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Agrégation mathématiques externe 2022, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2022

Pas encore noté
  • Fonctions Gamma et zêta
  • Séries de Dirichlet et holomorphie
  • Théorèmes taubériens
  • Transformée de Mellin et transformation de Fourier
  • Convergence de séries et d'intégrales
  • Probabilités (indépendance, sigma-additivité)
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  • Corrigé : pas encore disponible
Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Difficile
Épreuve écrite d'analyse et probabilités de l'agrégation externe : démonstration du théorème des nombres premiers
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L'objectif principal du sujet est la démonstration du théorème des nombres premiers, selon une méthode due à Hardy et Littlewood étendue par Karamata. Le problème progressif mobilise les fonctions Gamma et zêta, les séries de Dirichlet, un théorème taubérien, la transformée de Mellin et se termine par une application probabiliste et à la théorie des distributions.

  1. 1Partie I : outils préliminairesRésultats sur les fonctions Gamma et zêta, holomorphie des séries de Dirichlet, une sous-famille dense dans l2(N) et le logarithme complexe.
  2. 2Partie II : théorème taubérien de KaramataÉtude d'une variante de l'équation fonctionnelle de Cauchy puis démonstration du théorème taubérien de Karamata.
  3. 3Partie III : calcul intégral et transformée de MellinÉtude de la transformée de Mellin, intégrales à paramètres, transformation de Fourier, prolongement analytique et application à la théorie des distributions.
  4. 4Partie IV : propriétés de la fonction zêta réelleProduit eulérien prouvé par voie probabiliste et estimation du logarithme de la fonction zêta au voisinage de 1.
  5. 5Partie V : cœur technique de la démonstrationExtension au plan complexe des estimations de la fonction zêta, qualifiée de partie difficile.
  6. 6Partie VI : conclusion du théorème des nombres premiersFinalisation de la démonstration grâce au théorème taubérien de Karamata établi en partie II.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était très long, que moins de 5% des copies ont traité les questions au-delà de la partie IV, et que plus de la moitié des candidats a été mise en grande difficulté par des techniques de cours élémentaires de L2.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Dérivation terme à terme d'une somme infinie · Fonction continue supposée intégrable sans vérification · Fonction intégrable supposée tendre vers 0 en l'infini
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Le sujet, très long et progressif, n'exigeait pas de s'avancer très loin pour obtenir une note convenable. Le jury a noté des progrès sur la convergence des intégrales et des séries, mais a été très surpris du faible nombre de candidats traitant correctement les toutes premières questions, notamment l'intégration par parties impropre et la dérivation terme à terme d'une série.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Dérivation terme à terme d'une somme infinieI-2a

    Seul un tiers des copies a obtenu la totalité des points à la question I-2a ; la propriété de linéarité de la dérivation ne permet pas de dériver terme à terme une somme infinie, ce qui a donné lieu à des preuves incorrectes par holomorphie.

  2. 2
    Fonction continue supposée intégrable sans vérificationI-1

    De nombreux candidats pensent qu'une fonction continue sur un intervalle est nécessairement intégrable, sans avoir conscience d'un problème potentiel en un point particulier.

  3. 3
    Fonction intégrable supposée tendre vers 0 en l'infiniI-5b

    De nombreuses copies invoquent le fait qu'une fonction intégrable tend nécessairement vers 0 en l'infini, ce qui est faux comme le montrent les fonctions en dents de scie non bornées.

  4. 4
    Hypothèses du principe des zéros isolés oubliéesI-6d

    Le jury regrette l'oubli quasi systématique des hypothèses de connexité et de point d'accumulation dans l'application du principe des zéros isolés.

  5. 5
    Continuité supposée sans justification pour le passage aux réelsII-1

    De nombreuses copies invoquent, pour le passage aux réels par densité, une continuité qui n'est pas supposée dans l'énoncé.

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats dans leur grande majorité travaillent sur la fonction elle-même et ont le bon réflexe de comparer sa valeur absolue à des fonctions de référence pour la convergence des intégrales.
  • La croissance de la fonction f a été dans l'ensemble bien traitée à la question II-2b.
  • Les candidats ayant abordé la question I-5b ont quasiment toujours eu l'idée des intégrations par parties.

