Vrai-Faux mathématique et modèles de dynamique des populations
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L'épreuve disciplinaire du CAPES mathématiques comporte deux problèmes indépendants. Le premier est un questionnaire Vrai-Faux avec réponses argumentées portant sur six thématiques du programme (proportionnalité, analyse, arithmétique, dénombrement-probabilités, géométrie, algorithmique). Le second étudie plusieurs modèles de dynamique des populations : un modèle discret dépendant d'un paramètre, un modèle logistique continu, puis un modèle proie-prédateur faisant appel à l'algèbre linéaire.
1Problème 1 : Vrai-Fauxcollège et lycéeSix thématiques du programme à traiter sous forme d'assertions à justifier : proportionnalité, analyse, arithmétique, dénombrement-probabilités, géométrie, algorithmique.
2Problème 2, partie 1 : modèle discretÉtude d'une suite récurrente de population dépendant d'un paramètre réel, puis pour une valeur fixée du paramètre.
3Problème 2, partie 2 : modèle logistique continuRésolution d'une équation différentielle du premier ordre non linéaire.
4Problème 2, partie 3 : modèle proie-prédateurÉtude d'un modèle faisant appel à des notions d'algèbre linéaire.
Difficile. La moyenne de la première épreuve écrite est de 9,89/20 avec un écart-type de 4,74 et une médiane à 10,31, signe d'une note globalement inférieure à la moyenne pour une large part des candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevées
Confusion entre appartenance et inclusion · Récurrence mal rédigée · Raccourcis abusifs (IPP, TVI, TFA)
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Le jury déplore une orthographe encore trop souvent mal maîtrisée, des phrases laconiques et une utilisation inappropriée des symboles et notations mathématiques, avec des quantificateurs souvent absents. Le manque de maîtrise du vocabulaire mathématique trahit fréquemment un défaut de compréhension des notions.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Confusion entre appartenance et inclusion
Les relations entre objets mathématiques sont mises à mal par certains candidats, qui confondent appartenance et inclusion.
« confondant appartenance et inclusion. »
2
Récurrence mal rédigéeQ2, Q24b, Q28
L'implication P(k) implique P(k+1) n'est pas montrée pour tout k, une erreur classique de rédaction dans les démonstrations par récurrence.
« l’implication pour tout k, P(k) =>P(k+1), non montrée pour tout k »
3
Raccourcis abusifs (IPP, TVI, TFA)
L'utilisation de raccourcis comme IPP, TVI ou TFA est à proscrire ; les conditions d'application d'un théorème doivent être explicitement vérifiées.
« L’utilisation des raccourcis IPP ou TVI ou
encore TFA est à proscrire. »
4
Connaissance des ensembles de nombres insuffisante
Ne pas connaître la définition d'un nombre décimal ou confondre nombre complexe et nombre irrationnel est naturellement sanctionné.
« Ne pas connaître la définition d’un nombre décimal ou confondre nombre complexe
et nombre irrationnel est naturellement sanctionné. »
Ce qui a été bien réussi
Les parties arithmétique et proportionnalité du problème 1 ont été abordées par presque tous les candidats et sont les mieux réussies.
Les questions calculatoires sont les mieux réussies et des méthodes comme l'intégration par parties semblent maîtrisées.
Conseils du jury
Rédiger des réponses complètes et argumentées, sans raccourcis du type « et ainsi de suite » notamment pour les récurrences.
Vérifier explicitement les conditions d'application de chaque théorème invoqué plutôt que d'utiliser des abréviations non justifiées.
Soigner l'articulation entre langage mathématique et langue française, en évitant par exemple les quantificateurs en fin de phrase.
Ne pas négliger les bases de l'algorithmique (écriture de boucles), un attendu du concours régulièrement mal traité.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2024.
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Épreuve disciplinaire
L'épreuve permet d'apprécier la connaissance des notions du programme et l'aptitude à les mobiliser pour résoudre des problèmes.
Elle sollicite également les capacités de raisonnement, de démonstration et d'expression écrite du candidat.
Le sujet est constitué d'un ou plusieurs problèmes.
Durée : 5 heures
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.
Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.
Notations. ℕ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels. ℕ^∗ désigne l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls. ℝ désigne l'ensemble des nombres réels. ℝ_+désigne l'ensemble des nombres réels positifs. ℝ_+^∗ désigne l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
Problème 1 : VRAI - FAUX
Pour chacune des assertions suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.
