n + 1))$ et $q_(n + 1) ⩾ q_n^2 - q_n + 1$ .
- (c)Montrer que $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(q_n)$ .

9.On suppose dans cette question 9 que $x ⩽ 1$ . Soit $(r_n)_(n \in ℕ^*)$ une suite d'entiers strictement positifs vérifiant, pour tout $n \in ℕ^*, r_(n + 1) ⩾ r_n^2 - r_n + 1$ et $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(r_n)$ .
- (a)Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, r_n ⩾ 2$ et $1/(r_n) ⩽ 1/(r_n - 1) - 1/(r_(n + 1) - 1)$ .
- (b)Montrer que $r_1 = ⌊1/x⌋ + 1$ .
10.Montrer qu'il existe une unique suite d'entiers strictement positifs $(r_n)_(n \in ℕ^*)$ telle que, pour tout $n \in ℕ^*, r_(n + 1) ⩾ r_n^2 - r_n + 1$ et $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(r_n)$ .
Cette suite $(r_n)_(n \in ℕ^*)$ est appelée la suite de Sylvester du réel $x$ et la somme précédente constitue son développement en série de Sylvester.
11.On note $(r_n)_(n \in ℕ^*)$ la suite de Sylvester de $x$ .
- (a)Montrer que s'il existe $N \in ℕ^*$ tel que pour tout $n ⩾ N, r_(n + 1) = r_n^2 - r_n + 1$ , alors $x \in ℚ$ .
- (b)Établir la réciproque.

II. Estimations préliminaires

Pour tout entier

p ⩾ 2

, soit

T_p

la fonction telle que, pour

x

réel,

T_p(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(x/(x + n))^p

12.On se donne un entier $p ⩾ 2$ .
- (a)Établir que la fonction $T_p$ est définie et continue sur $[0, + \infty[$ .
- (b)Donner les variations de $T_p$ sur $[0, + \infty[$ .
- (c)Étudier la limite de $T_p$ en $+ \infty$ .
- (d)Montrer que pour tout réel $x > 0, (x^p)/((p - 1)(x + 1)^(p - 1)) < T_p(x) < x/(p - 1)$ .
13.On se donne un entier $p ⩾ 2$ .
- (a)Établir l'existence d'un unique réel $t_p \in [0, + \infty[$ tel que $T_p(t_p) = 1$ .
- (b)Montrer que $t_p > p - 1$ .
- (c)Montrer que $t_2 < 2$ .
- (d)Établir que $⌊t_p⌋ < 1/(2^(1/p) - 1)$ .
14.(a) Montrer que pour tout $x > 0$ , la suite $(T_p(x))_(p ⩾ 2)$ est strictement décroissante.
- (b)En déduire que la suite $(t_p)_(p ⩾ 2)$ est strictement croissante.
15.Montrer que pour tout réel $t > 0$ , la suite $((1 + t/p)^(- p))_(p ⩾ 2)$ est décroissante.
16.On fixe dans cette question $x \in ]0, + \infty[$ .
Pour tout $n \in ℕ^*$ , soit $g_n$ la fonction telle que $g_n(p) = (1 + n/(px))^(- p)$ pour tout entier $p ⩾ 2$ .

(a)Montrer que pour tout entier $p ⩾ 2, T_p(px) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)g_n(p)$ .
(b)Montrer que $T_p(px)\to-_(p \to + \infty)^1/(exp(1/x) - 1)$ .

Établir l'équivalent : $t_p \sim _(p \to + \infty)p/(ln2)$ .

Pour tout entier

p ⩾ 2

, soit

G_p

la fonction telle que, pour

z

complexe,

G_p(z) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(z/(z + n))^p

.
18. Établir que pour tout entier

p ⩾ 2

, la fonction

G_p

est définie et holomorphe sur l'ouvert

ℂ∖{ − k; k ∈ ℕ^∗}

.
19. On se donne un entier

p ⩾ 2

Soit

F_p

la fonction telle que pour

t

réel,

F_p(t) = {(t^(p − 1))/(e^t − 1), si t > 0; 0, sinon.

