Agrégation mathématiques externe spéciale 2022, épreuve écriteSujet et rapport du jury

Concours externe spécial de l'agrégation section mathématiques - Sujet de l'épreuve écrite de la session 2022

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Sujet officiel Agrégation externe spéciale en mathématiques, session 2022.

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SESSION 2022

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE SPÉCIAL

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.

L'épreuve comporte deux parties :

-Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve à cette partie en cherchant à traiter les cinq exercices numérotés 1, 2, 3, 4 et 5.
-Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.

Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.

Notations, rappels et définitions

On désigne par

ℕ

l'ensemble des entiers naturels,

ℤ

l'ensemble des entiers relatifs,

ℝ

le corps des nombres réels,

ℂ

le corps des nombres complexes. On note

ℕ^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls,

ℝ_+

l'ensemble des nombres réels

⩾ 0

ℝ_+^*

l'ensemble des nombres réels

> 0

Pour tout entier naturel

n

, on désigne par

[ [1, n] ]

l'ensemble des entiers compris au sens large entre 1 et

n

. Lorsque

n = 0, [ [1, n] ]

est donc l'ensemble vide.

On note

|E|

le cardinal d'un ensemble fini

E

.
Si

𝕂

est un corps et

n

un entier naturel, on note

M_n(𝕂)

l'algèbre des matrices

(n, n)

à coefficients dans

𝕂

, et

GL_n(𝕂)

le groupe de ses éléments inversibles. On note

I_n

la matrice identité dans

M_n(𝕂)

Dans un espace vectoriel

E

, si

e_1, \dots, e_p

sont des vecteurs de

E

, on note

Vect(e_1, \dots, e_p)

le sous-espace vectoriel de

E

engendré par les vecteurs

e_1, \dots, e_p

.
On rappelle que le spectre d'un endomorphisme

u

est l'ensemble des valeurs propres de

u

Exercice 1

On fixe dans l'exercice un entier

n ⩾ 2

, et on note

ω = exp(i(2π)/n)

. On considère dans

M_n(ℂ)

deux matrices :

Δ

, la matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur

(1, ω, ω^2, \dots, ω^(n - 2), ω^(n - 1))

, et

Σ

, la matrice dont les seuls coefficients non nuls sont les coefficients sous la diagonale et le coefficient

(1, n)

, tous égaux à 1 . Ainsi :

Δ = (1, 0, 0, \dots, 0, 0; 0, ω, 0, \dots, 0, 0; 0, 0, ω^2, \dots, 0, 0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮, ⋮; 0, 0, 0, \dots, ω^(n - 2), 0; 0, 0, 0, \dots, 0, ω^(n - 1)) et Σ = (0, 0, 0, \dots, 0, 1; 1, 0, 0, \dots, 0, 0; 0, 1, 0, \dots, 0, 0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮, ⋮; 0, 0, 0, \dots, 0, 0; 0, 0, 0, \dots, 1, 0).

1.Soit $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u, v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u^n = v^n = id_E$ et $u \circ v = ω(v \circ u)$ .
- (a)Justifier que $u$ et $v$ sont diagonalisables et que leurs valeurs propres sont des racines $n$ -ièmes de l'unité.
- (b)Soit $λ$ une valeur propre de $u$ . Montrer que $ωλ$ est aussi une valeur propre de $u$ .
- (c)Déduire de ce qui précède que le spectre de $u$ est l'ensemble des racines $n$ -ièmes de l'unité. Quelles sont les dimensions des sous-espaces propres associés ?
- (d)Montrer qu'il existe une base $ℬ$ de $E$ sur laquelle la matrice de $u$ est $Δ$ et la matrice de $v$ est $Σ$ .
2.(a) Montrer que $Vect(I_n, Δ, Δ^2, \dots, Δ^(n - 1))$ est l'ensemble des matrices diagonales appartenant à $M_n(ℂ)$ .
- (b)En déduire que la famille $ℱ = (Σ^j Δ^k)_((j, k) \in [0, n - 1]^2)$ est une base de $M_n(ℂ)$ .
3.Soit $φ : M_n(ℂ) \to M_n(ℂ)$ un morphisme d'algèbres.
- (a)En considérant les endomorphismes $u$ et $v$ associés respectivement à $φ(Δ)$ et $φ(Σ)$ dans la base canonique de $ℂ^n$ , montrer qu'il existe $P$ dans $GL_n(ℂ)$ telle que
  $φ(Δ) = PΔP^(- 1) et φ(Σ) = PΣP^(- 1).$
- (b)Montrer que, pour toute matrice $M$ dans $M_n(ℂ)$ , on a : $φ(M) = PMP^(- 1)$ .

Exercice 2

1.On considère la fonction $φ : (x, t) \mapsto (e^(- xt))/(1 + t^2)$ , définie sur $ℝ^2$ , et
$f : x \mapsto \int_0^(+ \infty)φ(x, t)dt$
- (a)Montrer que $f$ est définie et continue sur $ℝ_+$ . Admet-elle une limite en $+ \infty$ ?
- (b)Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $ℝ_+^*$ , et qu'elle est solution de l'équation différentielle $y^('') + y = 1/x$ sur cet intervalle.

