Agrégation mathématiques externe spéciale 2026, épreuve écriteSujet

Concours externe spécial de l'agrégation section mathématiques - Sujet de l'épreuve écrite de la session 2026

2,5(2 votes)

Réduction des endomorphismes
Suites de matrices et spectre
Variables aléatoires discrètes et couplage
Groupes et actions de groupe
Anneaux, corps et extensions de corps
Séries de Fourier
Transformation de Fourier et classe de Schwartz
Fonctions holomorphes et prolongement analytique
Formes modulaires

Explorer les annales

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Présentation du sujet

Quatre exercices d'algèbre, d'analyse et de probabilités, puis un problème au choix : le lemme de Selberg (algèbre et géométrie) ou les formes modulaires et une série d'Eisenstein (analyse et probabilités)

L'épreuve comporte une première partie de quatre exercices indépendants (crochet de Lie et trace, matrices à spectre borné, distance en variation totale et inégalité de Le Cam, nombre de rotation des homéomorphismes croissants de R) puis un problème au choix parmi deux. Le problème d'algèbre démontre le lemme de Selberg sur les sous-groupes de type fini de GLn(k). Le problème d'analyse construit un produit eulérien, la formule de Poisson, une série d'Eisenstein puis les formes modulaires, pour aboutir à un résultat sur un réseau de R8.

1Exercice 1 : crochet de Lie et traceÉtude de l'application adjointe adA sur Mn(C) et caractérisation des matrices nilpotentes via la relation [X, N] = N.
2Exercice 2 : convergence des suites de matricesCaractérisation des matrices dont la suite des puissances converge ou est bornée, à l'aide du spectre et des espaces caractéristiques.
3Exercice 3 : distance en variation totale et inégalité de Le CamÉtude de la distance en variation totale entre variables aléatoires, couplage de Bernoulli et de Poisson, démonstration de l'inégalité de Le Cam.
4Exercice 4 : nombre de translation et de rotationÉtude du groupe des homéomorphismes croissants de R vérifiant f(x+1)=f(x)+1, définition et propriétés du nombre de translation et du nombre de rotation.
5Problème d'algèbre : le lemme de SelbergDémonstration du lemme de Selberg sur l'existence d'un sous-groupe d'indice fini, distingué et sans torsion dans tout sous-groupe de type fini de GLn(k), via GLn(Z), les entiers algébriques et les extensions de corps de type fini.
6Problème d'analyse : produit eulérien, formule de Poisson et formes modulairesConstruction du produit eulérien de sin(πx), de la formule de Poisson, d'une série d'Eisenstein, puis étude des formes modulaires pour SL2(Z) et application à un réseau de R8.

Description

Sujet officiel Agrégation externe spéciale en mathématiques, session 2026.

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SESSION 2026

AGRÉGATION
Concours externe spécial docteur

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.

L'épreuve comporte deux parties :

-Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve de cette partie en cherchant à traiter les quatre exercices numérotés $1, 2, 3$ et 4 .
-Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.

Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.

Exercice 1

Soit

n

un entier naturel non nul. On note

M_n(ℂ)

l'algèbre des matrices carrées

n \times n

à coefficients complexes. Si

M \in M_n(ℂ)

, on note

TrM

sa trace. On rappelle que la fonction

Tr : M_n(ℂ) \to ℂ

est une forme linéaire et que si

M

N

sont deux matrices de

M_n(ℂ)

, alors

Tr(MN) = Tr(NM)

. Si

M, N \in M_n(ℂ)

, on note

[M, N] = MN - NM

. On admet (et c'est immédiat) que [,] est bilinéaire sur

M_n(ℂ)

Pour toute matrice

A \in M_n(ℂ)

, on note

ad_A

l'endomorphisme de

M_n(ℂ)

défini par

ad_A : M \mapsto

[A, M]

. Pour toute matrice inversible

P

M_n(ℂ)

, on note

φ_P

l'endomorphisme de

M_n(ℂ)

défini par

φ_P : M \mapsto PMP^(- 1)

. Pour toute matrice

A \in M_n(ℂ)

, on note

f_A : M_n(ℂ) \to ℂ

définie par

f_A : M \mapsto Tr(AM)

1.Soient $A \in M_n(ℂ)$ et $λ \in ℂ$ . Que dire de $ad_(A + λI_n)$ ?
2.Montrer que l'application $A \mapsto f_A$ est un isomorphisme entre les espaces vectoriels $M_n(ℂ)$ et $L(M_n(ℂ), ℂ)$ .
3.Soit $A, B \in M_n(ℂ)$ . Montrer qu'il existe un unique $C \in M_n(ℂ)$ telle que
$f_A \circ ad_B = f_C$
et exprimer $C$ en fonction de $A$ et $B$ .

Soit

N \in M_n(ℂ)

nilpotente. On souhaite montrer qu'il existe

X \in M_n(ℂ)

telle que

[X, N] = N

4.Montrer que toute matrice nilpotente de $M_n(ℂ)$ est de trace nulle.
5.Montrer que $Kerad_N \subset Kerf_N$ .
6.Montrer qu'il existe $φ \in L(M_n(ℂ), ℂ)$ telle que $f_N = φ \circ ad_N$ .
7.Conclure.

Soient

X, N \in M_n(ℂ)

qui vérifient

[X, N] = N

. On se propose de montrer réciproquement qu'alors

N

est nilpotente.

8.Soit $k \in ℕ$ . Montrer que $[X, N^k] = kN^k$ .
9.Conclure.

Exercice 2

Dans tout l'exercice,

p

est un entier supérieur ou égal à 2 . On note

M_p(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées

p \times p

I_p

la matrice identité

p \times p

. On note

D

le disque ouvert complexe de centre 0 et de rayon 1 et

D¯

le disque fermé de centre 0 et de rayon 1 .
Pour toute matrice

M \in M_p(ℂ)

, on note

Sp(M)

le spectre de

M

, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres. Si

λ

est une valeur propre de

M

, on note

m(λ)

la multiplicité de

λ

en tant que racine du polynôme caractéristique

χ_M

M

; on note de plus

E_λ(M) = Ker(M - λI_p)

l'espace propre associé et

K_λ(M) = Ker(M - λI_p)^(m(λ))

l'espace caractéristique associé.
On rappelle que

M_p(ℂ)

ne possède qu'une seule topologie d'espace normé puisque toutes les normes y sont équivalentes. Cela permet de parler sans ambiguïté de suites bornées et de suites convergentes.