Conseils du jury

  • Soigner particulièrement la rédaction en début de copie afin d'établir un lien de confiance avec le correcteur.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses d'un théorème avant de l'invoquer, notamment pour la convergence normale ou uniforme.
  • Ne pas chercher à aller trop loin dans un sujet très long : les premières parties suffisent à obtenir une note tout à fait convenable si elles sont traitées avec rigueur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2022.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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SESSION 2022
AGREGATION
CONCOURS EXTERNE
Section
MATHÉMATIQUES
Composition d'analyse et probabilités
Durée : 6 heures
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence.
De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.
La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.
Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.
Notations utilisées tout au long du sujet.
Ensembles. On note N l'ensemble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, Q l'ensemble des rationnels, R l'ensemble des nombres réels et C l'ensemble des nombres complexes.
  • On note également N^∗ = N∖{0}, R^∗ = R∖{0}, C^∗ = C∖{0}, Q_+ = {x ∈ Q : x ≥ 0}, R_+ = {x ∈ R : x ≥ 0}, R_− = {x ∈ R : x ≤ 0}, Q_+^∗ = Q_+∖{0}, R_+^∗ = R_+∖{0}.
  • Soit E un ensemble. S'il est fini, on note #E son cardinal. Soit A ⊂ E. On note E∖A le complémentaire de A dans E. On note ensuite 1_A : E → {0, 1} la fonction indicatrice de A définie, pour tout x dans E, par 1_A(x) = 1 si x est dans A et 1_A(x) = 0 sinon.
Nombres complexes. Pour tout nombre complexe z, on note z¯ son conjugué, |z| son module, Re(z) sa partie réelle, Im(z) sa partie imaginaire. Pour tout réel σ_0, on note H_(σ_0) le demi-plan ouvert
H_(σ_0) = {z ∈ C : Re(z) > σ_0}.
On rappelle que pour tout nombre complexe z, il existe des réels θ, appelés arguments de z, tels que z = |z|e^(iθ). Si z est non nul, on appelle argument principal de z l'unique argument de z dans l'intervalle ] − π, π]. On le note arg(z). On rappelle que e^(iθ) = 1 si et seulement s'il existe k ∈ Z tel que θ = 2πk.
Fonctions. Pour tout réel x, on note ⌊x⌋ la partie entière de x et ⌈x⌉ la partie entière supérieure de x, c'est-à-dire ⌊x⌋ = max{k ∈ Z : k ≤ x} et ⌈x⌉ = min{k ∈ Z : x ≤ k}.
Pour tout p ∈ N, on note m_p : t ↦ t^p la fonction monômiale de degré p définie sur [0, 1].
  • Le R-espace vectoriel des fonctions bornées f : [0, 1] → R est noté B([0, 1], R). On rappelle que B([0, 1], R), muni de la norme ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)|, est un espace de Banach.
  • Soit I un intervalle d'intérieur non vide de R. Soit f : I → C une fonction continue par morceaux. On dit que f est intégrable sur I si ∫_I|f(t)|dt est une quantité finie. Dans ce cas, l'intégrale ∫_I f(t)dt est un élément de C.
  • Soit f : R → C continue par morceaux et intégrable sur R. Sa transformée de Fourier est alors une fonction continue, bornée, bien définie par
∀x ∈ R, fˆ(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)exp(− 2iπxt)dt
On rappelle ensuite la formule d'inversion de Fourier: si f est continue et si fˆ est intégrable sur R, alors
∀t ∈ R, fˆˆ(− t) = f(t).
Fonctions holomorphes. Pour tout ouvert non vide U de C, on note H(U) la C-algèbre des fonctions holomorphes sur U. Soit V un ouvert non vide de C et soient f dans H(U) et g dans H(V). On rappelle que si f(U) ⊂ V, alors g ∘ f ∈ H(U).
  • On rappelle le principe des zéros isolés sous la forme suivante: soit U un ouvert connexe de C et soit f dans H(U). Supposons que l'ensemble {z ∈ U : f(z) = 0} contient un point d'accumulation dans U : alors f est identiquement nulle sur U.
  • Soit (u_n)_(n ∈ N^∗) une suite de H(U). On suppose que la série de fonctions de terme général (u_n)_(n ∈ N^∗) est normalement convergente sur tout compact de U. Alors, f = ∑_(n = 1)^∞u_n est holomorphe sur U, la série des dérivées (u_n^′)_(n ∈ N^∗) est également normalement convergente sur tout compact de U et f^′ = ∑_(n = 1)^∞u_n^′.
  • Soit I un intervalle d'intérieur non vide de R. Soit f : U × I → C satisfaisant
  • (a)Pour tout t dans I, f(⋅, t) ∈ H(U).
  • (b)Pour tout z dans U, f(z, ⋅) est continue par morceaux sur I.
  • (c)Il existe une fonction g continue par morceaux et intégrable sur I telle que |f(z, t)| ≤ g(t) pour tout (z, t) ∈ U × I.
Alors, l'intégrale à paramètre z ↦ F(z) = ∫_I f(z, t)dt est bien définie et holomorphe sur U et de même pour z ↦ ∫_I(∂f)/(∂z)(z, t)dt qui est la dérivée de F.
Logarithme. On note log le logarithme dit principal: c'est l'unique prolongement holomorphe de la fonction logarithme népérien à l'ouvert C∖R_−(on notera donc également log le logarithme népérien sur R_+^∗ ). On rappelle que, pour tout nombre complexe z de module strictement plus petit que 1 , on a log(1 − z) = − ∑_(n = 1)^∞z^n/n.
Le C-espace vectoriel ℓ_2(N^∗). C'est le C-espace vectoriel des suites a = (a_n)_(n ∈ N^∗) à valeurs complexes telles que ∑_(n = 1)^∞|a_n|^2 soit une quantité finie. Pour tout b = (b_n)_(n ∈ N^∗) ∈ ℓ_2(N^∗), on note (a, b) la somme de la série de terme général (a¯_n b_n)_(n ∈ N^∗) qui est absolument convergente: cela définit un produit scalaire hermitien pour lequel ℓ_2(N^∗) est un espace de Hilbert.
Distributions tempérées. Le C-espace vectoriel S(R) des fonctions φ : R → C de classe C^∞ telles que pour tous m, n dans N, ρ_(m, n)(φ) = sup_(x ∈ R)(1 + |x|)^m|φ^((n))(x)| < + ∞, est la classe de Schwartz (ici, on adopte la convention que φ^((0)) = φ ). On munit S(R) de la topologie induite par les semi-normes (ρ_(m, n))_(m, n ∈ N).
  • Soit une forme linéaire T sur S(R). On note ⟨T|φ⟩ la valeur de T en φ ∈ S(R). On rappelle que T est continue si et seulement s'il existe C dans R_+^∗, p dans N^∗ et (m_k, n_k)_(1 ≤ k ≤ p) dans (N × N)^p tels que |⟨T|φ⟩| ≤ Cmax_(1 ≤ k ≤ p)ρ_(m_k, n_k)(φ) pour tout φ dans S(R). Les formes linéaires continues de S(R) sont appelées distributions tempérées: elles forment un C-espace vectoriel noté S^′(R) que l'on munit de la topologie faible, de sorte que toute suite de distributions tempérées (T_n)_(n ∈ N^∗) converge faiblement vers T, élément de S^′(R), si et seulement si pour tout φ dans S(R), on a lim_(n → + ∞)⟨T_n|φ⟩ = ⟨T|φ⟩. On note alors lim_(n → + ∞)T_n = T.
  • Soit T dans S^′(R). On rappelle que l'application φ ↦ − ⟨T|φ^′⟩ est une forme linéaire continue sur S(R). On note cette distribution tempérée T^′ : c'est la dérivée de T au sens des distributions. On a donc ⟨T^′|φ⟩ = − ⟨T|φ^′⟩ pour tout φ dans S(R).
  • On note δ_0 la masse de Dirac en 0 qui est la distribution tempérée telle que ⟨δ_0|φ⟩ = φ(0), pour tout φ dans S(R).
    Nombres premiers. On note (p_n)_(n ∈ N^∗) l'indexation strictement croissante des nombres premiers et 𝒫 = {p_n; n ≥ 1} l'ensemble des nombres premiers.
  • Pour tout réel positif x, on note 𝒫(x) = {p ∈ 𝒫 : p ≤ x} et π(x) = #𝒫(x) le nombre d'entiers premiers inférieurs à x.
  • On introduit la fonction Λ : N^∗ → R définie par
Λ(n) = {logp,, si n = p^k pour un entier p premier et un entier k ≥ 1,; 0, sinon.
Le but de ce problème est de montrer le théorème des nombres premiers qui affirme le résultat suivant:
π(x) ∼ _(x → + ∞)x/(logx).
La démonstration passe par l'étude statistique de la fonction Λ. La majeure partie du problème consiste en la démonstration de la limite suivante, qui implique (Eq_1),
lim_(n → + ∞)1/n∑_(k = 1)^n Λ(k) = 1

