Agrégation mathématiques externe 2021, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2021

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Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2021.

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SESSION 2021

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Section : MATHÉMATIQUES

COMPOSITION D'ANALYSE ET PROBABILITÉS

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Notations, vocabulaire et rappels

Ensembles

-On note N l'ensemble des nombres entiers positifs, Z l'ensemble des entiers relatifs, Q l'ensemble des nombres rationnels, R l'ensemble des nombres réels et C l'ensemble des nombres complexes, avec les inclusions $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$ . Pour tout réel $r > 0$ , on note
$rZ = {rk; k \in Z}.$
-Un ensemble est dénombrable s'il est fini (éventuellement vide) ou en bijection avec N. Pour tout ensemble $E$ fini, $#E$ désigne le nombre de ses éléments, avec la convention : $#\emptyset = 0$ .
-Pour tout $x \in R$ , on note $⌊x⌋$ la partie entière de $x$ , c'est-à-dire $⌊x⌋ = max{k \in Z : k \leq x}$ .
-Pour tout nombre complexe $z \in C$ , on note $z¯$ son conjugué, $|z|$ son module, $Re(z)$ sa partie réelle, $Im(z)$ sa partie imaginaire, si bien que $z = Re(z) + iIm(z)$ où $i$ est tel que $i^2 = - 1$ .
-Sous-groupes additifs de R. On rappelle que, si $G$ est un sous-groupe additif nontrivial de $R$ , alors on a l'alternative suivante : ou bien il est dense dans $R$ , ou bien il existe un réel $r > 0$ tel que $G = rZ$ .

Fonctions

-Pour toute fonction $f$ de $R$ dans $C$ et pour tout $a \in R$ , on note $f(\cdot + a)$ la fonction $f$ translatée de $a$ , c'est-à-dire la fonction $t \in R \mapsto f(t + a) \in C$ . Si $a \neq 0$ , on note $f(a \cdot)$ la fonction $t \in R \mapsto f(at) \in C$ .
-On note $C_b(R, C)$ l'ensemble des fonctions $f$ de R dans C qui sont continues et bornées. Pour toute fonction $f \in C_b(R, C)$ , on note $|f|_\infty = sup_(t \in R)|f(t)|$ , qui est donc une quantité finie.
-Pour tout $λ \in R$ , on note $e_λ \in C_b(R, C)$ la fonction donnée pour tout $t \in R$ par
$e_λ(t) = e^(iλt).$

-Soit $I$ un intervalle non-vide de $R$ et $(f_n)_(n \in N)$ une suite de fonctions de $I$ dans $C$ . On dit qu'elle converge uniformément sur $I$ vers une fonction $f$ de $I$ dans $C$ si $lim_(n \to + \infty)sup_(t \in I)|f_n(t) -$ $f(t)|=0$ .

Espaces de Banach, topologie

-Soit $H$ un C-espace vectoriel muni d'une norme $| \cdot |$ . On désigne par $B(g, ε)$ la boule ouverte de centre $g \in H$ et de rayon $ε > 0$ , c'est-à-dire $B(g, ε) = {f \in H : |f - g| < ε}$ .
-On dit qu'un C-espace vectoriel normé $H$ (pas nécessairement de dimension finie), muni d'une norme $| \cdot |$ , est un espace de Banach s'il est complet pour cette norme.
-On rappelle que $(C_b(R, C), | \cdot |_\infty)$ est un espace de Banach.
-Soit $(H, | \cdot |)$ , un espace de Banach. Soit $A \subset H$ . On note $A¯$ l'adhérence de $A$ (pour cette norme)
-Soit $A \subset H$ , non-vide. On dit que $A$ satisfait la propriété de Bolzano-Weierstrass si pour toute suite $(f_n)_(n \in N)$ d'éléments de $A$ , il existe $g \in H$ et une suite extraite $(f_(φ(n)))_(n \in N)$ tels que $lim_(n \to + \infty)|f_(φ(n)) - g| = 0$ .
-Soit $A \subset H$ , non-vide. On dit que $A$ satisfait la propriété de Borel-Lebesgue si pour tout réel $ε > 0$ , il existe un nombre fini de points $f_1, \dots, f_n \in A$ tels que $A \subset ⋃_(1 \leq k \leq n)B(f_k, ε)$ .
-On rappelle que dans un espace de Banach, les propriétés i-iii) suivantes sont équivalentes
- i) $A$ satisfait la propriété de Bolzano-Weierstrass,
- ii) $A$ satisfait la propriété de Borel-Lebesgue,
- iii)l'ensemble $A¯$ est compact.

Formes hermitiennes.