1.Déterminer successivement, en justifiant la réponse, l'ensemble des $z \in ℂ$ tels que :
- (i)la suite $(z^n)_(n \in ℕ)$ est bornée;
- (ii)la suite $(z^n)_(n \in ℕ)$ converge;
- (iii)la série $\sumz^n$ converge;
- (iv)la suite de terme général $1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)z^k$ converge.
2.Soit $A, B \in M_p(ℂ)$ semblables. Montrer que $(A^n)_(n \in ℕ)$ converge (resp. est bornée) si et seulement si $(B^n)_(n \in ℕ)$ converge (resp. est bornée).
3.Soit $N \in M_p(ℂ)$ nilpotente non nulle. Montrer qu'il existe $x \in KerN^2∖KerN$ .

Dans les questions 4 à 7, on suppose que

M \in M_p(ℂ)

est une matrice admettant une unique valeur propre

λ

4.On suppose dans cette question que la suite $(M^n)_(n \in ℕ)$ est bornée et que $|λ| = 1$ . Montrer que $M = λI_p$ .
5.Montrer que la suite $(M^n)_(n \in ℕ)$ converge vers 0 si et seulement si $λ \in D$ .
6.À quelle condition nécessaire et suffisante la suite $(M^n)_(n \in ℕ)$ est-elle bornée?
7.À quelle condition nécessaire et suffisante la suite $(M^n)_(n \in ℕ)$ converge-t-elle?

On revient au cas général. Soit

M \in M_p(ℂ)

8.Caractériser à l'aide des $m(λ)$ et des $E_λ(M)$ les matrices $M \in M_p(ℂ)$ telles que la suite $(M^n)_(n \in ℕ)$ soit bornée.
9.Soit $A \in M_p(ℂ)$ telle que la suite $(A^n)_(n \in ℕ)$ soit bornée. On pose
$B_n = 1/(n + 1)\sum_(k = 0)^n A^k$
- (a)Montrer que $(B_n)_(n \in ℕ)$ admet une valeur d'adhérence $B$ . Montrer que $AB = BA = B$ et que $B$ est un projecteur.
- (b)Montrer que $KerB = Im(I_p - A)$ et que $ImB = Ker(I_p - A)$ .
- (c)Montrer que $(B_n)_(n \in ℕ)$ converge.
10.Déterminer les matrices $M \in M_p(ℂ)$ telles que la suite $(1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)M^k)_(n \in ℕ^*)$ converge.
11.Déterminer les matrices $M \in M_p(ℂ)$ telles que la série $\sumM^n$ converge.

Exercice 3

Dans cet exercice, les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

) et à valeurs dans

ℕ

. La distance en variation totale entre deux variables aléatoires

X

Y

est définie par

d(X, Y) = sup_(A \in P(ℕ))|ℙ(X \in A) - ℙ(Y \in A)|,

où

P(ℕ)

désigne l'ensemble des parties de

ℕ

I. Propriétés de la distance en variation totale

1.(a) Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires (définies sur $Ω$ et à valeurs dans $ℕ$ ).
Pour $A \in P(ℕ)$ , montrer que $ℙ(X \in A) ⩽ ℙ(Y \in A) + ℙ(X \neq Y)$ . En déduire que
$d(X, Y) ⩽ ℙ(X \neq Y).$
- (b)Soit $n \in ℕ^*$ et $X_1, \dots, X_n, Y_1, \dots, Y_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $ℕ$ . Montrer
  $d(\sum_(i = 1)^n X_i, \sum_(i = 1)^n Y_i) ⩽ \sum_(i = 1)^n ℙ(X_i \neq Y_i).$
2.Montrer que $d(X, Y) = 1/2\sum_(k \in ℕ)|ℙ(X = k) - ℙ(Y = k)|$ .

II. Rappels sur les variables aléatoires de Poisson

Soit

Y

une variable aléatoire de Poisson de paramètre

λ ⩾ 0

.
On rappelle que

Y

est à valeurs dans

ℕ

et que, pour pour tout

k \in ℕ, ℙ(Y = k) = e^(- λ)(λ^k)/(k!)

3.Calculer l'espérance et la variance de $Y$ .
4.Soit $Y^'$ une variable aléatoire de Poisson de paramètre $λ^'$ telle que $Y$ et $Y^'$ soient indépendantes.
Montrer que $Y + Y^'$ est une variable aléatoire de Poisson de paramètre $λ + λ^'$ .

III. Couplage Bernoulli-Poisson

Soit

p \in [0, 1]

et soit (

X, Y

) un couple de variables aléatoires à valeurs dans

ℕ

définies sur

Ω

.
On dit que

(X, Y)

est un

p

-couple adapté de Bernoulli-Poisson si

ℙ(X = 0, Y = k) = {1 − p, si k = 0; 0, si k ⩾ 1 et ℙ(X = 1, Y = k) = {e^(− p) − (1 − p), si k = 0; e^(− p)(p^k)/(k!), si k ⩾ 1

On suppose dans cette partie que

(X, Y)

est un

p

-couple adapté de Bernoulli-Poisson.

5.Montrer que les formules précédentes définissent une loi de probabilité pour $(X, Y)$ , que $X$ est une variable de Bernoulli de paramètre $p$ et que $Y$ est une variable de Poisson de paramètre $p$ .
6.Montrer que $d(X, Y) = p(1 - e^(- p))$ .

IV. Inégalité de Le Cam

On suppose que

X_1, \dots, X_n

sont des variables aléatoires de Bernoulli sur

Ω

indépendantes, et on note

p_i = 𝔼(X_i)

. On suppose données des variables aléatoires de Poisson indépendantes

Y_1, \dots, Y_n

sur

Ω

telles que, pour tout

i, (X_i, Y_i)

soit un

p_i

-couple adapté de Bernoulli-Poisson. On note

X = \sum_(i = 1)^n X_i Y = \sum_(i = 1)^n Y_i λ = \sum_(i = 1)^n p_i

7.Montrer $d(X, Y) ⩽ \sum_(i = 1)^n p_i(1 - e^(- p_i))$ .
8.En déduire l'inégalité de Le Cam : $\sum_(k = 0)^\infty|P(X = k) - e^(- λ)(λ^k)/(k!)| ⩽ 2\sum_(i = 1)^n p_i^2$ .

Exercice 4

Soit

G

l'ensemble des fonctions

f : ℝ \to ℝ

continues et strictement croissantes telles que pour tout

x \in ℝ, f(x + 1) = f(x) + 1

I. Le groupe des homéomorphismes croissants de $ℝ$

1.Soit $f \in G$ . Déterminer les limites en $\pm \infty$ de $f$ .
2.Montrer que $(G, \circ)$ est un groupe.
3.Soit $f \in G$ . Que dire de la périodicité de $x \mapsto f(x) - x$ ? En déduire que les fonctions $f \in G$ sont uniformément continues.
4.Quelles sont les fonctions $f \in G$ affines ? convexes ? polynomiales ?
5.Donner un exemple de fonction $f \in G$ qui n'est pas lipschitzienne.

II. Nombre de translation

6.Montrer que pour tous $x, y \in ℝ$ , l'écart en valeur absolue entre $f(x) - x$ et $f(y) - y$ est inférieur ou égal à 1.

