Épreuve écrite de l'agrégation externe spéciale de mathématiques (concours docteurs) 2024 : exercices d'algèbre linéaire et d'analyse, problème d'algèbre-géométrie ou d'analyse-probabilités
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L'épreuve écrite unique du concours spécial réservé aux titulaires d'un doctorat comporte une série de cinq exercices de niveau L1-L3, dont un sur les groupes finis de matrices diagonalisables et un sur une inégalité intégrale, puis un problème au choix entre un sujet orienté algèbre-géométrie et un sujet orienté analyse-probabilités.
1Exercices (I à V)Cinq exercices imposés balayant le niveau L1-L3, notamment sur la diagonalisabilité de matrices d'ordre fini et les sous-groupes finis de GL_m(C), et sur des inégalités intégrales pour une fonction de classe C2.
2Problème 1 (au choix) : algèbre et géométrieProblème orienté algèbre et géométrie, en parties A, B et C.
3Problème 2 (au choix) : analyse et probabilitésProblème orienté analyse et probabilités, en parties A, B et C.
L'épreuve en chiffres
55 copies
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Copies
55
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
2 erreurs relevées
Stratégie de spécialisation excessive pénalisée · Exercices peu abordés en fin de série
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Le sujet est constitué d'une série d'exercices, plutôt de niveau L1-L3, et de deux problèmes au choix, l'un orienté algèbre-géométrie, l'autre analyse-probabilités. Le barème invite les candidats à consacrer au moins un tiers du temps aux exercices et au moins la moitié à un problème ; le jury signale que se focaliser uniquement sur les exercices du même thème que le problème choisi est une stratégie pénalisée.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Stratégie de spécialisation excessive pénalisée
Les candidats ne doivent pas se focaliser sur les seuls exercices relevant du même thème que le problème choisi ; une telle stratégie est pénalisée par le barème.
2
Exercices peu abordés en fin de sérieexercices 4-5
Les exercices 4 et 5 n'ont été abordés que par un tiers des candidates et candidats, contre 75 à 80 % pour les deux premiers exercices.
Ce qui a été bien réussi
L'exercice 2 a été le plus investi et le mieux réussi, abordé par 80 % des candidates et candidats.
Presque toutes les copies ont abordé au moins un problème.
Le problème d'algèbre et géométrie, bien que deux fois moins souvent choisi que celui d'analyse et probabilités, a été mieux réussi.
Conseils du jury
Répartir son temps conformément au barème indicatif, avec au moins un tiers du temps consacré aux exercices et au moins la moitié à un problème.
Convaincre d'une compétence suffisante sur l'ensemble du programme plutôt que de se concentrer uniquement sur son thème de prédilection.
S'assurer de bases solides et en faire la démonstration par une rédaction efficace et convaincante.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe spéciale en mathématiques, session 2024.
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L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.
Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.
L'épreuve comporte deux parties :
-Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve de cette partie en cherchant à traiter les cinq exercices numérotés I, II, III, IV et V.
-Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.
Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.
Notations, vocabulaire et rappels
On désigne par ℕ l'ensemble des entiers naturels, ℤ l'anneau des entiers relatifs, ℝ le corps des nombres réels et ℂ le corps des nombres complexes.
Si 𝕂 est un corps et m un entier naturel non nul, on note M_m(𝕂) la 𝕂-algèbre des matrices carrées d'ordre m sur 𝕂. On note 0_m et I_m ses éléments neutres pour l'addition et la multiplication respectivement. On note GL_m(𝕂) le groupe des éléments inversibles dans M_m(𝕂).
Dans tout le sujet, le polynôme caractéristique χ_M d'une matrice M dans M_m(𝕂) est défini comme le déterminant de la matrice XI_m − M dans M_m(𝕂[X]), et sa trace est notée Tr(M)
Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé et soit n un entier naturel. On dit que X admet un moment d'ordre n si |X|^n admet une espérance finie. Si X admet un moment d'ordre 1, on note 𝔼(X) son espérance, et si X admet un moment d'ordre 2, on note 𝕍(X) sa variance, à savoir 𝔼((X − 𝔼(X))^2).