Partie I

Dans cette section sont introduites et étudiées des fonctions utiles dans la suite du problème.
I-1) La fonction Γ. Soit σ dans R_+^∗. Montrer que la fonction définie sur R_+^∗ par x ↦ e^(− x)x^(σ − 1) est intégrable sur R_+^∗. On pose Γ(σ) = ∫_0^(+ ∞)e^(− x)x^(σ − 1) dx. Montrer : Γ(σ) ∈ R_+^∗ et Γ(σ + 1) = σΓ(σ).
I-2) La fonction ζ. On rappelle que la série de terme général (n^(− σ))_(n ∈ N^∗) est convergente, pour tout réel σ > 1. On introduit alors la fonction ζ définie pour σ > 1 par
ζ(σ) = ∑_(n = 1)^∞n^(− σ).
I-2a) Montrer que ζ est une fonction à valeurs dans R_+^∗, de classe C^1 sur ]1, + ∞[. Montrer que − ζ^′(σ) = ∑_(n = 1)^∞n^(− σ)logn, pour tout réel σ > 1.
I-2b) Par comparaison série-intégrale, montrer que lim_(σ → 0^+)σζ(1 + σ) = 1.
I-3) Dans le groupe de questions qui suit, on fixe un réel α > 0.
I-3a) En distinguant les cas 0 < α < 1, α = 1, 1 < α < 2, α = 2 et α > 2, tracer l'allure du graphe de la fonction définie sur ]0, 1[ par t ↦ (− logt)^(α − 1).
I-3b) Si α ≥ 1, montrer qu'il existe c_α dans R_+^∗ tel que 0 ≤ (− logt)^(α − 1) ≤ c_α/√t pour tout t dans ]0, 1]. Si α ∈ ]0, 1[, montrer qu'il existe c_α^′ dans R_+^∗ tel que 0 ≤ (− logt)^(α − 1) ≤ c_α^′(1 − t)^(− (1 − α)) pour tout t dans ]0, 1[.
I-3c) Montrer que pour toute fonction f continue par morceaux sur [0, 1], donc bornée (on l'admettra), la fonction définie sur ]0, 1[part ↦ f(t)(− logt)^(α − 1) est intégrable sur ]0, 1[.
On note alors
Λ_α(f) = 1/(Γ(α))∫_0^1 f(t)(− logt)^(α − 1) dt
I-3d) Vérifier que Λ_α est linéaire sur le R-espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur [0, 1].
Calculer Λ_α(m_p) en fonction de α, p.
I-3e) Pour toute fonction f continue par morceaux sur [0, 1], montrer que |Λ_α(f)| ≤ ‖f‖_∞.
I-3f) On définit la fonction J : [0, 1] → R en posant
J(t) = {0, si t ∈ [0, e^(− 1)[,; 1/t, si t ∈ [e^(− 1), 1].
Pour tout réel ε dans ]0, e^(− 1)[, déterminer deux fonctions f_ε et h_ε continues de [0, 1] dans R telles que pour tout t dans [0,1], 0 ≤ f_ε(t) ≤ J(t) ≤ h_ε(t) ≤ e et telles que h_ε(t) = f_ε(t) = J(t) dès que |t − e^(− 1)| > ε. Représenter sur un même graphe f_ε, J et h_ε.
I-3g) On admet que e^(− 1/2) − e^(− 1) > e^(− 1) − e^(− 2). Soient ε dans ]0, e^(− 1) − e^(− 2)[ et t dans [e^(− 1) − ε, e^(− 1) + ε]. Montrer que 1/2 ≤ − logt ≤ 2 puis, pour tout α dans R_+^∗, que (− logt)^(α − 1) ≤ 2^(α + 1). Montrer enfin que
Λ_α(f_ε) ≤ Λ_α(J) ≤ Λ_α(h_ε) ≤ Λ_α(f_ε) + (e2^(α + 2))/(Γ(α))ε.
I-4) Dans ce groupe de questions, on suppose (Eq_2) vérifié et on veut montrer que cela implique (Eq_1).
I-4a) Pour x dans [1, + ∞ [, on pose ψ(x) = ∑_(n ∈ [1, x] ∩ N)Λ(n). Montrer que lim_(x → + ∞)ψ(x)/x = 1.
I-4b) On note log_p le logarithme en base p, défini par log_p t = logt/logp pour tous t dans R_+^∗ et p dans ]1, + ∞[. Soit x dans [1, + ∞[. Pour tout p dans 𝒫, calculer #([0, x] ∩ {p^k; k ∈ N^∗}), i.e. le nombre de puissances d'exposant strictement positif de p qui sont inférieures à x (s'il y en a). En déduire que
ψ(x) = ∑_(p ∈ 𝒫(x))⌊log_p x⌋logp.
Montrer que liminf_(x → + ∞)(x^(− 1)π(x)logx) ≥ 1.
I-4c) Soient β dans ]0, 1[ et x dans [1, + ∞[. Montrer que
(π(x) − x^β)logx ≤ β^(− 1)∑_(p ∈ 𝒫; x^β < p ≤ x)logp ≤ β^(− 1)(ψ(x) − ψ(x^β)) ≤ β^(− 1)ψ(x).
En déduire que lim sup_(x → + ∞)(x^(− 1)π(x)logx) ≤ 1/β.
