CAPES mathématiques externe Mayotte 2026, épreuve 1Sujet

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  

Probleme 1 : ÉQUATION Differentielle et etude de fonction

Partie A : équation différentielle

• 1.a. Vérifier que la fonction f_0 définie sur ℝ par f_0(x) = 2x − 1 est une solution particulière de l'équation (E).
  • b.Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si, et seulement si, la fonction f − f_0 est solution de l'équation différentielle y^′ = − 2y.
  • c.En déduire que les solutions de (E) sont les fonctions f_k, définies sur ℝ par f_k(x) = ke^(− 2x) + 2x − 1, où k ∈ ℝ.

• a.Pour tout réel k, la droite d'équation y = 2x − 1 est asymptote oblique à la

• • b.Pour tout réel k non nul, la courbe C_k ne possède pas de point d'inflexion.
  • c.Pour tout réel k > 0, la courbe C_k admet un sommet qui appartient à la droite d'équation y = 2x + 1.
  • d.Il existe une valeur du réel k tel que C_k passe par A(0, 2).

Partie B : étude d'une fonction solution de (E)

• 1.a. Déterminer la limite de f en + ∞.
• b.Justifier que pour tout réel x, f(x) = (3 + 2xe^(2x))/(e^(2x)) − 1
  En déduire la limite de la fonction f en − ∞.
• c.Établir le tableau de variations de f dans ℝ. On fera apparaître les limites et les valeurs particulières.

2. Étude de l'équation f(x) = 8.

• a.Justifier que l'équation f(x) = 8 admet une unique solution sur l'intervalle [1;10].
• b.Le script ci-dessous, rédigé en langage Python, définit une fonction solution.

from math import exp
def f(x):
    return 3*exp(-2*x)+2*x-1
def solution(a,b):
    while b-a>0.1:
        m= (a+b) /2
        if f(m)<8:
            a=m
        else:
            b=m
    return a,b

• c.Que permet de déterminer la fonction solution (a, b) dans le contexte de l'exercice?
• 3.Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0, 2].

Probleme 2 : Nombres Complexes

Préliminaires

• 1.Soit un vecteur u⃗ d'affixe z et un vecteur v⃗ d'affixe i × z
  Démontrer que u⃗ et v⃗ sont orthogonaux.
• 2.Soit deux vecteurs u⃗ d'affixe z = x + iy et v⃗ d'affixe z^′ = x^′ + iy^′, où x, x^′, y, y^′ sont des nombres réels.
  Démontrer que : u⃗.v⃗ = Re(z × z^′^–)
• 3.Soit z ∈ ℂ un nombre complexe non nul.
  Démontrer que z est un imaginaire pur si et seulement si − 1/z imaginaire pur.
• 4.Exprimer chacune des deux aires suivantes en fonction de R et α, où α est une mesure de l'angle en radians comprise entre 0 et 2π.
  

  

  
  

  

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : construction d'un œuf

• 1.Prouver que d = 2 + i. Déterminer les affixes g et h.

• 2.Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
• 3.On trace les quarts de cercle suivants :
  • -de centre A, reliant C à D;
  • -de centre B, reliant D à G;
  • -de centre F, reliant G à H;
  • -de centre O, reliant H à C.
  Ces quarts de cercles semblent former un œuf.
  

  

  
  Déterminer l'aire de l'œuf.

Partie B : un rectangle

• 1.Prouver que n = − 1 + i − im, que p = − 1 − m + i et que q = im.
• 2.Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.
• 3.a. Démontrer que arg((m − n)/(p − n)) = (NP^(→−); NM^(→−))[2π]
  • b.En déduire que le quadrilatère MNPQ est un rectangle si et seulement si (m − n)/(p − n) est un imaginaire pur.
  • c.Démontrer l'égalité : (m − n)/(p − n) = − i + 1/(− m).
  • d.En utilisant la question 3 de la partie Préliminaires, déterminer l'ensemble (Δ) des points M tels que le quadrilatère MNPQ soit un rectangle.

Partie C : un œuf dans un œuf

• le même procédé que dans la partie A. On a placé le point L de coordonnées (1;1).
  1. Grâce à la représentation graphique ci-contre, donner les affixes des points L; R; S et T.
  

  

• 2.a. Déterminer les aires des deux parties foncées représentées ci-contre (entre le côté du rectangle et l'arc de cercle).
  • b.Donner le rapport de ces aires.

Probleme 3 : Arithmetique

• 1.a. Donner la liste des entiers naturels qui divisent 210.
  • b.Déterminer de deux façons différentes le plus grand diviseur commun de 175 et 210.
• 2.Un fleuriste reçoit d'un fournisseur un lot de 210 tulipes. Il souhaite faire des bouquets de 18 tulipes.
  Déterminer s'il est possible de répartir l'intégralité des fleurs.
• 3.Un deuxième fournisseur livre 175 œillets.
  • a)Déterminer si le fleuriste peut confectionner des bouquets tous identiques en utilisant tous les œillets et toutes les tulipes.
  • b)Combien peut-il ainsi en constituer le plus possible ?
• 4.Le premier fournisseur passe tous les 22 jours et il est venu il y a 3 jours. Le second fournisseur passe tous les 16 jours et il est passé hier. Le fleuriste souhaite savoir combien de fois les deux fournisseurs passeront le même jour durant les 365 jours à venir.
  • a.Justifier que répondre au problème posé revient à résoudre l'équation diophantienne (E) : 11x − 8y = 1, où x et y sont deux entiers relatifs.

• b.Trouver une solution particulière (x_0; y_0)de(E).
• c.Montrer que si ( x; y ) est solution de (E) alors il existe un entier relatif k tel que x − x_0 = 8k et y − y_0 = 11k.
• d.En déduire les couples ( x; y ) solutions de (E).
• e.Déterminer combien de fois les deux fournisseurs passeront le même jour durant les 365 jours à venir.

Probleme 4 : Configuration du plan et Vecteurs

• 1)a. Justifier que CJ^(→−) = (a − 1)/aCA^(→−).
• b.En déduire que BJ^(→−) = (a − 1)/aCA^(→−) − CB^(→−).
• c.De la même façon, exprimer AI^(→−) en fonction des vecteurs CA^(→−) et CB^(→−).
• 2)a. Montrer qu'il existe un unique point K vérifiant
  (a − 1)KA^(→−) + (b − 1)KB^(→−) = 0→
• b.En déduire que ce point est sur le segment [AB].
• c.Justifier que (a + b − 2)CK^(→−) = (a − 1)CA^(→−) + (b − 1)CB^(→−).
• 3)Soit G le point défini par KG^(→−) = 1/(a + b − 1)KC^(→−).
  • a.Démontrer que CG^(→−) = 1/(a + b − 1)((a − 1)CA^(→−) + (b − 1)CB^(→−)).
  • b.Exprimer BG^(→−) en fonction des vecteurs CA^(→−) et CB^(→−).
  • c.En déduire que les points B, G et J sont alignés.
  • d.On admet que AG^(→−) = b/(a + b − 1)AI^(→−).

• 4)Étude de cas particuliers
  • a.Si a = b, déterminer la position du point K.
  • b.Si a = b = 2, déterminer la position des points I et J. Que représente dans ce cas le point G ?