Si E est un espace vectoriel réel et x_1, …, x_n des points de E, on appelle combinaison convexe de x_1, …, x_n toute combinaison linéaire de ces points dont les coefficients sont tous positifs et de somme égale à 1 . Si A est une partie de E, on appelle enveloppe convexe de A l'ensemble des combinaisons convexes de points de A. C'est le plus petit ensemble convexe de E contenant A.
Si P est un polynôme, on note P^′ son polynôme dérivé.
Exercice I
Soit m un entier supérieur ou égal à 2 . On note E la ℂ-algèbre M_m(ℂ) et G le groupe GL_m(ℂ).
1.Soit M dans E et n un entier naturel non nul tels que M^n = I_m. Démontrer que M est diagonalisable.
2.Soit M dans E tel que, pour tout entier naturel non nul n, Tr(M^n) = 0.
(a)Démontrer que 0 est valeur propre de M. On pourra considérer χ_M.
(b)Démontrer qu'il existe un polynôme P vérifiant P(0) = 0 et tel que, pour toute valeur propre non nulle λ de M, on ait P(λ) = 1.
(c)Démontrer que m − Tr(P(M)) est égal à la multiplicité de 0 dans χ_M.
(d)En déduire que M est nilpotent.
Soit H un sous-groupe fini de G.
(a)Démontrer qu'il existe un entier naturel non nul N vérifiant : ∀g ∈ H, g^N = I_m.
(b)En déduire que l'ensemble T, défini par T = {Tr(g); g ∈ H}, est fini.
Soit H un sous-groupe quelconque de G. On suppose que tous les éléments de H sont diagonalisables et que l'ensemble T, défini par T = {Tr(g); g ∈ H}, est fini.
(a)Démontrer qu'il existe r, entier naturel non nul, et M_1, …, M_r dans H tels que H soit inclus dans le sous-espace vectoriel F de E engendré par(M_1, …, M_r).
(b)L'inclusion H ⊂ F est-elle nécessairement stricte?
(c)Soit g et h dans H. On pose x = h^(− 1)g − I_m. Démontrer que x est diagonalisable et que, pour tout entier naturel n, x^n ∈ F.
(d)Soit g et h dans H vérifiant, pour tout entier i compris entre 1 et r, Tr(M_i g) = Tr(M_i h). On pose x = h^(− 1)g − I_m. Démontrer que x est nilpotent et en déduire g = h.
(e)Conclure que H est fini.
Exercice II
Soit u une fonction de classe C^2 et bornée sur ℝ_+, telle que u^′(0) = 0.
(a)Démontrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(u^′(t))/t dt est convergente.
(b)En déduire que les intégrales ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/t dt et ∫_0^(+ ∞)sin(t^2)dt sont convergentes.
(c)En déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)sin(t^3)dt est convergente. On pourra effectuer un changement de variable.
Pour x réel positif et n entier naturel, on pose
f(x) = ∫_0^x|(sin(t))/t|dt et u_n = ∫_(nπ)^((n + 1)π)|(sin(t))/t|dt.
(a)Démontrer que ∑_(n = 1)^N 1/n est équivalent à ln(N), lorsque N tend vers + ∞.
(b)Démontrer que u_n est équivalent à 2/(nπ), lorsque n tend vers + ∞.
(c)En déduire un équivalent de (f(nπ))_(n ∈ ℕ) en + ∞.
(d)En déduire un équivalent de f au voisinage de + ∞ et que t ↦ (sin(t))/t n'est pas intégrable sur ℝ_+^∗.
(a)Démontrer que h est intégrable au voisinage de l'infini.
(b)En déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)g(x)dx est convergente.
(c)La fonction g est-elle intégrable sur ℝ_+^∗ ?
Exercice III
Soit (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé et (X_k)_(k ⩾ 1) et T des variables aléatoires réelles discrètes sur cet espace, mutuellement indépendantes. On suppose les (X_k)_(k ⩾ 1) identiquement distribuées et T à valeurs dans ℕ^∗ presque sûrement. On note X = X_1 et S = X_1 + ⋯ + X_T. Pour une variable aléatoire X, on note φ_X sa fonction génératrice, i.e. la fonction définie par φ_X(t) = 𝔼(t^X).
