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Agrégation mathématiques externe spéciale 2021, épreuve écriteSujet et rapport du jury

Concours externe spécial de l'agrégation section mathématiques - Sujet de l'épreuve écrite de la session 2021

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Sujet officiel Agrégation externe spéciale en mathématiques, session 2021.

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SESSION 2021

AGRÉGATION
CONCOURS EXTERNE SPÉCIAL

Section : MATHÉMATIQUES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée : 6 heures
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits.
La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies.
Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.
L'épreuve comporte deux parties :
  • -Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve à cette partie en cherchant à traiter les cinq exercices numérotés 1, 2, 3, 4 et 5.
  • -Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.
Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.

Exercices

Exercice 1
On note 𝒞^0([0, 1]) l'ensemble des applications continues de [0,1] dans R et on le munit de la norme uniforme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par, pour toute f ∈ 𝒞^0([0, 1]),
‖f‖_∞ = sup{|f(x)|, x ∈ [0, 1]}.
On introduit, pour toute f ∈ 𝒞^0([0, 1]), la fonction T(f) : [0, 1] → R définie par :
T(f) : x ↦ {1/x∫_0^x f(t)dt, si x ∈ ]0, 1];; f(0), si x = 0.
On remarquera, et il n'est pas demandé de le justifier, que l'application T est linéaire. On souhaite montrer que pour toute f ∈ 𝒞^0([0, 1]), (T^n(f))_(n ∈ N) converge uniformément.
  • 1.Montrer, pour toute f ∈ 𝒞^0([0, 1]), que T(f) ∈ 𝒞^0([0, 1]).
  • 2.On rappelle que l'on définit ‖T‖, lorsque cette quantité existe, par
    ‖T‖ = sup{‖T(f)‖_∞, f ∈ 𝒞^0([0, 1]) et ‖f‖_∞ ⩽ 1}.
Montrer que T est continue et que
‖T‖ ⩽ 1.
  1. On se donne dans cette question f ∈ 𝒞^0([0, 1]) puis un réel ε > 0.
  • a.Justifier l'existence de P ∈ R[X] tel que ‖f − P‖_∞ ⩽ ε.
  • b.Montrer que
    ∀n ∈ N, ‖T^n(f) − f(0)‖_∞ ⩽ ‖T^n(P) − P(0)‖_∞ + 2ε.
  • c.Conclure alors que (T^n(f))_(n ∈ N) converge uniformément vers f(0).
Exercice 2
On se donne deux matrices A et B dans ℳ_n(C) (avec n entier naturel non nul) et on se propose de montrer que A et B ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe M ∈ ℳ_n(C) non nulle telle que MA = BM.
  1. Condition suffisante
On suppose dans cette question que MA = BM pour une certaine M ∈ ℳ_n(C) non nulle.
  • a.Montrer, pour tout P ∈ C[X], que MP(A) = P(B)M.
  • b.En déduire que A et B ont une valeur propre commune.
On pourra appliquer le résultat précédent avec P égal au polynôme caractéristique de A.
2. Condition nécessaire
On suppose dans cette question que A et B ont une valeur propre commune λ.
  • a.Montrer que Sp(^t A) = Sp(A) (c'est-à-dire que ^t A et A ont mêmes valeurs propres).
Ainsi, il existe X ∈ ℳ_(n, 1)(C) et Y ∈ ℳ_(n, 1)(C) non nulles telles que
^t AX = λX et BY = λY.
b. À l'aide de X et de Y, construire M non nulle telle que MA = BM.
Exercice 3
On considère ‖ ⋅ ‖ une norme sur R^n (avec n entier naturel non nul) et C une partie convexe compacte non vide de R^n.
On rappelle que f : C → C est dite K-lipschitzienne (avec K ∈ R^+) si
∀(x, y) ∈ C^2, ‖f(y) − f(x)‖ ⩽ K‖y − x‖,
et contractante si elle est K-lipschitzienne pour un certain K ∈ [0, 1[.
On se donne f : C → C 1-lipschitzienne et on veut montrer que f admet un point fixe. Pour cela, on fixe x_0 ∈ C et on pose, pour tout n ∈ N^∗, f_n : C → C définie par :
f_n : x ↦ 1/nx_0 + (1 − 1/n)f(x).
  1. Montrer, pour tout n ∈ N^∗, que f_n est bien définie et qu'elle admet un unique point fixe x_n. On montrera que f_n est contractante, et on énoncera précisément le théorème utilisé.
  2. En déduire que f admet un point fixe.
  3. Ce résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus C compacte? si on ne suppose plus C convexe?
Exercice 4
On se donne P et Q dans Z[X] premiers entre eux dans Q[X] et on pose, pour tout n ∈ N,
u_n = P(n) ∧ Q(n)
où la notation x ∧ y désigne le plus grand commun diviseur de x et y. Le but de l'exercice est de montrer que (u_n)_(n ∈ N) est périodique.
  1. Montrer qu'il existe d ∈ N^∗ tel que pour tout n ∈ N, u_n divise d. On pourra utiliser le théorème de Bézout.
  2. Montrer, pour tous R ∈ Z[X] et n ∈ N, que R(n + d) − R(n) est divisible par d.
  3. Conclure.
Exercice 5
On se donne p ∈ ]0, 1/2 [ et on suppose que (X_n)_(n ∈ N^∗) est une suite de variables aléatoires indépendantes valant 1 ou -1 avec probabilité respectivement p et 1 − p. On pose alors S_0 = 0 et, pour tout n ∈ N^∗,
S_n = X_1 + ⋯ + X_n.
  1. Montrer qu'il existe t_0 > 0 tel que pe^(t_0) + (1 − p)e^(− t_0) < 1.
  2. Montrer qu'il existe α et β dans ]0, 1[ tels que
∀n ∈ N, ∀k ∈ Z, P(S_n ⩾ k) ⩽ α^k β^n.
On pourra remarquer que ∀t > 0, S_n ⩾ k ⇔ e^(tS_n) ⩾ e^(tk).
3. Montrer que S_n tend vers − ∞ presque sûrement quand n → ∞.