I − 4d) Montrer que (Eq_2) implique (Eq_1).
I-5) Soit f : R → C une fonction de classe C^2 telle que
lim_(t → + ∞)t^2(|f(t)| + |f^′(t)| + |f^(′′)(t)|) = lim_(t → − ∞)t^2(|f(t)| + |f^′(t)| + |f^(′′)(t)|) = 0.
I-5a) Montrer que f, f^′ et f^(′′) sont intégrables sur R.
I-5b) Soit x un réel. Comparer − 4π^2 x^2 fˆ(x) et (f^(′′))ˆ(x).
I-5c) Montrer que fˆ est intégrable sur R.
I-6) Soit a = (a_n)_(n ∈ N^∗) une suite de nombres complexes. On suppose qu'il existe un réel σ_0 tel que la série de terme général (|a_n|n^(− σ_0))_(n ∈ N^∗) est convergente dans R_+.
I-6a) Montrer que pour tout s dans H_(σ_0), la série de terme général (a_n n^(− s))_(n ∈ N^∗) est convergente.
On note φ_a(s) = ∑_(n = 1)^∞a_n n^(− s) sa somme qui est appelée série de Dirichlet associée à a.
I-6b) Montrer que φ_a est holomorphe sur l'ouvert H_(σ_0).
I-6c) Montrer que lim_(σ → + ∞)φ_a(σ) = a_1.
Soit un entier n_0 ≥ 2. On suppose que a_1 = … = a_(n_0 − 1) = 0. Montrer que lim_(σ → + ∞)n_0^σ φ_a(σ) = a_(n_0).
I-6d) Soit b = (b_n)_(n ∈ N^∗) telle que la série de terme général (|b_n|n^(− σ_0))_(n ∈ N^∗) est convergente dans R_+. On suppose que les séries de Dirichlet φ_a et φ_b coïncident sur un ouvert non vide de H_(σ_0). Montrer que a_n = b_n, pour tout n dans N^∗.
I-7) Une application. Pour k, n dans N^∗, on pose e_n(k) = n^(− 1 − 1/ki) et on pose e(k) = (e_n(k))_(n ∈ N^∗). Le but de ce groupe de questions est de montrer que les suites (e(k))_(k ∈ N^∗) engendrent un espace vectoriel noté V qui est dense dans ℓ_2(N^∗), l'espace des suites de carré sommable.
I-7a) Montrer que pour tout k dans N^∗, e(k) ∈ ℓ_2(N^∗).
I-7b) Montrer que pour tout a = (a_n)_(n ∈ N^∗) dans ℓ_2(N^∗), φ_a est holomorphe sur H_(1/2).
I-7c) Soit a = (a_n)_(n ∈ N^∗) dans ℓ_2(N^∗). On suppose pour tout b = (b_n)_(n ∈ N^∗) dans V que (a, b) = 0.
Montrer que φ_a est identiquement nulle sur H_(1/2) et conclure.
I-8) Montrer que la fonction ζ définie sur ]1, + ∞[ par (Eq_3) se prolonge de manière unique en une fonction, toujours notée ζ, holomorphe sur l'ouvert H_1 et montrer que ζ(s) = ∑_(n = 1)^∞n^(− s) pour tout s dans H_1.
Montrer que les séries de Dirichlet associées aux suites (1_𝒫(n))_(n ∈ N^∗) et (Λ(n))_(n ∈ N^∗) sont bien définies et holomorphes sur H_1. (Indication: on pourra utiliser que Λ(n) ≤ logn.)
On utilisera les notations suivantes.
∀s ∈ H_1, Z(s) = ∑_(n = 1)^∞p_n^(− s) et Φ(s) = ∑_(n = 1)^∞Λ(n)n^(− s).
I-9) Cette question porte sur des propriétés élémentaires de la détermination principale du logarithme.
I-9a) Pour tout z dans C R_−, on note h(z) = exp(logz). Justifier que h est holomorphe sur C∖R_− et montrer que h(z) = z, pour tout z dans C∖R_−. (Indication: considérer d'abord le cas z réel.)
I-9b) Pour z dans C ∖R_−, montrer que Re(logz) = log|z| et que exp(iIm(logz)) = z/|z|.
I − 9c) Soit z dans C∖R_−. Pour tout θ dans ] − π, π[, on pose f(θ) = Im(log(|z|e^(iθ))) − θ. Justifier que f est bien définie et à valeurs dans 2πZ.
En déduire : Im(logz) ∈ ] − π, π[ et logz = log|z| + iarg(z).
I-9d) Trouver deux complexes z_1, z_2 dans C∖R_−tels que :
z_1 z_2 ∈ C∖R_−et log(z_1 z_2) ≠ logz_1 + logz_2.
I-9e) Soit z_0 = 2e^(− iπ/4). Déterminer et représenter sur un dessin l'ensemble
{z ∈ C∖R_− : z_0 z ∈ C∖R_−et log(z_0 z) = logz_0 + logz}.