Proportionnalité
1.
Pour que le tableau ci-contre soit un tableau de proportionnalité il faut et il suffit que m = 5.
1 − m
-3
8
1 + m
2.Après une augmentation de 55%, le coût d'un produit a baissé de 28%.
Le pourcentage d'augmentation total est de 27%.
3.Si l'on augmente son rayon de 22%, l'aire d'un disque augmente de 44%.
Analyse
4.On considère la fonction F définie sur [0, + ∞[ par F(x) = ∫_0^x e^(− t^2)dt
On a 1/e ⩽ F(1) ⩽ 1 − 1/e.
5.On note pour tout réel t ⩾ 1, A(t) = ∫_1^t x^2 lnxdx.
On a lim_(t → + ∞)(A(t))/(t^2) = + ∞
6.Toute suite (u_n) qui vérifie l'assertion suivante tend vers + ∞. ∃n_0 ∈ ℕ; ∀A ∈ ℝ, n ∈ ℕ, (n ⩾ n_0 ⇒ u_n ⩾ A).
Arithmétique
7.On a 3/(11) = 0, 272727272727.
8.Le produit de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel.
9.Soit n ∈ ℕ. La contraposée de l'assertion " n^2 pair ⇒ n pair" est " n pair ⇒ n^2 pair".
10.Si la somme des chiffres en base 10 d'un entier naturel est divisible par 3 alors cet entier est divisible par 9.
11.Soient a et b deux entiers naturels et n un entier naturel non nul.
Si 2a ≡ 2b(modn) alors a ≡ b(modn).
12.Soit n un entier naturel non nul, la somme des n premiers nombres impairs est égale au carré de 2n + 1.
13.Soient a, b et c trois entiers tels que a^2 = b^2 + c^2.
L'un au moins des nombres a, b et c est multiple de 5 .
Géométrie
14.Un triangle dont les mesures des angles sont dans un ratio 1 : 2 : 3 est un triangle rectangle.
15.Dans un plan affine euclidien, on considère un triangle ABC sur lequel sont construits extérieurement les triangles équilatéraux ABD et ACE.
On a BE = DC.
16.Dans un espace affine euclidien, muni d'un repère cartésien orthonormé, les droites D et D^′ de représentations paramétriques {x = 1 + t; y = 3 − t; z = 5 − 2t t ∈ ℝ et {x, = 1 + t; y, = 3 − t; z, = − 5t − 1 t ∈ ℝ sont coplanaires.
17.On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous.
On se place dans le repère (D, DA^(→−); DC^(→−); DH^(→−)).
Le point K(9; − 10; − 8) est un point du plan (ABG).
Dénombrement-Probabilités
18.Soit E un ensemble fini non vide dont un des éléments est noté a.
Il y a autant de parties de E contenant a que de parties ne le contenant pas.
19.Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le quadrillage ci-dessous est égal à120.
20.Une agence reçoit en moyenne 8 appels téléphoniques par heure. On modélise le nombre d'appels reçus par heure par une loi de Poisson.
La probabilité qu'il y ait plus de 3 appels téléphoniques au cours d'une heure est supérieure à 0, 95 .
21.Soient A et B deux évènements d'un espace probabilisé. Les assertions suivantes sont équivalentes :
-les évènements A et B sont indépendants;
-les évènements A¯ et B¯ sont indépendants.
22. On dépose au hasard n boules numérotées de 1 à n dans n urnes numérotées de 1 à n, en plaçant une boule par urne.
L'espérance du nombre de coïncidences (boule de même numéro que l'urne où elle se trouve) est égale à 1.
Algorithmique
Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.
En saisissant la commande encadrement (0, 2, 0.001), on obtient un encadrement de longueur inférieure à 10^(− 3) de la solution de l'équation e^(x/2) + x^2 − 3 = 0 dans l'intervalle [0; 2].
from math import *
def f(x):
return exp(0.5*x)+x**2-3
def encadrement(a,b,epsilon):
m = (a + b)/2
while b - a > epsilon:
if f(a)*f(m) < 0 :
b = m
else:
a = m
return a, b
Problème 2 : quelques modèles de dynamique d'une population
Dans ce problème, on s'intéresse à différents modèles d'évolution d'une population. Les trois parties sont indépendantes.
Le modèle logistique discret
Dans cette partie, on modélise la taille de la population par une suite (u_n) où n est un entier naturel qui désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine.
