Agrégation mathématiques externe spéciale 2023, épreuve écriteSujet et rapport du jury

Concours externe spécial de l'agrégation section mathématiques - Sujet de l'épreuve écrite de la session 2023

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Sujet officiel Agrégation externe spéciale en mathématiques, session 2023.

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SESSION 2023

AGRÉGATION
Concours externe spécial docteur

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.

L'épreuve comporte deux parties :

-Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve de cette partie en cherchant à traiter les cinq exercices numérotés 1, 2, 3, 4 et 5.
-Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.

Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.

Notations, vocabulaire et rappels

On désigne par

ℕ

l'ensemble des entiers naturels,

ℤ

l'ensemble des entiers relatifs,

ℝ

le corps des nombres réel et

ℂ

le corps des nombres complexes.

Pour tout entier naturel

n

, on désigne par

[ [1; n] ]

l'ensemble des entiers compris au sens large entre 1 et

n

𝕂

est un corps et

n

un entier naturel non nul, on note

ℳ_n(𝕂)

𝕂

-algèbre des matrices carrées d'ordre

n

sur

𝕂

. On note

0_n

I_n

ses éléments neutres pour l'addition et la multiplication respectivement. On rappelle que le spectre d'une matrice est l'ensemble de ses valeurs propres.

Dans tout le sujet, le polynôme caractéristique d'une matrice

M

dans

ℳ_n(𝕂)

est défini comme le déterminant de la matrice

XI_n - M

dans

ℳ_n(𝕂[X])

.
Pour tout réel

x

, on note

⌊x⌋

la partie entière de

x

, c'est-à-dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

x

.
Soit

d

dans

ℕ∖{0}

a

dans

ℝ^d

r

un réel strictement positif. On désigne par

B(a, r)

la boule ouverte de centre

a

et de rayon

r

pour la norme euclidienne

‖ \cdot ‖_2

usuelle.

B(a, r)^-

désigne la boule fermée de centre

a

et de rayon

r

pour cette même norme. Ainsi,

B(a, r) = {x ∈ ℝ^d|‖x − a‖_2 < r} et B(a, r)^– = {x ∈ ℝ^d|‖x − a‖_2 ≤ r},

où pour tout

(x_1, \dots, x_d)

dans

ℝ^d

‖x‖_2 = \sqrt(\sum_(k = 1)^d x_k^2⎷).

Pour tout

n

dans

ℕ∖{0}

, on appelle racine

n

-ième de l'unité tout nombre complexe

z

tel que

z^n = 1

. Une racine

n

-ième de l'unité

z

est dite primitive si elle engendre le groupe

𝕌_n

des racines

n

-ièmes de l'unité, c'est-à-dire si

𝕌_n

est égal à l'ensemble

{z^k|k ∈ ℤ}

des puissances de

z

Exercices Préliminaires

Exercice 1

Pour tout

n

dans

ℕ∖{0}

, on pose

H_n = \sum_(k = 1)^n 1/k et u_n = H_n - ln(n).

1.Démontrer que $H_n \sim _(n \to + \infty)ln(n)$ .
2.Justifier que la série de terme général $((- 1)^(k + 1))/k$ converge.
3.Justifier que la suite $(u_n)_(n \geq 1)$ converge et en déduire que $\sum_(k = 1)^(+ \infty)((- 1)^(k + 1))/k = ln(2)$ .
4.Donner un équivalent simple de la suite de terme général $ln(2) - \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k + 1))/k$ .

Pour tout

n

dans

ℕ∖{0}

, on note

A_n

l'ensemble des entiers

i

dans

[ [1; n] ]

tels que le reste de la division euclidienne de

n

par

i

est supérieur ou égal à

i/2

5.Démontrer que pour tout $n$ dans $ℕ∖{0}, card(A_n) = ∑_(i = 1)^n⌊2(n/i − ⌊n/i⌋)⌋$ .
6.Démontrer que
$\int_0^1⌊2(1/t - ⌊1/t⌋)⌋dt = \sum_(k = 1)^(+ \infty)(1/(k + 1/2) - 1/(k + 1)).$
7.Déterminer un équivalent simple de la suite de terme général $card(A_n)$ .

Exercice 2

Dans tout cet exercice, on fixe un entier

n

dans

ℕ∖{0}

. Pour tout polynôme

Q = X^n - \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k X^k

dans

ℂ[X]

, on définit la matrice

C(Q)

ℳ_n(ℂ)

en posant :

C(Q) = (0, 0, \dots, 0, a_0; 1, 0, \dots, 0, a_1; 0, 1, ⋱, ⋮, a_2; ⋮, ⋱, ⋱, 0, ⋮; 0, \dots, 0, 1, a_(n - 1)).

1.Quel est le polynôme caractéristique de $C(Q)$ ?

2.Déterminer, pour tout $k$ dans $[ [0; n - 1] ]$ , la première colonne de $C(Q)^k$ . En déduire le polynôme minimal de $C(Q)$ .

Soit

P

dans

ℤ[X]

un polynôme unitaire de degré

n

. On note

x_1, \dots, x_n

ses racines complexes comptées avec ordre de multiplicité. On suppose que pour tout

j

dans

[ [1; n] ], 0 < |x_j| \leq 1

. On pose, pour tout

k

dans

ℕ∖{0}

P_k = \prod_(j = 1)^n(X - x_j^k).