(a)Montrer que $F_p$ est continue par morceaux et intégrable sur $ℝ$ .

On note

F(F_p) : x \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)F_p(t)e^(- ixt) dt

la transformée de Fourier de

F_p

(b)Établir que la fonction $F(F_p)$ est définie sur $ℝ$ .
(c)Montrer que pour tout réel $x, G_p(ix) = ((ix)^p)/((p - 1)!)F(F_p)(x)$ .
(d)En déduire l'équivalent $G_2(ix) \sim _(|x| \to + \infty)ix$ .
(e)Montrer plus généralement que $G_p(ix) \sim _(|x| \to + \infty)(ix)/(p - 1)$ .

On note $H : z \mapsto (G_2(z) + 1 + G_2(- z))/(z^2)$ .

(a)Montrer que $H$ est méromorphe sur $ℂ$ .
(b)Établir que pour tout $z \in ℂ∖ℤ, H(z + 1) = H(z)$ .
(c)Montrer que pour tout $z \in ℂ∖ℤ, H(z) = (π/(sin(πz)))^2$ .
(d)En déduire que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6$ .

III. Déterminations du logarithme

Une détermination du logarithme sur un ouvert non vide

Ω

ℂ

est une fonction continue

f : Ω \to ℂ

telle que pour tout

z \in Ω, exp(f(z)) = z

.
21. Soit

φ_1

φ_2

deux déterminations du logarithme sur un ouvert connexe non vide

Ω

ℂ

. Déterminer une relation entre

φ_1

φ_2

.
22. Soit

Ω

un ouvert connexe non vide de

ℂ

ne contenant pas 0 et

f

une fonction holomorphe sur

Ω

telle que pour tout

z \in Ω, f^'(z) = 1/z

.
Montrer qu'il existe

c \in ℂ

tel que

f + c

soit une détermination du logarithme sur

Ω

.
23. On introduit la fonction

f_1 : z \mapsto - \sum_(n = 1)^(+ \infty)((1 - z)^n)/n

et l'ouvert

Ω_1 = {z ∈ ℂ; |z − 1| < 1}

(a)Établir que $f_1$ est définie et holomorphe sur $Ω_1$ .
(b)Montrer que $f_1$ constitue une détermination du logarithme sur $Ω_1$ .

On note $f_2$ la fonction $z \mapsto \sum_(n = 0)^(+ \infty)2/(2n + 1)((z - 1)/(z + 1))^(2n + 1)$ et $Ω_2$ l'ouvert ${z \in ℂ; Re(z) > 0}$ .

(a)Établir que $f_2$ est définie et holomorphe sur $Ω_2$ .
(b)Montrer que pour tout $x > 0, f_2(x) = lnx$ .
(c)Montrer que $f_2$ constitue une détermination du logarithme sur $Ω_2$ .

Soit $Ω$ un ouvert non vide de $ℂ$ et $f : Ω \to ℂ$ une fonction continue.

(a)Établir que si $f$ est une détermination du logarithme sur $Ω$ , alors $f$ est holomorphe.
(b)Plus généralement, montrer que si $exp \circ f$ est holomorphe, alors $f$ l'est aussi.

(a) Dans le plan complexe, soit $D$ une demi-droite fermée issue de l'origine. Établir l'existence d'une détermination du logarithme sur $ℂ∖D$ .

(b)Montrer qu'il existe une unique détermination du logarithme sur $ℂ∖(ℝ_-)$ qui s'annule en 1. On la notera Log.
(c)Montrer que pour tout complexe $z$ tel que $|z| < 1, log(1 - z) = - \sum_(n = 1)^(+ \infty)(z^n)/n$ .
(d)Montrer qu'il n'existe pas de détermination du logarithme sur $ℂ∖{0}$ .

On introduit la fonction $ψ : z \mapsto \int_1^(+ \infty)(e^(izlnt))/(t^2) dt$ et l'ouvert $Ω_3 = {z ∈ ℂ; Im(z) > − 1}$ .