Partie II

Le but des trois questions suivantes est de montrer que pour toute suite (ℓ_p)_(p ∈ N^∗) à valeurs dans R_+, décroissante et vérifiant pour tous p, q dans N^∗ l'égalité ℓ_(pq) = ℓ_p ℓ_q, on a l'alternative suivante: ℓ_p = 0 pour tout p ≥ 2, ou il existe α ∈ R_+tel que ℓ_p = p^(− α) pour tout p ≥ 1.
II-1) Soit f : R → R une fonction croissante satisfaisant la propriété
∀x, y ∈ R, f(x + y) = f(x) + f(y).
Démontrer qu'il existe un réel α ≥ 0 tel que f(x) = αx, pour tout réel x.
II-2) Soit G un sous-groupe additif de R. On suppose que G est une partie dense dans R. Soit g : G → R une fonction croissante telle que pour tous s, t dans G, on ait g(s + t) = g(s) + g(t).
II-2a) Soit x dans R. On pose J(x) = {g(s); s ∈ G ∩ ]x, + ∞[}. Montrer que J(x) est non vide minoré.
On note f(x) = infJ(x), la borne inférieure de J(x).
II-2b) Montrer que f est croissante et continue à droite.
II-2c) Soient x un réel et t dans G. Montrer que {s ∈ G : s > x + t} = {s^′ + t; s^′ ∈ G ∩ ]x, + ∞[}. Montrer que f(x + t) = f(x) + g(t).
II-2d) En déduire que f satisfait la propriété (Eq_5).
II-2e) Montrer que f prolonge g et qu'il existe α ∈ R_+tel que g(s) = αs pour tout s ∈ G.
II-3) Soit (ℓ_p)_(p ∈ N^∗) une suite à valeurs dans R_+qui n'est pas identiquement nulle. On fait les deux hypothèses suivantes: (ℓ_p)_(p ≥ 1) est décroissante et pour tous p, q dans N^∗, ℓ_(pq) = ℓ_p ℓ_q.
II-3a) Calculer ℓ_1 et montrer que l'on a l'alternative suivante: ℓ_p > 0 pour tout p dans N^∗, ou ℓ_p = 0 pour tout entier p ≥ 2.
Dans les questions suivantes de ce groupe de questions, on suppose que ℓ_p > 0 pour tout p dans N^∗.
II-3b) Montrer qu'il existe une unique fonction h : Q_+^∗ → R_+^∗ telle que h(p) = ℓ_p pour tout p dans N^∗ et telle que : ∀r_1, r_2 ∈ Q_+^∗, h(r_1 r_2) = h(r_1)h(r_2).
II-3c) Montrer que h est décroissante.
II-3d) En utilisant ce qui précède, montrer qu'il existe un réel α ≥ 0 tel que ℓ_p = p^(− α) pour tout entier p ≥ 1. (Indication: on pourra considérer la fonction g telle que g(logs) = − logh(s) pour s ∈ Q_+^∗.)
Dans les questions suivantes de cette partie, (a_n)_(n ∈ N^∗) est une suite à valeurs dans R_+non identiquement nulle et (λ_n)_(n ∈ N^∗) est une suite strictement croissante de réels positifs tendant vers + ∞. On formule l'hypothèse suivante:
  • (H): Pour tout σ dans R_+^∗, la série de terme général (a_n e^(− λ_n σ))_(n ∈ N^∗) converge dans R_+^∗ et sa somme, notée D(σ) = ∑_(n = 1)^∞a_n e^(− λ_n σ), est telle que, pour tout p dans N^∗, D(pσ)/D(σ) a une limite finie notée ℓ_p lorsque σ tend vers 0^+.
II-4) On suppose que (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfont (H).
II-4a) Calculer ℓ_1 et montrer que pour tous p, q dans N^∗, on a ℓ_(pq) = ℓ_p ℓ_q.
II-4b) Montrer l'alternative suivante: ℓ_p = 0 pour tout entier p ≥ 2 ou il existe un réel α ≥ 0 tel que ℓ_p = p^(− α) pour tout p dans N^∗.
Dans la suite, on ne considère que les cas où les ℓ_p sont strictement positifs. Plus précisément, pour tout réel α ≥ 0, on introduit l'hypothèse suivante:
(H_α) : (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfont (H) et lim_(σ → 0^+)D(pσ)/D(σ) = p^(− α), pour tout p dans N^∗.
L'objectif principal de la fin de cette partie est de prouver le résultat suivant: pour tout réel α ≥ 0 et pour toutes suites (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfaisant (H_α), on a
lim_(n → + ∞)1/(D(λ_n^(− 1)))∑_(k = 1)^n a_k = 1/(Γ(α + 1)).
II-5) Soit α un réel ≥ 0. On suppose que les suites (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfont (H_α).
II-5a) Soient f dans B([0, 1], R) et σ dans R_+^∗. Montrer que la série de terme général (a_n f(e^(− λ_n σ))e^(− λ_n σ))_(n ∈ N^∗) est convergente. On note alors
Λ_(α, σ)(f) = 1/(D(σ))∑_(n = 1)^∞a_n f(e^(− λ_n σ))e^(− λ_n σ).
II-5b) Soit σ dans R_+^∗. Montrer que Λ_(α, σ) est une forme linéaire sur B([0, 1], R). Montrer également que pour tout f dans B([0, 1], R), on a |Λ_(α, σ)(f)| ≤ ‖f‖_∞.
II-6) Dans ce groupe de questions, on suppose que α est un réel > 0. On suppose également que les suites (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfont (H_α). On montre (Eq_6) dans ces cas.
II-6a) On rappelle la définition de Λ_α(⋅) de la question I-3c. Montrer que pour toute fonction polynômiale Q à coefficients réels on a lim_(σ → 0^+)Λ_(α, σ)(Q) = Λ_α(Q).
II-6b) Montrer que pour toute fonction f : [0, 1] → R continue, on a lim_(σ → 0^+)Λ_(α, σ)(f) = Λ_α(f). (Indication: on pourra penser au théorème de Weierstrass .)
II-6c) Soit ε dans ]0, e^(− 1) − e^(− 2)[. On rappelle les fonctions J, f_ε et h_ε de la question I-3f. Montrer qu'il existe un réel σ_ε > 0 tel que :
∀σ ∈ ]0, σ_ε], Λ_α(f_ε) − ε ≤ Λ_(α, σ)(J) ≤ Λ_α(h_ε) + ε.
On pose ensuite C_α = 1 + e2^(α + 2)Γ(α)^(− 1). Montrer :
∀σ ∈ ]0, σ_ε], |Λ_(α, σ)(J) − Λ_α(J)| ≤ C_α ε.
II-6d) Montrer que lim_(σ → 0^+)Λ_(α, σ)(J) = Λ_α(J). Conclure quant à (Eq_6).
II-7) Dans ce groupe de questions, on suppose que les suites (a_n)_(n ∈ N^∗) et (λ_n)_(n ∈ N^∗) satisfont (H_0). On montre (Eq_6) dans ces cas.
II-7a) On pose g(t) = (1 − t)^2, pour t dans [0, 1]. Montrer que lim_(σ → 0^+)Λ_(0, σ)(g) = 0.
II-7b) Soit δ dans ]0, 1[. Montrer que, pour tout réel σ > 0, on a : 0 ≤ Λ_(0, σ)(1_([0, 1 − δ])) ≤ δ^(− 2)Λ_(0, σ)(g).
II-7c) Soit f dans B([0, 1], R). Soit δ dans ]0, 1[ et soit σ un réel > 0. Montrer que
|f(1) − Λ_(0, σ)(f)| ≤ max_(t ∈ [1 − δ, 1])|f(1) − f(t)| + 2‖f‖_∞δ^(− 2)Λ_(0, σ)(g).
En déduire que si f est continue à gauche en 1 , on a lim_(σ → 0^+)Λ_(0, σ)(f) = f(1).
II-7d) En déduire (Eq_6) dans le cas où α = 0.