3.Démontrer que pour tout $j$ dans $[ [1; n] ], |x_j| = 1$ .
4.On pose $A = C(P)$ . Soit $k$ dans $ℕ∖{0}$ . En considérant la matrice $A^k$ , démontrer que $P_k$ est à coefficients entiers.
5.Démontrer que l'ensemble ${P_k|k ∈ ℕ∖{0}}$ est fini.
6.Soit $j$ dans $[ [1; n] ]$ . Démontrer que l'ensemble ${x_j^k|k ∈ ℕ}$ est fini.
7.En déduire que $x_1, \dots, x_n$ sont des racines de l'unité.

Exercice 3

Soit

d

dans

ℕ∖{0}

f

une fonction continue de

ℝ^d

dans

ℝ^d

(u_n)_(n \in ℕ)

une suite telle que pour tout

n

dans

ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)

1.On suppose dans cette question que $(u_n)_(n \in ℕ)$ admet une valeur d'adhérence $ℓ$ et que, de plus, cette valeur d'adhérence est unique. On suppose par l'absurde que $(u_n)_(n \in ℕ)$ ne converge pas vers $ℓ$ .
Démontrer qu'il existe un réel $ε > 0$ tel que l'ensemble $f(B(ℓ, ε)^-)∖B(ℓ, ε)$ contienne une infinité de termes de la suite, puis conclure.
2.On suppose maintenant que $d = 1$ . Ainsi, $f$ est une fonction continue de $ℝ$ dans $ℝ$ et $(u_n)_(n \in ℕ)$ est une suite à valeurs réelles. On suppose de plus que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ admet au moins une valeur d'adhérence et que $u_(n + 1) - u_n ⟶ _(n \to + \infty)0$ .
- a)Démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)_(n \in ℕ)$ est un intervalle $I$ .
- b)Démontrer que pour tout $x$ dans $I$ , $f(x) = x$ .
- c)En déduire que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ converge.

Exercice 4

On rappelle que la loi d'une variable aléatoire réelle

X

est entièrement déterminée par la fonction caractérique de

X

définie pour tout

t

réel par :

φ_X(t) = E(e^(itX))

.
Soit

X

Y

deux variables aléatoires réelles indépendantes. On suppose que

X + Y

X - Y

sont indépendantes. On note enfin

φ = φ_(X + Y)

1.Soit $s$ et $t$ deux réels. En calculant $φ_(X + Y)(s)φ_(X - Y)(t)$ de deux manières différentes, démontrer que
$φ_X(s + t)φ_Y(s - t) = φ_X(s)φ_X(t)φ_Y(s)φ_Y(- t).$
2.En déduire que pour tous réels $s$ et $t, φ(s + t)φ(s - t) = φ(s)^2|φ(t)|^2$ .

3.Démontrer que $φ$ ne s'annule pas sur $ℝ$ .

On admet alors l'existence de deux fonctions

r

θ

continues de

ℝ

dans

ℝ

telles que pour tout

t

dans

ℝ, φ(t) = exp(r(t) + iθ(t))

, et

θ(0) = 0

4.Démontrer que pour tout $t$ dans $ℝ$ et pour tout $n$ dans $ℤ, r(nt) = n^2 r(t)$ et $θ(nt) = nθ(t)$ .
5.En déduire qu'il existe $m$ dans $ℝ$ et $σ$ dans $ℝ_+$ tels que pour tout $t$ dans $ℝ$ ,
$φ(t) = exp(imt - (σ^2 t^2)/2).$
6.Démontrer enfin que, si $X$ et $Y$ ne sont pas constantes presque sûrement, alors elles suivent une loi normale.
Indication : On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une variable aléatoire $Z$ suivant une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $σ > 0$ a une fonction caractéristique donnée par :
$\forallt \in ℝ, φ_Z(t) = exp(imt - (σ^2 t^2)/2).$

Exercice 5

Soit

n

dans

ℕ∖{0}, A

dans

ℳ_n(ℂ)

λ

dans

ℂ

tels que

A

λA

sont semblables.

1.On suppose dans cette question que $A$ est inversible. Démontrer que $λ^n = 1$ .
2.On suppose dans cette question que $λ$ est une racine primitive $n$ -ième de l'unité. Démontrer que $A$ est nilpotente ou diagonalisable.
3.Donner, pour chaque racine $n$ -ième de l'unité $λ$ qui n'est pas primitive, un exemple de matrice $A$ dans $ℳ_n(ℂ)$ inversible et non diagonalisable telle que $A$ est semblable à $λA$ . L'entier $n$ est fixé quelconque dans $ℕ∖{0}$ , on n'en prendra pas une valeur particulière.

Problème d'algèbre et géométrie

Notations, vocabulaire et rappels

Dans tout le problème, on fixe un entier naturel

n

non nul. On note

𝕂

un corps,

E

F

des espaces vectoriels sur

𝕂, ℒ(E, F)

l'espace vectoriel des applications linéaires de

E

dans

F

End(E)

celui des endomorphismes de

E

E^* = ℒ(E, 𝕂)

.
Pour

v

dans

F

φ

dans

E^*

, on note

v \otimes φ

l'application de

E

dans

F

qui à

x

associe

φ(x)v

.
Lorsque

E

est muni d'une structure préhilbertienne réelle, on a en particulier

𝕂 = ℝ

et on note

⟨ \cdot | \cdot ⟩

son produit scalaire. Pour

v

dans

E

, on note alors

v^*

l'élément de

E^*

qui à

x

dans

E

associe

v^*(x) = ⟨v|x⟩

. On note de plus

𝒮(E)

l'espace des endomorphismes symétriques de

E

.
Lorsqu'on a

E = ℝ^n

, on le munit du produit scalaire canonique et on note

𝒮_n(ℝ)

l'espace

𝒮(ℝ^n)