(a)Établir que $ψ$ est définie sur $Ω_3$ .
(b)Montrer que pour tout $z \in Ω_3, ψ(z) = 1/(1 - iz)$ .
(c)Montrer que pour tout $z \in ℂ, (ψ(z/(\sqrtn)))^n e^(- iz\sqrtn)\to-_(n \to + \infty)^e^(- z^2/2)$ .

IV. Sommes de fractions unitaires

On note

ℓ^+

l'ensemble des suites réelles positives

u = (u_n)_(n \in ℕ^*)

dont la série associée

\sumu_n

converge.
Pour tout

u = (u_n)_(n \in ℕ^*) \in ℓ^+

, on introduit l'ensemble

P_∞(u) = {∑_(n = 1)^(+ ∞)ε_n u_n; (ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)}

.
28. (a) Montrer que pour tout

u \in ℓ^+

, l'ensemble

P_\infty(u)

est bien défini.

(b)Soit $p \in ℕ^*$ . On considère la suite $u = (u_n)_(n \in ℕ^*)$ où, pour tout $n \in ℕ^*, u_n = 2^(n - 1)$ si $n ⩽ p, u_n = 0$ sinon. Vérifier que $u \in ℓ^+$ et déterminer l'ensemble $P_\infty(u)$ .

Déterminer les suites $u = (u_n)_(n \in ℕ^*) \in ℓ^+$ telles que $P_\infty(u)$ soit fini.
Soit un réel $a > 0$ . On pose $u = (a/(2^n))_(n \in ℕ^*)$ . Vérifier que $u \in ℓ^+$ et déterminer $P_\infty(u)$ .
Soit $p$ un entier tel que $p ⩾ 3$ . On pose $u = (1/(p^n))_(n \in ℕ^*)$ et $S = [0, 1/(p - 1)]$ .

Pour tout entier

n \in ℕ^*

et pour toute réunion

R = ⋃_(i \in [ [1, n] ])[a_i, b_i]

n

segments disjoints de

ℝ

(où, pour tout

i \in [ [1, n] ], a_i < b_i

), on pose

K(R) = ⋃_(i \in [ [1, n] ])([a_i, a_i + (b_i - a_i)/p] \cup [b_i - (b_i - a_i)/p, b_i]).

(a)Vérifier que $u \in ℓ^+$ .
(b)Montrer que $P_\infty(u) \subset K(S)$ .
(c)Soit $(ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)$ . On pose $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/(p^n)$ . Montrer que $x \in K(K(S))$ et que $K(K(S))$ est la réunion de quatre segments disjoints. Préciser, en fonction de $ε_1$ et de $ε_2$ , lequel contient $x$ .
(d)On considère la suite $(S_n)_(n \in ℕ^*)$ de parties de $ℝ$ telle que $S_1 = S$ et, pour tout $n \in ℕ^*$ , $S_(n + 1) = K(S_n)$ . Montrer que $P_\infty(u) = ⋂_(n \in ℕ^*)S_n$ .

On considère un entier $p ⩾ 3$ et un réel $α > 1$ . On pose $β = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(p^(⌊nα⌋))$ et $u = (1/(p^n))_(n \in ℕ^*)$ .

(a)Établir que le réel $β$ existe et que si $α$ est rationnel alors $β$ est rationnel.

On suppose jusqu'à la question 32.(d) que le réel

α

est irrationnel et on pose pour tout

n \in ℕ^*, β_n = ⌊(n + 1)/α⌋ - ⌊n/α⌋

(b)Montrer que pour tout $n ∈ ℕ^∗, β_n ∈ {0, 1}$ .
(c)Établir que pour tout $n \in ℕ^*, β_n$ est le $n$ -ième chiffre de $β$ en base $p$ .
(d)En déduire que $β$ est un réel irrationnel de $P_\infty(u)$ .

Soit $u = (u_n)_(n \in ℕ^*) \in ℓ^+$ telle que pour tout $n \in ℕ^*, u_n \neq 0$ et $1/(u_n) \in ℕ$ .

