CAPES mathématiques externe Mayotte 2023, épreuve 1Sujet et rapport du jury

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

  
  

  

  
  

  

  
  

  

Problème 1 : suite d'intégrales

• 1.Calculer I_0.
• 2.Déterminer le sens de variation de la suite (I_n).
• 3.La suite (I_n) est-elle minorée ?
• 4.Établir la convergence de la suite (I_n).
• 5.Exprimer I_(n + 1) en fonction de I_n.
  En déduire les valeurs exactes de I_1 puis de I_2.
• 6.Soit p un entier naturel non nul.
  Écrire un algorithme, en langage Python, permettant de calculer I_p.

Problème 2 : complexes et médiatrices

• 1.Donner une équation de la droite T.
• 2.Justifier que l'ensemble des points M_θ lorsque θ varie sur ] − π; π] est le cercle C.
• 3.Que peut-on dire du point M_θ lorsque θ = 0 ?
• 4.Les droites (OM_θ) et T sont-elles sécantes quel que soit le nombre réel θ appartenant à l'intervalle ] − π; π] ?
• 5.Soit θ un réel non nul appartenant à l'intervalle ] − π; π[.
  Déterminer l'affixe du point N appartenant au cercle C tel que le triangle OM_θ N soit rectangle en 0 .

• 1.Vérifier que l'affixe du point N défini dans la question A. 5 est z_N = 3/2 − i(√3)/2
• 2.Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice D du segment [MN].
• 3.K est le point d'intersection des droites (OM) et T.
• Lest le point d'intersection des droites (ON) et T (on admet son existence).
  Déterminer l'affixe du point I milieu du segment [KL].
• 4.En déduire une équation cartésienne de la médiatrice D^′ du segment [KL].
• 5.Démontrer qu'il existe un point J équidistant des points N, M, K et L.
  On déterminera ses coordonnées.

Problème 3 : géométrie dans l'espace

• 1.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
• 2.Démontrer que la droite (BD) est orthogonale au plan (ABC).
• 3.Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
• 4.Déterminer une équation du plan (ACD).
• 5. n⃗ est un vecteur normal au plan (ACD).
  Δ est la droite passant par B de vecteur directeur n⃗.
  Déterminer les coordonnées du point H intersection de la droite Δ et du plan (ACD).
• 6.Déterminer l'aire du triangle ACD.

Problème 4 : équation fonctionnelle

• 1.Résoudre dans ℝ l'équation : x^2 = x^4.
• 2.En déduire que, si la fonction f satisfait la propriété (E), alors f(0) ∈ { − 1; 0; 1}.
• 3.Démontrer que, si f est une fonction s'annulant en 0 et satisfaisant la propriété (E), alors f est la fonction nulle sur ℝ.
• 4.Soit f une fonction satisfaisant la propriété (E).
  Démontrer que, s'il existe un nombre réel non nul a tel que f(a) = 0, alors, pour tout entier naturel n, f(a/(2^n)) = 0.
  On admet que l'on peut en déduire que f est la fonction nulle.
• 5.On suppose maintenant que f vérifie la propriété (E) et que f n'est pas la fonction nulle. Déduire de la question précédente que la fonction f est soit strictement positive sur ℝ, soit strictement négative sur ℝ.

• 1.Démontrer, à l'aide de la question 2. de la partie B, que g(0) = 0.
• 2.Vérifier que, pour tous réels x et y : g(x + y) + g(x − y) = 2(g(x) + g(y)).
• 3.Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence et de la question précédente, que, pour tout n ∈ ℕ : g(n) = g(1) × n^2.
• 4.On admet que, pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ, g(nx) = n^2 g(x).
  Démontrer que, pour tout entier naturel p non nul : g(1/p) = (g(1))/(p^2).
  En déduire que, pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p non nul:
  g(n/p) = (n^2)/(p^2)g(1).
• 5.On admet que, pour tout nombre réel x, g(x) = g(1) × x^2.
  En déduire l'expression des fonctions f définies, continues et strictement positives sur ℝ qui vérifient la propriété (E).