. De plus, on désigne par

𝒮_n^+(ℝ)

𝒮_n^(+ +)(ℝ)

les parties de

𝒮_n(ℝ)

formées des matrices positives et définies positives respectivement. On dit qu'un vecteur dans

ℝ^n

est unitaire s'il est de norme égale à 1.
Pour

M

dans

ℳ_n(𝕂)

, on note

M^T

sa transposée,

det(M)

son déterminant,

Tr(M)

sa trace,

rg(M)

son rang,

Sp(M)

son spectre et

χ_M

son polynôme caractéristique. On rappelle que

χ_M

est unitaire. Si

M

est inversible on note

M^(- 1)

son inverse et

M^(- T)

la transposée de son inverse.
Pour toute matrice

M = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

dans

ℳ_n(𝕂)

, on note

d⃗(M)

le vecteur colonne

(a_(1, 1), \dots, a_(n, n))^T

Δ(M)

le produit

\prod_(i = 1)^n a_(i, i)

, et pour

I

une partie de

[ [1; n] ]

, on dit que la matrice

(a_(i, j))_((i, j) \in I \times I)

est une sous-matrice principale de

M

.
Enfin on note

(e_1, \dots, e_n)

la base canonique de

𝕂^n

Partie I

1.a) Soit $v$ dans $F$ et $φ$ dans $E^*$ . Quel est le rang de l'application $v \otimes φ$ ?
- b)Démontrer que $(φ, v) \mapsto v \otimes φ$ est une application bilinéaire de $E^* \times F$ dans $ℒ(E, F)$ et en préciser l'image.
- c)Pour $(φ, v)$ dans $E^* \times F$ , quels sont les antécédents de $v \otimes φ$ par l'application précédente?
2.On suppose dans cette question $E$ muni d'une structure préhilbertienne réelle.
- a)Soit $v$ dans $E$ et $φ$ dans $E^*$ . À quelle condition nécessaire et suffisante l'application $v \otimes φ$ est-elle symétrique?
- b)Soit $v$ et $w$ dans $E$ . À quelle condition nécessaire et suffisante l'application $v \otimes w^*$ est-elle symétrique?
3.a) Soit $u$ dans $ℒ(E, F)$ . Démontrer que $u$ est de rang $r$ si et seulement s'il existe deux familles libres $(φ_1, \dots, φ_r)$ et $(v_1, \dots, v_r)$ dans $E^*$ et $F$ respectivement, telles que $u = \sum_(i = 1)^r v_i \otimes φ_i$ .
- b)On suppose $E$ muni d'une structure préhilbertienne réelle et $u$ dans $𝒮(E)$ . Démontrer que $u$ est de rang $r$ si et seulement s'il existe une famille libre orthogonale $(v_1, \dots, v_r)$ et des scalaires $(λ_1, \dots, λ_r)$ tels que $u = \sum_(i = 1)^r λ_i v_i \otimes v_i^*$ .

Partie II

Soit

A

dans

𝒮_n^+(ℝ)

. On note

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

. On dit que

A

est tridiagonale si ses coefficients d'indices

(i, j)

avec

|i - j| > 1

sont nuls.

4.On appelle matrice de type $H$ une matrice de la forme $H_V$ , avec $V$ un vecteur colonne unitaire dans $ℝ^n$ et $H_V = I_n - 2VV^T$ .
- a)Interpréter géométriquement les matrices de type $H$ et préciser à quelle condition on a l'égalité $H_V e_1 = e_1$ .
- b)Expliciter $V$ tel que $H_V e_1 = e_1$ et la première colonne de $H_V^T AH_V$ ne comporte que des zéros à partir de la troisième ligne.
- c)En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ et des matrices $H_1, \dots, H_m$ de type $H$ telles que la matrice $H_m^T\dotsH_1^T AH_1\dotsH_m$ soit tridiagonale à coefficients positifs.

On suppose dorénavant

A

tridiagonale à coefficients positifs. On note, pour

i

dans

[ [1; n] ], a_(i, i) = b_i

et pour

i

dans

[ [1; n - 1] ], a_(i, i + 1) = a_(i + 1, i) = c_i

. Pour

k

dans

[ [1; n] ]

, on note

A_k

la sous-matrice principale

(a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq k)

P_k = χ_(A_k)

. On suppose de plus que pour tout

i

dans

[ [1; n - 1] ], c_i \neq 0

5.a) Établir une relation de récurrence d'ordre 2 vérifiée par la suite $(P_k)_(1 \leq k \leq n)$ . Quelle valeur donner à $P_0$ pour qu'elle soit vérifiée à partir du rang 0?
- b)Soit $k$ dans $[ [1; n - 1] ]$ . Démontrer que si $x$ est une racine du polynôme $P_k$ , alors $P_(k - 1)(x)P_(k + 1)(x) < 0$ .
- c)Pour $k$ dans $[ [1; n] ]$ , démontrer que $P_k$ est simplement scindé sur $ℝ$ et que, si $k < n$ , il y a exactement une racine de $P_k$ entre deux racines de $P_(k + 1)$ .

