Vrai-faux mathématique, étude de fonction, probabilités conditionnelles et géométrie dans l'espace
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Le sujet est composé de quatre problèmes indépendants couvrant une large partie du programme du lycée. Le premier propose vingt affirmations à démontrer vraies ou fausses sur des thèmes variés (suites, statistiques, algèbre, probabilités, géométrie plane et complexes). Les trois suivants portent respectivement sur l'étude d'une fonction et un calcul d'aire, une suite de probabilités conditionnelles étudiée avec Python, et la géométrie de tétraèdres dans l'espace.
1Problème 1 : vrai-fauxPropose vingt propositions indépendantes à démontrer vraies ou fausses, portant sur les suites, les statistiques, les inéquations, l'arithmétique, les probabilités, la géométrie plane et les nombres complexes.
2Problème 2 : fonction numérique et calcul intégralÉtudie une fonction définie à l'aide du logarithme, ses variations et sa convexité, puis calcule par intégration par parties l'aire d'un domaine délimité par sa courbe représentative.
3Problème 3 : probabilités conditionnelles et suites numériquesModélise par une suite récurrente la probabilité de réussite successive de tirs au basketball, étudie sa convergence puis complète un script Python déterminant le nombre de tirs nécessaires pour dépasser un seuil donné.
4Problème 4 : géométrie dans l'espaceÉtudie dans un repère les propriétés d'un tétraèdre particulier (médianes, orthogonalité des arêtes opposées), puis construit un exemple de tétraèdre vérifiant une propriété d'orthogonalité donnée.
Description
Sujet officiel CAPES externe Mayotte en mathématiques, session 2026.
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CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE CONCOURS INTERNE
Section : MATHÉMATIQUES
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée : 5 heures
Calculatrice autorisée selon les modalités de la circulaire du 17 juin 2021 publiée au BOEN du 29 juillet 2021.
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Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
Concours interne du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
Probleme 1 : Vrai-Faux
Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1.Proposition : si chaque année le prix d'un article augmente de 19%, alors le prix de cet article aura plus que doublé en 4 ans.
2.Proposition : l'écart-type de la série − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3 est égal à 4.
3.Une association emploie trois salariés.
Leur salaire moyen est de 1758 €, leur salaire médian est de 1925 €, et l'étendue des salaires est de 900 €.
L'association recrute une quatrième personne, ce qui fait passer le salaire moyen à 1 931,50 €.
Proposition : le salaire de la 4^(ème) personne est inférieur à 2450 euros.
4.Proposition : pour tout réel x ≥ 1, (√(x − √x) + √(x + √x))^2 = 2x.
5.Proposition : les réels x vérifiant 4 ≤ x^2 ≤ 9 sont les réels de l'intervalle [2;3].
6.Soit a et b deux nombres réels non nuls.
Proposition : Si a ≥ 2b, alors a^2 ≥ 2ab.
7.Proposition : si un entier a est divisible par les entiers b et c, alors il est divisible par le produit bc.
8.Proposition : si n est un entier impair, alors n^2 ≡ 1 modulo 4.
9.On lance un dé équilibré à six faces numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Soit A l'évènement « obtenir 1, 2, 3 ou 4 » et B l'évènement « obtenir 4 ou 5 »
Proposition : A et B sont indépendants.
10.Soit A et B deux événements.
Proposition : si P(A) + P(B) = 1, alors A ∪ B est un événement certain.
11.La variable aléatoire Y suit une loi normale d'espérance μ = 0 et d'écart type σ inconnu.
Proposition : si P(− 6 < Y < 6) = 0, 86 alors P(Y < 6) = 0, 93
12.Un caractère d'écriture en braille est formé de trous obtenus en piquant une feuille de papier à travers au moins l'un des 6 points de la grille ci-contre :
Proposition : on peut créer exactement 15 caractères ayant 4 trous.
13.Proposition : on peut construire un rectangle d'aire 7 cm^2 et de périmètre 12,5 cm.
14.Proposition : soit p un nombre réel. L'équation x^2 + (p + 1)x + 1 = 0, d'inconnue x n'admet pas de solution réelle si et seulement p ∈ ] − 3; 1[.
Dans un repère orthonormé, les coordonnées des points A et B sont respectivement (3; 7) et (-1; 1).
15.Proposition : une équation de la droite (AB) est 3x − 2y + 5 = 0.
16.Proposition : une équation du cercle de diamètre [AB] est x^2 + y^2 − 2x − 8y + 4 = 0.
17.Proposition : sur [0; + ∞[, la courbe d'équation y = (x^2)/(x + 1) est au-dessus de la parabole y = x^2.
18.Proposition : l'équation x^3 + x + 1 = 0 admet une unique solution sur [-1;0].
19.Sur la figure ci-dessous, la mesure en radians de l'angle BAEˆ est π/6.
Proposition : l'aire du domaine formé par le triangle isocèle EAB et le carré BCDE est supérieure à 8 cm^2.
20.Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O; ı⃗, ȷ⃗ ).
Soit A le point d'affixe 14 − 6i et B le point d'affixe 4 − 10i
Proposition : le triangle OAB est un triangle rectangle isocèle.
Partie A : étude d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur [0; + ∞[ par : {f(x) = x^2(3/2 − ln(x)) si x > 0; f(0) = 0.
On note C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O; ı⃗, ȷ⃗).
1.Résoudre l'inéquation f(x) > 0 sur ]0; + ∞[.
2.Calculer la limite de f en + ∞.
3.a. Démontrer que f est continue sur[0; + ∞[.
b.Démontrer que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f^′(0). Interpréter graphiquement.