Problème d'algèbre et géométrie

Étant donné un entier d ⩾ 2, on considère D : R^d → R^d défini par
D : (a_1, …, a_d) ⟼ (|a_2 − a_1|, …, |a_d − a_(d − 1)|, |a_1 − a_d|).
Quitte à indexer les d-uplets modulo d, on peut écrire :
D : (a_k)_(k ∈ {1, …, d}) ⟼ (|a_(k + 1) − a_k|)_(k ∈ {1, …, d}).
On appelle suite de Ducci les suites (D^n(a))_(n ∈ N) pour a ∈ R^d (où D^n = D ∘ ⋯ ∘ D ). Le but de ce problème est d'étudier ces suites.
Plus précisément, on se propose de montrer qu'elles stationnent à 0 quel que soit a ∈ Z^d si et seulement si d est une puissance de 2, d'étendre ce résultat quand a ∈ R^d et d'étudier le cas où d n'est pas une puissance de 2 .
Pour cela, on considère Δ : (Z/2Z)^d → (Z/2Z)^d défini par
Δ : (α_1, …, α_2) ⟼ (α_1 + α_2, …, α_(d − 1) + α_d, α_d + α_1),
ce qu'on pourra également écrire :
Δ : (α_k)_(k ∈ {1, …, d}) ⟼ (α_k + α_(k + 1))_(k ∈ {1, …, d})
On remarquera que Δ est linéaire et a pour matrice dans la base canonique I¯_d + J¯_d où I_d désigne la matrice identité de ℳ_d(R),
J_d = (0, 1, ⋯, 0; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; 0, 0, ⋯, 1; 1, 0, ⋯, 0) ∈ ℳ_d(R),
n¯ désigne la classe de n ∈ Z dans Z/2Z, a¯ celle de a ∈ Z^d dans (Z/2Z)^d et A¯ celle de A ∈ ℳ_d(Z) dans ℳ_d(Z/2Z). Enfin, pour tout a ∈ R^d, on note
‖a‖_∞ = max{|a_1|, …, |a_d|}.