Partie III

III-1) Soit φ : R_+^∗ → C une fonction continue. On note D_φ l'ensemble des réels σ tels que la fonction définie sur R_+^∗ par x ↦ φ(x)x^(σ − 1) est intégrable sur R_+^∗.
III-1a) Montrer que D_φ est un intervalle de R (on rappelle que l'ensemble vide et les singletons sont des intervalles de R).
III-1b) On suppose D_φ non vide. Soit un nombre complexe s tel que Re(s) ∈ D_φ. Montrer que la fonction définie sur R_+^∗ par x ↦ φ(x)x^(s − 1) est intégrable sur R_+^∗. On pose alors
Mφ(s) = ∫_0^(+ ∞)φ(x)x^(s − 1) dx
La fonction Mφ définie ainsi est appelée la transformée de Mellin de φ.
III-1c) On suppose que D_φ contient deux réels σ_0 < σ_1. Montrer que Mφ est holomorphe sur l'ouvert {s ∈ C : σ_0 < Re(s) < σ_1}.
III-1d) Si φ(x) = e^(− x), pour tout x dans R_+^∗, montrer que D_φ = ]0, + ∞ [, puis que Mφ est l'unique fonction holomorphe sur H_0 qui prolonge la fonction Γ (définie en I-1) à H_0.
On continuera dans la suite du sujet de noter Γ ce prolongement holomorphe:
∀s ∈ H_0, Γ(s) = ∫_0^(+ ∞)e^(− x)x^(s − 1) dx
III-1e) Montrer : ∀s ∈ H_0, ∀k ∈ N^∗, Γ(s + k) = (s + k − 1)(s + k − 2)…sΓ(s). (Indication: on pourra éventuellement utiliser I-1.)
III-1f) Pour tout réel y, montrer que √(1 + y^2) ≥ 2^(− 1/2)(1 + |y|). Soit k un entier naturel. Pour tout nombre complexe s tel que Re(s) ≥ 1, montrer que |s + k| ≥ 2^(− 1/2)(1 + |Im(s)|).
III-1g) Soit σ_0 dans ]1, + ∞[; on pose M_(k, σ_0) = 2^(k/2)(1 + Γ(σ_0 + k + 1)). Pour tout nombre complexe s tel que Re(s) ∈ [1, σ_0], montrer que
|Γ(s)| ≤ (M_(k, σ_0))/((1 + |Im(s)|)^k)
III-2) Soit φ : R_+^∗ → C une fonction continue. On suppose que D_φ n'est pas vide. Soit σ un réel. Pour tout v dans R, on pose Φ_σ(v) = φ(e^(− 2πv))e^(− 2πσv).
III-2a) Montrer que Φ_σ est intégrable sur R si et seulement si σ ∈ D_φ.
III-2b) On suppose que σ ∈ D_φ. Montrer que pour tout réel t, on a Mφ(σ + it) = 2πΦˆ_σ(t).
III-2c) On suppose de plus Φˆ_σ intégrable sur R. Montrer pour tout x dans R_+^∗ et tout σ dans D_φ que
φ(x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)Mφ(σ + it)x^(− σ − it) dt,
qui est la formule d'inversion de la transformée de Mellin .
III-2d) Dans cette question, on considère le cas où φ(x) = e^(− x), pour tout x dans R_+^∗. Montrer alors que pour tout σ dans R_+^∗, Φˆ_σ est intégrable sur R. (Indication: on pourra d'abord montrer que Φ_σ^′(v) = 2πΦ_σ(v)(e^(− 2πv) − σ), ensuite poser t = e^(− 2πv) puis utiliser la question I-5.)
III-2e) Montrer que pour tous x, σ dans R_+^∗ on a e^(− x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ(σ + it)x^(− σ − it) dt. En déduire pour tout x dans R_+^∗ et tout σ dans ]1, + ∞[, que
(e^(− x))/x = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)(Γ(σ + it))/(σ − 1 + it)x^(− σ − it) dt
Les questions suivantes forment une partie indépendante dont le but est de calculer la transformée de Fourier au sens des distributions tempérées (dont la définition est rappelée dans la question III-5) de la fonction 2π1_(R_+).
III-3) Soit f : R → C une fonction continue, sauf peut-être en 0 .
On suppose d'une part que ∫_0^1|f(x)|dx + ∫_(− 1)^0|f(x)|dx < + ∞ et d'autre part qu'il existe ( k, C ) dans N × R_+^∗ tels que pour tout réel x tel que |x| ≥ 1 on ait |f(x)| ≤ C(1 + |x|)^k.
Montrer que pour tout φ dans S(R), fφ est intégrable sur R_+^∗ et sur R_−^∗. Puis montrer que la forme linéaire définie sur S(R) par φ ↦ ∫_(− ∞)^0 f(x)φ(x)dx + ∫_0^(+ ∞)f(x)φ(x)dx = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)φ(x)dx est continue.
On note T_f cette distribution tempérée: c'est la distribution représentant f définie par
∀φ ∈ S(R), ⟨T_f|φ⟩ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)φ(x)dx
III-4) Pour tout x dans R^∗, on pose ℓ_0(x) = log|x|, ℓ(x) = log(ix) et sgn(x) = x/|x|.
On pose ℓ_0(0) = ℓ(0) = sgn(0) = 0. Pour tout réel ε > 0, on pose également q_ε(x) = (x − iε)^(− 1).
III-4a) Soit φ dans S(R). Montrer que lim_(ε → 0^+)ε∫_(− 1)^1(x^2 + ε^2)^(− 1)φ(x)dx = πφ(0). (Indication: on pourra calculer d'abord ε∫_(− 1)^1(x^2 + ε^2)^(− 1) dx.)
III-4b) Montrer que ℓ = ℓ_0 + iπ/2sgn et que pour toute fonction f ∈ {ℓ_0, sgn, ℓ, q_ε}, T_f est une distribution tempérée.
III-4c) Soit φ dans S(R). Montrer qu'il existe une unique fonction V_φ continue sur R telle que, pour tout x dans R^∗, V_φ(x) = x^(− 1)(φ(x) − φ(0)). Montrer que la forme linéaire VP sur S(R) donnée par
⟨VP|φ⟩ = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(φ(x))/x1_([1, + ∞[)(|x|)dx + ∫_(− 1)^1 V_φ(x)dx
est bien continue sur S(R).
III-4d) Soient φ dans S(R) et ε dans R_+^∗. Montrer que x ↦ x^(− 1)φ(x)1_([ε, + ∞[)(|x|) est intégrable sur R. Montrer ensuite que
lim_(ε → 0^+)∫_(− ∞)^(+ ∞)(φ(x))/x1_([ε, + ∞[)(|x|)dx = ⟨VP|φ⟩
III-4e) Soient φ dans S(R) et ε dans R_+^∗. Montrer que
∫_(− ∞)^(+ ∞)x^(− 1)φ(x)1_([ε, + ∞[)(|x|)dx = (φ(− ε) − φ(ε))log(ε) − ∫_(− ∞)^(+ ∞)φ^′(x)log(|x|)1_([ε, + ∞[)(|x|)dx.
En déduire que T_(ℓ_0)^′ = VP.
III-4f) Montrer que T_(sgn)^′ = 2δ_0, puis montrer que T_ℓ^′ = VP + iπδ_0.
III-4g) Soient φ dans S(R) et ε dans R_+^∗. Montrer que
⟨T_(q_ε)|φ⟩ = ∫_(− 1)^1 V_φ(x)(x^2)/(x^2 + ε^2) dx + iε∫_(− 1)^1(φ(x))/(x^2 + ε^2) dx + ∫_(− ∞)^(+ ∞)(φ(x))/(x − iε)1_([1, + ∞[)(|x|)dx.
En déduire que lim_(ε → 0^+)T_(q_ε) = VP + iπδ_0.
III-5) Soit T dans S^′(R), une distribution tempérée. On rappelle que la transformée de Fourier est un endomorphisme continu de S(R). Cela garantit que la forme linéaire définie sur S(R) par φ ↦ ⟨T|φˆ⟩ est continue. On note Tˆ cette distribution tempérée; c'est la transformée de Fourier de T.
III-5a) Démontrer que la distribution T_(2π)1_(R_+)associée à 2π1_(R_+)est tempérée.
III-5b) Soit ε un réel > 0. Calculer la transformée de Fourier de la fonction définie sur R par Y_ε : x ↦ 2π1_(R_+)(x)e^(− 2πεx).
III-5c) Pour tout φ dans S(R), montrer que lim_(ε → 0^+)⟨T_(Y_ε)|φ⟩ = ⟨T_(2π1_(R_+))|φ⟩.
III-5d) Montrer que Tˆ_(2π1_(R_+)) = − iT_ℓ^′.