Soient

H

un C-espace vectoriel et une application

⟨ \cdot, \cdot ⟩ : H \times H \to C

-Cette application est une forme sesquilinéaire si elle est anti-linéaire à gauche et linéaire à droite, c'est-à-dire que pour tous $f, g, h \in H$ et pour tout $c \in C, ⟨h, f + cg⟩ = ⟨h, f⟩ + c⟨h, g⟩$ et $⟨f + cg, h⟩ = ⟨f, h⟩ + c¯⟨g, h⟩$ .
-Une forme sesquilinéaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est dite hermitienne si pour tout $f, g \in H, ⟨f, g⟩ = ⟨g, f⟩^-$ . Cela implique que $⟨f, f⟩ \in R$ .
-Une forme hermitienne $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est dite positive si pour tout $f \in H, ⟨f, f⟩ \geq 0$ .
-Une forme hermitienne positive $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est dite définie si l'égalité $⟨f, f⟩ = 0$ implique $f = 0$ . Une forme hermitienne définie positive est aussi appelée produit scalaire hermitien. On rappelle que dans ce cas $f \in H \mapsto \sqrt(⟨f, f⟩)$ est une norme.
-Soit $J$ un ensemble non-vide. Soit ${f_j ∈ H, j ∈ J}$ une famille de vecteurs indexés par $J$ . On munit $H$ d'une forme hermitienne positive $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ (qui n'est pas nécessairement définie). On dit que la famille $(f_j)_(j \in J)$ est orthonormée si pour tout $j \in J$ , on a d'une part $⟨f_j, f_j⟩ = 1$ et d'autre part $⟨f_j, f_(j^')⟩ = 0$ pour tout $j^' \in J$ distinct de $j$ .

Fonctions périodiques, séries de Fourier

-Pour tout $r > 0$ , on note $ℱ_r$ l'ensemble des fonctions continues, bornées et $r$ -périodiques :
$ℱ_r = {f ∈ C_b(R, C) : f(⋅ + r) = f}.$
-On note $Vect_C(e_(2kπ); k \in Z)$ l'espace vectoriel des C-combinaisons linéaires finies des fonctions $e_(2kπ), k \in Z$ . On rappelle le théorème de Fejér qui affirme que toute fonction de $ℱ_1$ est limite uniforme sur R d'une suite à valeurs dans $Vect_C(e_(2kπ); k \in Z)$ .
-Pour toute fonction $f \in ℱ_1$ et pour tout $n \in Z$ , on note $c_n(f)$ son coefficient de Fourier d'ordre $n$ qui est donné par
$c_n(f) = \int_0^1 f(t)e^(- 2iπnt) dt.$
On rappelle la formule de Parseval :
$\forallf \in ℱ_1, \sum_(n \in Z)|c_n(f)|^2 = \int_0^1|f(t)|^2 dt$
la somme sur Z étant à comprendre comme $\sum_(n = 0)^(+ \infty)|c_n(f)|^2 + \sum_(n = 1)^(+ \infty)|c_(- n)(f)|^2$ .

I. Questions préliminaires.

(I.0) Soient

n \in N∖{0}

h_n : x \in R \mapsto x + 1/n

. Montrer que la suite

(h_n)_(n ∈ N∖{0})

converge uniformément sur

R

vers une fonction

h

que l'on précisera. Montrer que la suite

(h_n^2)_(n ∈ N∖{0})

converge simplement sur

R

vers

h^2

, mais que la convergence n'est pas uniforme sur

R

. Soient

(f_n)_(n \in N)

(g_n)_(n \in N)

deux suites d'éléments de

C_b(R; C)

qui convergent uniformément sur R, vers

f

g

respectivement, montrer que la suite

(f_n g_n)_(n \in N)

converge uniformément vers

fg

sur R.
(I.1) Soit

α \in C

tel que

Re(α) > 0

.
(I.1.a) Pour toute fonction

f \in C_b(R, C)

et pour tout réel

t \in R

, montrer que l'expression notée

(K_α f)(t) = \int_0^(+ \infty)e^(- αs)f(t + s)ds

est bien définie.
(I.1.b) On fixe

f \in C_b(R, C)

t \in R

. Soit une suite réelle

(t_n)_(n \in N)

telle que

lim_(n \to + \infty)t_n = t

. Montrer que

lim_(n \to + \infty)(K_α f)(t_n) = (K_α f)(t)

.
(I.1.c) Montrer que l'application

K_α

qui à

f \in C_b(R, C)

associe la fonction

K_α f

est un endomorphisme continu de

(C_b(R, C), ‖ \cdot ‖_\infty)

.
(I.1.d) Calculer inf

{c ∈ ]0, + ∞[ : ∀f ∈ C_b(R, C), ‖K_α f‖_∞ ≤ c‖f‖_∞}

.
(I.2) Soit

β \in C

et soit

f \in C_b(R, C)

. Le but de ce groupe de questions est d'étudier les fonctions

y

de R dans C qui sont de classe

C^1

et qui sont solutions de l'équation différentielle

(E_(β, f)) \forallt \in R, y^'(t) = βy(t) + f(t).