On choisit désormais et jusqu'à la fin de cette partie une fonction

f \in G

x_0 \in ℝ

.
On pose

F(n) = f^n(x_0) - x_0

, où

f^n

désigne

f \circ f \circ \dots \circ f

(

n

fois).

7.Montrer que pour tous $n, p \in ℕ$ , on a
$|F(n + p) - F(n) - F(p)| ⩽ 1.$
8.En déduire que pour tous $n, k \in ℕ^*$ , on a $|(F(kn))/(kn) - (F(n))/n| ⩽ 1/n$ .
9.En déduire que la suite $(F(n)/n)_(n \in ℕ^*)$ est de Cauchy. On note $τ_(x_0)$ sa limite.
10.Montrer que si $x, y \in ℝ$ sont tels que $|x - y| ⩽ k$ où $k \in ℕ$ , alors $|f^n(x) - f^n(y)| ⩽ k$ pour tout $n \in ℕ$ . En déduire que $τ_(x_0)$ ne dépend pas de $x_0$ .

Le réel

τ_(x_0) = τ

s'appelle le nombre de translation de

f

. On le notera aussi

τ(f)

11.Montrer que pour tout $x \in ℝ$ et tout $n \in ℕ$ ,
$- 1 ⩽ f^n(x) - x - nτ ⩽ 1.$

III. Quelques propriétés du nombre de translation

12.Soit $λ \in ℝ$ et $T_λ : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $T_λ(x) = x + λ$ . Montrer que $T_λ \in G$ et déterminer son nombre de translation.
13.Soit $f \in G$ et $k \in ℕ$ . Montrer que $τ(f^k) = kτ(f)$ .
14.(a) On note $‖.‖_\infty$ la norme uniforme sur les fonctions bornées de $ℝ$ dans $ℝ$ . Montrer que l'application $d : G \times G \to ℝ^+$ définie par $d(f, g) = ‖f - g‖_\infty$ est une distance sur $G$ .
- (b)Montrer que si $(f_n)_(n \in ℕ)$ et $(g_n)_(n \in ℕ)$ sont deux suites dans l'espace métrique $G$ convergeant respectivement vers $f$ et $g$ dans $G$ , alors $(f_n \circ g_n)_(n \in ℕ)$ converge vers $f \circ g$ .
- (c)Montrer que $τ : G \to ℝ$ est continue pour cette distance.

IV. Nombre de rotation et points fixes

Pour tout

x \in ℝ

, on note

⌊x⌋

la partie entière de

x

{x} = x - ⌊x⌋

sa partie fractionnaire. On note

𝕌

l'ensemble des nombres complexes de module 1 . Pour tout

f \in G

et tout

θ \in ℝ

, on pose

fˆ(e^(i2πθ)) = e^(i2πf(θ)) et ρ(fˆ) = τ(f) − ⌊τ(f)⌋ = {τ(f)}.

Le réel

ρ(fˆ)

s'appelle le nombre de rotation de

fˆ

.
Soit

f \in G

15.Montrer que $fˆ$ est une bijection de $𝕌$ sur lui-même. (On vérifiera que $fˆ$ est bien définie.)
16.Soit $g \in G$ . Montrer que $fˆ = gˆ$ si et seulement si il existe $p \in ℤ$ tel que $f - g = p$ . En particulier, si $fˆ = gˆ$ , alors $ρ(fˆ) = ρ(gˆ)$ , et donc le nombre de rotation de $fˆ$ est bien défini.
17.Soit $α \in ℝ$ et $r_α : 𝕌 \to 𝕌$ la rotation définie par $z \mapsto e^(i2πα)z$ . Montrer qu'il existe $h \in G$ telle que $hˆ = r_α$ et déterminer le nombre de rotation associé.
18.On suppose que $fˆ$ n'admet pas de point fixe.
- (a)Montrer que l'image de $x \mapsto f(x) - x$ est un segment $[a, b]$ inclus dans un intervalle $]k, k + 1[$ où $k \in ℤ$ .
- (b)Avec les notations de la question précédente, montrer que pour tout $n \in ℕ^*$ et tout $x \in ℝ$ ,
  $na ⩽ f^n(x) - x ⩽ nb.$
19.Montrer que $fˆ$ admet un point fixe si et seulement si $ρ(fˆ) = 0$ .
20.L'orbite du point $z \in 𝕌$ sous $fˆ$ est l'ensemble ${fˆ^k(z)|k ∈ ℤ}$ . Montrer que $fˆ$ admet une orbite finie si et seulement si $ρ(fˆ) \in ℚ$ .

Problème d'algèbre - le lemme de Selberg

Lorsque

p

est un nombre premier, on note

𝔽_p = ℤ/pℤ

le corps à

p

éléments. Tous les anneaux de ce problème sont des anneaux unitaires, c'est-à-dire que

A

contient un élément neutre pour le produit généralement noté

1_A

. On rappelle que si

A

est un anneau commutatif intègre, alors

A

est un sousanneau de son corps de fractions. Les corps seront toujours des corps commutatifs.
Si

k

est un corps et

X_1, \dots, X_n

des indéterminées, on note

k(X_1, \dots, X_n)

le corps des fractions de l'anneau commutatif intègre

k[X_1, \dots, X_n]

. Ses éléments sont les fractions rationnelles

(P(X_1, \dots, X_n))/(Q(X_1, \dots, X_n))

où

P, Q \in k[X_1, \dots, X_n]

avec

Q

non nul.
Si

A

est un anneau commutatif, on désigne par

M_n(A)

l'ensemble des matrices carrées

n \times n

à coefficient dans l'anneau

A

. Si

α \in A

, on dispose alors du morphisme d'anneau

ℤ[X] \to A

donné par

P \mapsto P(α)

. On note

ℤ[α]

son image; c'est un sous-anneau de

A

.
Un élément

γ

d'un groupe

G

est de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire qu'il existe

m \in ℕ^*

tel que

γ^m = e

où

e

est l'élément neutre de

G

. Un groupe

G

est de torsion si tous ses éléments sont de torsion; il est sans torsion si le seul élément de torsion est

e

. Un groupe

G

est de type fini s'il est engendré par une partie finie de

G

Dans tout ce problème,

k

est un corps commutatif et

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
L'objectif du problème est de démontrer le résultat suivant, dû à Atle Selberg (1960).
Lemme de Selberg Soit

k

un corps de caractéristique nulle et

Γ

un sous-groupe de type fini de

GL_n(k)

. Alors

Γ

contient un sous-groupe d'indice fini et distingué sans torsion.

I Le groupe $GL_n(A)$

Soit

A

un anneau commutatif intègre et soit

K_A

son corps des fractions.