On suppose que la taille de la population est bornée c'est-à-dire qu'il existe un réel strictement positif M tel que
∀n ∈ ℕ, 0 ⩽ u_n < M.
Dans toute cette partie, on suppose 0 < u_0 < M, et on pose v_n = (u_n)/M pour tout entier n ∈ ℕ. On a alors v_0 ∈ ]0, 1[.
On suppose qu'il existe un réel a tel que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la relation de récurrence suivante :
∀n ∈ ℕ, v_(n + 1) = av_n(1 − v_n).
Le but de cette partie est d'étudier le comportement de la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) dans le cas où 0 < a ⩽ 1 et de faire une étude numérique pour le cas a = 5/2.
Le cas 0 < a ⩽ 1.
On rappelle que v_0 ∈ ]0, 1[.
On considère les fonctions f_a, et g_a définies sur [0,1], par
1.Dresser le tableau des variations de la fonction f_a sur l'intervalle [0, 1].
2.Déduire de la question précédente que pour tout n ∈ ℕ, v_n ∈ [0, 1].
3.Démontrer que si la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un réel ℓ ∈ [0, 1], alors ℓ est un point fixe de f_a, c'est-à-dire que f_a(ℓ) = ℓ.
4.Démontrer que f_a admet 0 pour unique point fixe dans l'intervalle [0, 1].
5.Démonter que g_a(x) ⩽ 0 pour tout x ∈ ]0, 1[. On pourra utiliser que 1 − 1/a ⩽ 0.
6.En déduire que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
7.Justifier la convergence de la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) vers un réel que l'on déterminera.
8.Que prédit le modèle sur l'évolution de la taille de la population dans ce cas ?
Le cas a = 5/2.
On pose v_0 = 1/2. On introduit, les fonctions f, g et h définies pour x ∈ [0, 1], par
f(x) = 5/2x(1 − x), g(x) = f(x) − x et h(x) = f ∘ f(x) − x.
9.Démontrer que f admet sur [0, 1] exactement deux points fixes.
10.Calculer v_1, v_2, v_3 et v_4. On donnera les valeurs décimales à 10^(− 3) près.
11.Écrire un algorithme qui permet de calculer les 10 premiers termes de la suite (v_n). En déduire v_(10).
12.Dans un repère orthonormé on a représenté, sur le graphique ci-dessous, pour des abscisses comprises entre 0, 5 et 0, 7 :
-la courbe représentative de la fonction f,
-la droite d'équation y = x.
Reproduire le graphique en mettant en évidence les nombres v_0, v_1, v_2, v_3 et v_4.
13.Vérifier que l'on a ∀x ∈ [0, 1], h(x) = − (x(5x − 3)(25x^2 − 35x + 14))/8.
14.En déduire que les fonctions f et f ∘ f ont les mêmes points fixes sur [0, 1].
15.Etudier le signe de la fonction h sur l'intervalle [0, 3/5].
16.On admet que l'intervalle [2/5, 3/5] est stable par la fonction f ∘ f. Déduire de la question précédente que la suite (v_(2n))_(n ∈ ℕ) est croissante.
17.Démontrer que la suite (v_(2n))_(n ∈ ℕ) converge vers 3/5.
18.En déduire que la suite (v_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) converge également vers 3/5, puis que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ) converge vers 3/5.
19.Conclure sur le comportement asymptotique de la taille de la population prédit par le modèle.
Le modèle logistique continu
Dans cette partie, on modélise l'évolution de la population par une fonction. La taille de la population à l'instant t ∈ ℝ_+est représentée par le réel y(t) où y désigne une fonction de ℝ_+vers ℝ_+.
On suppose que la taille de la population est bornée par un réel strictement positif M, c'est-à-dire que
∀t ∈ ℝ_+, 0 < y(t) < M.
On suppose qu'il existe un réel strictement positif a tel que y soit une fonction de classe C^1 solution de l'équation
∀t ∈ ℝ_+, y^′(t) = ay(t)(M − y(t)).
20.a. Démontrer qu'il existe des réels α, β que l'on déterminera tels que pour tout réel z vérifiant 0 < z < M, 1/(z(M − z)) = α1/z + β1/(M − z).
En déduire que y vérifie l'équation : ∀t ∈ ℝ_+, α(y^′(t))/(y(t)) + β(y^′(t))/(M − y(t)) − a = 0.
b. Déterminer en fonction de a et de M, une primitive de la fonction ψ : t ↦ α(y^′(t))/(y(t)) + β(y^′(t))/(M − y(t)) − a sur ℝ_+.