Montrer que

P_\infty(u)

possède une infinité de rationnels et une infinité d'irrationnels.

34.On prend ici la suite $u = (1/(s_n))_(n \in ℕ^*)$ , où $(s_n)_(n \in ℕ^*)$ est la suite définie à la question 7.
- (a)Vérifier que $u \in ℓ^+$ .
- (b)Soit $x \in P_\infty(u)$ . Montrer que, à l'exception d'un élément $x$ à préciser, il existe une unique suite $(ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)$ telle que $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/(s_n)$ .
- (c)Soit $(ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)$ . Montrer que le réel $\sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/(s_n)$ est rationnel si et seulement si la suite $(ε_n)_(n \in ℕ^*)$ est stationnaire.

Pour tous

u \in ℓ^+

n \in ℕ^*

, le

n

-ième terme

u_n

u

est dit substituable si

u_n ⩽ \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)u_k

35.On considère une suite $u \in ℓ^+$ dont tous les termes sont substituables. On pose $σ = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n$ . On se propose d'établir que $P_\infty(u) = [0, σ]$ .
(a)Montrer que 0 et $σ$ appartiennent à $P_\infty(u)$ .

On suppose jusqu'à la question 35.(d) que

σ > 0

et on considère

x \in ]0, σ[

.
On définit

(ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)

par récurrence comme suit :

ε_1 = 1

u_1 ⩽ x

ε_1 = 0

sinon; si, pour

n \in ℕ^*

, les termes

ε_1, \dots, ε_n

sont définis, alors

ε_(n + 1) = 1

\sum_(k = 1)^n ε_k u_k + u_(n + 1) ⩽ x

ε_(n + 1) = 0

sinon.

- (b)Montrer que la suite $(ε_n)_(n \in ℕ^*)$ n'est pas constante.
- (c)Établir que la suite $(ε_n)_(n \in ℕ^*)$ ne stationne pas à la valeur 1.
- (d)En déduire que $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)ε_n u_n$ et le résultat annoncé.
36.On prend ici la suite $u = (1/(n^2))_(n \in ℕ^*)$ .
- (a)Vérifier que $u \in ℓ^+$ .
- (b)Montrer que pour tout entier $n ⩾ 2$ , le $n$ -ième terme $u_n$ de $u$ est substituable.
- (c)Montrer que $P_\infty(u) = [0, (π^2)/6 - 1] \cup [1, (π^2)/6]$ .
37.On pose $u = (1/(n^3))_(n \in ℕ^*)$ . On reprend les notations de la partie II, en particulier celles de la question 13.
- (a)Vérifier que $u \in ℓ^+$ .
- (b)Montrer que pour tout réel $x ⩾ 0, T_3(x) ⩾ (x^3)/((x + 1)^3) + (x^3)/((x + 2)^3) + (x^3)/(2(x + 3)^2)$ .
- (c)En déduire que $t_3 < 3$ .
- (d)Déterminer, en fonction de $ζ = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^3)$ , l'ensemble $P_\infty(u)$ .

38.On se donne un entier $p ⩾ 2$ . On prend ici la suite $u = (1/(n^p))_(n \in ℕ^*)$ . Pour tout $q \in ℕ^*$ , on pose $P_q = {∑_(k = 1)^q(ε_k)/(k^p); (ε_k)_(k ∈ [ [1, q] ]) ∈ {0, 1}^q}$ .
- (a)Vérifier que $u \in ℓ^+$ .
- (b)Montrer qu'il existe un unique entier $N_p \in ℕ^*$ tel que ${n ∈ ℕ^∗;$ le $n$ -ième terme $u_n$ de $u$ n'est pas substituable $} = [ [1, N_p] ]$ .
- (c)Montrer que $N_p \sim _(p \to + \infty)p/(ln2)$ .
- (d)Établir que l'application $(ε_k)_(k \in [ [1, N_p] ]) \mapsto \sum_(k = 1)^(N_p)(ε_k)/(k^p)$ est bijective de ${0, 1}^(N_p)$ sur $P_(N_p)$ .
- (e)On pose $ρ_p = \sum_(k = 1)^(+ \infty)1/((N_p + k)^p)$ . Montrer que $P_\infty(u) = ⋃_(ω \in P_(N_p))[ω, ω + ρ_p]$ , où les segments sont deux à deux disjoints.