2.On considère la fonction $ψ : (x, t) \mapsto (1 - cos(t))/((x + t)^2)$ , définie sur $ℝ_+ \times ℝ_+^*$ , et
$g : x \mapsto \int_0^(+ \infty)ψ(x, t)dt$
- (a)Montrer que $g$ est définie et continue sur $ℝ_+$ . Admet-elle une limite en $+ \infty$ ?
- (b)Montrer que $g$ est de classe $C^2$ sur $ℝ_+^*$ , et qu'elle est solution de l'équation différentielle $y^('') + y = 1/x$ sur cet intervalle.
3.(a) Montrer que, pour tout $x$ dans $ℝ_+$ , l'intégrale $\int_0^(+ \infty)(sin(t))/(x + t) dt$ est bien définie et vaut $g(x)$ .
- (b)Déduire de ce qui précède la valeur de $\int_0^(+ \infty)(sin(t))/t dt$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ une suite réelle bornée.
Justifier que si $(u_n)_(n \in ℕ)$ admet une unique valeur d'adhérence $ℓ$ , alors elle converge vers $ℓ$ .
Soit $V \subseteq ℝ$ un ensemble non vide et borné vérifiant la propriété : $\forallx \in V, 3x + 2 \in V$ .
Montrer que $V$ est un singleton, que l'on précisera.
Soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ une suite réelle bornée telle que la suite $(u_(n^2) - 3u_n)_(n \in ℕ)$ converge vers 2.
Montrer que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ converge, et déterminer sa limite.

Exercice 4

Dans tout l'exercice,

‖ \cdot ‖

désigne la norme euclidienne canonique de

ℝ^2

. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un même espace probabilisé

(Ω, 𝒜, P)

. Si une variable aléatoire

U

à valeurs dans

ℤ

admet une espérance finie, on note

𝔼(U)

son espérance.

On considère deux variables aléatoires

X

Y

à valeurs dans

ℤ

telles que :

-la loi du couple $(X, Y)$ est symétrique, c'est-à-dire que
$\forall(x, y) \in ℤ^2, P((X, Y) = (x, y)) = P((X, Y) = (- x, - y));$
-la variable aléatoire $X^2 + Y^2$ possède une espérance finie. On note $α = 𝔼(X^2 + Y^2)$ .
1.(a) Montrer que les lois de $X$ et $Y$ sont symétriques, c'est-à-dire que
$\forallx \in ℤ, P(X = x) = P(X = - x) et \forally \in ℤ, P(Y = y) = P(Y = - y).$
- (b)Montrer que $|X|$ et $|Y|$ , respectivement les valeurs absolues des variables aléatoires $X$ et $Y$ , possèdent une espérance finie. Calculer $𝔼(X)$ et $𝔼(Y)$ .

On considère

(Z_n)_(n \in ℕ) = ((X_n, Y_n))_(n \in ℕ)

une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans

ℤ^2

, toutes de même loi que le couple

(X, Y)

.
On note

(S_n)_(n \in ℕ)

la suite de variables aléatoires à valeurs dans

ℤ^2

définie par

S_0 = (0, 0) et \foralln \in ℕ^*, S_n = \sum_(i = 1)^n Z_i.

Montrer que, pour tout $n$ dans $ℕ$ , la loi de $S_n$ est symétrique.
Soit $n$ dans $ℕ^*$ .

(a)Montrer que la variable aléatoire $‖S_n‖^2$ possède une espérance finie, et la déterminer.
(b)En déduire : $P(‖S_n‖^2 ⩾ 2nα) ⩽ 1/2$ .

Pour tout $n$ dans $ℕ^*$ , on note $B_n = {x ∈ ℤ^2|‖x‖^2 < 2nα}$ .

(a)Montrer : $\foralln \in ℕ^*, P(S_(2n) = 0) = \sum_(x \in ℤ^2)P(S_n = x)^2$ .
(b)En déduire, en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que
$\foralln \in ℕ^*, P(‖S_n‖^2 < 2nα)^2 ⩽ |B_n|P(S_(2n) = 0).$

(a) Montrer l'existence d'une constante $C > 0$ telle que

\foralln \in ℕ^*, |B_n| ⩽ Cn.

(b)Déduire de ce qui précède la nature de la série $\sum_n P(S_n = 0)$ .

Exercice 5

Pour tout ensemble

E

, on note

E^E

l'ensemble des applications de

E

dans

E

. On introduit :

I(E) = {σ ∈ E^E|σ ∘ σ = id_E}.

Pour tout entier naturel

n

, on note

t_n

le cardinal

|I([ [1, n] ])|

. En particulier,

t_0 = 1

.
Le but de cet exercice est de donner une majoration asymptotique de la suite

(t_n)_(n \in ℕ)

.
Soit

R

le rayon de convergence de la série entière

\sum_n(t_n)/(n!)z^n

, qui est un élément de

ℝ_+

+ \infty

.
Soit

Δ

le disque ouvert de centre 0 et de rayon

R

dans

ℂ

. Si

R = + \infty

, on a

Δ = ℂ

.
On considère la fonction

f : z \mapsto \sum_(n = 0)^(+ \infty)(t_n)/(n!)z^n

, définie sur

Δ

1.Montrer : $R ⩾ 1$ .
2.Montrer : $\foralln \in ℕ, t_(n + 2) = (n + 1)t_n + t_(n + 1)$ .
3.Montrer : $\forallz \in Δ, f^'(z) = (1 + z)f(z)$ .
4.En déduire :
$\forallz \in Δ, f(z) = exp(z + (z^2)/2)$
puis que $R = + \infty$ .