Partie IV

On rappelle ici le théorème fondamental de l'arithmétique: à tout entier n > 0, on associe une unique famille v_p(n) ∈ N, p ∈ 𝒫, telle que d'une part l'ensemble {p ∈ 𝒫 : v_p(n) ≠ 0} soit fini et telle que d'autre part on ait n = ∏_(p ∈ 𝒫)p^(v_p(n)). On appelle le nombre v_p(n) la valuation p-adique de n.
IV-1) Le but du groupe de questions suivant est de montrer par des arguments probabilistes que pour tout σ dans ]1, + ∞[,
ζ(σ) = lim_(n → + ∞)∏_(1 ≤ k ≤ n)(1 − p_k^(− σ))^(− 1)
où l'on rappelle que (p_k)_(k ∈ N^∗) désigne l'indexation strictement croissante des nombres premiers. Pour cela, on fixe σ dans ]1, + ∞[ et on spécifie l'espace de probabilité (Ω, ℱ, P) comme suit: on pose Ω = N^∗, la tribu ℱ est l'ensemble des sous-ensembles de N^∗ et la mesure de probabilité P est caractérisée par
P({n}) = 1/(n^σ ζ(σ)), n ∈ N^∗.
Pour tout q dans N^∗, on note qN^∗ l'ensemble des nombres entiers strictement positifs divisibles par q, c'est-à-dire qN^∗ = {qn; n ∈ N^∗}.
IV-1a) Exprimer P(qN^∗) en fonction de σ et q.
IV-1b) Pour tout n ≥ 1, on pose A_n = p_n N^∗. Montrer que les événements A_n, n ≥ 1, sont mutuellement indépendants.
IV-1c) Conclure.
IV-2) On rappelle que ζ est une fonction de classe C^1 strictement positive sur ]1, + ∞[. Montrer que pour tout σ dans ]1, + ∞[, logζ(σ) = − ∑_(n = 1)^∞log(1 − p_n^(− σ)). Montrer ensuite que pour tout σ dans ]1, + ∞[
− (ζ^′(σ))/(ζ(σ)) = ∑_(n = 1)^∞(logp_n)/(p_n^σ − 1).
IV-3) Soit Φ comme dans (Eq_4). Montrer que Φ(σ) = − ζ^′(σ)/ζ(σ) pour tout réel σ > 1.
IV-4) On rappelle la définition (Eq_4) de la fonction Z.
IV-4a) Pour tout réel x dans [0, 1/2], montrer que 0 ≤ − log(1 − x) − x ≤ x^2.
IV-4b) Pour tout σ dans ]1, + ∞ [, on pose f(σ) = − Z(σ) + logζ(σ). Montrer que f est positive décroissante et majorée sur ]1, + ∞[.
IV-4c) En déduire que lim_(σ → 0^+)Z(1 + σ)/log(σ^(− 1)) = 1.
IV-4d) À l'aide de (Eq_6), en déduire que lim_(n → + ∞)(loglogn)^(− 1)∑_(1 ≤ k ≤ n)k^(− 1)1_𝒫(k) = 1.