V. Un théorème de Paul Lévy sur les séries de Sylvester

Dans cette partie, on se place sur un espace probabilisé

(Ω, A, ℙ)

sur lequel est définie une variable aléatoire uniformément distribuée sur [0,1].

39.Montrer qu'il existe une variable aléatoire $U$ suivant la loi uniforme sur [0,1] telle que pourt tout $ω \in Ω, U(ω) \in ]0, 1]$ .

On reprend les notations de la partie I, en particulier celles de la question 10. Pour tout

ω \in Ω

, on note

(Q_n(ω))_(n \in ℕ^*)

la suite de Sylvester du réel

U(ω)

; la relation

U(ω) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(Q_n(ω))

est donc le développement en série de Sylvester de

U(ω)

.
40. Montrer que pour tout

n \in ℕ^*, Q_n

est une variable aléatoire.

On pose

ℭ_1 = {k ∈ ℕ; k ⩾ 2}

et pour tout entier

n ⩾ 2

C_n = {(k_1, ⋯, k_n) ∈ ℕ^n; k_1 ⩾ 2 et ∀i ∈ [ [1, n − 1] ], k_(i + 1) ⩾ k_i^2 − k_i + 1}.

Dans la question suivante,

(s_n)_(n \in ℕ^*)

désigne la suite définie dans la question 7.

41.Soit $n \in ℕ^*$ . Établir que $(s_1, \dots, s_n) \in C_n$ et que pour tout $(k_1, \dots, k_n) \in C_n$ ,
$k_1 ⩾ s_1, \dots, k_n ⩾ s_n.$
42.Montrer que pour tous $k \in C_1$ et $(k_1, k_2) \in C_2$ ,
$(Q_1 = k) = (1/k < U ⩽ 1/(k - 1)) et (Q_1 = k_1, Q_2 = k_2) = (1/(k_1) + 1/(k_2) < U ⩽ 1/(k_1) + 1/(k_2 - 1)).$
43.Soit $n \in ℕ^*$ et $(k_1, \dots, k_n) \in C_n$ . Montrer que $ℙ(Q_1 = k_1, \dots, Q_n = k_n) = 1/(k_n(k_n - 1))$ .
44.On considère un entier $n ⩾ 2$ . Soit $(j, k) \in ℕ^2$ tel que $j ⩾ s_(n - 1)$ et $k ⩾ j^2 - j + 1$ . Montrer que $ℙ(Q_(n - 1) = j) > 0$ et que $ℙ(Q_n = k|Q_(n - 1) = j) = (j(j - 1))/(k(k - 1))$ .

Pour tous entiers $n ⩾ 1$ et $k ⩾ 2$ , on pose $P_n(k) = ℙ(Q_n = k)$ .

(a)Montrer que pour tous entiers $n ⩾ 2$ et $k ⩾ 2, P_n(k) = \sum_(j ⩾ 2;; j^2 - j + 1 ⩽ k)(j(j - 1))/(k(k - 1))P_(n - 1)(j)$ .
(b)En déduire que pour tout entier $n ⩾ 2, \sum_(k = 2)^(+ \infty)(P_n(k))/k ⩽ \sum_(j = 2)^(+ \infty)(P_(n - 1)(j))/(j^2 - j + 1)$ .
(c)Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, \sum_(k = 2)^(+ \infty)(P_n(k))/k ⩽ (2/3)^n$ .

On se propose dans la suite d'établir le théorème de Paul Lévy suivant :
la suite de variables aléatoires

(1/(\sqrtn)ln((Q_n)/(Q_1\dotsQ_(n - 1))) - \sqrtn)_(n ⩾ 2)

converge en loi vers la loi gaussienne centrée réduite

N(0, 1)

.
On pose

φ_1 : t \mapsto 𝔼(e^(itlnQ_1))

et pour tout entier

n ⩾ 2

φ_n : t \mapsto 𝔼(e^(itln((Q_n)/(Q_1\dotsQ_(n - 1))))) et ψ_n : t \mapsto \sum_(k = n^2 - n + 1)^(+ \infty)e^(itln(k/(n^2)))(n(n - 1))/(k(k - 1)).