1.Montrer que $(M_n(A), +, \times)$ est un sous-anneau de $(M_n(K_A), +, \times)$ .
On note $G = GL_n(A)$ son groupe des inversibles.
2.Soient $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs et $φ : A \to B$ un morphisme d'anneaux. On définit $φ˜ : M_n(A) \to M_n(B)$ de la manière suivante : si $M \in M_n(A)$ , en notant $[M]_(i, j)$ le coefficient matriciel d'indice $(i, j)$ de $M$ , alors $[φ˜(M)]_(i, j) = φ([M]_(i, j))$ .
Montrer que $φ˜$ est un morphisme d'anneaux unitaires. Montrer que sa restriction à $GL_n(A)$ est un morphisme de groupe de $GL_n(A)$ dans $GL_n(B)$ .
3.Soit $M \in M_n(ℤ)$ . Montrer $M \in GL_n(ℤ)$ si et seulement si $detM = \pm 1$ .

II Sous-groupes d'indice fini

Soit

G

un groupe et

H

un sous-groupe de

G

, et l'on écrira

H < G

. Si

x \in G

, on note

xH = {xh|h \in

H}

4.On considère la relation binaire $\sim$ sur $G$ définie par $x \sim y$ si et seulement si $x^(- 1)y \in H$ . Montrer que ~ est une relation d'équivalence et que les classes d'équivalences sont les $xH$ où $x$ parcourt $G$ .
On note $G/H$ l'ensemble des classes d'équivalence.

Définition Soit

H

un sous-groupe du groupe

G

. Le groupe

H

est d'indice fini dans

G

G/H

est fini.

5.Soit $f : G \to H$ un morphisme de groupe où $H$ est fini. Montrer que $Kerf$ est un sous-groupe d'indice fini de $G$ et distingué.

III Le lemme de Selberg pour $GL_n(ℤ)$

Dans cette partie, on démontre de deux manières un cas particulier du lemme de Selberg. La première est élémentaire, mais c'est la deuxième qui se généralisera à tout corps de caractéristique nulle.

Soit

G

le sous-groupe

GL_n(ℤ)

GL_n(ℚ)

Γ

un sous-groupe de

G

(pas forcément de type fini). On souhaite démontrer que

Γ

contient un sous-groupe d'indice fini distingué sans torsion.

III. 1 Une première méthode

On fixe ici

p = 3

. D'après la question 2, on dispose du morphisme de réduction

f : GL_n(ℤ) \to GL_n(𝔽_p)

induit par le morphisme d'anneau

ℤ \to 𝔽_p

de réduction modulo

p

. Soit

G_0

son noyau. On choisit

γ \in G_0

de torsion, c'est-à-dire qu'il existe

m \in ℕ^*

tel que

γ^m = I_n

6.Montrer que $γ$ est diagonalisable dans $M_n(ℂ)$ . Que dire de ses valeurs propres ?
7.Montrer que $A = 1/3(γ - I_n)$ est une matrice de $M_n(ℤ)$ .
8.Montrer que la suite $(A^k)_(k \in ℕ)$ converge vers 0.
9.En déduire que $A = 0$ .
10.Montrer que $Γ$ admet un sous-groupe d'indice fini sans torsion.

III. 2 Une deuxième méthode

On fixe un nombre premier

p

strictement supérieur à

2n

. D'après la question 2 , le morphisme de réduction modulo

p

induit un morphisme de groupe

f_0 : Γ \to GL_n(𝔽_p)

. Soit

Γ_0

le noyau de ce morphisme. On choisit

γ \in Γ_0

de torsion, c'est-à-dire qu'il existe

m \in ℕ^*

tel que

γ^m = I_n

11.Montrer que $|Trγ| ⩽ n$ . On pourra utiliser la question 6.
12.Montrer que $Trγ \equiv nmodp$ puis que $Trγ = n$ .
13.Montrer que $Γ_0$ est un sous-groupe distingué d'indice fini sans torsion de $Γ$ .

IV Entiers algébriques

Soit

A

un anneau commutatif intègre. On dit que

x \in A

est un entier algébrique si

x

est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans

ℤ

.
On rappelle que si

P \in ℤ[X_1, X_2, \dots, X_n]

est un polynôme symétrique en les indéterminées

X_1, \dots, X_n

, alors il existe un polynôme

Q \in ℤ[X_1, X_2, \dots, X_n]

tel que

P = Q(σ_1, σ_2, \dots, σ_n)

où les

σ_k

sont les polynômes symétriques élémentaires en les

X_i

, à savoir

σ_k = σ_k(X_1, \dots, X_n) = \sum_(I \subset [ [1, n] ], |I| = k)\prod_(i \in I)X_i.

On note

𝔖_n

S_n

le groupe symétrique des permutations de

[ [1, n] ]

.
On note

E

l'ensemble des entiers algébriques de

A

. On se propose de montrer dans les questions 14 à 17 que

E

est un anneau. Soient

α_1, α_2 \in E

distincts.

14.Montrer qu'il existe un $P \in ℤ[X]$ unitaire dont $α_1$ et $α_2$ sont racines. On fixe un tel $P$ .

15.Soit $K$ un corps de décomposition de $P$ .
Il existe donc $α_3, \dots, α_n \in K$ tels que $P = (X - α_1)\dots(X - α_n)$ .
Soit $g$ un polynôme de $ℤ[X_1, X_2, \dots, X_n]$ et $h(X) = \prod_(s \in 𝔖_n)(X - g(α_(s(1)), \dots, α_(s(n))))$ .
Montrer que les coefficients de $h$ sont dans $ℤ$ .
16.En considérant $g(X_1, \dots, X_n) = X_1 - X_2$ , montrer que $α_1 - α_2$ est un entier algébrique de $A$ .
17.Montrer que $E$ est un sous-anneau de $A$ . On pourra adapter la question précédente en modifiant judicieusement $g$ .
18.Quels sont les entiers algébriques de $ℚ$ ?
19.Soient $X_1, \dotsX_r$ des indéterminées. Quel est l'anneau des entiers de $ℚ(X_1, \dots, X_r)$ ?

V Le lemme de Selberg pour $k = ℚ$

On note

k = ℚ

G = GL_n(k)

. Soit

Γ

un sous-groupe de type fini de

G

20.Montrer qu'il existe un entier $s \in ℕ^*$ tel que $Γ$ est un sous-groupe de $GL_n(ℤ[1/s])$ . On note désormais $A$ l'anneau $ℤ[1/s]$ .
21.Soit $p$ premier strictement supérieur à $s$ et $2n$ . Montrer que le morphisme de réduction modulo $p$ de $ℤ$ dans $𝔽_p$ se prolonge en un morphisme d'anneaux surjectif de $A$ dans $𝔽_p$ et que ce morphisme induit un morphisme de groupes de $Γ$ dans $GL_n(𝔽_p)$ .