I. Étude du cas entier

  1. Préliminaires
Justifier, pour tout a ∈ R_+^d, que ‖D(a)‖_∞ ⩽ ‖a‖_∞.
On montre alors par récurrence, et il n'est pas demandé de le faire, que
∀n ∈ N, ‖D^n(a)‖_∞ ⩽ ‖a‖_∞.
  1. Justifier, pour toutes A et B dans ℳ_d(Z/2Z) telles que AB = BA, que
(A + B)^2 = A^2 + B^2,
et en déduire une expression, pour tout n ∈ N, de (A + B)^(2^n).
3. Justifier, pour tout a ∈ Z^d, que
D(a)^– = Δ(a¯).
On montre alors par récurrence, et il n'est pas demandé de le faire, que
∀n ∈ N, D^n(a)^– = Δ^n(a¯).
  1. On suppose dans cette question que d = 2^k avec k ∈ N^∗.
    On se donne a ∈ Z^d et on veut montrer qu'il existe n ∈ N tel que D^n(a) = 0_(R^d).
    a. Montrer que pour tout b ∈ Z^d, il existe n ∈ N tel que D^n(b) a toutes ses coordonnées paires.
    b. En déduire que pour tout p ∈ N, il existe n ∈ N tel que D^n(a) a toutes ses coordonnées divisibles par 2^p. On rédigera une récurrence soignée, en précisant bien son hypothèse.
    c. Conclure.
  2. Déterminer, pour tout entier d ⩾ 2, le polynôme minimal de J¯_d.
  3. On suppose dans cette question que d = 2^k m avec k ∈ N^∗ et m ⩾ 3 impair.
    a. Montrer que Δ n'est pas nilpotente. [On pourra supposer Δ nilpotente et aboutir à une absurdité en montrant que (X^(2^k) + 1^–)^m = X^d + 1^–.]
    b. Montrer alors qu'il existe α ∈ (Z/2Z)^d tel que
∀n ∈ N, Δ^n(α) ≠ 0_((Z/2Z)^d),
puis qu'il existe a ∈ Z^d tel que
∀n ∈ N, D^n(a) ≠ 0_(R^d).

II. Étude des longueurs

Pour tout a ∈ R^d, on note Λ(a) le plus petit n ∈ N, s'il existe, tel que D^n(a) = 0_(R^d) et on l'appelle longueur de a. Dans le cas contraire, on pose Λ(a) = + ∞.
On suppose désormais dans cette partie que d = 2^k avec k ∈ N^∗. Ainsi, d'après la partie précédente, tout a ∈ Z^d est de longueur finie.
On dit que f : R^d → R^d est K-lipschitzienne si
∀(x, y) ∈ (R^d)^2, ‖f(y) − f(x)‖_∞ ⩽ K‖y − x‖_∞,
et lipschitzienne s'il existe un réel K tel que f est K-lipschitzienne. On remarquera qu'une fonction lipschitzienne est continue.
7. Déterminer le plus petit réel K tel que D est K-lipschitzienne.
8. Exemple d'une longueur infinie
On pose
C = (− 1, 1, 0, ⋯, 0; 0, − 1, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, − 1, 1; − 1, 0, ⋯, 0, 1) ∈ ℳ_d(R)
et
Q = det(XI − C).
  • a.Calculer Q.
  • b.Justifier que Q(0) = 0, Q^′(0) < 0 et Q(1) > 0.
En déduire qu'il existe λ ∈ ]0, 1[ tel que Q(λ) = 0.
  • c.Montrer qu'il existe un vecteur propre u ∈ R^d de C à coordonnées positives.
  • d.On fixe dans cette question un vecteur u ∈ R^d donné par la question précédente.
Montrer que u est de longueur infinie.
9. Application
Montrer que les longueurs des vecteurs à coordonnées entières ne sont pas uniformément bornées, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entier N tel que
∀a ∈ Z^d, Λ(a) ⩽ N.