1.Justifier que S est une variable aléatoire sur (Ω, A, ℙ).
2.On suppose que X et T ont des moments d'ordre 2. De plus, pour cette question, on suppose que X est à valeurs dans ℕ.
3.On se donne deux entiers a et b vérifiant a < 0 < b et x un entier dans ]a, b[. On suppose dans cette question que X suit une loi uniforme sur { − 1, 1} et on pose S_(n, x) = x + X_1 + ⋯ + X_n, T_x = inf{n ∈ ℕ^⋆; S_(n, x) ∉ ]a, b[}. On note S_n = S_(n, 0).
(a)Démontrer ℙ(T_x > b − a) ⩽ 1 − 2^(− (b − a)).
(b)En déduire, pour tout entier naturel non nul n, ℙ(T_0 > n(b − a)) ⩽ (1 − 2^(− (b − a)))^n.
(c)En déduire que T_0 admet un moment d'ordre 2 et qu'il est à valeurs dans ℕ^∗ presque sûrement.
On admet que ceci permet d'appliquer les résultats de la question 2.b) même si X n'est pas à valeurs dans ℕ.
(d)Démontrer que S est presque sûrement à valeurs dans {a, b} et qu'on a ℙ(S = a) = b/(b − a) et ℙ(S = b) = (− a)/(b − a).
(e)En déduire 𝔼(T).
Exercice IV
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et P est un polynôme à coefficients complexes de degré n. On note z_1, …, z_k les racines complexes distinctes de P et α_1, …, α_k leurs multiplicités respectives.
1.Soit ζ une racine de P^′ qui n'est pas racine de P.
(a)Écrire la décomposition en éléments simples sur ℂ de P^′/P.
(b)En déduire que ζ est combinaison convexe de z_1, …, z_k.
2.Démontrer que si z_1, …, z_k sont imaginaires purs, alors toutes les racines de P^′ sont imaginaires pures.
3.On note D (resp. D^′ ) l'enveloppe convexe des racines de P (resp. P^′ ). Si H est un demi-plan de ℂ, on note P_H la restriction à H de la fonction polynomiale associée à P.
(a)Démontrer D^′ ⊂ D.
(b)Soit H un demi-plan rencontrant D^′, i.e. H ∩ D^′ ≠ ∅. Démontrer que H contient l'une des racines de P^′ et en déduire que P_H est surjectif.
4.Soit C un convexe du plan. On suppose que pour tout demi-plan H, soit H ∩ C = ∅, soit P_H est surjective. Démontrer C ⊂ D.
Exercice V
Soit ∑a_n x^n et ∑b_n x^n deux séries entières à coefficients réels de rayon de convergence supérieur ou égal à 1 . On note respectivement f et g leurs sommes sur l'intervalle ] -1 , 1 [. On note, pour n entier naturel, s_n = ∑_(k = 0)^n a_k et m_n = (s_0 + ⋯ + s_n)/(n + 1).
On suppose que (b_n)_(n ∈ ℕ) est à valeurs strictement positives et que ∑b_n diverge.
(a)Démontrer lim_(x → 1^−)g(x) = + ∞.
(b)Soit A un réel. On suppose que (a_n/b_n)_(n ∈ ℕ) est à valeurs supérieures à A à partir d'un certain rang. Démontrer : ∀ε ∈ ℝ_+^∗, ∃η ∈ ]0, 2[, ∀x ∈ ]1 − η, 1[, (f(x))/(g(x)) > A − ε.
(c)En déduire que si (a_n/b_n)_(n ∈ ℕ) admet une limite finie ou infinie dans ℝ ∪ { ± ∞}, alors on a lim_(x → 1^−)(f(x))/(g(x)) = lim(a_n)/(b_n).
(d)Démontrer, pour x dans ] − 1, 1[, f(x) = (1 − x)∑_(n = 0)^(+ ∞)s_n x^n = (1 − x)^2∑_(n = 0)^(+ ∞)(n + 1)m_n x^n, puis en déduire que si (m_n)_(n ∈ ℕ) admet une limite finie ou infinie dans ℝ ∪ { ± ∞}, alors on a lim_(x → 1^−)f(x) = limm_n.