On fixe désormais ce

p

et on note

Γ_0

son noyau.

22.Soit $γ \in Γ_0$ de torsion; on note $m \in ℕ^*$ tel que $γ^m = I_n$ . Montrer que $Trγ$ est un entier algébrique. En déduire comme en III. 2 que $γ = I_n$ .
23.En déduire le lemme de Selberg pour $k = ℚ$ .

VI Structure des extensions de corps de type fini

k

est un sous-corps du corps

K

, on dit que

K

est une extension du corps

k

; on parle alors de l'extension

K/k

. Dans ce cas, le corps

K

est une

k

-algèbre commutative. Le degré de l'extension

K/k

est la dimension de

K

comme

k

-espace vectoriel. Lorsque ce degré est fini, on le note

[K : k]

.
On rappelle que si

L/K

K/k

sont deux extensions de degrés finis, alors

[L : K][K : k] = [L : k]

(théorème de multiplicativité des degrés).

Soit

K/k

une extension de corps. Si

u_1, \dots, u_r

sont des éléments de

K

, on note

k(u_1, \dots., u_r)

le plus petit sous-corps de

K

contenant

k

et tous les

u_j

. Les éléments de

k(u_1, \dots., u_r)

sont les

(P(u_1, \dots., u_r))/(Q(u_1, \dots., u_r))

où

P, Q \in k[X_1, \dots, X_r]

tels que

Q(u_1, \dots., u_r)

soit non nul.
Soit

K/k

une extension de corps et

u_1, \dots, u_r

dans

K

. On dit que la famille

(u_1, \dots, u_r)

est algébriquement liée sur

k

s'il existe un polynôme non nul

P \in k[X_1, \dots, X_r]

tel que

P(u_1, \dots, u_r) = 0

, et qu'elle est algébriquement libre sinon. Lorsque

(u_1, \dots, u_r)

est algébriquement libre sur

k

, on dit que l'extension

k(u_1, \dots, u_r)/k

est purement transcendante.
Le but de cette partie est de prouver le résultat suivant :
Lemme Soit

k

un corps et

L

une extension de

k

. On suppose qu'il existe

a_1, \dots, a_r \in L

tels que

L = k(a_1, \dots, a_r)

. Alors il existe un sous-corps

K

L

contenant

k

tel que l'extension

K/k

est purement transcendante et l'extension

L/K

est finie.

Soit

L

un corps et

k

un sous-corps de

L

. On suppose qu'il existe

a_1, \dots, a_r \in L

tels que

L = k(a_1, \dots, a_r)

. On dit alors que

L

est une extension de type fini de

k

24.Montrer qu'il existe une partie une partie $I \subset [ [1, r] ]$ telle que $(a_i)_(i \in I)$ est algébriquement libre de cardinal maximal.

Quitte à renuméroter les

a_i

, on supposera dans la suite que

(a_1, \dots, a_s)

est algébriquement libre de cardinal maximal.

25.Montrer que $k(a_1, \dots, a_s)$ est isomorphe en tant que corps à $k(X_1, \dots, X_s)$
26.Soit $L = k(a_1, \dots, a_r)$ et $K = k(a_1, \dots, a_s)$ . Montrer que l'extension $L/K$ est de degré fini.

VII Le lemme de Selberg

Soit

G = GL_n(k)

où

k

est un corps de caractéristique nulle.
On suppose dans les questions 27 à 33 qu'il existe

r \in ℕ^*

tel que

k = ℚ(X_1, \dotsX_r)

et que

Γ

est un sous-groupe de type fini de

G

27.Montrer qu'il existe $s = s(X_1, \dots, X_r) \in ℤ[X_1, \dots, X_r]$ non nul tel que $Γ < GL_n(A)$ où $A =$ $ℤ[X_1, \dots, X_r, 1/s]$ .
28.Justifier qu'il existe un nombre premier $p > 2n$ tel que $s\equiv̸0modp$ .
29.Soit $𝔽^-_p$ une clôture algébrique de $𝔽_p$ . Montrer qu'il existe $(α_1, \dots, α_r) \in (𝔽^-_p)^r$ tel que $s(α_1, \dots, α_r) \neq$ 0 . On fixe une telle famille et on note $K = 𝔽_p(α_1, \dots, α_r)$ . On pourra raisonner par récurrence sur $r$ .
30.Montrer que $K = 𝔽_p(α_1, \dots, α_r)$ est un corps fini.
31.Montrer l'existence d'un morphisme d'anneaux $φ : A = ℤ[X_1, \dots, X_r, 1/s] \to K$ qui envoie $X_i$ sur $α_i$ pour tout $i$ entre 1 et $r$ .
On dispose donc d'un morphisme de réduction $f : GL_n(A) \to GL_n(K)$ induit par $φ$ .
32.Soit $Γ_0$ le noyau de la restriction de $f$ à $Γ$ et $γ \in Γ_0$ d'ordre $m \in ℕ^*$ . Montrer que $Trγ$ est un entier et que $|Trγ| ⩽ n$ . On pourra remarquer que $γ$ est diagonalisable dans $M_n(ℂ(X_1, \dots, X_r))$ et que $Trγ$ est un entier algébrique.
33.Montrer que $Γ_0$ est un sous-groupe d'indice fini sans torsion de $Γ$ .

On revient au cas général. Soit

k

un corps de caractéristique nulle et

Γ

un sous-groupe de type fini de

GL_n(k)

34.Montrer qu'il existe un nombre fini d'éléments $a_1, \dots, a_r \in k$ tel que $Γ \subset GL_n(ℚ(a_1, \dots, a_r))$ .

On peut donc supposer que

k

est de la forme

ℚ(a_1, \dots, a_r)

. D'après la partie VI, il existe un sous-corps

k_0

k

tel que

k_0

est une extension transcendante pure de

ℚ

k

une extension de degré fini de

k_0

. On note

d

le degré de l'extension

k/k_0

35.Soit $H$ un sous-groupe de $GL_n(k)$ . Montrer que $H$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_(nd)(k_0)$ . On pourra remarquer que si $K/k$ est une extension de corps, et en notant $L_k(K^n)$ les endomorphismes $k$ -linéaires de $K^n$ , alors $L_K(K^n)$ est un sous-anneau de $L_k(K^n)$ .
36.En déduire le lemme de Selberg.
37.Une application. Soit $k$ un corps de caractéristique nulle et $Γ$ un sous-groupe de torsion et de type fini de $GL_n(k)$ . Montrer que $Γ$ est fini. (Théorème de Burnside.)

