CAPES mathématiques externe 2025, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Problème 1 : VRAI - FAUX

• 1.Un article taxé à 10% a été payé 110 euros TTC (toutes taxes comprises).
  Le montant de la taxe est de 11 euros.
• 2.Soient α et β deux nombres réels.
  Le nombre α^2 + αβ + β^2 est positif.
• 3.Soient a et b deux nombres réels.
  La négation de (a > 1 et b > 1 ⇒ a + b > 2) est (a ≤ 1 ou b ≤ 1 ⇒ a + b ≤ 2).
• 4.On considère l'équation d'inconnue réelle x : cos(2025x) = 1.
  Cette équation admet 2025 solutions dans l'intervalle ] − π; π ].

• 5.Soit f : ℕ → ℕ l'application définie pour tout n ∈ ℕ par f(n) = 8n^2 − 10n + 3.
  L'application f est injective.
• 6.Pour tout entier naturel n, 2^(3n) − 1 est divisible par 7.
• 7.Soient a, b et n trois entiers naturels avec n non nul tels que a est congru à b modulo n.
  Pour tout entier x, on a x^a ≡ x^b[n].
• 8.Soit n un entier strictement positif.
  La somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls est égale à (n(n + 1)(2n + 1))/6.

• 9.Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite définie par u_0 = − 3 et, pour tout entier naturel n, u_(n + 1) = − 4u_n.
  La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) tend vers + ∞.
• 10.Soit (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite définie sur ℕ^∗ par u_n = (− 1)^n + 1/n.
  La suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) n'admet pas de limite.

• 11.Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels admettant une limite finie strictement positive. La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est positive à partir d'un certain rang.
• 12.Soit f une fonction définie et strictement décroissante sur ℝ, à valeurs dans ℝ.
  Soit u_0 un réel et soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite de premier terme u_0 et telle que pour tout entier naturel n, u_(n + 1) = f(u_n).
  La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est strictement décroissante.
• 13.L'équation e^x = x + 1 admet 0 comme unique solution sur ℝ.
• 14.Soient I un intervalle de ℝ, a un réel de I et f une fonction, définie sur I, à valeurs dans ℝ.
  Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
• 15.Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = ∫_0^x e^(− t)dt.
  La fonction f est bornée sur [0; + ∞[.
• 16.Soit (I_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite définie sur ℕ^∗ par I_n = ∫_0^1 x^n e^(− x)dx.
  La suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
• 17.Soit (I_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite définie sur ℕ^∗ par I_n = ∫_1^e t(ln(t))^n dt.
  Pour tout entier naturel n non nul, I_(n + 1) = 1/2(e^2 + (n + 1)I_n).
• \section*{Géométrie}
  18. La figure codée ci-contre, réalisée à main levée, représente une configuration géométrique du plan affine euclidien.
  Les points C, D et E de cette configuration sont alignés.
  

  

• 19.On considère un triangle ABC du plan affine euclidien tel que AB = 4, BC = 8 et CA = 4√3.
  L'angle géométrique ABCˆ mesure π/3 radians.
• 20.Dans un repère orthonormé direct ( O, ı⃗, ȷ⃗ ) du plan, on considère les points A(1; 2), B(3; 1) et M(5x; x^2 − 1) où x est un nombre réel.
  Les points A, B et M sont alignés si et seulement si x = 1.
• 21.On considère un plan (P) de l'espace et trois points A, B et C non alignés n'appartenant pas à (P), tels que la droite (AB) coupe (P) en C^′, la droite (BC) coupe (P) en A^′ et la droite (AC) coupe (P) en B^′.
  Les points A^′, B^′ et C^′ sont alignés.

• 22.On considère un pavé droit ABCDEFGH d'un espace affine euclidien de dimension 3, avec AB = 5, AD = 4 et AE = 3 et I le milieu de [AB], conformément à la figure ci-contre.
  La mesure de l'angle FHˆI arrondie au degré près est 45^∘.

23. Le nombre complexe e^(2iπ/3) + e^(− iπ/2) admet π/(12) pour argument.

Algèbre linéaire

• 24.Soit E un ℝ espace vectoriel muni d'un produit scalaire et de la norme associée notée ‖. ‖. Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux si et seulement si ‖u + v‖^2 = ‖u‖^2 + ‖v‖^2.
• 25.On considère la matrice A de M_2(ℂ), définie par A = (1, − 1; 1, 1) Le produit des valeurs propres de A est égal à 2.
• 26.On considère une matrice carrée A de taille n diagonalisable ( n ∈ ℕ^∗ ). La matrice A^2 est diagonalisable.

Dénombrement et probabilités

• 27.20 personnes, dont 13 femmes, sont convoquées à un entretien. Les candidats sont reçus individuellement. La liste fixant l'ordre de passage a été établie par un tirage au sort équiprobable parmi l'ensemble des listes possibles.
  La probabilité que le deuxième candidat interrogé soit une femme sachant que le premier candidat interrogé est une femme est égale à (12)/(19).