On suppose a_n = 1 si n est une puissance de 2 , i.e. n ∈ {1, 2, 4, 8, ⋯} et a_n = 0 sinon.
(a)Justifier que le rayon de convergence de ∑a_n x^n est 1 .
(b)Démontrer lim_(x → 1^−)(1 − x)f(x) = 0.
(c)On considère maintenant la série entière complexe ∑a_n z^n et on note S sa somme sur le disque unité ouvert. Soit p un entier naturel et z une racine 2^p-ième de l'unité dans ℂ, i.e. z^(2^p) = 1. Démontrer que S n'admet pas de limite en ce point.
(d)En déduire que S n'admet de limite en aucun point du cercle unité.
On suppose a_n = 1 si n est un carré, i.e. n ∈ {0, 1, 4, 9, 16, ⋯} et a_n = 0 sinon. Démontrer lim_(x → − 1^+)f(x) = 1/2.
Problème 1 : Algèbre et Géométrie
Pour i, j deux entiers naturels tels que i ⩽ j, on note [ [i, j] ] l'ensemble des entiers naturels compris au sens large entre i et j.
Pour un entier n strictement positif, on note S_n le groupe symétrique de l'ensemble [ [1, n] ]. On rappelle qu'il s'agit de l'ensemble de toutes les bijections de [ [1, n] ] sur lui-même, muni de la composition des applications. La notation (i_1, i_2, …, i_k) désigne la permutation qui envoie i_j sur i_(j + 1), si j est compris entre 1 et k − 1, i_k sur i_1, et laisse invariant les autres points. Lorsque k = 2, cette permutation est appelée une transposition.
Un graphe G est la donnée d'une paire (S, A) où S est un ensemble fini, dont les éléments sont appelés les sommets de G, et A une partie de S × S symétrique c'est-à-dire que, pour tous u, v dans S, (u, v) appartient à A si et seulement si ( v, u ) appartient à A. Deux éléments u, v de S sont dits reliés dans G s'il existe un entier naturel r et une suite de sommets u_0, …, u_r tels que u_0 = u, u_r = v et (u_i, u_(i + 1)) appartient à A, pour tout i entre 0 et r − 1. Le graphe G est dit connexe si tous ses sommets sont reliés deux à deux.
Partie A
Soit n un entier naturel non nul.
1.Justifier que S_n est un groupe fini et calculer son ordre.
2.Justifier que S_n n'est pas abélien dès que n ⩾ 3. Que vaut S_2 ?
3.Soit A une partie de S_n composée de transpositions. On définit un graphe G_A de la manière suivante : ses sommets sont les entiers de 1 à n, et pour tous sommets i, j, (i, j) est dans A si et seulement si la transposition (i, j) est dans A.
(a)On note A_1 l'ensemble des transpositions dans S_n.
i.Démontrer que A_1 engendre le groupe S_n.
ii.Justifier que le graphe G_(A_1) est connexe.
(b)On note A_2 l'ensemble {(i, i + 1)|1 ⩽ i ⩽ n − 1} dans S_n.
i.Démontrer que A_2 engendre le groupe S_n.
ii.Justifier que le graphe G_(A_2) est connexe.
(c)Soit A une partie formée de transpositions de S_n.
i.On suppose que A engendre S_n; justifier que le graphe G_A est connexe.
ii.On suppose que le graphe G_A est connexe. Démontrer que A engendre S_n. Indication : Étant donnés deux éléments u, v de [ [1, n] ] tels qu'il existe un entier naturel r et une suite de sommets u_0, …, u_r distincts deux à deux tels que u_0 = u, u_r = v et (u_i, u_(i + 1)) dans A, pour tout i entre 0 et r − 1, on pourra déterminer l'élément σ(u_(r − 1), u_r)σ^(− 1) où σ = (u_0, u_1)(u_1, u_2)⋯(u_(r − 2), u_(r − 1)).