5.Montrer :
$\foralln \in ℕ, \forallρ \in ℝ_+^*, t_n = (n!)/(2πρ^n)\int_(- π)^π exp(ρe^(iθ) + (ρ^2)/2e^(i2θ))e^(- inθ) dθ.$
6.Montrer qu'il existe une unique suite réelle $(ρ_n)_(n \in ℕ)$ dont les termes sont tous positifs et telle que :
$\foralln \in ℕ, ρ_n + ρ_n^2 = n.$
Donner un développement asymptotique de la suite $(ρ_n)_(n \in ℕ)$ à la précision $o(1/(\sqrtn))$ .
7.On définit, pour tout $n$ dans $ℕ^*, M_n = (n!)/(ρ_n^n)exp(ρ_n + (ρ_n^2)/2)$ . Montrer :
$\foralln \in ℕ^*, t_n ⩽ M_n.$
Montrer que la suite $(M_n)_(n \in ℕ)$ est équivalente à la suite $(n^(n/2)exp(- n/2 + \sqrtn - 1/4)\sqrt(2πn))_(n \in ℕ)$ .
Indication : on pourra utiliser la formule de Stirling sans démonstration.

Problème d'algèbre et géométrie

Notations, rappels et définitions

Dans tout le problème,

n

désigne un entier

⩾ 1

𝕂

un corps.
On note

𝕂[X]

l'algèbre des polynômes à coefficients dans

𝕂

.
Pour tout

𝕂

-espace vectoriel

E

, on note

ℒ(E)

𝕂

-algèbre des endomorphismes de

E

.
On identifie

𝕂^n

avec l'espace

M_(n, 1)(𝕂)

des matrices colonnes.
Une matrice de

M_n(𝕂)

est dite scalaire si elle appartient à

Vect(I_n)

.
Le polynôme caractéristique d'une matrice

A

M_n(𝕂)

est noté

χ_A

et son polynôme minimal

μ_A

. Ce sont des polynômes unitaires, c'est-à-dire dont le coefficient dominant vaut 1.

Pour toute matrice

A

M_n(𝕂)

, on note

𝒪(A) = {P^(− 1)AP|P ∈ GL_n(𝕂)}

la classe de similitude de

A

.
Pour tout

β \in 𝕂^n

, on note

M_n(𝕂)[β] = {A ∈ M_n(𝕂)|χ_A = ∏_(i = 1)^n(X − β_i)}.

Étant donné une matrice

A

M_n(𝕂)

et un couple d'entiers

(i, j)

dans

[ [1, n] ]^2

, le coefficient de

A

à la croisée de la

i

-ème ligne et de la

j

-ème colonne est noté

[A]_(i, j)

. On note

Δ : M_n(𝕂), \to; A, \mapsto ([A]_(1, 1), [A]_(2, 2), \dots, [A]_(n, n))

l'application linéaire envoyant une matrice sur le vecteur formé de ses coefficients diagonaux.
Dans le cas particulier

𝕂 = ℂ

, l'espace vectoriel

ℂ^n

est muni de son produit scalaire hermitien canonique

(v, w) \mapsto ⟨v|w⟩ = \sum_(i = 1)^n v¯_i w_i

.
Pour toute matrice

A

M_n(ℂ)

, on note

A^T

sa transposée,

A¯

la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de

A

, et

A^* = A¯^T

On note

Her_n

(respectivement,

Sym_n

) le

ℝ

-sous-espace vectoriel de

M_n(ℂ)

constitué des matrices hermitiennes (respectivement, symétriques réelles), et

Her_n[β] = M_n(ℂ)[β] \cap Her_n et Sym_n[β] = M_n(ℂ)[β] \cap Sym_n.

Le groupe symétrique

𝔖(n)

est défini comme le groupe des bijections de l'ensemble

[ [1, n] ]

dans lui-même.

Étant donné un vecteur

α = (α_1; ⋮; α_n)

dans

ℝ^n

, il existe un unique vecteur noté

αˇ = (αˇ_1; ⋮; αˇ_n)

tel que

- $αˇ$ est un réarrangement de $α$ , c'est-à-dire
$\existsσ \in 𝔖(n) tel que \foralli \in [ [1, n] ], αˇ_i = α_(σ(i));$
- $αˇ$ est décroissant, c'est-à-dire $αˇ_1 ⩾ αˇ_2 ⩾ \dots ⩾ αˇ_n$ .