Problème d'analyse

Ce problème traite diverses questions d'analyse réelle et complexe (parties I à III) qui se rattachent aux formes modulaires (partie IV) avant d'aboutir à un résultat sur un certain réseau de

ℝ^8

.
La partie I établit le produit eulérien de

sin(πx)

et le développement eulérien de

(cos(πz))/(sin(πz))

.
La partie II utilise séries de Fourier et transformation de Fourier en vue de la formule de Poisson.
La partie III porte sur une série d'Eisenstein, en vue de la partie IV sur les formes modulaires et de la partie V de conclusion.

Rappels et notations

On rappelle deux résultats d'analyse complexe.

-Stabilité de l'holomorphie par convergence uniforme : Si $\sum_(n \in ℕ)f_n$ est une série de fonctions holomorphes sur un ouvert $Ω$ de $ℂ$ , et si cette série converge uniformément sur tout compact de $Ω$ , alors la somme $S$ de cette série est une fonction holomorphe sur $Ω$ .
-Principe du prolongement analytique : Si $f$ et $g$ sont deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe $Ω$ qui coïncident sur une partie $A$ de $Ω$ possédant un point d'accumulation, alors $f = g$ .

Pour la partie II, on rappelle les résultats suvants.

-Pour toute fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℂ$ de classe $𝒞^\infty$ et 1-périodique, on considère ses coefficients de Fourier, donnés par
$\foralln \in ℤ, c_n(f) = \int_0^1 f(x)e^(- 2iπnx) dx,$
et on admet que $f$ est somme, normalement convergente, de sa série de Fourier :
$\forallx \in ℝ, f(x) = \sum_(n \in ℤ)c_n(f)e^(2iπnx)$
-On dit qu'une fonction $f$ de $ℝ$ dans $ℂ$ est de la classe de Schwartz si elle est de classe $𝒞^\infty$ et si pour tous $p, k \in ℕ$ , la fonction $x \mapsto x^p f^((k))(x)$ est bornée.
-Si $f$ est une fonction de la classe de Schwartz, sa transformée de Fourier est la fonction $fˆ$ donnée par
$\forallξ \in ℝ, fˆ(ξ) = \int_ℝ f(x)e^(- 2iπξx) dx$

Pour la partie IV, on donne les notations suivantes.

-Le demi-plan de Poincaré, noté $H$ , est l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive : $H = {z \in ℂ|Imz > 0}$ .
-On note $SL_2(ℤ) = {(a, b; c, d)| a, b, c, d ∈ ℤ, ad − bc = 1}$ .

Enfin pour la partie V, on rappelle qu'un réseau de

ℝ^d

est un ensemble

Γ

de la forme

ℤu_1 + ℤu_2 + \dotsℤu_d

, où

(u_1, \dots, u_d)

est une base de

ℝ^d

considéré comme

ℝ

-espace vectoriel. On dit alors que (

u_1, \dots, u_d

) est une

ℤ

-base de

Γ

I Un produit eulérien

Pour tout

n \in ℕ

et tout

c \in ℝ

, soit

I_n(c) = \int_0^(π/2)(cost)^n cos(ct)dt

1.Soit $c \in ℝ$ . Calculer $I_0(c)$ .
2.Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 et tout réel $c$ ,
$cI_n(c) = n\int_0^(π/2)(cos(t))^(n - 1)sin(t)sin(ct)dt$
et en déduire que $(n^2 - c^2)I_n(c) = (n^2 - n)I_(n - 2)(c)$ .
3.Montrer que pour tout $(k, x) \in ℕ^* \times ℝ, (1 - (x^2)/(k^2))(I_(2k)(2x))/(I_(2k)(0)) = (I_(2k - 2)(2x))/(I_(2k - 2)(0))$ .
4.En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 et tout réel $x \in ]0, 1/2$ [,
$(sin(πx))/(πx) = [\prod_(k = 1)^n(1 - (x^2)/(k^2))](I_(2n)(2x))/(I_(2n)(0)).$
5.Montrer que pour tout $(x, t) \in [0, 1/2] \times [0, π/2], cos(2xt) ⩾ (cost)^2$ .
6.Prouver que pour tout $(n, x) \in ℕ^* \times [0, 1/2], I_(2n)(0) ⩾ I_(2n)(2x) ⩾ I_(2n + 2)(0)$ puis que
$1 ⩾ (I_(2n)(2x))/(I_(2n)(0)) ⩾ (2n + 1)/(2n + 2).$
7.En déduire que pour tout réel $x \in ]0, 1/2$ [,
$lnsin(πx) = ln(πx) + \sum_(k = 1)^(+ \infty)ln(1 - (x^2)/(k^2)).$
8.Montrer que pour tout $z \in ]0, 1/2[, π(cos(πz))/(sin(πz)) = 1/z + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(1/(z - n) + 1/(z + n))$ .
9.On pose pour tout $z \in ℂ$ ,
$cos(πz) = (e^(iπz) + e^(- iπz))/2 et sin(πz) = (e^(iπz) - e^(- iπz))/(2i).$
Prouver que la fonction $z \mapsto (cos(πz))/(sin(πz))$ est définie et holomorphe sur $ℂ∖ℤ$ .
10.Montrer finalement que l'égalité de la question 8 est valable pour tout $z \in ℂ∖ℤ$ .

II Formule de Poisson

On admet que toute fonction

f

de classe

𝒞^\infty

et 1-périodique est somme de sa série de Fourier :

\forallx \in ℝ, f(x) = \sum_(n \in ℤ)c_n(f)e^(2iπnx),

où pour tout

n \in ℤ, c_n(f) = \int_0^1 f(x)e^(- 2iπnx) dx

.
On rappelle qu'une fonction

f

ℝ

dans

ℂ

est de la classe de Schwartz lorsque qu'elle est de classe

𝒞^\infty

et que pour tous

p, k \in ℕ

, la fonction

x \mapsto x^p f^((k))(x)

est bornée.
On suppose que la fonction

f

ℝ

dans

ℂ

est de la classe de Schwartz. On note

fˆ

sa transformée de Fourier donnée par

\forallξ \in ℝ, fˆ(ξ) = \int_ℝ f(x)e^(- 2iπξx) dx

Montrer que $fˆ$ est une fonction de la classe de Schwartz.

On définit la fonction

F

par

\forallx \in ℝ, F(x) = \sum_(n \in ℤ)f(x + n).

(a) Montrer que la fonction $F$ est bien définie et de classe $𝒞^\infty$ sur $ℝ$ et qu'elle est 1-périodique.

(b)Montrer que la série de Fourier de $F$ est donnée par :
$F(x) = \sum_(k \in ℤ)fˆ(k)e^(2iπkx)$
(c)En déduire
$\sum_(n \in ℤ)f(n) = \sum_(k \in ℤ)fˆ(k).$

Soit $a > 0$ et soit $f_a : ℝ \to ℂ$ définie par

f_a(x) = e^(- aπx^2).