On note

(λ_k)_(1 \leq k \leq n)

les valeurs propres de

A

. Pour

x

réel et

k

dans

[ [0; n] ]

, on note

s_k(x)

le signe de

P_k(x)

si ce dernier est non nul et celui de

P_(k - 1)(x)

sinon. On note

N(x)

le nombre de changements de signes dans la suite (

s_0(x), s_1(x), \dots, s_n(x)

6.Démontrer que $s_k(x)$ et $N(x)$ sont bien définis, et que le nombre de valeurs propres de $A$ dans un intervalle $]a; b$ ] est égal à $N(a) - N(b)$ .

Partie III

Pour

A

dans

ℳ_n(ℂ)

, avec

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

, et

B

dans

ℳ_p(ℂ)

, on définit la matrice

A \otimes B

dans

ℳ_(np)(ℂ)

par l'écriture par blocs

A \otimes B = (a_(1, 1)B, \dots, a_(1, j)B, \dots, a_(1, n)B; ⋮, ⋮, ⋮; a_(i, 1)B, \dots, a_(i, j)B, \dots, a_(i, n)B; ⋮, ⋮, ⋮; a_(n, 1)B, \dots, a_(n, j)B, \dots, a_(n, n)B).

7.a) Soit $(A, B)$ et $(A^', B^')$ dans $ℳ_n(ℂ) \times ℳ_p(ℂ)$ . À quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité $A \otimes B = A^' \otimes B^'$ ?
- b)Soit $f_(A, B) : ℳ_(n, p)(ℂ) \to ℳ_(n, p)(ℂ)$ l'application définie par $f_(A, B)(M) = AMB^T$ . Démontrer que $A \otimes B$ est la matrice représentative de $f_(A, B)$ dans une base de $ℳ_(n, p)(ℂ)$ que l'on précisera. En déduire la trace et le déterminant de $A \otimes B$ . Quel est son spectre?

8.À quelle condition nécessaire et suffisante $A \otimes B$ est inversible? Quel est alors son inverse?
9.À quelle condition nécessaire et suffisante $A \otimes B$ est diagonalisable?
10.Démontrer $exp(A) \otimes exp(B) = exp(A \otimes I_p + I_n \otimes B)$ .

On définit maintenant le produit o de deux matrices

A

B

dans

ℳ_n(ℂ)

, avec

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

B = (b_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n)

, par

A \circ B = (a_(i, j)b_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in ℳ_n(ℂ)

. On note 1 l'élément neutre pour ce produit, i.e. la matrice n'ayant que des 1 comme coefficients. Si

A

n'a aucun coefficient nul, son inverse pour le produit ∘ est la matrice

B

telle

A \circ B = 1

11.Soit $A, D$ et $P$ des matrices dans $ℳ_n(ℂ)$ avec $P$ inversible et $D$ diagonale, telles que $A = PDP^(- 1)$ . Démontrer $d⃗(A) = (P \circ P^(- T))d⃗(D)$ .
12.Soit $A$ et $B$ dans $ℳ_n(ℂ)$ . Démontrer $rg(A \circ B) \leq rg(A)rg(B)$ .
13.Soit $A$ dans $𝒮_n^+(ℝ)$ à coefficients non nuls et $B$ son inverse pour le produit o. Démontrer que $B$ appartient à $𝒮_n^+(ℝ)$ si et seulement si $A$ est de rang 1. On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
14.a) Démontrer que $A \circ B$ est une sous-matrice principale de $A \otimes B$ .
- b)Démontrer que si $A$ et $B$ appartiennent à $𝒮_n^(+ +)(ℝ)$ , il en va de même pour $A \circ B$ .
- c)Démontrer que si $A$ et $B$ appartiennent à $𝒮_n^+(ℝ)$ , il en va de même pour $A \circ B$ .
- d)Soit $A$ dans $𝒮_n(ℝ)$ tel que, pour tout $B$ dans $𝒮_n^+(ℝ)$ , on ait $A \circ B \in 𝒮_n^+(ℝ)$ . Démontrer $A \in 𝒮_n^+(ℝ)$ .

Partie IV

Soit

(λ_k)_(1 \leq k \leq n)

des réels strictement positifs.

15.En utilisant un produit scalaire, démontrer $(1/(λ_i + λ_j))_(1 \leq i, j \leq n) \in 𝒮_n^(+ +)(ℝ)$ .
16.En déduire $(e^(1/(λ_i + λ_j)))_(1 \leq i, j \leq n) \in 𝒮_n^(+ +)(ℝ)$ .

Partie V

Pour

A

dans

𝒮_n^(+ +)(ℝ)

, on note

κ(A)

le rapport entre sa plus grande valeur propre et sa plus petite valeur propre :

κ(A) = (maxSp(A))/(minSp(A))

. Et si

B

est dans

𝒮_n^(+ +)(ℝ)

, on écrit

A \geq B

A - B

appartient à

𝒮_n^+(ℝ)

. Enfin on note

Φ(A) = A \circ A^(- T)

Φ^m

l'itérée

m

-ième de

Φ

, par exemple

Φ^2(A) = Φ(Φ(A))

17.Démontrer $I_n \leq Φ(A) \leq 1/2(κ(A) + κ(A)^(- 1))I_n$ .
18.En déduire $κ(Φ(A)) \leq 1/2(κ(A) + κ(A)^(- 1))$ .
19.En déduire que $Φ^m(A)$ a une limite quand $m$ tend vers l'infini et la préciser.