(I.2.a) Montrer que pour tout

z_0 \in C

il existe une unique solution

y

(E_(β, f))

telle que

y(0) = z_0

et donner une expression explicite de cette solution.
(I.2.b) Soit

y

une solution de

(E_(β, f))

. On suppose

Re(β) > 0

. Soit

t_0 \in R

. Pour tout réel

t \geq t_0

, exprimer

e^(- βt)y(t) - e^(- βt_0)y(t_0)

comme une intégrale. En déduire l'existence de

lim_(t \to + \infty)e^(- βt)y(t)

, limite que l'on notera

ℓ

. Exprimer

y(t_0)

en fonction de

ℓ, e^(βt_0)

et de la quantité

(K_β f)(t_0)

introduite au (I.1).
(I.2.c) En déduire que pour tout

β \in C

tel que

Re(β) > 0

, la fonction

t \mapsto - K_β f(t)

est l'unique solution de classe

C^1

bornée sur

R

de l'équation

(E_(β, f))

.
(I.2.d) Soit

β \in C

tel que

Re(β) < 0

. Justifier que

(E_(β, f))

a une unique solution dans

C_b(R, C)

que l'on exprimera à l'aide de l'endomorphisme

K_(- β)

.
(I.2.e) Soit

λ \in R

. Trouver une fonction

f \in C_b(R, C)

telle que les solutions de

(E_(iλ, f))

ne soient pas bornées.
(I.3) Dans la suite,

J

désigne un ensemble non-vide qui est vu comme un ensemble d'indices. Soit

{a_j ∈ [0, + ∞[, j ∈ J}

, une famille de nombres réels positifs indexés par

J

. On définit la somme des

(a_j)_(j \in J)

comme la quantité (possiblement infinie) suivante :

∑_(j ∈ J)a_j = sup{∑_(j ∈ S)a_j; S ⊂ J avec S non-vide et fini }.

Dans toutes les questions qui suivent, on suppose que la somme des

(a_j)_(j \in J)

est une quantité finie, ce qu'on écrira

\sum_(j \in J)a_j < \infty

.
(I.3.a) Pour tout

p \in N

, on pose

D_p = {j ∈ J : a_j ≥ 2^(− p)}

. Montrer que

D_p

est fini et que

#D_p \leq 2^p\sum_(j \in J)a_j.

(I.3.b) Montrer que l'ensemble

D = {j ∈ J : a_j ≠ 0}

est dénombrable.
(I.3.c) On suppose que

D

est infini. On se donne une énumération de

D

, c'est-à-dire une bijection

n \in N \mapsto j(n) \in D

. Pour tout

n \in N

, on pose

s_n = \sum_(k = 0)^n a_(j(k))

. Montrer que

lim_(n \to + \infty)s_n = \sum_(j \in J)a_j.

(I.4) Soit (

H, | \cdot |

) un C-espace de Banach. Soit

H_0

un sous-espace vectoriel de

H

tel que

H_0^- = H

. Soit

ℓ : H_0 \to C

, une application C-linéaire telle que pour tout

f \in H_0, |ℓ(f)| \leq ‖f‖

. Le but de ce groupe de questions est de montrer qu'il existe une unique application C-linéaire

Λ : H_0 \to C

satisfaisant la propriété suivante

(P)

pour tout

f \in H_0, Λ(f) = ℓ(f)

et pour tout

f \in H, |Λ(f)| \leq ‖f‖

.
(I.4.a) Montrer que si

Λ_1

Λ_2

satisfont (

P

), alors

Λ_1 = Λ_2

.
(I.4.b) Soit

(f_n)_(n \in N)

une suite d'éléments de

H_0

qui est de Cauchy dans

(H, ‖ \cdot ‖)

. Montrer que la suite

(ℓ(f_n))_(n \in N)

converge.
(I.4.c) Soient

f \in H

et deux suites

(f_n)_(n \in N)

(g_n)_(n \in N)

d'éléments de

H_0

telles que

lim_(n \to + \infty)‖f - f_n‖ = lim_(n \to + \infty)‖f - g_n‖ = 0.