Partie B
Soit n un entier naturel ⩾ 3.. Soit G un groupe dont on note 1 l'élément neutre. On suppose que G est engendré par n − 1 éléments τ_1, …, τ_(n − 1) qui vérifient les propriétés suivantes :
On suppose de plus que G n'est pas engendré par un sous ensemble strict de {τ_1, …, τ_(n − 1)}. Pour i dans [ [1, n − 1] ], on pose σ_i = τ_i…τ_(n − 2)τ_(n − 1). On note H le sous-groupe engendré par τ_1, …, τ_(n − 2) et, pour i dans [ [1, n − 1] ], H_i = σ_i H. On pose H_n = H.
4. Soient i, j dans [ [1, n − 1] ]. Démontrer :
(a)τ_i H_i = H_(i + 1),
(b)τ_i H_(i + 1) = H_i
(c)τ_i H_j = H_j si j ≠ i et j ≠ i + 1.
Indication : on pourra remarquer que τ_i τ_(i + 1)τ_i = τ_(i + 1)τ_i τ_(i + 1), pour tout i dans [ [1, n − 2] ].
Soient i, j dans [ [1, n − 1] ]. tels que i < j.
(a)On suppose que σ_i^(− 1)σ_j appartient à H.
i. Justifier que σ_(j − 1)^(− 1)σ_j est dans H, puis que σ_(j + 1)^(− 1)σ_j est dans H.
ii. En déduire que σ_(k + 1)^(− 1)σ_k appartient à H pour tout entier k dans [ [j, n − 2] ].
iii. En déduire une contradiction.
(b)En déduire : H_i ≠ H_j.
Justifier que l'ordre de G est inférieur ou égal à n!.
Justifier l'existence d'un isomorphisme de groupe de G sur le groupe symétrique S_n.
Soit (ABC) le triangle équilatéral dont les sommets sont donnés par A = (1; 0), B = (− 1/2, (√3)/2) et C = (− 1/2, − (√3)/2) dans le plan euclidien ℝ^2. Soit G le sous-groupe du groupe orthogonal O_2(ℝ) formé des isométries g préservant le triangle (ABC), i.e. telles que g({A, B, C}) = {A, B, C}.
(a)Démontrer que l'on peut trouver τ_1 et τ_2 engendrant G et vérifiant : τ_1^2 = τ_2^2 = 1 et (τ_1 τ_2)^3 = (τ_2 τ_1)^3 = 1. Donner des interprétations géométriques de τ_1, τ_2 et τ_1 τ_2.
(b)Que peut-on en déduire pour G ?
Partie C
Soit n un entier naturel strictement positif. Soient k dans ℕ^∗ et λ = (λ_1, …, λ_k) dans (ℕ^∗)^k. On dit que λ est une partition de n si λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ … ⩾ λ_k et λ_1 + … + λ_k = n. À une telle partition λ = (λ_1, …, λ_k), on associe un diagramme, dit Γ-diagramme : il s'agit d'un ensemble de n carrés, répartis sur k lignes, alignés à gauche et en haut, tel que la i-ème ligne du diagramme contient λ_i carrés, pour tout i compris entre 1 et k. Ces carrés sont appelés les cases du Γ-diagramme.
Par exemple, on représente ci-dessous les Γ-diagrammes associés à trois partitions de l'entier 6 :
Si n est dans ℕ^∗ et λ = (λ_1, …, λ_k) est une partition de n, on appelle Γ-tableau associé à la partition λ le Γ-diagramme associé à λ dont on a rempli chacune des cases par un entier naturel, ces entiers étant tous distincts et tels que les valeurs des cases sur chaque ligne (respectivement sur chaque colonne) sont strictement croissantes de la gauche vers la droite (respectivement de bas en haut). Lorsque de plus, le Γ-tableau est rempli avec les nombres de 1 à n, on dit qu'il est standard. Par exemple, les figures suivantes sont des Γ - tableaux standards pour la partition (3, 1) de l'entier 4 :
On notera T_n l'ensemble des Γ-tableaux standards associés à toutes les partitions de l'entier n et T_λ l'ensemble des Γ-tableaux standards associés à une partition λ donnée. On introduit également
T_n^((2)) = {(G, D) ∈ (T_n)^2|G et D associés à une même partition }.