III. Étude du cas réel

  1. Lemme fondamental
    On se donne un entier d ⩾ 2 et a ∈ R_+^d. On suppose que la suite (‖D^n(a)‖_∞)_(n ∈ N) est constante égale à c > 0. Montrer que
a ∈ {0, c}^d.
  1. On suppose dans cette question que d = 2^k avec k ∈ N^∗. On se donne a ∈ R^d et on se propose de montrer que
lim_(n → ∞)‖D^n(a)‖_∞ = 0.
  • a.Justifier que la suite (‖D^n(a)‖_∞)_(n ∈ N) converge.
  • b.Soit v ∈ R^d une valeur d'adhérence de (D^n(a))_(n ∈ N).
    • i.Montrer que
      lim_(n → ∞)‖D^n(a)‖_∞ = ‖v‖_∞.
    • ii.En déduire que
      ∀n ∈ N, ‖D^n(v)‖_∞ = ‖v‖_∞.
  • iii.Montrer alors que v = 0_(R^d).
  • c.Conclure.

IV. Étude des périodes

Pour tout a ∈ R^d, si la suite (D^n(a))_(n ∈ N) est périodique à partir d'un certain rang, on dit qu'un entier n ⩾ 1 est une période de a si
∃r ∈ N, D^(r + n)(a) = D^r(a)
ou, de façon équivalente, si
∃r ∈ N, ∀k ⩾ r, D^(k + n)(a) = D^k(a).
On note alors τ(a) la plus période de a et on l'appelle la période de a. Dans le cas contraire, on pose τ(a) = + ∞.
On suppose désormais dans cette partie que d = 2^k m avec k ∈ N^∗ et m ⩾ 3 impair. On se propose de montrer que les vecteurs à coordonnées entières ont des périodes finies, uniformément bornées, et d'étudier la plus grande d'entre elles. Pour cela, on note (e_1^d, …, e_d^d) la base canonique de R^d((e¯_1^d, …, e¯_d^d) celle de (Z/2Z)^d), et
T_d = τ(e_1^d).
  1. Soit a ∈ Z^d.
    a. Justifier que (D^n(a))_(n ∈ N) est périodique à partir d'un certain rang. Ainsi, τ(a) < + ∞.
    b. Montrer qu'il existe n ∈ N, c ∈ N^∗ et v ∈ {0, 1}^d tels que D^n(a) = cv. Ainsi, τ(a) = τ(v).
    c. Justifier, pour tout u ∈ {0, 1}^d, qu'un entier n ⩾ 1 est une période de u si et seulement si
∃r ∈ N, Δ^(r + n)(u¯) = Δ^r(u¯).
d. En déduire que τ(a) divise T_d.
Ainsi, T_d est la plus grande période des éléments de Z^d.
13. On se donne dans cette question un entier q ⩾ 3. On note (X^q + 1^–) l'idéal principal engendré par X^q + 1^– dans (Z/2Z)[X] et on pose
E_q = (Z/2Z)[X]/(X^q + 1^–).
On note P¯ la classe de P ∈ (Z/2Z)[X] dans E_q et on définit Φ_q : E_q → E_q par
Φ_q : P¯ ⟼ (X¯ + 1^–)P¯.
  • a.Montrer que (X¯^(q − 1), …, X¯, 1^–) est une base de E_q, que l'on note ℬ_q.
  • b.Déterminer la matrice de Φ_q dans la base ℬ_q.