Ce vecteur est appelé réarrangement décroissant de

α

.
Par exemple, le réarrangement décroissant du vecteur

α = (1, 4, 0, 7, 1, 7, 8, 9)^T

est

αˇ = (9, 8, 7, 7, 4, 1, 1, 0)^T

Partie I

1.Soit $b_0, b_1, \dots, b_(n - 1)$ des éléments de $𝕂$ . On définit l'élément suivant de $𝕂[X]$ :
$P = X^n - b_(n - 1)X^(n - 1) - \dots - b_1 X - b_0.$
On note $E_P$ la $𝕂$ -algèbre quotient $𝕂[X]/(P)$ et $π : 𝕂[X] \to E_P$ la surjection canonique, qui est une application $𝕂$ -linéaire.
- (a)Soit $R \in 𝕂[X]$ . Montrer que l'application
  $Mul_R : 𝕂[X], \to E_P; Q, \mapsto π(RQ)$
  permet de définir par passage au quotient un endomorphisme de $E_P$ , noté $mul_R$ .
- (b)Montrer que $ℬ = (π(1), π(X), \dots, π(X^(n - 1)))$ est une $𝕂$ -base de $E_P$ , et donner la matrice $C(P)$ de $mul_X$ dans cette base.
- (c)Montrer que $R \mapsto mul_R$ définit un morphisme de $𝕂$ -algèbres $φ : 𝕂[X] \to ℒ(E_P)$ et déterminer le noyau de ce morphisme.
- (d)Déduire de ce qui précède que le polynôme minimal de $C(P)$ est $P$ lui-même. En déduire le polynôme caractéristique de $C(P)$ .
- (e)Une application : soit $p$ un nombre premier. On note $𝔽_p$ le corps $ℤ/pℤ$ .
  Montrer qu'il existe une matrice $A$ dans $M_2(𝔽_p)$ non trigonalisable sur $𝔽_p$ .
2.Soit $A$ une matrice de $M_n(𝕂)$ . Montrer que $A$ est une matrice scalaire si et seulement si tout vecteur non nul de $𝕂^n$ est un vecteur propre de $A$ .
3.(a) On suppose $n ⩾ 2$ .
Soit $D$ une matrice de $M_n(𝕂)$ et $C$ une matrice non nulle de $M_(n, 1)(𝕂)$ . Montrer qu'il existe une matrice $L$ dans $M_(1, n)(𝕂)$ telle que :
$LC = 0 et D + CL \notin Vect(I_n).$
- (b)Soit $A$ une matrice non scalaire de $M_(n + 1)(𝕂)$ et $a$ un élément de $𝕂$ .
  Montrer qu'il existe des matrices $B$ de $M_(1, n)(𝕂), C$ de $M_(n, 1)(𝕂)$ et $D$ de $M_n(𝕂)$ telles que $A$ est semblable à la matrice par blocs
  $(a, B; C, D).$
  Si $n ⩾ 2$ , montrer que l'on peut en outre supposer $D$ non scalaire.
  Indication : on pourra chercher à se ramener au cas particulier $a = 0$ .

4.(a) Soit $A$ une matrice non scalaire de $M_n(𝕂)$ . Montrer :
${Δ(M)|M ∈ 𝒪(A)} = {α ∈ 𝕂^n|α_1 + ⋯ + α_n = trA}.$
- (b)Soit $β$ un vecteur de $𝕂^n$ . Montrer :
  ${Δ(M)|M ∈ M_n(𝕂)[β]} = {α ∈ 𝕂^n|α_1 + ⋯ + α_n = β_1 + ⋯ + β_n}.$

Partie II

On définit la relation de domination

≼surℝ^n

en posant :

∀α, β ∈ ℝ^n, α≼β ⇔ {∀k ∈ [ [1, n − 1] ], ∑_(i = 1)^k αˇ_i ⩽ ∑_(i = 1)^k βˇ_i; ∑_(i = 1)^n αˇ_i = ∑_(i = 1)^n βˇ_i.

Pour tout vecteur

β

ℝ^n

, on définit l'ensemble

ℛ(β) = {α ∈ ℝ^n|α≼β}.

On définit l'ensemble

Σ_n = {A ∈ M_n(ℝ) |∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, [A]_(i, j) ⩾ 0 et ∀k ∈ [ [1, n] ], ∑_(i = 1)^n[A]_(i, k) = ∑_(j = 1)^n[A]_(k, j) = 1}.

5.La relation $≼$ est-elle une relation d'ordre sur $ℝ^n$ ?
6.Soit $A$ une matrice de $Σ_n$ .
- (a)Montrer : $\forallk \in [ [1, n] ], \sum_(i = 1)^k\sum_(j = k + 1)^n[A]_(i, j) = \sum_(j = 1)^k\sum_(i = k + 1)^n[A]_(i, j)$ .
- (b)Montrer : $\forallβ \in ℝ^n, Aβ≼β$ .
Indication : on pourra commencer par traiter le cas où $β$ et $Aβ$ sont décroissants.
7.Soit $β$ un vecteur de $ℂ^n∖ℝ^n$ . Décrire $Her_n[β]$ .
8.Soit $β$ un vecteur de $ℝ^n$ et $H$ une matrice de $Her_n[β]$ . Montrer : $Δ(H)≼β$ .
9.Dans cette question, on se limite au cas $n = 2$ .
Soit $β = ((β_1)/(β_2))$ un vecteur de $ℝ^2$ tel que $β_1 ⩾ β_2$ .
- (a)Montrer :
  $ℛ(β) = {((β_1 − δ)/(β_2 + δ))| δ ∈ [0, β_1 − β_2]}.$
  Représenter graphiquement cet ensemble dans le cas $β = (3/1)$ .