Etant donnés un Γ-tableau Y et un entier naturel x qui n'est pas dans une case de Y, on construit Y^(← x) en ajoutant une case et en insérant x de la façon suivante : soit k le nombre de lignes de Y; on note Y_1, …, Y_k les lignes de Y, et Y_i[j] la valeur contenue dans la j-ème case de Y_i.
Initialisation : I = 1, X = x.
Tant que Y_I contient un élément > X et I ⩽ k :
Soit y le plus petit élément > X dans Y_I et soit ℓ tel que Y_I[ℓ] = y.
On remplace y par la valeur de X dans la case ℓ de Y_I : Y_I[ℓ] = X.
On affecte la valeur y à X : X = y.
On passe à la ligne suivante : I = I + 1.
Si I ⩽ k, on crée une nouvelle case à droite de Y_I et on y met la valeur X.
Si I = k + 1, on crée une k + 1 ème ligne avec une unique case et on y met la valeur de X.
Pour illustrer ce processus d'insertion, on décrit les différentes étapes de l'insertion de la valeur 3 dans
1
2
5
le Γ-tableau Y =
4
6
:
Y =
4
2
5
1
2
3
1
2
3
6
5
3
On remarque que le processus d'insertion d'une valeur dans un Γ-tableau Y aboutit à la création d'une case dans le Γ-diagramme associé à Y : soit tout à droite d'une ligne de Y, soit par ajout d'une ligne supplémentaire.
9.Soit un Γ-tableau Y et un entier naturel x qui n'est pas dans une case de Y. Justifier que Y^(← x) est un Γ-tableau.
On utilise ce processus d'insertion pour associer à une permutation σ dans S_n deux Γ-tableaux G_σ et D_σ associés à une même partition; ces deux Γ-tableaux sont obtenus comme la dernière étape du processus itératif ci-dessous qui construit à chaque étape deux Γ-tableaux associés à une même partition :
Initialement, le Γ-tableau G_1 possède une unique case qui contient σ(1) et le tableau D_1 contient une unique case qui contient 1.
Pour un entier r dans [ [2, n] ], supposons construits G_(r − 1), D_(r − 1) deux Γ-tableaux associés à une même partition, G_(r − 1) contenant les entiers σ(1), σ(2), …, σ(r − 1), et D_(r − 1) contenant les entiers 1, …, r − 1. On pose alors G_r = G_(r − 1)^(← σ(r)), c'est-à-dire qu'on construit G_r en insérant dans G_(r − 1) la valeur σ(r). On a créé par cette insertion une case supplémentaire dans le Γ-diagramme associé à G_(r − 1) et à D_(r − 1). On obtient D_r en ajoutant cette case à D_(r − 1) remplie de la valeur r.. On pose alors G_σ = G_n et D_σ = D_n.
On peut remarquer que la numérotation des cases de D_σ correspond à leur ordre de création dans la construction de G_σ.
Pour illustrer ce mode de construction, on explicite les étapes permettant de construire G_σ et D_σ lorsque σ = (1, 2, 4) :
la case en haut à gauche a été construite en premier, puis a été créee celle immédiatement à sa droite, puis celle située en-dessous de la case en haut à gauche, etc.
10. Soit σ dans S_n. Justifier que G_σ et D_σ sont des Γ-tableaux standards.
On se propose de démontrer que le couple (G_σ, D_σ) caractérise la permutation σ. Plus précisément, soit γ : S_n → T_n^((2)) définie par γ(σ) = (G_σ, D_σ) pour tout σ dans S_n; on se propose de démontrer que γ est une bijection.
Soit (G, D) ∈ T_n^((2)). Les Γ-tableaux (G, D) sont associés à un même Γ-diagramme; on note ℓ le nombre de lignes de ce diagramme et on numérote les lignes de 1 à ℓ en commençant par le haut, on note m le nombre de cases de la première colonne et on numérote les colonnes de 1 à m en commençant par la gauche. Soient i le numéro de ligne et j le numéro de colonne où se trouve l'entier n dans D. On applique l'algorithme suivant pour déterminer un nombre qu'on notera c(G, D) :
Initialisation : I = i, X = G_i[j].
Tant que I > 1 : Soit y le plus grand élément < X dans G_(I − 1).