(a)Montrer que la fonction $f_a$ est de la classe de Schwartz.
(b)Montrer que, pour tout $ξ \in ℝ, f_1^' ˆ(ξ) = - 2πξf_1 ˆ(ξ)$ .
(c)On admet que $\int_ℝ f_1(x)dx = 1$ . Montrer que
$\forallξ \in ℝ, f_1 ˆ(ξ) = e^(- πξ^2).$
(d)En déduire, pour $a > 0$ , l'expression explicite de la transformée de Fourier de $f_a$ :
$\forallξ \in ℝ, f_a ˆ(ξ) = 1/(\sqrta)exp(- (πξ^2)/a).$

Pour $a > 0$ , montrer que pour tout $x \in ℝ$ ,

\sum_(n \in ℤ)e^(- aπ(x + n)^2), = 1/(\sqrta)\sum_(k \in ℤ)e^(- πk^2/a)e^(2iπkx); \sum_(n \in ℤ)e^(- aπn^2), = 1/(\sqrta)\sum_(k \in ℤ)e^(- πk^2/a)

III Une série d'Eisenstein

15.Montrer l'existence d'un réel $K > 0$ tel que pour tout $c \in ℕ^*$ ,
$\sum_(d = 1)^(+ \infty)1/(max(c^4, d^4)) ⩽ K/(c^3).$
16.Soit $z \in H$ . On note $x = Re(z)$ et $y = Im(z)$ . Montrer que pour tout $(c, d) \in ℤ^2$ ,
${Si c ≠ 0,, 1/(|cz + d|) ⩽ 1/(|c|y).; Si d ≠ 0,, 1/(|cz + d|) ⩽ (√(x^2 + y^2))/(|d|y).$
17.Soit $K$ un compact inclus dans $H$ . Montrer qu'il existe un réel $M > 0$ tel que
$∀z ∈ K, ∀(c, d) ∈ ℤ^2∖{(0, 0)}, 1/(|cz + d|^4) ⩽ M/(max{c^4, d^4}).$
18.En déduire que pour tout $z \in H$ , la famille $(1/((cz + d)^4))_((c, d) \in ℤ^2; (c, d) \neq (0, 0))$ est sommable. On note $G : z \in H \mapsto \sum_((c, d) \in ℤ^2; (c, d) \neq (0, 0))1/((cz + d)^4)$ sa somme.
19.Montrer que pour tout $z \in H, G(z + 1) = G(z)$ et $G(- 1/z) = z^4 G(z)$ .
20.Montrer que pour tout $z \in H, G(z) = 2ζ(4) + 2\sum_(c = 1)^(+ \infty)\sum_(d \in ℤ)1/((cz + d)^4)$ , où $ζ(4) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^4)$ , puis montrer que $G$ est holomorphe sur $H$ .
21.Pour tout $z \in ℂ$ , on pose $q(z) = e^(2iπz)$ .
- (a)Montrer que, si $z \in H$ , alors $|q(z)| < 1$ et
  $iπ - 2iπ\sum_(d = 0)^(+ \infty)q(z)^d = π(cos(πz))/(sin(πz)) = 1/z + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(1/(z - n) + 1/(z + n)).$
- (b)En remarquant que $q^'(z) = 2iπq(z)$ , montrer que, pour tout $z \in H$ ,
  $\sum_(n \in ℤ)1/((z - n)^4) = (8π^4)/3\sum_(d = 1)^(+ \infty)d^3 q(z)^d$
- (c)Montrer finalement que pour tout $z \in H$ ,
  $G(z) = (π^4)/(45)(1 + 240\sum_(n = 1)^(+ \infty)σ_3(n)q(z)^n),$
  où, pour tout $n \in ℕ^*, σ_3(n) = \sum_(d|n)d^3$ est la somme des cubes des diviseurs positifs de $n$ .
  On pourra utiliser l'égalité de la question 20 et la relation $ζ(4) = (π^4)/(90)$ .

IV Les formes modulaires

Le demi-plan de Poincaré

H

SL_2(ℤ)

sont définis dans les rappels. On admet que

SL_2(ℤ)

est le sous-groupe de

(GL_2(ℝ), \times)

engendré par

{S_0, T_0}

où

S_0 = (0, 1; - 1, 0)

T_0 = (1, 1; 0, 1)

Pour tout

g = (a, b; c, d) \in SL_2(ℤ)

et tout

z \in H

, on note

g \cdot z = (az + b)/(cz + d) \in ℂ et ρ(g) : z \in H \mapsto g \cdot z \in H.

22.(a) Soient $g = (a, b; c, d) \in SL_2(ℤ)$ et $z \in H$ . Montrer que $Im(g \cdot z) = (Im(z))/(|cz + d|^2)$ .
- (b)Montrer que $ρ$ définit une action de $SL_2(ℤ)$ sur $H$ , c'est-à-dire que
  $- \forall(g, z) \in SL_2(ℤ) \times H, ρ(g)(z) \in H; - ρ(I_2) = Id_H,; - \forallg, g^' \in SL_2(ℤ), ρ(g \times g^') = ρ(g) \circ ρ(g^').$
  Déterminer de plus $ρ(S_0)$ et $ρ(T_0)$ .
23.Soit $z \in H$ et $Ω_z = {ρ(g)(z)|g ∈ SL_2(ℤ)}$ l'orbite de $z$ sous l'action de $SL_2(ℤ)$ . On cherche ici à montrer qu'il existe un élément dans $Ω_z \cap 𝒟$ où
$𝒟 = {z \in H||z| ⩾ 1, |Re(z)| ⩽ 1/2}.$
On pourra dessiner $𝒟$ et constater que tous ses éléments ont une partie imaginaire supérieure ou égale à $\sqrt3/2$ .
- (a)Montrer que l'ensemble ${(c, d) ∈ ℤ^2||cz + d|⩽1}$ est non vide et de cardinal fini.
- (b)En déduire que l'ensemble ${Im(z^′)|z^′ ∈ Ω_z}$ admet un maximum, que l'on notera $Im(z_0)$ , où $z_0 \in Ω_z$ . Montrer de plus que l'on peut supposer que $- 1/2 ⩽ Re(z_0) ⩽ 1/2$ .
- (c)Conclure en montrant que $|z_0| ⩾ 1$ .
24.Soit $h : H \to ℂ$ une fonction holomorphe, qui vérifie
${∀(g, z) ∈ SL_2(ℤ) × H,, h(g ⋅ z) = h(z); ∃M > 0, ∀(x, y) ∈ ℝ × [1, + ∞[,, |h(x + iy)| ⩽ Me^(− 2πy)$
- (a)Montrer que $|h|$ admet un maximum sur $𝒟$ .
- (b)En conclure que $h$ est constante sur $H$ .
25.Soit $f : H \to ℂ$ une fonction holomorphe vérifiant $\forallz \in H, f(z + 1) = f(z)$ .
- (a)Justifier l'égalité suivante pour tout $z = x + iy \in H$ ,
  $ù f(z) = \sum_(n \in ℤ)a_n(y)e^(2iπnz), où \foralln \in ℤ, a_n(y) = \int_0^1 f(t + iy)e^(- 2iπn(t + iy))dt.$
- (b)Montrer que pour tout $y > 0$ et tout $n \in ℤ, a_n(y) = a_n(1)$ .
  On note désormais $a_n = a_n(1)$ .