Partie VI

On suppose dans cette partie que

n \geq 2

. Soit

M

dans

𝒮_n^(+ +)(ℝ)

. On la décompose par blocs sous la forme

M = (d, V^T; V, N)

, avec

d

réel,

V

un vecteur colonne dans

ℝ^(n - 1)

N

dans

𝒮_(n - 1)(ℝ)

. On note

d(M) = d, N(M) = N

M˜ = N - d^(- 1)VV^T

. On dit que

M˜

est le complément de

d

dans

M

. Dans la suite, on ne précisera plus

d

20.Démontrer que $M˜$ est bien définie et appartient à $𝒮_(n - 1)^(+ +)(ℝ)$ .
21.On pose $M_1 = M, d_1 = d(M)$ et, pour $2 \leq k \leq n, M_k = M_(k - 1)˜$ et $d_k = d(M_k)$ . Démontrer $det(M) = \prod_(k = 1)^n d_k$ .
22.a) Soit $A$ et $B$ dans $𝒮_n^(+ +)(ℝ)$ . Démontrer $det(A \circ B) \geq d(A)d(B)det(N(A) \circ B˜)$ . Indication : on pourra calculer $A \circ B˜ - N(A) \circ B˜$ .
- b)En déduire $det(A \circ B) \geq Δ(A)det(B)$ .
- c)Soit $A$ et $B$ dans $𝒮_n^+(ℝ)$ . Démontrer $det(A \circ B) \geq det(A)det(B)$ .

Problème d'analyse et probabilités

Notations, vocabulaire et rappels

Dans tout ce problème, on fixe

n

un entier naturel non nul.
On pose

J_n = (0_n, I_n; - I_n, 0_n) \in ℳ_(2n)(ℝ)

.
On dit qu'une matrice

M

dans

ℳ_(2n)(ℝ)

est symplectique si

M^T J_n M = J_n

, où

M^T

désigne la transposée de la matrice

M

Dans tout le problème, on notera

x_1, \dots, x_n

les composantes d'un vecteur

x

dans

ℝ^n

.
Soit

f

une application de

ℝ^n \times ℝ^n

dans lui-même, admettant des dérivées partielles selon chacune de ses variables en un point

(x, ξ) \in ℝ^n \times ℝ^n

. En notant

f : (x, ξ) \mapsto (f_1(x, ξ); ⋮; f_(2n)(x, ξ)) = (f_1(x_1, \dots, x_n, ξ_1, \dots, ξ_n); ⋮; f_(2n)(x_1, \dots, x_n, ξ_1, \dots, ξ_n)),

sa matrice jacobienne au point

(x, ξ)

est donnée par :

J_f(x, ξ) = ((\partialf_1)/(\partialx_1)(x, ξ), \dots, (\partialf_1)/(\partialx_n)(x, ξ), (\partialf_1)/(\partialξ_1)(x, ξ), \dots, (\partialf_1)/(\partialξ_n)(x, ξ); ⋮, ⋮, ⋮, ⋮; (\partialf_(2n))/(\partialx_1)(x, ξ), \dots, (\partialf_(2n))/(\partialx_n)(x, ξ), (\partialf_(2n))/(\partialξ_1)(x, ξ), \dots, (\partialf_(2n))/(\partialξ_n)(x, ξ)) \in ℳ_(2n)(ℝ).

Soit

f

un difféomorphisme d'un ouvert

U

ℝ^n \times ℝ^n

dans un ouvert

V

ℝ^n \times ℝ^n

, c'est-à-dire une bijection de

U

dans

V

, différentiable sur

U

et de réciproque différentiable sur

V

. On dit que

f

est un symplectomorphisme si pour tout

(x, ξ) \in U

, la matrice jacobienne

J_f(x, ξ)

est une matrice symplectique.
Soit

H

dans

C^1(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)

. On note

\nablaH

le gradient de

H

défini par :

\nablaH = ((\partialH)/(\partialx_1); ⋮; (\partialH)/(\partialx_n); (\partialH)/(\partialξ_1); ⋮; (\partialH)/(\partialξ_n))

.
Soit

H

dans

C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)

(x, ξ)

dans

ℝ^n \times ℝ^n

. On désigne par

t \mapsto Φ(t, x, ξ)

la solution maximale de l'équation différentielle :

y^'(t) = J_n\nablaH(y(t)) et y(0) = (x/ξ) = (x_1; ⋮; x_n; ξ_1; ⋮; ξ_n).

Autrement dit, en notant

I_(x, ξ)

l'intervalle de définition de

t \mapsto Φ(t, x, ξ)

, on a l'égalité suivante :

\forallt \in I_(x, ξ), (\partialΦ)/(\partialt)(t, x, ξ) = J_n\nablaH(Φ(t, x, ξ)) et Φ(0, x, ξ) = (x/ξ).

On dit que

Φ : (t, x, ξ) \mapsto Φ(t, x, ξ)

est le flot engendré par

H

. On admet que son domaine de définition

⋃_((x, ξ) ∈ ℝ^n × ℝ^n)I_(x, ξ) × {x} × {ξ}

est ouvert et que le flot

Φ

y est de classe

C^\infty

Pour toutes fonctions

F, G

dans

C^1(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)

, on définit le crochet de

F

G

par :

{F, G} = ∑_(k = 1)^n((∂F)/(∂x_k)(∂G)/(∂ξ_k) − (∂G)/(∂x_k)(∂F)/(∂ξ_k)).