21.Déduire de la question précédente qu'il existe un réel c > 0 tel que pour tout t ∈ ℝ_+, y(t) = (cMe^(aMt))/(1 + ce^(aMt)).
22.Déterminer lim_(n → + ∞)y(t).
23.Qu'en déduire sur l'évolution de la population prédite par le modèle ?
Un modèle proies-prédateurs discret
On s'intéresse dans cette partie à l'évolution de deux populations dans le même milieu : une population de proies, et une population de prédateurs.
En préliminaire, on étudie les suites (x_n) et (y_n) définies par les relations de récurrence suivantes.
où α est un réel strictement positif et indépendant de n.
24.On introduit la matrice A = (1, − α; α, 1).
a.Pour n ∈ ℕ, exprimer ((x_n + 1)/(y_(n + 1))) à l'aide de ((x_n)/(y_n)) et A.
b. Démontrer que pour tout n ∈ ℕ, ((x_n)/(y_n)) = A^n((x_0)/(y_0)).
25.a. Démontrer que A admet deux valeurs propres complexes, notées λ et μ, que l'on précisera.
b. Justifier l'existence de r ∈ ℝ_+^⋆ et θ ∈ [0, 2π[ tels que λ = re^(iθ) et μ = re^(− iθ), et donner l'expression de r en fonction de α.
26.Justifier l'existence d'une matrice inversible P ∈ M_2(ℂ) telle que A = P(λ, 0; 0, μ)P^(− 1).
27.Démontrer que P = (1, 1; − i, i) et déterminer P^(− 1).
28.Démontrer que pour tout n ∈ ℕ, A^n = P(λ^n, 0; 0, μ^n)P^(− 1).
29.En déduire que pour tout n ∈ ℕ, {x_n = r^n(cos(nθ)x_0 − sin(nθ)y_0),; y_n = r^n(sin(nθ)x_0 + cos(nθ)y_0).
30.On propose dans la suite un modèle discret pour suivre l'évolution des populations de proies et de prédateurs.
L'entier n désigne le temps écoulé depuis un instant donné pris pour origine. Les tailles des populations de proies et de prédateurs sont respectivement données par les suites (u_n) et (v_n) définies par : {u_n = u¯ + x_n,; v_n = v¯ + y_n,
où les réels strictement positifs u¯ et v¯ sont fixés et correspondent à des tailles de référence pour les populations de proies et de prédateurs.
On a tracé sur le graphique ci-dessous les points de coordonnées (u_n, v_n) pour les premières valeurs de n comprises entre 0 et un entier N strictement positif.
Faire une description qualitative de l'évolution des populations de proies et de prédateurs prédite par le modèle.
31.On suppose que x_0 et y_0 ne sont pas tous les deux nuls. Pour n ∈ ℕ, exprimer x_n^2 + y_n^2, en fonction de r, x_0, y_0 et en déduire que les suites (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) ne peuvent pas être toutes les deux bornées. Discuter de la pertinence du modèle.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
-Concours externe du CAPES de l'enseignement public
Sur quels chapitres porte l'épreuve disciplinaire du CAPES mathématiques 2024 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve disciplinaire du CAPES mathématiques 2024 ?
+
Le sujet porte sur un questionnaire Vrai-Faux couvrant proportionnalité, analyse, arithmétique, probabilités, géométrie et algorithmique, puis sur des modèles de dynamique des populations (discret, continu, proie-prédateur).
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve disciplinaire du CAPES maths 2024 ?
+
Le jury relève une confusion entre appartenance et inclusion, des récurrences mal rédigées, l'usage abusif de raccourcis comme IPP ou TVI, et une connaissance insuffisante des ensembles de nombres (décimaux, irrationnels).
L'épreuve disciplinaire du CAPES mathématiques 2024 est-elle difficile ?
+
Oui, la moyenne n'est que de 9,89/20 avec un écart-type de 4,74, signe d'une épreuve sélective malgré des questions de niveau collège-lycée.
L'épreuve disciplinaire du CAPES maths 2024 comporte-t-elle de l'algorithmique ?
+
Oui, le problème 2 sur la dynamique des populations comporte une question d'écriture de boucle, signalée par le jury comme l'une des moins bien traitées malgré son caractère attendu au concours.
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