28. On lance trois dés à six faces numérotées de 1 à 6 et on fait la somme des résultats obtenus. Le programme ci-dessous est écrit en langage Python.

from math import*
n=int(input("Entrez un entier compris entre 3 et 18 :"))
s=0
for i in range(1,7):
    for j in range(1,7):
        for k in range(1,7):
            if i+j+k==n:
                print(i,j,k)
s=s+1
print("Le nombre de façons d'obtenir",n,"avec trois dés est :",s)

Problème 2 : meilleure approximation affine

• 1.Étudier la dérivabilité de la fonction f sur ℝ.
• 2.Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
• 3.Déterminer la fonction t affine tangente à f en 0 . Tracer la tangente en 0 sur la figure précédente.
• 4.Soit h la fonction définie sur ℝ par
  h(x) = − 1/2x.
• 4.1Justifier que h est une approximation affine de f en 0. Tracer la courbe représentative de h sur la même figure.
• 4.2Démontrer que
  ∀x ∈ ℝ, |f(x) − t(x)| ⩽ |f(x) − h(x)| ⇔ |x| ⩽ |x − 1/2|
• 4.3En déduire que t est une meilleure approximation affine de f en 0 que h.

• 5.Pour tout réel k ≠ − 1, on note g_k la fonction affine définie sur ℝ par
  g_k(x) = kx.
  • 5.1Justifier que g_k est une approximation affine de f en o.
  • 5.2Démontrer que
    ∀x ∈ ℝ, |f(x) − t(x)| ⩽ |f(x) − g_k(x)| ⇔ |x| ⩽ |x − (1 + k)|.
  • 5.3Démontrer que
    ∀x ∈ ] − |(1 + k)/2|, |(1 + k)/2|[, |f(x) − t(x)| ⩽ |f(x) − g_k(x)|.
• 6.Que peut-on en conclure pour la fonction t ?

Cas général

• 7.Démontrer que g est une approximation affine de f en a si et seulement si
  ∃k ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝg(x) = f(a) + k(x − a).
  Soit g une approximation affine de f en a telle que k ≠ f^′(a). On pose pour tout x ∈ ℝ∖{a},
  T(x), = (f(x) − t(x))/(x − a); G(x), = (f(x) − g(x))/(x − a).
• 8.Déterminer les limites des fonctions T et G en a.
• 9.Que peut-on en conclure pour la fonction t ?

Relation d'ordre

• 10.Rappeler la définition d'une relation d'ordre.
• 11.Soient f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un élément de I.
  La relation « être une meilleure approximation affine de f en a que» constitue-t-elle une relation d'ordre dans l'ensemble des approximations affines de f en a ?

Problème 3 : dérangements

Notations, définitions et rappels

Généralités

• 1.Justifier l'égalité
  card(A_1 ∪ A_2) = card(A_1) + card(A_2) − card(A_1 ∩ A_2)
  où card désigne le cardinal des ensembles considérés.
• 2.En s'inspirant de la relation précédente et en illustrant la réponse par un schéma, donner sans démonstration une expression de card(A_1 ∪ A_2 ∪ A_3), en fonction des cardinaux des intersections de ces parties.

• 3.Retrouver à l'aide de la formule du crible la réponse obtenue à la question 2.

Calcul du nombre de dérangements

• 4.Donner les valeurs de d_1 et d_2.

• 5.Démontrer que
  S_n∖D_n = ⋃_(i = 1)^n A_i.
• 6.Étant donnés un entier k de E_n et k entiers deux à deux distincts i_1, i_2, ⋯i_k, justifier l'égalité
  card(A_(i_1) ∩ A_(i_2) ∩ … ∩ A_(i_k)) = (n − k)!
• 7.Déduire des deux questions précédentes et de la formule du crible que
  d_n = n! − ∑_(k = 1)^n(− 1)^(k − 1)(n/k)(n − k)!
• 8.Démontrer que
  d_n = n!∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!).

Applications

• 9.On note p_n la probabilité qu'une permutation choisie au hasard de façon équiprobable dans S_n soit un dérangement.
  La suite (p_n) admet-elle une limite ? Si oui laquelle ?
• 10.On répartit au hasard n boules numérotées de 1 à n dans n urnes numérotées de 1 à n, en plaçant une boule par urne.
  On note X_n la variable aléatoire qui à une telle répartition associe le nombre de coïncidences entre le numéro de l'urne et celui de la boule qu'elle reçoit.
  • 10.1Déterminer P(X_n = 0) et en déduire une expression de P(X_n ≥ 1).
  • 10.2Démontrer que pour tout entier q de E_n, on a
    P(X_n = q) = 1/(q!)∑_(k = 0)^(n − q)((− 1)^k)/(k!).
  • 10.3Démontrer que l'espérance de X_n est indépendante de n.

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPES de l'enseignement public
• -Section : mathématiques - Externe
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
• -Section : mathématiques - Troisième concours
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|V 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
• -Section : langues régionales option breton
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|E 0|4|4|1|E 1|0|2 9|3|9|0
• -Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé
• -Section : mathématiques - Externe
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 1/3/0/0/E 1|0/1 19/3/9/0
• -Section : mathématiques - Troisième concours
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|W 1/3/0/0/E 1/0/1 9/3/9/0
• -Section : langues régionales option breton
  Concours Section/option Epreuve Matière E|B|F 0|4|4|1|E 1/0/2 9/3/9/0