- (b)Montrer :
  ${Δ(S)|S ∈ Sym_2[β]} = {Δ(H)|H ∈ Her_2[β]} = ℛ(β).$
10.Le but de cette question est de montrer que, pour tout vecteur $β$ de $ℝ^n$ :
${Δ(S)|S ∈ Sym_n[β]} = {Δ(H)|H ∈ Her_n[β]} = ℛ(β).$
Le cas $n = 1$ étant trivial et le cas $n = 2$ ayant été traité à la question 9b, on procède par récurrence forte.
Soit $n$ un entier $⩾ 3$ . On suppose $ℋ(1), ℋ(2), \dots$ et $ℋ(n - 1)$ et on veut montrer $ℋ(n)$ . Soit $β$ un vecteur de $ℝ^n$ . Quitte à remplacer $β$ par $βˇ$ , on suppose $β$ décroissant.
Soit $α$ un vecteur de $ℛ(β)$ . On définit
$δ = min{∑_(i = 1)^k(β_i − αˇ_i)|k ∈ [ [1, n − 1] ]} et γ = (αˇ_1 + δ; αˇ_2; ⋮; αˇ_(n − 1); αˇ_n − δ).$
- (a)Montrer l'existence d'une matrice $S˜$ de $Sym_n[β]$ telle que $[S˜]_(1, n) = 0$ et $γ = Δ(S˜)$ .
- (b)Conclure la démonstration.
11.Soit $β$ un vecteur de $ℝ^n$ .
- (a)Montrer : $ℛ(β) = {Aβ|A ∈ Σ_n}$ .
- (b)Montrer que $ℛ(β)$ est un ensemble convexe et compact.
- (c)i. Soit $I$ un intervalle non trivial de $ℝ$ et $f : I \to ℝ$ une fonction convexe. Montrer :
  $\forallα, β \in I^n, α≼β \Rightarrow \sum_(i = 1)^n f(α_i) ⩽ \sum_(i = 1)^n f(β_i).$
  - ii.Montrer :
    $\forallα, β \in (ℝ_+^*)^n, α≼β \Rightarrow \prod_(i = 1)^n α_i ⩾ \prod_(i = 1)^n β_i.$

Partie III

Étant donné une matrice

H

Her_n

, on note

λ_1(H), λ_2(H), \dots, λ_n(H)

les valeurs propres de

H

, répétées autant de fois que leur multiplicité, et rangées par ordre décroissant, c'est-à-dire telles que

λ_1(H) ⩾ λ_2(H) ⩾ \dots ⩾ λ_n(H)

12.En utilisant la question 8, montrer que pour tout entier $k$ de $[ [1, n] ]$ :
$\sum_(i = 1)^k λ_i(H) = max_((v_1, \dots, v_k))\sum_(i = 1)^k⟨v_i|Hv_i⟩ = max_(U^* U = I_k)tr(U^* HU),$
où le premier maximum porte sur les familles $(v_1, \dots, v_k)$ orthonormées à $k$ éléments de vecteurs de $ℂ^n$ et le deuxième porte sur l'ensemble ${U ∈ M_(n, k)(ℂ)|U^∗ U = I_k}$ .
13.Montrer :
$\forallk \in [ [1, n] ], \forallH_1, H_2 \in Her_n, \sum_(i = 1)^k λ_i(H_1 + H_2) ⩽ \sum_(i = 1)^k λ_i(H_1) + \sum_(i = 1)^k λ_i(H_2).$
14.Montrer que l'application
$σ : Her_n, \to; H, \mapsto (λ_1(H), \dots, λ_n(H))$
est continue.
15.Dans cette question, soit $n_1, \dots, n_r$ des entiers $⩾ 1$ et $N = n_1 + \dots + n_r$ . Soit $H$ une matrice dans $Her_N$ décomposée en blocs :
$H = (A_(1, 1), A_(1, 2), \dots, A_(1, r); A_(2, 1), A_(2, 2), \dots, A_(2, r); ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; A_(r, 1), A_(r, 2), \dots, A_(r, r)),$
où, pour tout $(i, j)$ de $[ [1, r] ]^2$ , la matrice $A_(i, j)$ appartient à $M_(n_i, n_j)(ℂ)$ . On définit alors la matrice $H^#$ dans $M_n(ℂ)$ , diagonale par blocs :
$H^# = (A_(1, 1), 0, \dots, 0; 0, A_(2, 2), \dots, 0; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; 0, 0, \dots, A_(r, r)).$
- (a)Montrer : $Δ(H)≼σ(H^#)≼σ(H)$ .
- (b)On suppose $H$ définie positive. Montrer : dét $H ⩽ détH^# ⩽ \prod_(i = 1)^N[H]_(i, i)$ .

Partie IV

Dans cette partie, on considère le

ℝ

-espace de Hilbert

E = ℓ^2(ℕ^∗) = {(x(n))_(n ∈ ℕ^∗) ∈ ℝ^(ℕ^∗)|∑_(n ∈ ℕ^∗)x(n)^2 converge },

muni du produit scalaire

⟨ \cdot | \cdot ⟩ : E^2, \to ℝ; (x, y), \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)x(n)y(n),

et de la base hilbertienne

(e_i)_(i \in ℕ^*)

définie par

e_i : n ↦ {1, si n = i; 0, sinon.