Montrer que

(ℓ(f_n))_(n \in N)

(ℓ(g_n))_(n \in N)

convergent vers une même limite, que l'on notera

Λ(f)

, car elle ne dépend donc que de

f

et non des suites ayant

f

pour limite.
(I.4.d) Montrer que

Λ

est une application C-linéaire. Montrer qu'elle satisfait

(P)

II. Polynômes trigonométriques généralisés.

On appelle polynôme trigonométrique généralisé toute C-combinaison linéaire finie des fonctions

e_λ, λ \in R

, données par (1). On note

𝒫

l'ensemble des polynômes trigonométriques généralisés.
(II.1) Montrer que

𝒫

est un

C

-sous-espace vectoriel de

C_b(R, C)

. Pour tout

b \in R∖{0}

et pour tout

f \in 𝒫

, montrer que

f(\cdot + b) \in 𝒫

et que

f(b \cdot) \in 𝒫

. Montrer également que si

f, g \in 𝒫

, alors

f¯g \in 𝒫

.
(II.2) Soit un entier

n \geq 1

. Soient

λ_1, \dots, λ_n \in R

distincts. Montrer que la famille

{e_(λ_1), …, e_(λ_n)}

est libre. En déduire que les fonctions

{e_λ, λ ∈ R}

forment une base du C-espace vectoriel

𝒫

Notation. Pour tout

g \in 𝒫

, on note

a(g, λ) \in C, λ \in R

, les coordonnées de

g

dans la base

(e_λ)_(λ \in R)

. Le nombre

a(g, λ)

est appelé coefficient de Fourier généralisé de

g

d'ordre

λ

. On introduit également la notation

Sp(g) = {λ \in R : a(g, λ) \neq 0}

qui est appelé spectre de

g

. On a donc

g = \sum_(λ \in Sp(g))a(g, λ)e_λ

, ou encore

g = \sum_(λ \in R)a(g, λ)e_λ

, cette écriture étant unique.
(II.3) Soit

λ_0 \in R

.
(II.3.a) Montrer que

f \in 𝒫 \mapsto a(f, λ_0)

est une application C-linéaire.
(II.3.b) Soient

f \in 𝒫, b \in R∖{0}

et un entier

k \geq 1

. Exprimer les coefficients

a(f¯, λ_0), a(f(\cdot + b), λ_0), a(f^((k)), λ_0), a(f(b \cdot), λ_0)

en fonction des coefficients

(a(f, λ))_(λ \in R)

.
(II.3.c) Soient

f, g \in 𝒫

. Montrer qu'il y a un sens à poser

⟨f, g⟩ = a(f¯g, 0)

. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est un produit scalaire hermitien sur

𝒫

.
(II.3.d) Soit

λ \in R

. Soit un entier

n \geq 1

. Calculer

1/n(e_λ(0) + e_λ(1) + \dots + e_λ(n - 1))

selon que

λ

appartient à

2πZ

ou pas.
(II.3.e) Soit

f \in 𝒫

. Pour tout entier

n \geq 1

, on pose

g_n = 1/n(f + f(\cdot + 1) + \dots + f(\cdot + n - 1))

. Montrer que la suite de fonctions

(g_n)_(n \in N)

converge uniformément sur R vers une limite

g

que l'on précisera en fonction de

Sp(f)

et des

(a(f, λ))_(λ \in R)

.
(II.3.f) Montrer que

f \in 𝒫

est 1 -périodique si et seulement

siSp(f) \subset 2πZ

. En déduire que pour tout réel

r > 0, f \in 𝒫

est

r

-périodique si et seulement si

Sp(f) \subset 2πr^(- 1)Z

(II.4) Soit

r > 0

. Pour tout

f \in 𝒫

, on pose

Lf = f(\cdot + r) - f

.
(II.4.a) Montrer que

L

est un endomorphisme de

𝒫

.
(II.4.b) Déterminer le noyau de

L

.
(II.4.c) Soit

f \in 𝒫

. Montrer que le spectre de

Lf

ne contient pas d'éléments de

2πr^(- 1)Z

. Déterminer l'image de

L

.
(II.5) Soit

φ > 0

un réel supposé irrationnel, c'est-à-dire

φ \in R∖Q

. Soient

c_0, c_1 \in C

, supposés non-nuls et tels que

|c_0| \geq |c_1|

. Le but de ce groupe de questions est de décrire l'adhérence de l'image de

f = c_0 e_(2π) + c_1 e_(2πφ)

, c'est-à-dire l'ensemble

A = {f(t); t ∈ R}^–

. La suite du problème est indépendant de ce résultat.
(II.5.a) Montrer que

f

n'est pas périodique.
(II.5.b) On note

G = {m + nφ; m, n \in Z}

. Montrer que pour tout

t \in [0, 1]

et tout

s \in G

, on a :

c_0 e^(2iπt) + c_1 e^(2iπφt)e^(2iπs) \in A

et que

G

est un sous-groupe dense.
(II.5.c) On pose

B = {|c_0|e^(2iπt) + |c_1|e^(2iπs); s, t ∈ [0, 1]}

. Montrer que

B \subset A

.
(II.5.d) On note

D

l'anneau

{z ∈ C : |c_0| − |c_1| ≤ |z| ≤ |c_0| + |c_1|}

et on pose

C = {|c_0| + |c_1|e^(2iπs); s ∈ R}.