On affecte la valeur y à X : X = y.
On passe à la ligne précédente : I = I − 1.
On note c(G, D) la valeur de X en sortie.
11.Soit (G, D) ∈ T_n^((2)). Démontrer que, s'il existe σ dans S_n tel que γ(σ) = (G, D), alors σ(n) = c_((G, D)).
12.Soit (G, D) ∈ T_n^((2)). Démontrer qu'il existe un et un seul σ dans S_n tel que γ(σ) = (G, D).
13.Soit n dans ℕ^∗. On désigne par P(n) l'ensemble des partitions de n. Démontrer ∑_(λ ∈ P(n))(♯T_λ)^2 = n!
où, pour tout λ dans P(n), ♯T_λ désigne le cardinal de T_λ.
14.Soit (G, D) ∈ T_n^((2)) et soit σ la permutation de S_n tellle que γ(σ) = (G, D). Démontrer : γ(σ^(− 1)) = (D, G).
15.En déduire que le cardinal de T_n est ∑_(k = 1)^(⌊n/2⌋)(n!)/(2^k k!(n − 2k)!)
où ⌊n/2⌋ désigne la partie entière de n/2.
Problème 2 : Analyse et Probabilités
Partie A
Soit E l'espace vectoriel réel des fonctions bornées de classe C^∞ de ℝ_+dans ℝ. Pour f dans E, on note L_f la fonction donnée, pour x réel, par L_f(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− xt) dt.
1.Pour x, A et a réels, on note J_a^A(x) = 1/(2A)∫_(− A)^A e^(− iat)e^(ixt) dt. Calculer lim_(A → + ∞)J_a^A(x).
2.Soit f dans E.
(a)Démontrer que la fonction L_f est définie et continue sur ℝ_+^∗.
(b)Donner une condition simple pour que L_f soit définie et continue sur ℝ_+.
(c)La fonction L_f est-elle de classe C^∞ sur ℝ_+^∗ ?
(d)Donner une condition simple pour que L_f soit de classe C^1 sur ℝ ou plus généralement qu'il y soit de classe C^n, pour n dans ℕ^∗.
Dans la suite du problème, on note f la fonction telle que, pour t dans ℝ_+^∗, f(t) = (sin(t))/t et f(0) = 1.
3.Démontrer que f appartient à E.
4.Calculer L_f sur ℝ_+^∗. La fonction L_f admet-elle une limite en 0 ?
5.On définit, pour t dans ℝ_+^∗, g(t) = (1 − cos(t))/(t^2) et g(0) = 1/2. On admet que g appartient à E.
(a)Démontrer L_f(0) = L_g(0).
(b)Calculer L_g^(′′).
(c)En déduire L_g^′.
(d)À l'aide d'un développement asymptotique de yln(y/(√(1 + y^2))) au voisinage de + ∞, en déduire L_g.
(e)Conclure cette étude en donnant, pour α réel, la valeur de ∫_(− ∞)^(+ ∞)(sin(αt))/t dt.
6.Pour x, A, a et b réels, avec a < b, on note K_(a, b)^A(x) = 1/(2iπ)∫_(− A)^A(e^(− iat) − e^(− ibt))/te^(ixt) dt.
(a)Démontrer que la fonction K_(a, b)^A est définie et continue sur ℝ et qu'elle est à valeurs réelles.
(b)En utilisant la question précédente calculer, pour x réel, lim_(A → + ∞)K_(a, b)^A(x).
(c)Démontrer qu'il existe M dans ℝ_+tel que, pour tous A et x réels, on ait |K_(a, b)^A(x)| ⩽ M. La constante M peut-elle être choisie indépendamment de a et b ?
Partie B
Soit a et b deux réels avec a < b. On reprend, pour A dans ℝ_+les notations K_(a, b)^A et J_a^A de la partie A. Soit μ une mesure de probabilité sur ℝ. On note, pour t réel
φ_μ(t) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(ixt) dμ(x)
On note L^1 l'espace vectoriel des fonctions de ℝ dans ℂ intégrables au sens de Lebesgue.
3.On suppose dans cette question φ_μ dans L^1. Démontrer μ({a}) = 0.