(On ne demande pas de vérifier ces faits.)
Étant donné un sous-espace vectoriel fermé

V

E

, on note

p_V

le projecteur orthogonal sur

V

.
Étant donné un endomorphisme

p

E

, on définit sa diagonale

Δ(p) = (⟨e_i|p(e_i)⟩)_(i \in ℕ^*) \in ℝ^(ℕ^*).

Soit $V$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$ . Montrer que $Δ(p_V)$ est une suite à valeurs dans [0, 1], et que la série $\sum_(i \in ℕ^*)⟨e_i|p_V(e_i)⟩$ converge si et seulement si $V$ est de dimension finie.
Calculer la somme $\sum_(i \in ℕ^*)⟨e_i|p_V(e_i)⟩$ dans ce cas.
Soit $s$ une suite à valeurs dans [0,1], telle que la série $\sum_(i \in ℕ^*)s_i$ converge et dont la somme $d = \sum_(i \in ℕ^*)s_i$ est un entier $⩾ 1$ .
Le but de cette question est de montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $V$ de $E$ de dimension finie tel que $Δ(p_V) = s$ .

(a)Montrer le résultat dans le cas $d = 1$ .
(b)Montrer le résultat dans le cas où la suite $s$ est à support fini.
(c)Montrer le résultat dans le cas où la suite $s$ est décroissante et $s_1$ appartient à ]0, 1[, puis dans le cas général.

Problème d'analyse et probabilités

Notations, rappels et définitions

-Pour tout entier $r ⩾ 1$ , on note $𝒟^r$ le groupe des difféomorphismes de classe $C^r$ de $ℝ_+$ dans lui-même.
-On prolonge cette définition en notant $𝒟^0$ le groupe des homéomorphismes de $ℝ_+$ dans lui-même.

Ainsi, pour tout entier naturel

r

, un élément de

𝒟^r

est une application

f : ℝ_+ \to ℝ_+

de classe

C^r

, bijective, dont la réciproque est également de classe

C^r

Soit

r

un entier naturel et

f

un élément de

𝒟^r

-On note $Fix(f) = {x ∈ ℝ_+|f(x) = x}$ l'ensemble des points fixes de $f$ .
-Pour tout entier naturel $s$ , on note $Z^s(f) = {g ∈ 𝒟^s|g ∘ f = f ∘ g}$ son centralisateur de classe $C^s$ .
-Pour tout entier relatif $n$ , on note $f^n$ son $n$ -ième itéré, c'est-à-dire
$f^n = {f ∘ f ∘ ⋯ ∘ f_()_(n fois), si n > 0; id_(ℝ_+)^(f ∘ f^(− 1) ∘ ⋯ ∘ f^(− 1)), si n = 0; f^(− 1) ∘ f^(− 1) ∘ ⋯_()_(|n| fois), si n < 0.$
On prendra garde à ne pas lire cette notation comme une puissance, et à ne pas la confondre avec la dérivée $n$ -ième $f^((n))$ .

Pour tout entier naturel

r

, un élément

f

𝒟^r

est dit faiblement contractant si

\forallx \in ℝ_+^*, f(x) < x.

S

est un segment et

h : S \to ℝ

est une fonction continue, on définit

‖h‖_1^S = \int_S|h| et ‖h‖_\infty^S = max_S|h|.

Étant donné un segment

S

et une fonction continue

h : S \to ℝ

, si

S_0, S_1, \dots, S_(k - 1)

sont des segments inclus dans

S

, et dont les intérieurs sont deux à deux disjoints, on a l'inégalité « de Chasles » :

\sum_(i = 0)^(k - 1)‖h‖_1^(S_i) ⩽ ‖h‖_1^S.

On rappelle que si une somme porte sur l'ensemble vide (comme la somme précédente dans le cas

k = 0

), elle vaut 0 .

Partie I.

1.Soit $f$ un élément de $𝒟^0$ .
Montrer que $f$ est une fonction strictement croissante et que 0 appartient à $Fix(f)$ .
2.Soit $r$ un entier naturel et $f$ un élément de $𝒟^r$ . On suppose que 0 n'est pas un point isolé de $Fix(f)$ . Montrer :
$∀i ∈ [ [1, r] ], f^((i))(0) = {1, si i = 1; 0, si i > 1$
3.Pour tout réel $λ > 0$ , on note
$h_λ : ℝ_+, \to ℝ_+; x, \mapsto λx,$
qui est un élément de $𝒟^1$ (on ne demande pas de le montrer).
Soit $λ$ un élément de ]0, 1[. Montrer $Z^1(h_λ) = {h_μ|μ ∈ ℝ_+^∗}$ .
4.(a) Soit $f$ un élément de $𝒟^0$ tel que $Fix(f) = {0}$ .
Montrer que soit $f$ , soit $f^(- 1)$ , est faiblement contractant.
- (b)Soit $f$ un élément de $𝒟^0$ faiblement contractant. Pour tout $x$ dans $ℝ_+^*$ , montrer que la suite $(f^n(x))_(n \in ℕ)$ converge vers 0 et que la suite $(f^(- n)(x))_(n \in ℕ)$ diverge vers $+ \infty$ .
  En déduire que, quel que soit le réel $b > 0$ , la famille (] $f^(n + 1)(b), f^n(b)])_(n \in ℤ)$ est une partition de $ℝ_+^*$ .
5.Soit $f$ un élément de $𝒟^0$ faiblement contractant.
- (a)Montrer que pour tout homéomorphisme croissant $h : [f(1), 1] \to [f(1), 1]$ , il existe une unique application continue $h^♯ : ℝ_+ \to ℝ_+$ qui prolonge $h$ (c'est-à-dire que pour tout $x$ dans $[f(1), 1], h^♯(x) = h(x))$ et telle que $h^♯ \circ f = f \circ h^♯$ .
- (b)On note $Γ$ le groupe des homéomorphismes croissants du segment $[f(1), 1]$ dans lui-même (on ne demande pas de vérifier que $(Γ, \circ)$ est un groupe). Montrer que
  $ψ : Γ, \to Z^0(f); h, \mapsto h^♯$
  est un morphisme de groupes injectif et non surjectif.