Représenter

C

D

dans le plan complexe. Montrer que si

z_0 \in B

, alors

B

contient le cercle centré en l'origine et de rayon

|z_0|

. Montrer ensuite que

B

contient l'anneau

D

. Montrer enfin que

A = B = D

III Limites uniformes de polynômes trigonométriques généralisés.

(III.1) Pour tout

f \in C_b(R, C)

et tout réel

t > 0

, on pose

M(f, t) = 1/t\int_0^t f(s)ds

(III.1.a) Pour tous

λ, t \in R

, on pose

m_λ(t) = M(e_λ, |t|)

t \neq 0

m_λ(0) = 1

. Montrer que

m_λ \in C_b(R, C)

. Calculer

m_λ

selon que

λ

est nul ou pas. Pour tout

λ \in R

, montrer que

|m_λ|_\infty = 1

. Pour tout

λ \in R∖{0}

, montrer que

lim_(t \to + \infty)m_λ(t) = 0

.
(III.1.b) Soit

f \in 𝒫

λ \in R

. Montrer que

lim_(t \to + \infty)M(e_(- λ)f, t) = a(f, λ)

.
(III.1.c) Pour tout

f \in 𝒫

et pour tout

λ \in R

, montrer que

|a(f, λ)| \leq |f|_\infty

Notation. On note

𝒫^-

l'adhérence de

𝒫

dans

(C_b(R, C), | \cdot |_\infty)

.
(III.2) Montrer que

𝒫^-

est un sous-espace vectoriel de

C_b(R, C)

tel que si

f, g \in 𝒫^-

, alors

f¯g \in 𝒫^-

.
(III.3) On fixe

λ \in R

. Montrer que l'application linéaire

f \in 𝒫 \mapsto a(f, λ) \in C

s'étend à

𝒫^-

de manière unique en une forme linéaire que l'on note de la même façon et qui est telle que

|a(f, λ)| \leq |f|_\infty

, pour tout

f \in 𝒫^-

Notation. Pour tout

f \in 𝒫^-

et tout

λ \in R

, le nombre complexe

a(f, λ)

est appelé coefficient de Fourier généralisé d'ordre

λ

f

. On appelle également

Sp(f) = {λ \in R : a(f, λ) \neq 0}

le spectre de

f

.
(III.4) On fixe

λ \in R

f \in 𝒫^-

. On se donne une suite

(f_n)_(n \in N)

composée d'éléments de

𝒫

telle que

lim_(n \to + \infty)|f - f_n|_\infty = 0

.
(III.4.a) Soit

λ_0 \in R

b \in R∖{0}

. Montrer que

(f_n(\cdot + b))_(n \in N), (f_n(b \cdot))_(n \in N)

(f¯_n)_(n \in N)

convergent uniformément sur R et préciser leurs limites respectives.
(III.4.b) Pour tout

λ_0 \in R

, exprimer, en fonction des coefficients

(a(f, λ))_(λ \in R)

, les coefficients

a(f¯, λ_0)

, a

(f(\cdot + b), λ_0)

a(f(b \cdot), λ_0)

.
(III.4.c) Pour tout réel

t > 0

, montrer que

|M(e_(- λ)f, t) - a(f, λ)| \leq |f - f_n|_\infty + |M(e_(- λ)f_n, t) - a(f_n, λ)| + |a(f_n, λ) - a(f, λ)|.