4.On suppose dans cette question φ_μ dans L^1 et qu'on dispose d'une fonction f_μ dans L^1, à valeurs positives, telle que, pour tout segment réel I on ait μ(I) = ∫_I f_μ(x)dx
(b)En déduire une expression de f_μ en fonction de φ_μ.
Partie C
Soit m un entier supérieur à 2 et A l'algèbre M_m(ℂ). Pour M dans A on note M^∗ = M¯^T, i.e. la matrice dont les coefficients sont les conjugués complexes de ceux de sa transposée. Un élément M de A est dit normal si MM^∗ = M^∗ M et il est dit auto-adjoint si M^∗ = M.
Dans toute cette partie, on fixe une forme linéaire η sur A telle que η(I_n) = 1.
Pour M normal dans A, on dit que M suit la loi μ si μ est une mesure de probabilité sur ℂ telle que, pour tous entiers naturels k, ℓ :
η(M^k(M^∗)^ℓ) = ∫_ℂ z^k z¯^ℓ dμ(z)
1.Soit M dans A auto-adjoint suivant la loi μ. Calculer ∫_ℂ|z − z¯|^2 dμ(z) et en déduire que μ est à support inclus dans ℝ.
2.Soit μ une mesure de probabilité sur ℂ à support compact vérifiant μ(ℝ) > 0. On pose, pour z complexe, G_μ(z) = ∫_ℝ(dμ(t))/(z − t) et M_μ(z) = 1/zG_μ(1/z).
(a)Démontrer que G_μ est bien défini pour tout z dans le complémentaire du support de μ.
(b)Démontrer que M_μ est développable en série entière au voisinage de 0 avec un rayon de convergence non nul.
(c)Démontrer qu'il existe une fonction C_μ, dont on précisera la régularité, vérifiant C_μ(zM_μ(z)) =M_μ(z) pour tout z dans un voisinage de l'origine.
(d)On admet qu'il existe une et une seule fonction R_μ analytique au voisinage de zéro telle que M_μ(z/(zR_μ(z) + 1)) = C_μ(z) au voisinage de l'origine. Donner une équation fonctionnelle vérifiée par R_μ qui ne dépende que de G_μ.
3.Si M est un élément normal dans A suivant une loi μ à support compact, on note R_M = R_μ. Calculer alors, pour λ dans ℂ, R_(λM).
Dans toute la suite, on note σ la mesure de probabilité à support dans le segment réel [-2, 2] dont la densité est donnée par 1/(2π)√(4 − t^2). On admettra que R_σ est l'identité dans un voisinage de l'origine.
4.Soit (M_j)_(j ⩾ 1) une suite d'éléments normaux dans A suivant tous la même loi μ à support compact. On suppose les éléments libres au sens suivant : pour toute partie finie {j_1, …, j_k} de ℕ^∗ on a R_(M_(j_1) + ⋯ + M_(k_k)) = R_(M_(j_1)) + ⋯ + R_(M_(j_k)). On suppose enfin η(M_1) = 0 et η(M_1^2) = 1. On pose S_n = 1/(√n)(M_1 + … + M_n). Démontrer que R_(S_n) converge simplement vers R_σ partout où ces quantités sont définies.
5.Que se passe-t-il si on ne suppose plus η(M_1) = 0 et η(M_1^2) = 1 dans la question précédente, mais uniquement la condition η(M_1^2) − η(M_1)^2 non nul ?
6.À quel théorème classique de théorie des probabilités ce résultat peut-il être relié?
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Les exercices imposés portent sur la réduction des matrices et les groupes finis, ainsi que sur des inégalités intégrales ; le problème au choix porte soit sur l'algèbre et la géométrie, soit sur l'analyse et les probabilités.
Faut-il privilégier les exercices proches du problème choisi à l'agrégation spéciale mathématiques 2024 ?
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Non, le jury indique explicitement qu'une telle stratégie de spécialisation excessive est pénalisée : les exercices visent à vérifier des connaissances de base sur un éventail large du programme.
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55 candidates et candidats se sont présentés à l'épreuve écrite, sur 164 inscrits, et 18 ont été déclarés admissibles.
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