4.a. Démontrer que pour tout réel x > 0, on a : f^′(x) = 2x(1 − ln(x)).
b.Établir le tableau de variations de la fonction f sur [0; + ∞[. On fera apparaître les limites et les valeurs particulières.
c.Déterminer l'équation réduite de la tangente (Δ) à la courbe C_f au point d'abscisse 1.
5.On admet que pour tout réel x > 0, on a : f^(′′)(x) = − 2ln(x).
a.Étudier la convexité de f sur ]0; + ∞[.
b.Justifier que la courbe C_f admet un point d'inflexion ayant pour abscisse 1 et en donner une interprétation graphique.
6.Représenter sur la copie la droite (Δ) ainsi que l'allure de la courbe C_f en tenant compte des résultats des questions précédentes.
Partie B : calcul d'une aire.
Pour tout λ ∈ ]0; e], on pose I(λ) = ∫_λ^(e^(3/2))f(x)dx.
1.Démontrer à l'aide d'une intégration par parties, que : I(λ) = (λ^3)/3ln(λ) − (11)/(18)λ^3 + 1/9e^(9/2).
2.Déterminer sans justifier un domaine du plan ayant pour aire I(λ) en unités d'aire.
3.Calculer lim_(λ → 0)I(λ). Interpréter ce résultat en termes d'aire et hachurer le domaine correspondant sur le graphique de la partie A, question 6.
Partie A : probabilités conditionnelles.
Lors d'une séance d'entraînement, une joueuse de basketball s'entraîne à marquer des paniers.
On admet que la probabilité de réussir son 1^(er) tir est de 0,7. On admet de plus que :
-Lorsqu'elle a réussi un tir, la probabilité de réussir le tir suivant devient alors de 0,9 ;
-Lorsqu'elle a raté un tir, la probabilité de réussir le tir suivant n'est plus alors que de 0,4.
On note A_n l'événement «la joueuse réussit le n-ième tir» et A_n^– son événement contraire.
On note enfin p_n = P(A_n). Ainsi p_1 = 0, 7.
1.Démontrer que p_2 = 0, 75
2.Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : p_(n + 1) = 0, 5p_n + 0, 4.
Partie B : étude d'une suite.
Dans cette partie, il s'agit d'étudier la suite (p_n) définie par p_1 = 0, 7 et p_(n + 1) = 0, 5p_n + 0, 4 pour tout entier naturel n non nul.
1.a. Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ p_n ≤ p_(n + 1) ≤ 0, 8.
b.Déduire de la question précédente que la suite (p_n) est convergente.
2.Pour tout entier naturel n non nul, on pose v_n = p_n − 0, 8.
a.Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v_1.
b.En déduire l'expression de v_n en fonction de n, puis que pour tout entier naturel n non nul : p_n = 0, 8 − 0, 1 × 0, 5^(n − 1).
c.Déterminer la limite de la suite (p_n) et interpréter ce résultat dans le contexte de la partie A.
3.Le script ci-contre, écrit en langage Python, est destiné à déterminer le nombre minimal n de tirs pour que la probabilité P que la joueuse réussisse le n-ième tir dépasse le seuil S.
a.Recopier ce script sur la copie et compléter les pointillés.
b.On exécute le script en prenant pour S la valeur 0,799.
Pourquoi est-on sûr que le programme s'arrête ?
c.Donner sans justifier la valeur retournée par seuil(0,799).
Probleme 4 : Geometrie dans l'espace
L'espace est rapporté à un repère ( O; ı⃗, ȷ⃗, k⃗ ).
On utilisera les définitions suivantes :
-Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane.
-Un tétraèdre est de type 1 si ses faces ont la même aire.
-Un tétraèdre est de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
-Un tétraèdre est de type 3 si chaque médiane est orthogonale à la face opposée.
-Enfin, un tétraèdre est de type 4, ou régulier, si ses six arêtes ont la même longueur.
On admet que la droite (DC) est orthogonale au plan (AGE).
On note / le point d'intersection de la droite (DC) et du plan (AGE).
1.Déterminer une équation du plan ( AGE ).
2.Déterminer une équation paramétrique de la droite (DC).
3.Déterminer les coordonnées du point I.
4.Démontrer que la droite (DC) est une médiane de la face ( AGE ) dans le tétraèdre ADGE.
5.Justifier si le tétraèdre AGED est :
a.de type 1.
b.de type 2.
c.de type 3.
d.de type 4.
Partie B : construction d'un tétraèdre de type 2
On considère les points suivants de l'espace :
A(0; 0; 1), B(1; b; 0), C(1; c; 0), O(0; 0; 0)
1.Trouver une relation entre b et c pour que le tétraèdre OABC soit de type 2.
2.Donner un exemple de tétraèdre de type 2 grâce à cette relation.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte cette composition de mathématiques du CAPES externe à Mayotte 2026 ?
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Sur quels chapitres porte cette composition de mathématiques du CAPES externe à Mayotte 2026 ?
+
Elle porte sur les suites, les statistiques, l'étude de fonctions et le calcul intégral, les probabilités conditionnelles avec un script Python, la géométrie dans l'espace et les nombres complexes.
Quelles parties du sujet sont indépendantes ?
+
Les quatre problèmes sont indépendants entre eux. Au sein du problème 4, les parties A et B sont également indépendantes l'une de l'autre.
Ce sujet demande-t-il des compétences en programmation ?
+
Oui, le problème 3 demande de compléter un script Python calculant le nombre de tirs nécessaires pour dépasser un seuil de probabilité donné.
Quel est le niveau visé par ce sujet du CAPES ?
+
Le sujet porte sur des notions du programme de lycée (suites, fonctions, probabilités, géométrie), dans l'esprit d'une épreuve de mathématiques destinée aux futurs enseignants du secondaire.
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