(III.4.d) En déduire que

lim_(t \to + \infty)M(e_(- λ)f, t) = a(f, λ)

, pour toute fonction

f \in 𝒫^-

et tout

λ \in R

.
(III.4.e) Soit

f \in 𝒫^-

. On suppose que

f

est

C^1

et on suppose que sa dérivée

f^'

appartient également à

𝒫^-

. Exprimer

a(f^', λ)

en fonction de

a(f, λ)

et de

λ

IV. Égalité de BESSEL pour les coefficients de FOURIER généralisés

(IV.1) Soit

(λ_n)_(n \in N)

une suite de réels supposés distincts. Soit

(b_n)_(n \in N)

une suite de complexes telle que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)|b_n|

soit une quantité finie.
(IV.1.a) Montrer que la série de fonctions de terme général

b_n e_(λ_n) \in C_b(R, C)

est normalement convergente sur

R

et si on note

g = \sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n e_(λ_n)

montrer que

g \in 𝒫^-

. Pour tout

λ \in R

, montrer que si

λ ∉ {λ_n, n ∈ N}

alors a

(g, λ) = 0

mais que a

(g, λ_n) = b_n

, pour tout

n \in N

Dans le groupe de questions suivant, on choisit

λ_0 = b_0 = 0 et pour tout entier n \geq 1, λ_n = b_n = 1/n^2.

(IV.1.b) Déterminer les solutions réelles

t

de l'équation

g(t) = g(0)

. Montrer que

g

n'est pas périodique.
Indication : On pourra remarquer que la partie réelle de

g(0) - g(t)

peut s'exprimer comme une série à termes positifs.
(IV.1.c) Montrer que

g

est développable en série entière en 0 . On précisera le rayon de convergence.
(IV.2) Soit

H

un C-espace vectoriel muni d'une forme hermitienne positive

⟨ \cdot, \cdot ⟩

, qui n'est pas nécessairement définie. Pour tout

f \in H

, on pose

q(f) = ⟨f, f⟩

. Soit

{f_j, j ∈ J}

, une famille d'éléments de

H

orthonormée pour

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. Pour tout

S \subset J

fini et non-vide et toute fonction

f \in H

, on pose

P_S f = \sum_(j \in S)⟨f_j, f⟩f_j

et on note

Vect_C(f_j; j \in S)

C

-espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs

{f_j, j ∈

S}

. Dans ce qui suit, on considère

f \in H

fixé.
(IV.2.a) Soit

S \subset J

fini et non-vide. Pour tout

g \in Vect_C(f_j; j \in S)

, montrer que

⟨f - P_S f, g⟩ = 0, q(f - g) \geq q(f - P_S f), q(f) = q(f - P_S f) + q(P_S f).

(IV.2.b) En déduire que

q(f) \geq \sum_(j \in J)|⟨f_j, f⟩|^2

.
(IV.2.c) On suppose qu'il existe une suite

(g_n)_(n \in N)

d'éléments de

Vect_C(f_j; j \in J)

telle que

lim_(n \to + \infty)q(f - g_n) = 0

. Montrer que

q(f) = \sum_(j \in J)|⟨f_j, f⟩|^2

.
(IV.3) Pour tout

f \in C_b(R, C)

et tout réel

t > 0

, on rappelle la notation

M(f, t) = 1/t\int_0^t f(s)ds

.
(IV.3.a) On fixe un réel

t > 0

et pour toutes

f, g \in C_b(R, C)

, on pose

⟨f, g⟩_t = M(f¯g, t)

. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩_t

est une forme hermitienne positive sur

C_b(R, C)

. Montrer qu'elle n'est pas définie.
(IV.3.b) Pour toutes

f, g \in 𝒫^-

, montrer que l'on peut bien définir la quantité

⟨f, g⟩ =

a(f¯g, 0)

. Montrer que

⟨ \cdot, \cdot ⟩

est une forme hermitienne positive (on ne cherchera pas à montrer ici qu'elle est définie).
(IV.3.c) En s'aidant du groupe de questions (IV.2), montrer que

é é \forallf \in 𝒫^-, a(|f|^2, 0) = \sum_(λ \in R)|a(f, λ)|^2 (égalité de Bessel).

En déduire que

Sp(f)

est dénombrable.
(IV.3.d) Soit

μ \in R

. On pose

f = ge_μ

, où

g

est la fonction introduite en (IV.1.a), avec (3). Montrer que l'équation différentielle

(E_(iμ, f))

n'a pas de solution de classe

C^1

dans

𝒫^-

. Indication : s'il y en avait une, que pourrait-on dire de son spectre ?
(IV.3.e) À l'aide de la question (IV.3.c), montrer que pour tout

f \in 𝒫^-

lim_(λ \to + \infty)a(f, λ) = lim_(λ \to - \infty)a(f, λ) = 0.