Montrer que $(φ_n)_(n ⩾ 1)$ et $(ψ_n)_(n ⩾ 2)$ sont des suites de fonctions définies sur $ℝ$ .
Soit un entier $n ⩾ 3$ et un réel $t$ .
Montrer que la somme $\sum_((k_1, \dots, k_(n - 1)) \in C_(n - 1))(e^(itln((k_(n - 1))/(k_1 k_n\dotsk_(n - 2)))))/(k_(n - 1)(k_(n - 1) - 1))ψ_(k_(n - 1))(t)$ existe et vaut $φ_n(t)$ .
On rappelle que $ψ$ désigne la fonction définie à la question 27.

(a)Montrer qu'il existe un réel $C > 0$ tel que pour tous entier $n ⩾ 2$ et réel $t$ , $|ψ_n(t) - ψ(t)| ⩽ (C(1 + |t|))/n$ .
(b)Établir, pour tous entier $n ⩾ 2$ et réel $t, |φ_n(t) - ψ(t)φ_(n - 1)(t)| ⩽ C(2/3)^(n - 1)(1 + |t|)$ .
(c)Montrer que pour tous entiers $m$ et $n$ tels que $n > m ⩾ 1$ et pour tout réel $t$ , $|φ_n(t) - ψ^(n - m)(t)φ_m(t)| ⩽ 3C(2/3)^m(1 + |t|)$ .
(d)En déduire que pour tout $t \in ℝ, φ_n(t/(\sqrtn))e^(- it\sqrtn)\to-_(n \to + \infty)^e^(- t^2/2)$ .
(e)Montrer le théorème de Paul Lévy annoncé.

VI. Un théorème de Ronald Graham

Dans toute cette partie, on se fixe un entier

p ⩾ 2

et on considère la suite

u = (1/(n^p))_(n \in ℕ^*)

. On reprend les notations de la partie IV, en particulier celles de la question 38. En posant

U_p = ⋃_(ω \in P_(N_p))[ω, ω + ρ_p[

, on se propose d'établir que

U_p \cap ℚ = ⋃_(n \in ℕ^*)P_n.

À l'aide d'une méthode due à R. Sprague, on commence par montrer, jusqu'à la question 53, que tout entier naturel assez grand est la somme de puissances

p

-ièmes d'entiers naturels distincts.