Partie II.

6.Définition de l'opérateur $ℒ$ . Pour tout $f$ élément de $𝒟^2$ , on considère la fonction
$ℒf : ℝ_+, \to ℝ; x, \mapsto (lnf^')^'(x) = (f^('')(x))/(f^'(x)).$
- (a)Justifier que, pour tout $f$ appartenant à $𝒟^2$ , la fonction $ℒf$ est bien définie.
  On définit alors $ℒ$ en posant $ℒ(f) = ℒf$ pour tout $f$ dans $𝒟^2$ .
- (b)Soit $u, v$ deux éléments de $𝒟^2$ . Montrer :
  $ℒ(v \circ u) = (ℒv \circ u) \times u^' + ℒu.$
- (c)Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ et $k$ un entier naturel. Montrer
  $ℒ(f^k) = \sum_(i = 0)^(k - 1)(ℒf \circ f^i) \times (f^i)^'.$

7.Dans cette question, on fixe $f$ un élément de $𝒟^2$ faiblement contractant et on considère la fonction $θ_f$ définie par :
$θ_f : ℝ_+^*, \to ℝ; x, \mapsto ln((f^2(x) - f(x))/(f(x) - x)) - ln(f^'(x))$
- (a)Montrer que $θ_f$ se prolonge en une fonction continue $ℝ_+ \to ℝ$ (que l'on continuera à noter $θ_f$ ) et qu'on a
  $\forallx \in ℝ_+, θ_f(x) = ln(\int_0^1 f^'((1 - s)x + sf(x))ds) - ln(f^'(x))$
- (b)Soit $x$ un réel > 0 et $S$ un segment contenant $x$ et $f(x)$ . Montrer, à l'aide du théorème des accroissements finis, l'inégalité :
  $|θ_f(x)| ⩽ ‖ℒf‖_1^S.$
- (c)Soit $c$ un réel $> 0$ et $k$ un entier naturel. Montrer :
  $‖\sum_(i = 0)^(k - 1)θ_f \circ f^i‖_\infty^([0, c]) ⩽ ‖ℒf‖_1^([0, c]).$

Partie III.

Dans toute cette partie, on fixe un élément

f

𝒟^2

faiblement contractant. L'objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant.

Théorème A. Soit

g

un élément de

Z^1(f)

tel que

Fix(g) \neq {0}

. Alors

g = id_(ℝ_+)

.
Soit

g

un élément de

Z^1(f)

tel que

Fix(g) \neq {0}

. Soit

b

un point fixe de

g

tel que

b > 0

. On note

a = f(b)

8.Soit $h : [a, b] \to [a, b]$ un difféomorphisme croissant de classe $C^1$ .
On suppose qu'il existe un élément $x_0$ de $[a, b]$ tel que $h(x_0) \neq x_0$ .
- (a)Soit $c$ et $d$ deux nombres réels tels que $a ⩽ c < d ⩽ b$ . Pour toute application $u : [a, b] \to ℝ$ , on note $u_([c, d])$ la restriction de $u$ à l'intervalle $[c, d]$ .
  Montrer qu'il existe deux nombres réels $c$ et $d$ tels que $a ⩽ c < d ⩽ b$ , que le segment $[c, d]$ soit stable par $h$ et que la suite des restrictions $(h_([c, d])^n)_(n \in ℕ)$ converge simplement vers une fonction discontinue $[c, d] \to {c, d}$ que l'on précisera.
- (b)En déduire que la suite de normes $(‖(h^n)^'‖_\infty^([a, b]))_(n \in ℕ)$ n'est pas bornée.
9.Montrer : $\forallx, y \in [a, b], \forallk \in ℕ, |ln((f^k)^'(y))/((f^k)^'(x))| ⩽ ‖ℒf‖_1^([0, b])$ , où $ℒ$ a été défini dans la partie II.
10.Soit $γ$ un élément de $Z^1(f)$ tel que $γ(b) = b$ . Montrer $γ^'(0) = 1$ , puis :
$\forallx \in [a, b], |γ^'(x)| ⩽ ‖ℒf‖_1^([0, b]).$
Indication : on remarquera que tout élement $γ$ de $Z^1(f)$ vérifie : $\forallk \in ℕ, γ = f^(- k) \circ γ \circ f^k$ .
11.Conclure la démonstration du théorème A.

Partie IV.