  • c.En déduire qu'un entier n ⩾ 1 est une période de e_1^q si et seulement si
    ∃r ∈ N, X^q + 1^–|((X + 1^–)^(r + n) − (X + 1^–)^r)
    où la notation P|Q signifie que P divise Q (dans Z/2Z[X] ).
  1. Application
    a. On suppose dans cette question qu'un entier n ⩾ 1 est une période de e_1^d. En utilisant la question précédente, montrer que 2n est une période de e_1^(2d).
    b. Réciproquement, on suppose dans cette question qu'un entier p ⩾ 1 est une période de e_1^(2d). On souhaite alors montrer que p est pair et, en notant n = p/2, que n est une période de e_1^d.
    i. Montrer qu'il existe Q ∈ Z/2Z[X] et r un entier naturel pair tels que
(X^m + 1^–)^(2^(k + 1))Q = (X + 1^–)^(r + n) − (X + 1^–)^r.
ii. Supposer que p est impair et aboutir à une absurdité. [On pourra dériver la relation précédente puis montrer que X^m + 1^– = (X + 1^–)^m.]
iii. En notant n = p/2, montrer que n est une période de e_1^d.
On en déduit alors, et il n'est pas demandé de le rédiger, que T_(2d) = 2T_d. En itérant ce résultat, on obtient :
T_(2^k m) = 2^k T_m,
ce qui permet de ramener le calcul de T_d à celui de T_m.
15. Étude de T_m
On suppose désormais que k = 0, c'est-à-dire que d = m (avec m impair et m ⩾ 3 ). On pose
H_m = I_m + J_m.
a. Montrer que T_m est le plus petit entier n ⩾ 1 tel que
∃r ∈ N, H¯_m^(r + n) = H¯_m^r.
b. Justifier l'existence d'un sur-corps K de Z/2Z dans lequel X^m + 1^– est scindé.
c. Montrer alors que H¯_m est diagonalisable dans K.
d. Une première expression
Déduire des résultats précédents que
T_m = min{n ∈ N^∗|H¯_m^(n + 1) = H¯_m}.
e. Une deuxième expression
On considère la forme linéaire f : (Z/2Z)^m → Z/2Z définie par
f : (α_1, …, α_m) ↦ α_1 + ⋯ + α_m.
i. Montrer que
ImΔ = Kerf.
ii. Donner une base de KerΔ.
iii. En déduire que Δ induit un endomorphisme de Kerf, et que cet endomorphisme est un isomorphisme, que l'on note Δ^.
iv. On pose ε_1^m = e¯_1^m + e¯_2^m, …, ε_(m − 1)^m = e¯_(m − 1)^m + e¯_m^m. Montrer que (ε_1^m, …, ε_(m − 1)^m) est une base de Kerf, et déterminer la matrice Γ_m de Δ^ dans cette base.
v. Montrer enfin que
T_m = ord(Γ_m),
où ord(Γ_m) désigne l'ordre de Γ_m en tant qu'élément du groupe multiplicatif GL_(m − 1)(Z/2Z).