26.Pour toute fonction $f : H \to ℂ$ holomorphe vérifiant $\forallz \in H, f(z + 1) = f(z)$ , il existe donc une suite $(a_n)_(n \in ℤ) \in ℂ^ℤ$ telle que pour tout $z \in H, f(z) = \sum_(n \in ℤ)a_n e^(2iπnz)$ .
$f$ est dite holomorphe à l'infini lorsque pour tout $n \in ℕ^*, a_(- n) = 0$ .
Lorsque de plus $a_0 = 0$ , on dit que l'infini est un zéro de $f$ d'ordre $p$ , où $p = min{k ∈ ℕ|a_k ≠ 0}$ .
On admet l'existence d'une fonction $Δ : H \to ℂ$ holomorphe et vérifiant :
- - $\forallz \in H, Δ(z + 1) = Δ(z)$ et $Δ(- 1/z) = z^(12)Δ(z)$ ,
- - $\forallz \in H, Δ(z) \neq 0$ ,
- - $Δ$ admet un zéro d'ordre 1 en l'infini.
- (a)Soit $θ : H \to ℂ$ une fonction holomorphe vérifiant
  $\forallz \in H, θ(z + 1) = θ(z) et θ(- 1/z) = z^4 θ(z),$
  et dont l'infini est un zéro.
  Montrer que la fonction $h : z \in H \mapsto (θ(z)^3)/(Δ(z)) \in ℂ$ est holomorphe, qu'elle vérifie
  $\forall(g, z) \in SL_2(ℤ) \times H, h(g \cdot z) = h(z)$
  et qu'elle admet un zéro à l'infini d'ordre $p ⩾ 1$ .
- (b)En déduire que $θ$ est la fonction nulle.
- (c)Montrer enfin que l'espace des fonctions $θ : H \to ℂ$ holomorphes vérifiant
  $\forallz \in H, θ(z + 1) = θ(z) et θ(- 1/z) = z^4 θ(z)$
  et qui sont de plus holomorphes à l'infini est l'ensemble des fonctions colinéaires à $G$ .

V Conclusion

Soit

Γ = {x ∈ ℤ^8|x_1 + ⋯ + x_8 ≡ 0(mod2)} ∪ {x ∈ (ℤ + 1/2)^8| x_1 + ⋯ + x_8 ≡ 0(mod2)}

.
On vérifie que

Γ

est un réseau de

ℝ^8

et qu'il admet la

ℤ

-base (

u_1, \dots, u_8

) donnée par

u_i = e_i - e_(i + 1) pour 1 ⩽ i ⩽ 7 et u_8 = 1/2(e_1 + \dots + e_8),

où

(e_1, \dots, e_8)

est la base canonique de

ℝ^8

.
On vérifie de plus que

det(u_1, \dots, u_8) = 1

et que, pour tout

x \in Γ, ‖x‖^2

est un entier pair.
(Dans cette partie,

‖

é ‖désignelanormeeuclidiennecanoniquesurℝ^8

.)
Dans ces conditions, on peut, en généralisant les méthodes de la partie II, démontrer que

\forallt \in ]0, + \infty[, \sum_(k \in Γ)e^(- πt‖k‖^2) = t^(- 4)\sum_(k \in Γ)e^(- π‖k‖^2/t).

Pour tout

n \in ℕ

, on note

r(n)

le nombre d'éléments

x

Γ

tels que

‖x‖^2 = 2n

.
Pour

z \in H

, on pose

θ(z) = \sum_(n \in ℕ)r(n)e^(2iπnz)

27.Montrer que la fonction $θ$ est définie et holomorphe sur $H$ et qu'elle vérifie les conditions de la question 26c.
28.En déduire que $r(n) = 240σ_3(n)$ pour tout $n \in ℕ^*$ .

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION SPÉCIAL DOCTEUR MATHÉMATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière 1/3/0/0/A 1|0|1 0|7|2|3

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte la composition de mathématiques de l'agrégation externe spéciale docteur 2026 ?

Les exercices portent sur l'algèbre linéaire (crochet de Lie, spectre de matrices), les probabilités (couplage de Bernoulli-Poisson) et l'analyse (nombre de rotation). Le problème au choix porte soit sur la théorie des groupes (lemme de Selberg), soit sur l'analyse complexe et les formes modulaires.

Faut-il traiter les deux problèmes proposés ?

Non, l'énoncé demande de choisir un seul problème parmi les deux proposés, le Problème 1 orienté algèbre et géométrie ou le Problème 2 orienté analyse et probabilités.

Quelle est la répartition du temps conseillée pour cette épreuve ?

L'énoncé recommande de consacrer au moins un tiers du temps aux quatre exercices et au moins la moitié du temps au problème choisi.

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Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

I. Propriétés de la distance en variation totale

II. Rappels sur les variables aléatoires de Poisson

III. Couplage Bernoulli-Poisson

IV. Inégalité de Le Cam

Exercice 4

I. Le groupe des homéomorphismes croissants de ℝ

II. Nombre de translation

III. Quelques propriétés du nombre de translation

IV. Nombre de rotation et points fixes

Problème d'algèbre - le lemme de Selberg

I Le groupe GL_n(A)

II Sous-groupes d'indice fini

III Le lemme de Selberg pour GL_n(ℤ)

III. 1 Une première méthode

III. 2 Une deuxième méthode

IV Entiers algébriques

V Le lemme de Selberg pour k = ℚ

VI Structure des extensions de corps de type fini

VII Le lemme de Selberg

Problème d'analyse

Rappels et notations

I Un produit eulérien

II Formule de Poisson

III Une série d'Eisenstein

IV Les formes modulaires

V Conclusion

INFORMATION AUX CANDIDATS

AGRÉGATION SPÉCIAL DOCTEUR MATHÉMATIQUES

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte la composition de mathématiques de l'agrégation externe spéciale docteur 2026 ?

Faut-il traiter les deux problèmes proposés ?

Quelle est la répartition du temps conseillée pour cette épreuve ?

Commentaires• Agrégation mathématiques externe spéciale 2026, épreuve écrite

Commentaires• Agrégation mathématiques externe spéciale 2026, épreuve écrite

I. Le groupe des homéomorphismes croissants de $ℝ$

I Le groupe $GL_n(A)$

III Le lemme de Selberg pour $GL_n(ℤ)$

V Le lemme de Selberg pour $k = ℚ$