CAPES mathématiques externe 2021, épreuve 2Sujet et rapport du jury

CONCOURS EXTERNE ET TROISIEME CONCOURS CAPES ET CAPES-CAFEP CORRESPONDANTS

INFORMATION AUX CANDIDATS

CONCOURS EXTERNE : Section MATHEMATIQUES

• CAPES de l'enseignement public :

• CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :

TROISIEME CONCOURS : Section MATHEMATIQUES

• -
  CAPES de l'enseignement public :
  Concours E|B|V
  Section/option 1/3/00/0
  Epreuve 1|0|1
  Matière

  2/6/1/1

• -
  CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :
  Concours E BIW
  Section/option 1/3/0/0/E
  Epreuve 1|0/1
  Matière

  2/6/1/1

Problème n° 1

• I.
  Un élève propose d'utiliser un tableur pour calculer les premières valeurs d'une suite u = (u_n)_(n ∈ ℕ) ∈ E_a, une fois les valeurs de a, u_0, u_1 et u_2 fixées. Il prépare la feuille de calcul suivante :

  	A	B	C	D
  1	n	u_n	a	1
  2	0	2
  3	1	2
  4	2	3
  5	3
  6	4

  La valeur choisie pour le paramètre a est stockée dans la cellule D1.
  Quelle formule l'élève peut-il saisir dans la cellule B5 pour obtenir les valeurs de la suite en utilisant la poignée de recopie vers le bas?
• II.Démontrer que, pour tout nombre réel a, les suites constantes appartiennent à E_a.
  Partie B : le cas a = 0

• III.Soit u = (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite appartenant à E_0.
  On considère la suite e = (e_n)_(n ∈ ℕ) définie par
  e_0 = 1 et ∀n ⩾ 1, e_n = 0.
• 1.Vérifier que e ∈ E_0.
• 2.Soit λ un nombre réel. Pour tout entier naturel n, on pose v_n = u_n − λe_n. Démontrer qu'il existe un réel λ tel que v_2 = 3v_1 − 2v_0 et démontrer que pour cette valeur de λ on a
  ∀n ∈ ℕ, v_(n + 2) = 3v_(n + 1) − 2v_n.

• 3.Démontrer qu'il existe deux nombres réels α et β tels que
  v_0 = α + β, v_1 = α + 2β.
• 4.Démontrer que pour tout entier naturel n, v_n = α + β2^n.
• 5.Démontrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est combinaison linéaire des suites (e_n)_(n ∈ ℕ), (2^n)_(n ∈ ℕ) et (1)_(n ∈ ℕ), où (1)_(n ∈ ℕ) désigne la suite constante de valeur 1.

• 5.appartient à E_0.
• V.1. Déterminer l'ensemble E_0.
• 2.Comment s'appelle le raisonnement mobilisé dans les questions III. et IV. qui a permis de déterminer l'ensemble E_0 ?

Partie C : le cas a = 3

• 1.Pour tout entier naturel n, trouver une relation entre U_(n + 1), A et U_n.
• 2.En déduire que, pour tout entier naturel n, U_n = A^n U_0.
• 3.On considère la matrice
  P = (1, 4, 9; 1, 2, 3; 1, 1, 1).
  Démontrer que P est inversible puis que P^(− 1)AP est une matrice diagonale D, que l'on déterminera.
• 4.Démontrer que, pour tout entier naturel n, A^n = PD^n P^(− 1).
• 5.En déduire qu'il existe trois nombres réels x, y, z tels que, pour tout entier naturel n,
  u_n = x + y × 2^n + z × 3^n.
• 6.Démontrer que x, y, z s'expriment chacun linéairement en fonction de u_0, u_1, u_2.

• XI.Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel n tel que u_n ⩾ 10^5.
• XII.Un élève utilise cet algorithme sur la suite u = (u_n)_(n ∈ ℕ) de E_3 telle que U_0 = (1; 2; 1). Il s'étonne de recevoir un message d'erreur. Comment le professeur peut-il expliquer ce message?