Dans cette partie, on note

C^1(ℝ_+)

l'ensemble des applications de classe

C^1

ℝ_+

dans

ℝ

. On considère :

𝒱 = {X ∈ C^1(ℝ_+)|X(0) = 0 et ∀x ∈ ℝ_+^∗, X(x) < 0}.

Un élément

X

𝒱

sera dit complet si

\int_0^1(du)/(X(u)) = - \infty.

On admettra le théorème suivant, variante du théorème de Cauchy-Lipschitz.
Théorème (admis). Soit

X

appartenant à

𝒱

, complet.
Alors il existe une unique famille

(f_t)_(t \in ℝ)

d'éléments de

𝒟^1

tels que :

- $f_0 = id_(ℝ_+)$ ;
-pour tout réel $x ⩾ 0$ , l'application $t \mapsto f_t(x)$ soit dérivable, de dérivée :
$(\partialf_t(x))/(\partialt) = X(f_t(x)).$

La famille

(f_t)_(t \in ℝ)

définie dans le théorème est appelée le flot de

X

.
Pour tout

τ > 0

, on dira que le difféomorphisme

f_τ

et l'élément

X

𝒱

sont associés.
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant, qui permettra de décrire entièrement le centralisateur

Z^1(f)

d'un élément

f

𝒟^2

faiblement contractant.

Théorème B. Soit

f

un élément de

𝒟^2

faiblement contractant.
Alors il existe

X

appartenant à

𝒱

, complet et associé à

f

.
12. Soit

X

appartenant à

𝒱

, complet. On note

(f_t)_(t \in ℝ)

le flot de

X

.
Montrer :

\forallt, s \in ℝ, f_(t + s) = f_t \circ f_s

.
13. Définition de l'opérateur

T_f

. Pour tout

f

appartenant à

𝒟^2

et tout élément

X

𝒱

, on définit

T_f(X) : ℝ_+, \to ℝ; x, \mapsto (X(f(x)))/(f^'(x)).

(a)Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ . Montrer que $T_f$ définit bien une application $𝒱 \to 𝒱$ .
(b)Soit $f, g$ appartenant à $𝒟^2$ . Montrer que $T_g \circ T_f = T_(f \circ g)$ .
(c)Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ et $X$ un élément de $𝒱$ .
Montrer que si $X$ est complet, alors $T_f(X)$ l'est également.

14.Soit $X$ un élément de $𝒱$ . Pour tout $f$ appartenant à $𝒟^2$ , on considère la fonction
$τ_f : ℝ_+^*, \to ℝ; x, \mapsto \int_x^(f(x))(du)/(X(u)).$
- (a)On suppose $X$ complet, et on note $(f_t)_(t \in ℝ)$ son flot.
  Calculer, pour tout réel $t$ , la fonction $τ_(f_t)$ .
- (b)Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ faiblement contractant. On suppose que $τ_f$ est une fonction constante. Montrer que $X$ est complet et que $f$ est associé à $X$ .
- (c)Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ faiblement contractant et $X \in 𝒱$ . On suppose $T_f(X) = X$ . Montrer que $X$ est complet et associé à $f$ .
15.Pour montrer le théorème B, on fixe une fois pour toutes un élément $f$ de $𝒟^2$ faiblement contractant, et on cherche à construire un point fixe $Y$ de l'opérateur $T_f$ par un procédé itératif.
On définit donc $X_0 = f - id_(ℝ_+)$ (comme $f$ est faiblement contractant, il s'agit bien d'un élément de $𝒱$ , on ne demande pas de le vérifier) et, pour tout $k \in ℕ^*, X_k = T_(f^k)(X)$ .
- (a)Montrer que, pour tous entiers naturels $k, ℓ$ tels que $k ⩽ ℓ$ , on a, sur $ℝ_+^*$ :
  $ln((X_ℓ)/(X_k)) = \sum_(i = k)^(ℓ - 1)θ_f \circ f^i.$
- (b)Soit $b > 0$ un réel. Montrer que la suite de fonctions
  $(Θ_k)_(k \in ℕ) = (\sum_(i = 0)^(k - 1)θ_f \circ f^i)_(k \in ℕ)$
  converge uniformément sur $[0, b]$ .
- (c)En déduire que la suite de fonctions $(X_k)_(k \in ℕ)$ converge uniformément sur tous les segments de $ℝ_+$ vers une certaine fonction $Y$ , continue sur $ℝ_+$ et telle que :
  $Y(0) = 0 et \forallx \in ℝ_+^*, Y(x) < 0.$
16.(a) Montrer que, pour tout entier naturel $k$ , on a, sur $ℝ_+^*$ :
$X_k^' = X_0^' \circ f^k - \sum_(i = 0)^(k - 1)(ℒf \circ f^i) \times (f^(i + 1) - f^i) \times (X_k)/(X_i),$
où $ℒf$ a été défini dans la partie II.
- (b)Soit $b > 0$ un réel.
  Montrer que la suite de fonctions $(X_k^')_(k \in ℕ)$ converge uniformément sur $[0, b]$ .
- (c)Conclure la démonstration du théorème B.
17.Soit $f$ un élément de $𝒟^2$ faiblement contractant.
Déduire de tout ce qui précède que $Z^1(f)$ est un groupe isomorphe à $ℝ$ .

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Concours E|AD

Section/option 1|3/0|O|A

Epreuve 1|0|1

Matière 017213

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