On peut remarquer que

{F, G} = (∇F)^T J_n∇G

.
On pose pour tout

i

dans

[ [1; n] ]

et pour tout

(x, ξ)

dans

ℝ^n \times ℝ^n

p_i(x, ξ) = (x_i^2 + ξ_i^2)/2 et p = (p_1, \dots, p_n) : ℝ^n \times ℝ^n \to ℝ^n

Pour tout

k = (k_1, \dots, k_n)

dans

ℕ^n

x

dans

ℝ^n

, on note :

|k| = k_1 + \dots + k_n et x^k = x_1^(k_1)\dotsx_n^(k_n).

On note

‖ \cdot ‖

la norme euclidienne sur

ℝ^n \times ℝ^n

, c'est-à-dire que pour tout

(x, ξ)

dans

ℝ^n \times ℝ^n

‖(x, ξ)‖ = \sqrt(\sum_(k = 1)^n(x_i^2 + ξ_i^2)⎷) = \sqrt2 \times \sqrt(\sum_(i = 1)^n p_i(x, ξ)⎷).

On note également

‖ \cdot ‖

la norme euclidienne sur

ℝ^n

.
Enfin, on admet le théorème suivant :
Théorème 1. Pour toute famille

(a_k)_(k \in ℕ^n)

de réels, il existe une fonction

h

dans

C^\infty(ℝ^n, ℝ)

telle que pour tout

k = (k_1, \dots, k_n)

dans

ℕ^n

(\partial^(|k|)h)/(\partialx^k)(0) = (\partial^(k_1 + \dots + k_n)h)/(\partialx_1^(k_1)\dots\partialx_n^(k_n))(0, \dots, 0) = a_k.

Partie I

Dans les questions qui suivent, on suppose que

n = 1

1.Soit $V$ dans $C^\infty(ℝ, ℝ)$ , et $x_0, y_0$ deux réels. On considère la solution maximale $x$ du problème de Cauchy dérivé du principe fondamental de la dynamique :
${x(0) = x_0; x^′(0) = y_0; x^(′′)(t) = − V^′(x(t)).$
Démontrer que $t \mapsto ((x(t))/(x^'(t)))$ est le flot engendré par une fonction $H$ dans $C^\infty(ℝ \times ℝ, ℝ)$ que l'on précisera.

2.Dans cette question, on suppose que $H$ est la fonction de $ℝ \times ℝ$ dans $ℝ$ qui à $(x, ξ)$ associe $(x^2 + ξ^2)/2$ . Démontrer que pour tout $(x, ξ)$ dans $ℝ \times ℝ, I_(x, ξ) = ℝ$ et déterminer le flot engendré par $H$ .
3.On se place maintenant dans le cas particulier où il existe une fonction $h$ dans $C^\infty(ℝ, ℝ)$ telle que pour tout $(x, ξ)$ dans $ℝ \times ℝ, H(x, ξ) = h(x)$ . Démontrer que pour tout $(x, ξ)$ dans $ℝ \times ℝ, I_(x, ξ) = ℝ$ et déterminer le flot engendré par $H$ .
4.Soit $x$ et $a$ des applications dérivables sur $ℝ$ telles que :
$\forallt \in ℝ, x^'(t) \leq a(t)x(t).$
Démontrer que pour tout $t$ dans $ℝ_+$ ,
$x(t) \leq x(0)exp(\int_0^x a(t)dt).$

Soit

C

y_0

des réels strictement positifs, et

r

un réel strictement supérieur à 1 . Soit

y

la solution maximale de l'équation

y^' = Cy^r

vérifiant

y(0) = y_0

I

son intervalle de définition.

5.Démontrer que $y$ ne s'annule pas sur $I$ .
6.Donner une expression de la fonction $y$ et vérifier que
$supI = 1/(C(r - 1)y_0^(r - 1)).$
7.Soit $M$ un réel strictement positif et inférieur ou égal à sup $I$ . Soit $x$ une fonction positive définie sur $[0, M[$ telle que pour tout $t$ dans $[0, M[, x^'(t) \leq Cx^r(t)$ . On suppose que $0 \leq x(0) < y_0$ .
- a)On considère $A = {t \in [0, M[; x(t) > y(t)}$ . Si $A$ est non vide, on note $m$ sa borne inférieure. Démontrer que pour tout $t$ dans $[0, m], x(t) < y(t)$ .
- b)En déduire que pour tout $t$ dans $[0, M[, x(t) \leq y(t)$ .

Partie II

8.Démontrer que la composée de deux symplectomorphismes est encore un symplectomorphisme.
9.Soit $f = (f_1, \dots, f_(2n))$ une application différentiable de $ℝ^n \times ℝ^n$ dans $ℝ^n \times ℝ^n$ , et $H$ dans $C^1(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)$ . Donner une expression des dérivées partielles de $H \circ f$ en fonction de celles de $H$ et de $f_1, \dots, f_(2n)$ . En déduire que :
$\forall(x, ξ) \in ℝ^n \times ℝ^n, \nabla(H \circ f)(x, ξ) = J_f(x, ξ)^T\nablaH(f(x, ξ)).$
10.Soit $M$ dans $ℳ_(2n)(ℝ)$ une matrice symplectique. Démontrer que $M$ est inversible et que $M^(- 1)J_n = J_n M^T$ .
11.Soit $H$ dans $C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)$ et $Φ$ le flot engendré par $H$ . Soit $f$ un symplectomorphisme de $ℝ^n \times ℝ^n$ dans lui-même. Soit $(x, ξ) \in ℝ^n \times ℝ^n$ . On définit pour tout $t$ dans $I_(f(x, ξ))$ ,
$Ψ(t, x, ξ) = f^(- 1)(Φ(t, f(x, ξ))).$
Démontrer que $Ψ$ est le flot engendré par $H \circ f$ .