(IV.4) Soit

β \in C

et soit

f \in 𝒫^-

. Dans ce groupe de questions on étudie les éventuelles solutions dans

𝒫

et dans

𝒫^-

à l'équation différentielle

(E_(β, f))

du (I.2)
(IV.4.a) On suppose que

Re(β) > 0

. Si

f \in 𝒫

, montrer que

K_β f \in 𝒫

, où

K_β

est l'endomorphisme du (I.1).
(IV.3.b) On suppose que

Re(β) > 0

. Si

f \in 𝒫^-

, montrer que

K_β f \in 𝒫^-

.
(IV.4.c) Soit

f \in 𝒫^-

. Si

Re(β) \neq 0

, montrer que l'unique solution bornée de (

E_(β, f)

) appartient à

𝒫^-

.
(IV.4.d) Soient

λ_0 \in R

f \in 𝒫

. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur le spectre de

f

pour que

(E_(iλ_0, f))

ait une solution

y

bornée. Montrer que dans ce cas

y \in 𝒫

. (La suite du problème est indépendante de ce résultat.)
(IV.5) Le but de cette question est de faire le lien entre les coefficients de Fourier des fonctions périodiques continues et les coefficients de Fourier généralisés.
(IV.5.a) Montrer que

ℱ_1 \subset 𝒫^-

. En déduire que pour tout

r > 0, ℱ_r \subset 𝒫^-

.
(IV.5.b) Soit

n \in Z

. Montrer que

f \in ℱ_1 \mapsto c_n(f)

est une forme linéaire. Pour toute fonction

f \in ℱ_1

, montrer que

|c_n(f)| \leq |f|_\infty

.
(IV.5.c) Soit

r > 0

et soit

f \in ℱ_r

. Pour tout

n \in Z

, montrer que

a(f, 2πn/r) =

M(fe_(2πn/r), r)

. Pour tout réel

λ \notin 2πr^(- 1)Z

, montrer que

a(f, λ) = 0

V. Fonctions presque périodiques.

Soit

f \in C_b(R, C)

. Pour tout réel

ε > 0

, on définit l'ensemble de

ε

-périodes de

f

par

T(f, ε) = {a ∈ R : ∀t ∈ R, |f(t + a) − f(t)| ≤ ε} = {a ∈ R : |f(⋅ + a) − f|_∞ ≤ ε}.

(V.1) Montrer que

f

est périodique si et seulement si

⋂_(ε > 0)T(f, ε)

n'est pas réduit à

{0}

.
(V.2) Un ensemble

E \subset R

est dit relativement dense s'il existe un réel

L > 0

tel que pour tout

x \in R, E \cap [x, L + x]

est non-vide.
(V.2.a) Soit

A \subset B \subset R

, avec

A

relativement dense. Montrer que

B

est relativement dense.
(V.2.b) Montrer que

E \subset R

est relativement dense si et seulement s'il existe un réel

L > 0

tel que pour tout intervalle

I \subset R

de longueur supérieure ou égale à

L

, l'ensemble

E \cap I

est non-vide.
(V.2.c) Préciser, en justifiant la réponse, si les ensembles suivants sont relativement denses : (i) :

bZ

avec

b > 0

, (ii)

: {n^2, − n^2; n ∈ N}

, (iii) :

{\sqrtn, - \sqrtn; n \in N}

, (iv) : un compact de R.

Une fonction

f \in C_b(R, C)

est dite presque périodique si pour tout réel

ε > 0, T(f, ε)

est relativement dense, autrement dit :

\forallε \in ]0, + \infty[, \existsL_(ε, f) \in ]0, + \infty[ : \forallx \in R, [x, x + L_(ε, f)] \cap T(f, ε) \neq \emptyset.

Notation. On note

ℬ

l'ensemble des fonctions presque périodiques.
(V.3) Montrer que pour tout réel

r > 0, ℱ_r \subset ℬ

.
(V.4) Donner un exemple de fonction de

C_b(R, C)

qui est uniformément continue sur

R

mais qui n'est pas presque périodique.
(V.5) Soient

f \in ℬ

a, b \in R

, avec

b

non-nul. Pour tout

t \in R

, on pose

g(t) = f(bt + a)

. Montrer que

g \in ℬ

Une fonction

f \in C_b(R, C)

est dite normale si de toute suite réelle

(a_n)_(n \in N)

on peut extraire une suite

(a_(φ(n)))_(n \in N)

telle que

(f(\cdot + a_(φ(n))))_(n \in N)

converge uniformément sur

R

, c'est-à-dire qu'il existe

g \in C_b(R, C)

telle que

lim_(n \to + \infty)‖f(\cdot + a_(φ(n))) - g‖_\infty = 0

. Autrement dit,

f \in C_b(R, C)

est normale si l'ensemble de ses translatées satsisfait la propriété de Bolzano-Weierstrass dans

(C_b(R, C), ‖ \cdot ‖_\infty)

Notation. On note

𝒩

l'ensemble des fonctions normales.
(V.6) Montrer que

𝒩

est un sous-espace vectoriel de

C_b(R, C)