Partie D : le cas général

• XIII.1. Rappeler sans démonstration quelle est la structure algébrique de l'ensemble des suites réelles.
  • 2.Démontrer que E_a est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des suites réelles.
• XIV.1. Démontrer que θ est une application linéaire.
  • 2.Démontrer que θ est une application bijective.
  • 3.En déduire la dimension de l'espace-vectoriel E_a.
• XV.En prenant appui sur les parties précédentes, déterminer une base de E_0 et une base de E_3.

Problème n° 2

Partie A : étude de la radioactivité d'un noyau atomique

• I.Démontrer que pour tout nombre réel positif t,
  P(X ⩽ t) = 1 − e^(− λt)
  et en déduire P(X > t).
• II.Interpréter chacune de ces probabilités en termes de durée de radioactivité.
• III.Démontrer que, pour tous nombres réels positifs t et h,
  P_((X > t))(X > t + h) = P(X > h).
• IV.Pour h ∈ ℝ^+, interpréter P_((X > t))(X > t + h).
• V.Expliquer pourquoi on peut affirmer que la désintégration radioactive est un phénomène sans mémoire.
• VI.Justifier l'existence de l'espérance de la variable aléatoire X et déterminer sa valeur. Interpréter ce résultat en termes de durée de radioactivité.
• VII.Justifier l'existence de la variance de la variable aléatoire X. Déterminer l'écart-type de la variable aléatoire X.

Partie B : étude de l'évolution d'un échantillon de noyaux radioactifs

• 1.Lorsque l'on dispose d'un échantillon contenant un grand nombre de noyaux, on estime habituellement la probabilité qu'un noyau de l'échantillon soit encore radioactif à l'instant t par la proportion de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon à l'instant t. Donner une justification mathématique de cette démarche.

• • 2.Utiliser les résultats de la partie A pour établir que, selon cette estimation, N(t) = N_0 e^(− λt) pour tout réel positif t.
  • 3.Quelle réponse pourrait-on apporter à un élève faisant remarquer que le nombre N(t) ainsi obtenu n'est pas toujours un entier naturel?
• IX.On appelle demi-vie d'un noyau de l'échantillon, notée τ, la durée, exprimée en jours, au bout de laquelle la moitié des noyaux de l'échantillon se sont désintégrés.
  • 1.Exprimer la demi-vie d'un noyau radioactif en fonction de sa caractéristique de radioactivité λ.
  • 2.L'iode 131 a une demi-vie de 8 jours. Quelle est sa caractéristique de radioactivité?
  • 3.Pour un noyau d'iode 131, calculer la probabilité que le temps nécessaire à sa désintégration soit compris entre 6 et 10 jours.
• X.1. Comment justifier dans le cadre des programmes du lycée que lim_(x → 0)(e^x − 1)/x = 1 ?
  • 2.Justifier par un argument mathématique la proposition suivante, à la base de la loi de désintégration radioactive : « la probabilité, pour un noyau de caractéristique de radioactivité λ, radioactif à l'instant t, d'être désintégré à l'instant t + Δt (avec Δt petit) est approximativement égale à λΔt ».
• XI.1. Démontrer que, si une variable aléatoire U suit la loi uniforme sur [0, 1[, alors la variable aléatoire X = − 1/λln(1 − U) suit la loi exponentielle de paramètre λ. On pourra calculer P(X ⩽ t).
  • 2.Dans le langage Python, la fonction random.random() renvoie un nombre de l'intervalle [0, 1[ distribué selon la loi uniforme et l'instruction math.log(x) renvoie le logarithme népérien du nombre strictement positif x.
    Écrire une fonction expo (Lambda) prenant en argument un réel Lambda et qui renvoie une réalisation d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre Lambda.
  • 3.On considère la fonction mystere(Lambda, t) prenant en argument un réel Lambda et un réel positif t , définie de la manière suivante :

def mystere(Lambda,t):
    NO 
= 1000
    
N = 0
    for k in range(NO):
        X = expo(Lambda)
        if X > t:
            
N = N + 1
    return N/NO

• • • a.Interpréter le résultat renvoyé par mystere(Lambda,t).
    • b.Écrire, à l'aide de la fonction mystere, une commande permettant d'obtenir une valeur approchée du résultat de la question IX.3.