Ainsi, pour connaître le flot engendré par

H

, il suffit de connaître le flot engendré par

H \circ f

, où

f

est un symplectomorphisme bien choisi.

12.On suppose dans cette question que $n = 1$ et qu'il existe une fonction $h$ dans $C^\infty(ℝ, ℝ)$ telle que pour tout $(x, ξ)$ dans $ℝ \times ℝ, H(x, ξ) = h \circ p(x, ξ) = h((x^2 + y^2)/2)$ .
- a)Soit $(r_0, θ_0)$ dans $ℝ_+^* \times ℝ$ . Démontrer que $f : (r, θ) \mapsto (\sqrt(2r)cosθ, \sqrt(2r)sinθ)$ est un symplectomorphisme d'un voisinage de $(r_0, θ_0)$ dans un voisinage de $f(r_0, θ_0)$ .
- b)Calculer $H \circ f$ . Qu'en déduire sur flot engendré par $H$ au voisinage de $f(r_0, θ_0)$ ?

Partie III

Soit

V

dans

C^\infty(ℝ^n, ℝ)

une fonction admettant un minimum local

E

non-dégénéré en 0, c'està-dire que sa matrice hessienne en 0 est définie positive. Dans toute la suite, on suppose que pour tout

(x, ξ)

dans

ℝ^n \times ℝ^n

H(x, ξ) = 1/2‖ξ‖^2 + V(x) = 1/2(ξ_1^2 + \dots + ξ_n^2) + V(x_1, \dots, x_n).

13.Démontrer qu'il existe une matrice orthogonale $Q$ et des réels $θ_1, \dots, θ_n$ strictement positifs tels qu'au voisinage de 0 :
$V(Qx) = E + 1/2\sum_(k = 1)^n θ_k^2 x_k^2 + O(‖x‖^3).$
On suppose dans toute la suite que $V$ est paire par rapport à chacune de ses variables, c'est-àdire que :
$∀(ε_1, …, ε_n) ∈ { − 1, 1}^n, V(ε_1 x_1, …, ε_n x_n) = V(x_1, …, x_n).$
On pose enfin, pour tout $p$ dans $ℝ^n, H_1(p) = E + \sum_(j = 1)^n θ_j p_j$ .
14.Démontrer que pour toute matrice inversible $M$ dans $ℳ_n(ℝ), (x, ξ) \mapsto (Mx, (M^T)^(- 1)ξ)$ est un symplectomorphisme.
15.En déduire l'existence d'un symplectomorphisme $φ_1$ tel qu'au voisinage de $(0, 0)$ :
$H \circ φ_1(x, ξ) = H_1 \circ p(x, ξ) + W(x),$
où $W$ est une fonction paire par rapport à chacune de ses coordonnées vérifiant de plus $W(x) = O(‖x‖^4)$ au voisinage de 0.

Partie IV

Dans cette partie, on considère

F \in C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)

une fonction polynomiale homogène de degré

d \geq 3

. On note

Φ

le flot engendré par

F

16.Soit $G$ dans $C^\infty(ℝ^n, ℝ)$ . Démontrer que tout $(x, ξ)$ dans $ℝ^n \times ℝ^n$ et pour tout $t$ dans $I_(x, ξ)$ ,
$(\partial(G \circ Φ))/(\partialt)(t, x, ξ) = {G, F} \circ Φ(t, x, ξ).$

17.Montrer que pour tout $k$ dans $[ [1; n] ], {p_k, F}$ est une fonction polynomiale homogène de degré $d$ .
18.Soit $(x, ξ)$ dans $ℝ^n \times ℝ^n$ . Pour tout $t$ dans $I_(x, ξ)$ , on pose
$f(t) = ‖Φ(t, x, ξ)‖^2 = 2\sum_(k = 1)^n p_k \circ Φ(t, x, ξ).$
- a)Démontrer qu'il existe un réel $C > 0$ tel que pour tout $t$ dans $I_(x, ξ)$ ,
  $f^'(t) \leq Cf(t)^(d/2).$
- b)En utilisant les résultats des questions 6 et 7, justifier l'existence d'un voisinage $U$ de $(0, 0)$ tel que pour tout $(x, ξ)$ dans $U, t \mapsto Φ(t, x, ξ)$ est définie sur [0; 1].
- c)Démontrer qu'au voisinage de $(0, 0), ‖Φ(1, x, ξ)‖ = O(‖(x, ξ)‖)$ .
- d)Démontrer que pour tout $t$ dans [0; 1], l'application $(x, ξ) \mapsto Φ(t, x, ξ)$ est un symplectomorphisme de $U$ dans son image.

Dans toute la suite, on note

τ_F

le symplectomorphisme

(x, ξ) \mapsto Φ(1, x, ξ)

défini sur un voisinage de (0, 0).