49.Soit $(A_n)_(n \in ℕ^*)$ et $(B_n)_(n \in ℕ^*)$ telles que $A_1 = (1, 0; 0, 7), B_1 = (3, 0; 0, 5)$ et, pour tout $n \in ℕ^*$ , en notant $I_(2^n)$ la matrice identité de taille $2^n$ à coefficients réels,
$A_(n + 1) = (A_n, 0; 0, B_n + 2^(n + 2)I_(2^n)), B_(n + 1) = (B_n, 0; 0, A_n + 2^(n + 2)I_(2^n)).$
- (a)Montrer que pour tous $n \in ℕ^*$ et $k \in [ [1, n] ]$ , les matrices $A_n^k$ et $B_n^k$ ont même trace.
- (b)En déduire l'existence d'un entier pair $q ⩾ 2$ et de $2q$ entiers naturels impairs distincts $a_1, a_2, \dots, a_(2q)$ tels que pour tout $k \in [ [1, p] ], a_1^k + \dots + a_q^k = a_(q + 1)^k + \dots + a_(2q)^k$ .
- (c)Établir dans $ℝ[X]$ l'égalité $(X + a_1)^p + \dots + (X + a_q)^p = (X + a_(q + 1))^p + \dots + (X + a_(2q))^p$ .
50.On considère un entier pair $D ⩾ 2$ . Pour tout $(i, j) \in [ [1, p] ] \times {0, 1}$ , on pose
$M_(i, j)(X) = \sum_(k = 1)^q(X + a_(jq + k) + iD)^p \in ℝ[X].$
- (a)Montrer qu'on peut choisir $D$ de sorte que pour tous éléments distincts $(k, i) \neq (ℓ, j)$ de $[ [1, 2q] ] \times [ [1, p] ]$ , on ait : $a_k + iD \neq a_ℓ + jD$ . On fait cette hypothèse par la suite.
- (b)Pour tout $k¯ = (k_1, \dots, k_p) \in [ [1, 2q] ]^p$ , on pose
  $S_(k¯)(X) = (X + a_(k_1) + D)^p(X + a_(k_2) + 2D)^p\dots(X + a_(k_p) + pD)^p \in ℝ[X].$
  Montrer qu'il existe un entier naturel pair $ω_p$ tel que $(S_(k¯)(ω_p))_(k¯ \in [ [1, 2q] ]^p)$ constitue une famille de $(2q)^p$ puissances $p$ -ièmes d'entiers impairs deux à deux distincts.
- (c)Établir que le produit $π_p = \prod_(k = 1)^p M_(k, ε_k)(ω_p)$ est un entier naturel pair, indépendant du choix de $(ε_1, ⋯, ε_p) ∈ {0, 1}^p$ .
51.Montrer qu'il existe une famille $(M_i)_(i \in [ [1, 2^p] ])$ de $2^p$ ensembles finis non vides d'entiers naturels impairs, deux à deux disjoints, telle que pour tout $i \in [ [1, 2^p] ], π_p = \sum_(k \in M_i)k^p$ .
52.Soit $m \in ℕ^*$ .
- (a)Montrer qu'il existe $r \in ℕ$ et $(b_k)_(k \in [ [0, r] ]) \in [ [0, 2^p - 1] ]^(r + 1)$ tels que $m = \sum_(k = 0)^r b_k 2^(pk)$ .
- (b)En déduire que $mπ_p$ est la somme de puissances $p$ -ièmes d'entiers naturels distincts.
On pose $Θ_p = \sum_(k = 1)^(π_p - 1)(kπ_p + 1)^p$ .
53.Montrer que tout entier $n$ vérifiant $n ⩾ Θ_p$ est la somme de puissances $p$ -ièmes d'entiers naturels distincts.
54.Montrer qu'il existe un entier $δ_p ⩾ Θ_p$ tel que pour tout entier $n ⩾ δ_p, \sum_(k = 1)^n k^p ⩾ (n + 1)^p$ .

On se fixe jusqu'à la question 60 un rationnel

x

U_p

.
On introduit des entiers

C_p > 2δ_p

K_p > (C_p + 1)!

vérifiant la condition suivante : pour tout

m \in [ [Θ_p, Θ_p + (δ_p C_p)^p] ]

, il existe une partie finie non vide

M

ℕ^*

telle que, d'une part,

m = \sum_(k \in M)k^p

, et telle que, d'autre part, tout élément de

M

s'écrit comme le produit d'éléments distincts de

[ [1, K_p] ]

55.Montrer qu'on peut choisir $K_p$ assez grand de sorte qu'il existe $Λ \in P_(K_p - 1)$ et un entier naturel $R_p$ multiple de $K_p$ tels que
$x - Λ = (R_p)/((K_p!)^p) et (R_p)/((K_p!)^p) < 1/((K_p - 1)^p).$
On suppose dans toute la suite que $K_p$ et $R_p$ se trouvent ainsi fixés.
On suppose jusqu'à la question 59.(b) que $R_p > 0$ .
On note $Δ_p = \prod_(C_p + 1 ⩽ i ⩽ K_p)i^p$ et $N$ l'ensemble des entiers $m$ inférieurs à $Δ_p$ qui s'écrivent comme le produit de puissances $p$ -ièmes d'entiers distincts de $[ [C_p, K_p] ]$ , c'est-à-dire tels qu'il existe $h \in ℕ^*$ et des entiers $i_1 < i_2 < \dots < i_h$ dans $[ [C_p, K_p] ]$ vérifiant : $m = \prod_(1 ⩽ k ⩽ h)i_k^p$ .
On note $C_p^p = m_1 < m_2 < \dots < m_Z = Δ_p$ les éléments de $N$ .
56.Montrer que pour tout $k \in [ [1, Z - 1] ], (m_(k + 1))/(m_k) ⩽ 2^p$ .