. Montrer que si

f, g \in 𝒩

, alors

f¯g \in 𝒩

.
(V.7) Montrer que pour tout

λ \in R

, on a

e_λ \in 𝒩

.
(V.8) Soit

f \in C_b(R, C)

; on note

A = {f(\cdot + a), a \in R}

l'ensemble de ses translatées. Soit

ε > 0

et on suppose qu'il existe

h \in 𝒩

tel que

‖f - h‖_\infty \leq ε/3

. Montrer qu'alors il existe un entier

n

et des réels

a_1, \dots, a_n

tels que

A \subset ⋃_(k = 1)^n B(f(\cdot + a_k), ε).

(V.9) On note

𝒩^-

l'adhérence de

𝒩

dans

(C_b(R, C); ‖ \cdot ‖_\infty)

. Soit

f \in 𝒩^-

. Montrer que l'ensemble

A

défini par (5) satisfait la propriété de Borel-Lebesgue dans

(C_b(R, C); ‖ \cdot ‖_\infty)

. Montrer que

𝒩

est un fermé de

(C_b(R, C); ‖ \cdot ‖_\infty)

.
(V.10) Le but de ce groupe de questions est de montrer que

𝒩 \subset ℬ

. À cette fin, on fixe

f \in 𝒩

.
(V.10.a) Soit

ε > 0

. Montrer qu'il existe un entier

n

et des réels

a_1, \dots, a_n

tels que pour tout

a \in R

, on peut trouver

k \in {1, \dots, n}

vérifiant

a - a_k \in T(f, ε)

.
(V.10.b) Montrer que pour tout

ε > 0, T(f, ε)

est relativement dense. Conclure.
(V.11) Montrer que

𝒫^- \subset ℬ

VI. Injectivité des coefficients de Fourier généralisés.

(VI.1) Soient

f, g \in ℱ_1

. On suppose que

c_n(f) = c_n(g)

pour tout

n \in Z

. À l'aide de l'égalité de Parseval (2), montrer que

f = g

.
(VI.2) On fixe

g \in 𝒫^-

, une fonction non-nulle telle que

g(t) \geq 0

pour tout

t \in R

. Le but de ce groupe de questions est de montrer que

a(g, 0) > 0

.
(VI.2.a) Montrer qu'il existe

t_0 \in R

et des réels

δ, ε > 0

tels que

inf_(s \in [t_0, t_0 + δ])g(s) \geq 2ε

.
(VI.2.b) Montrer qu'il existe un réel

L > 0

tel que pour tout

t \in R

, il existe

b \in [t, t + L]

satisfaisant

inf_(s \in [b, b + δ])g(s) \geq ε

. Sans perte de généralité, on peut supposer

L > δ

.
(VI.2.c) Montrer que pour tout

k \in N

, on a

\int_(2kL)^(2kL + 2L)g(t)dt \geq δε

En déduire que

a(g, 0) > 0

.
(VI.3) Soient

f_1, f_2 \in 𝒫^-

telles que

a(f_1, λ) = a(f_2, λ)

, pour tout

λ \in R

. Montrer que

f_1 = f_2

Indication : on pourra commencer par traiter le cas où

f_2

est identiquement nulle et s'aider de l'égalité de Bessel (4).
(VI.4) Soit

f \in 𝒫^-

telle que son spectre est fini. Que peut-on dire de

f

?
(VI.5) Soit

f \in 𝒫^-

. On suppose que son spectre est infini. On se donne alors

(λ_n)_(n \in N)

une suite de réels distincts tels que

Sp(f) = {λ_n, n ∈ N}

.
(VI.5.a) On suppose, dans cette question seulement, que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)|a(f, λ_n)|

est une quantité finie. Montrer que

f = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a(f, λ_n)e_(λ_n),

la série de fonctions étant normalement convergente sur

R

.
(VI.5.b) On suppose que

0 \notin Sp(f)

, que

f

est

C^1

, que

f^' \in 𝒫

et que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)λ_n^(- 2)

est une quantité finie. Montrer que

f = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a(f, λ_n)e_(λ_n)

, la série de fonctions étant normalement convergente sur R.

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Espaces de Banach, topologie

Formes hermitiennes.

Fonctions périodiques, séries de Fourier

I. Questions préliminaires.

II. Polynômes trigonométriques généralisés.

III Limites uniformes de polynômes trigonométriques généralisés.

IV. Égalité de BESSEL pour les coefficients de FOURIER généralisés

V. Fonctions presque périodiques.

VI. Injectivité des coefficients de Fourier généralisés.

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