19.Soit $G$ dans $C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)$ . On définit $ad_F = { ⋅, F}$ . Démontrer que pour $(x, ξ)$ au voisinage de $(0, 0)$ et pour tout $N \in ℕ$ :
$G \circ τ_F(x, ξ) = \sum_(j = 0)^N 1/(j!)ad_F^j(G)(x, ξ) + 1/(N!)\int_0^1(1 - t)^N ad_F^(N + 1)(G) \circ Φ(t, x, ξ)dt.$

Partie V

-On pose pour tout $j$ dans $[ [1; n] ], z_j(x, ξ) = 1/(\sqrt2)(x_j + iξ_j)$ .
-On note également $z = (z_1, \dots, z_n) : ℝ^n \times ℝ^n \to ℂ^n$ et $z¯ = (z_1^-, \dots, z_n^-)$ .
-Pour toute fonction $F$ dans $C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)$ , on définit $2n$ nouvelles opérations : pour tout $j$ dans $[ [1; n] ]$ ,
$(\partialF)/(\partialz_j) = 1/(\sqrt2)(\partialF)/(\partialx_j) - i/(\sqrt2)(\partialF)/(\partialξ_j) et (\partialF)/(\partialz¯_j) = 1/(\sqrt2)(\partialF)/(\partialx_j) + i/(\sqrt2)(\partialF)/(\partialξ_j).$
-On vérifie alors que :
${F, G} = − i∑_(j = 1)^n((∂F)/(∂z_j)(∂G)/(∂z¯_j) − (∂F)/(∂z¯_j)(∂G)/(∂z_j)).$
-Enfin, notons que toute fonction polynomiale $F$ homogène de degré $d$ en $(x, ξ)$ peut également s'écrire :
$F = \sum_((k, ℓ) \in ℕ^n \times ℕ^n; |k| + |ℓ| = d)a_(k, ℓ)z^k z¯^ℓ,$
où $(a_(k, ℓ))_((k, ℓ) \in ℕ^n \times ℕ^n)$ est une famille de nombres complexes. On appelle coefficients diagonaux de $F$ les $a_(k, k)$ , où $k \in ℕ^n$ et $2|k| = d$ .

20.Soit $m$ dans $ℕ^n$ et $F$ la fonction de $ℝ^n \times ℝ^n$ dans $ℝ$ qui à $(x, ξ)$ associe $x^(2m) = x_1^(2m_1)\dotsx_n^(2m_n)$ . Déterminer les coefficients diagonaux de $F$ .
21.On reprend les notations de la partie III, où $H_1$ a été défini. Justifier l'égalité
${H_1 ∘ p, z^k z¯^ℓ} = i(∑_(j = 1)^n θ_j(k_j − ℓ_j))z^k z¯^ℓ.$

On suppose dans toute la suite que

θ_1, \dots, θ_n

sont rationnellement indépendants, c'est-à-dire que pour tout

(k_1, \dots, k_n) \in ℤ^n

\sum_(i = 1)^n k_i θ_i = 0 \Rightarrow k_1 = \dots = k_n = 0.

22.En déduire le lemme suivant :

Lemme 1. Soit

N

dans

ℕ∖{0}

R_N \in C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)

une fonction polynomiale de degré

2N + 2

. Il existe un unique couple de fonctions

(F_N, H_(N + 1))

tels que :

1. ${H_1 ∘ p, F_N} = H_(N + 1) ∘ p − R_N$ .
2. $F_N$ est polynomiale homogène en $2n$ variables de degré $2N + 2$ sans termes diagonaux.
3. $H_(N + 1)$ est polynomiale homogène en $n$ variables de degré $N + 1$ .

Partie VI

On reprend les notations de la partie III, où

φ_1, H_1

W

ont été définis.
On note, pour tout entier

N \geq 1, W_N

la somme des termes homogènes de degré

2N

dans le développement de Taylor de

W

. On pose pour tout

(x, ξ)

dans

ℝ^n \times ℝ^n, R_1(x, ξ) = W_2(x)

S_1(x, ξ) = W(x) - W_2(x)

. Ainsi, on a :

H \circ φ_1 = H_1 \circ p + R_1 + S_1.

23.Soit $F$ une fonction polynomiale homogène en $2n$ variables de degré 4. Démontrer qu'au voisinage de $(0, 0)$
$H ∘ φ_1 ∘ τ_F(x, ξ), = (H_1 ∘ p + R_1 + S_1 + {H_1 ∘ p, F} + {R_1, F} + 1/2{{H_1 ∘ p, F}, F})(x, ξ); + O(‖(x, ξ)‖^8).$
24.En déduire l'existence de fonctions polynomiales en $2n$ variables $F_1, R_2$ , d'une fonction polynomiale en $n$ variables $H_2$ et d'une fonction $S_2$ dans $C^\infty(ℝ^n \times ℝ^n, ℝ)$ telles que :
$H \circ φ_1 \circ τ_(F_1) = H_1 \circ p + H_2 \circ p + R_2 + S_2,$
où $F_1, R_2, H_2$ sont de degrés 4, 6 et 2 respectivement et $S_2(x, ξ) = O(‖(x, ξ)‖^8)$ . Justifier que $W_2$ est entièrement déterminée par $H_2$ .
25.Démontrer le théorème suivant :

Théorème 2. Il existe

h

dans

C^\infty(ℝ^n, ℝ)

tel que pour tout entier

k

, il existe un symplectomorphisme

τ

d'un voisinage de

(0, 0)

dans un autre voisinage de

(0, 0)

tel que :

H \circ τ(x, ξ) = h \circ p(x, ξ) + O(‖(x, ξ)‖^k).

où, au voisinage de

0 : h(p) = H_1(p) + O(‖p‖^2)

De plus, le développement de Taylor de

W

au rang

2N

est entièrement déterminé par celui de h au rang

N

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION SPÉCIAL DOCTEUR MATHÉMATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière

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