On pose

B = {k ∈ [ [0, C_p − 1] ]; ∃i ∈ [ [1, Z] ]

tel que

k^p m_i ⩽ R_p - Θ_p < (k + 1)^p m_i}

57.Montrer que $B$ est non vide.

On pose

G = maxB

58.On suppose dans cette question que $G < δ_p$ .
- (a)Établir que $R_p \in [ [Θ_p, Θ_p + (δ_p C_p)^p] ]$ .
- (b)En déduire que $x \in ⋃_(n \in ℕ^*)P_n$ .
59.On suppose dans cette question que $G ⩾ δ_p$ . On dispose alors de $i_0 \in [ [1, Z] ]$ tel que $G^p m_(i_0) ⩽ R_p - Θ_p < (G + 1)^p m_(i_0)$ .
- (a)Montrer qu'on peut définir
  $k_0 = min{k ∈ [ [1, G] ]; (k^p + (k + 1)^p + ⋯ + G^p)m_(i_0) ⩽ R_p − Θ_p}.$
- (b)Montrer que, en posant $R_p^' = R_p - (k_0^p + (k_0 + 1)^p + \dots + G^p)m_(i_0)$ , on a :
  $0 ⩽ R_p^' - Θ_p < (k_0 - 1)^p m_(i_0).$
60.Montrer que $x \in ⋃_(n \in ℕ^*)P_n$ .
61.Établir que $U_p \cap ℚ = ⋃_(n \in ℕ^*)P_n$ .
62.(a) Montrer qu'il existe un entier $r ⩾ 2$ tel que $1/4$ soit la somme de $r$ inverses de carrés d'entiers naturels distincts.
- (b)Montrer que pour tout rationnel $x \in ]0, (π^2)/6 - 1[ \cup ]1, (π^2)/6$ [, il existe une infinité de suites $(ε_n)_(n ∈ ℕ^∗) ∈ {0, 1}^(ℕ^∗)$ stationnant à la valeur 0 telles que $x = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(ε_n)/(n^2)$ .

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMTATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière E|A|E 1/3/0/0/A 1|0|2 2|6|7|8

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de mathématiques de l'agrégation externe 2026 ?

Elle porte sur l'analyse (suites, séries, fonctions holomorphes, transformée de Fourier, déterminations du logarithme) et les probabilités (variables aléatoires, convergence en loi), appliquées à l'étude des sommes de fractions unitaires.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties I, II et III peuvent être abordées de manière autonome, que la partie V ne dépend que des parties I et III, et que les parties IV et VI s'appuient sur les résultats des parties précédentes.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les séries numériques et leur convergence, les fonctions holomorphes et méromorphes, la transformée de Fourier, les variables aléatoires discrètes et continues, et la convergence en loi vers une loi gaussienne.

Ce sujet mélange-t-il plusieurs domaines des mathématiques ?

Oui, il combine l'analyse réelle et complexe, les probabilités et l'arithmétique, en les articulant autour d'un même objectif : caractériser les réels qui sont somme d'inverses de puissances p-ièmes d'entiers distincts.

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Rappels et notations

I. Développement p-adique et développement en série de Sylvester

II. Estimations préliminaires

III. Déterminations du logarithme

IV. Sommes de fractions unitaires

V. Un théorème de Paul Lévy sur les séries de Sylvester

VI. Un théorème de Ronald Graham

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AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMTATIQUES

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de mathématiques de l'agrégation externe 2026 ?

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Ce sujet mélange-t-il plusieurs domaines des mathématiques ?

Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2026, épreuve 2

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I. Développement $p$ -adique et développement en série de Sylvester