Problème d'analyse et probabilités

On note 𝒮 l'ensemble R^(N^∗) des suites réelles indexées par N^∗. On s'intéresse dans ce problème aux fonctions f : R → R qui, pour une certaine suite r ∈ 𝒮, vérifient la propriété suivante :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ℝ, ∑_(k = 0)^(n − 1)f(x + k/n) = r_n f(nx).
On dit alors que r est une résolvante de f. On désigne par ℰ_r l'ensemble des fonctions f : R → R vérifiant (ℛ_r).
On remarquera, et on pourra l'utiliser sans justification, que ℰ_r est un R-espace vectoriel.
On note également ℰ l'ensemble des f : R → R pour lesquelles il existe r ∈ 𝒮 telle que f vérifie (ℛ_r). On se propose ici d'étudier quelques propriétés de ℰ. On déterminera notamment les éléments de ℰ qui sont 𝒞^∞.

I. Quelques exemples et premières propriétés

  1. On se donne dans cette question f dans ℰ non identiquement nulle. Montrer que f a une unique résolvante r et que r_1 = 1.
  2. Montrer que les fonctions constantes sont dans ℰ et déterminer les réels c tels que x ↦ x + c est dans ℰ.
  3. L'ensemble ℰ est-il un R-espace vectoriel?
  4. Soient C : R → R et S : R → R définies par :
C : x ↦ cos(2πx) et S : x ↦ sin(2πx).
Montrer que les fonctions C et S sont dans ℰ et en préciser les résolvantes.
5. Exemple de solution continue non dérivable
Soit φ : R → R définie par :
φ : x ↦ ∑_(j = 0)^∞1/(2^j)sin(2^(j + 1)πx).
  • a.Justifier que φ est bien définie et continue.
  • b.Montrer que φ est dans ℰ et en préciser la résolvante.
  • c.Montrer enfin que φ n'est pas dérivable. [On pourra étudier 2^k φ(2^(− k)) pour k ∈ N.]
  1. On se donne dans cette question f dans ℰ dérivable et non constante. Montrer que f^′ est dans ℰ et en préciser la résolvante.
  2. Exemple de solution non continue
    Soit ψ : R → R définie par :
ψ : x ↦ ⌊x⌋
(où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x ).
a. Montrer que ψ est dans ℰ et en préciser la résolvante.
b. Dans cette question seulement, on étend la relation (ℛ_r) aux distributions. Déterminer la dérivée ψ^′ de ψ et une suite r telle que ψ^′ vérifie (ℛ_r).

II. Étude des solutions 𝒞^∞ et 1-périodiques

On rappelle que si f : R → R est une fonction 𝒞^∞ et 2π-périodique, alors, pour tout n ∈ Z,
c_n(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− ınt) dt
est le n-ième coefficient de Fourier de f.
8. Préliminaires
On se donne dans cette question f : R → R une fonction 𝒞^∞ et 2π-périodique.
  • a.Calculer c_n(f^((k))) pour tous n ∈ Z et k ∈ N. On exprimera le résultat en fonction de c_n(f).
  • b.En déduire, pour tout k ∈ N, que lim_(n → ∞)n^k c_n(f) = 0.
  1. On se donne dans cette question f dans ℰ. On suppose que f est 𝒞^∞, 1-périodique et non constante, et on note r sa résolvante. On définit f~ : R → R par :
f~ : x ↦ f(x/(2π)).
On remarque alors que f~ est 2π-périodique et on pose
c_n = c_n(f~).
a. Montrer que pour tous p ∈ Z et n ∈ N^∗,
nc_(pn) = r_n c_p.
b. Montrer que c_1 ≠ 0.
  • c.On se donne dans cette question un entier q ⩾ 2. Montrer que
    ∀n ∈ N, c_(q^n) = c_1((c_q)/(c_1))^n,
    et en déduire que c_q = 0.
  1. Déterminer enfin les éléments de ℰ qui sont 𝒞^∞ et 1 -périodiques.

III. Polynômes de Bernoulli

  1. Montrer, pour toute f : R → R continue et tout réel t, que
lim_(n → ∞)1/n∑_(k = 0)^(n − 1)f(t/n + k/n) = ∫_0^1 f(x)dx
  1. En déduire, pour toute f dans ℰ continue et non constante, que
∫_0^1 f(x)dx = 0.
  1. On se donne dans cette question f dans ℰ continue, non identiquement nulle, de résolvante r.
    a. Justifier l'existence d'une unique F : R → R𝒞^1 telle que F^′ = f et ∫_0^1 F(x)dx = 0. On définit alors, pour tout n ∈ N^∗, G_n, H_n : R → R par :
G_n : x ↦ ∑_(k = 0)^(n − 1)F(x + k/n) et H_n : x ↦ F(nx).
b. Calculer, pour tout n ∈ N^∗, ∫_0^(1/n)G_n(x)dx et ∫_0^(1/n)H_n(x)dx.
c. En déduire que F est dans ℰ et en préciser la résolvante.
Ainsi, on peut définir une suite (B_p)_(p ∈ N) d'éléments de ℰ par :
{B_0 = 1;; ∀p ∈ ℕ^∗, B_p^′ = pB_(p − 1) et ∫_0^1 B_p(x)dx = 0.
On remarquera que c'est une suite de polynômes, appelés polynômes de Bernoulli.
14. Déterminer, pour tout p ∈ N, le degré, le coefficient dominant et la résolvante de B_p.

IV. Étude des solutions 𝒞^∞ et non 1-périodiques

On définit, pour toute f : R → R, Δ(f) : R → R par :
Δ(f) : x ⟼ f(x + 1) − f(x).
  1. On se donne dans cette question P = ∑_(k = 0)^p a_k X^k un polynôme réel de degré p ⩾ 1. Calculer le degré et le coefficient dominant de Δ(P).
  2. On se donne dans cette question f dans ℰ continue, de résolvante r. Montrer que
∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ℝ, r_n(Δ(f))(nx) = (Δ(f))(x).
  1. On se donne dans cette question g : R → R𝒞^∞ et on suppose qu'il existe α ∈ R tel que
∀x ∈ ℝ, αg(2x) = g(x).
  • a.Montrer que
    ∀x ∈ ℝ, ∀k ∈ ℕ, α^k g(x) = g(x/(2^k)).
  • b.Montrer, si |α| > 1, que g est nulle.
  • c.On suppose dans cette question que 0 < |α| ⩽ 1. Montrer qu'il existe p ∈ N tel que g^((p)) est nulle.
  • d.En déduire enfin que g est polynomiale.
  1. On se donne dans cette question f dans ℰ. On suppose que f est 𝒞^∞, non 1-périodique, et on note r sa résolvante.
  • a.Montrer que Δ(f) est une fonction polynomiale non identiquement nulle. On note alors q son degré.
  • b.Montrer que
    ∀n ∈ N^∗, r_n = 1/(n^q)
    et qu'il existe a ∈ R^∗ tel que
    ∀x ∈ ℝ, (Δ(f))(x) = ax^q.
  • c.En déduire, pour tout p ∈ N^∗, que
    ∀x ∈ ℝ, (Δ(B_p))(x) = px^(p − 1).
  • d.Montrer alors qu'il existe λ ∈ R^∗ et p ∈ N^∗ tels que f − λB_p est dans ℰ, 𝒞^∞ et 1 -périodique, et en préciser une résolvante.
  1. Déterminer enfin les éléments de ℰ qui sont 𝒞^∞ et non 1-périodiques.

V. Étude des solutions L^1

On rappelle que si f : R → C est dans L^1, sa transformée de Fourier est fˆ : R → C définie par :
fˆ : ξ ⟼ ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)e^(− 2ıπxξ) dx.
  1. Rappeler, pour toute f : R → R élément de L^1, pourquoi fˆ est bornée et continue.
  2. On se donne une fonction f : R → R intégrable et on définit, pour tout n ∈ N^∗, g_n, h_n : R → R par :
g_n : x ⟼ ∑_(k = 0)^(n − 1)f(x + k/n) et h_n : x ⟼ f(nx).
a. Calculer, pour tous ξ ∈ R et n ∈ N^∗, gˆ_n(ξ) et hˆ_n(ξ). On exprimera les résultats en fonction de fˆ(ξ).
b. Calculer, pour tous ξ ∈ R, les limites de 1/ngˆ_n(ξ) et nhˆ_n(ξ) quand n → ∞.
22. On se donne dans cette question f dans ℰ de résolvante r, et on suppose que f est L^1. On suppose également que ‖fˆ‖_∞ ≠ 0.
  • a.Montrer que fˆ(0) = 0.
  • b.Montrer que ∀n ∈ N^∗, |r_n| ⩽ n^2.
  • c.Aboutir à une absurdité.
Ainsi, si f est dans ℰ et dans L^1, alors fˆ = 0 : on peut ensuite déduire des propriétés de la transformation de Fourier, et il n'est pas demandé de le faire, que f est nulle presque partout.
23. Donner un exemple de fonction qui est élément de ℰ, et de L^1 et non identiquement nulle (on notera que cette fonction est nécessairement nulle presque partout, en vertu de la remarque précédente). [On pourra s'inspirer de la question 7.(b).]

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

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