Partie V

V-1) On rappelle le résultat de la question I-8: la fonction ζ, définie par (Eq_3), se prolonge en une fonction holomorphe sur H_1. Le but de ce groupe de questions est de montrer qu'il existe une fonction L holomorphe sur l'ouvert H_1 telle que expL(s) = ζ(s) pour tout s dans H_1.
V-1a) Soit Z comme en (Eq_4). Soit s dans H_1. Montrer que ∑_(k = 1)^∞k^(− 1)|Z(ks)| ≤ logζ(Re(s)) à l'aide de la partie IV. On pose alors
∀s ∈ H_1, L(s) = ∑_(k = 1)^∞k^(− 1)Z(ks) = ∑_(k = 1)^∞∑_(n = 1)^∞1/(kp_n^(ks)).
V-1b) Montrer que L est holomorphe sur l'ouvert H_1.
V-1c) Montrer que expL(s) = ζ(s) pour tout s dans H_1. (Indication: calculer d'abord expL(σ) pour σ dans ] 1, + ∞[ à l'aide de la partie IV.)
V-1d) En déduire que ζ ne s'annule pas sur l'ouvert H_1.
V-1e) Soit Φ comme en (Eq_4). Montrer que Φ(s) = − ζ^′(s)/ζ(s), pour tout s dans H_1.
V-2) Le but de ce groupe de questions est de prolonger ζ en une fonction holomorphe sur H_0∖{1}. Pour cela, on introduit v_n(s) = ∫_n^(n + 1)(n^(− s) − x^(− s))dx pour n dans N^∗ et s dans C.
V-2a) Soit s dans H_1. Montrer que la série de terme général (v_n(s))_(n ∈ N^∗) est convergente et montrer que ∑_(n = 1)^∞v_n(s) = ζ(s) − 1/(s − 1).
V-2b) Soient s dans H_0 et n dans N^∗. Montrer que v_n(s) = s∫_n^(n + 1)(⌈x⌉ − x)x^(− 1 − s) dx. Montrer que la fonction définie sur [1, + ∞[ par x ↦ (⌈x⌉ − x)x^(− 1 − s) est intégrable sur [1, + ∞[, puis que
∀s ∈ H_1, ζ(s) = 1/(s − 1) + s∫_1^(+ ∞)(⌈x⌉ − x)x^(− 1 − s) dx
V-2c) Montrer que ζ se prolonge en une fonction méromorphe sur l'ouvert H_0 avec un unique pôle simple en s = 1. On notera encore ζ ce prolongement.
V-3) Dans ce groupe de questions, on montre que ζ(1 + it) ≠ 0 pour tout t dans R^∗.
V-3a) Pour tout réel θ, on pose q(θ) = 5 + 8cos(θ) + 4cos(2θ) + cos(3θ). Exprimer q(θ) comme un polynôme en cos(θ). En déduire que q est une fonction positive.
V-3b) Soient σ dans ]1, + ∞[ et t dans R. Montrer que
ζ(σ)^5|ζ(σ + it)|^8|ζ(σ + 2it)|^4|ζ(σ + 3it)| = exp(∑_(k = 1)^∞∑_(n = 1)^∞(q(ktlogp_n))/(kp_n^(kσ))).
En déduire que ζ(σ)^5|ζ(σ + it)|^8|ζ(σ + 2it)|^4|ζ(σ + 3it)| ≥ 1.
V-3c) Supposons qu'il existe un réel non nul t_0 tel que ζ(1 + it_0) = 0.
Montrer que lim_(σ → 1^+)ζ(σ)ζ(σ + it_0) = ζ^′(1 + it_0). En déduire une contradiction et conclure.
V-4) Soient σ dans [1, + ∞[ et un réel t tel que |t| ≥ 1.
V-4a) À l'aide de (Eq_(10)), démontrer que |ζ(σ + it)| ≤ |t| + 2 ≤ 3|t|.
V-4b) Montrer de même que |ζ^′(σ + it)| ≤ 4|t|.
V-5) Dans les questions suivantes, on montre l'existence d'un réel M > 0 tel que
∀σ ∈ [1, 2], ∀t ∈ R tel que |t| ≥ 1, |ζ(σ + it)|^(− 1) ≤ M|t|^(11/2).
Dans ce qui suit, t est un réel fixé tel que |t| ≥ 1.
V-5a) Montrer que pour tout réel σ dans [1, + ∞[, on a
1/(ζ(σ + it)) = 1/(ζ(σ + 1 + it)) + ∫_σ^(σ + 1)(ζ^′(x + it))/(ζ^2(x + it))dx.
V-5b) Soit σ dans [1, + ∞[. Montrer que 0 ≤ ζ(σ + 1) − 1 − 2^(− 1 − σ) ≤ σ^(− 1)2^(− σ), par comparaison série-intégrale. En déduire que |ζ(σ + 1 + it)|^(− 1) ≤ 4.
V-5c) En utilisant V-3b et les questions précédentes, montrer |ζ(x + it)|^(− 2) ≤ 2.3^(11/4)|t|^(5/4)(x − 1)^(− 5/4) pour tout réel x dans ]1, 3].
V-5d) Pour tout σ dans ]1, 2], montrer que
|ζ(σ + it)|^(− 1) ≤ 4 + 2^5 3^(11/4)|t|^(9/4)((σ − 1)^(− 1/4) − σ^(− 1/4)) ≤ 2^6 3^(11/4)|t|^(9/4)(σ − 1)^(− 1/4).
V-5e) Conclure en réemployant cette inégalité.
V-6) Montrer que Φ se prolonge continûment à l'ensemble fermé {s ∈ C : Re(s) ≥ 1 et |Im(s)| ≥ 1}. Montrer ensuite que pour tout σ dans [1,2] et tout réel t tel que |t| ≥ 1 on a |Φ(σ + it)| ≤ 4M|t|^(13/2), où le réel M est celui introduit à la question V-5.

Partie VI

Dans cette section on complète la démonstration de (Eq_1).
VI-1) Soit x dans R_+^∗. Montrer que la série de terme général (e^(− nx)Λ(n))_(n ∈ N^∗) converge dans R_+. Montrer que la fonction définie sur R_+^∗ par x ↦ ∑_(n = 1)^∞e^(− nx)Λ(n) est continue. On note désormais, pour tout x dans R_+^∗, φ(x) = ∑_(n = 1)^∞e^(− nx)Λ(n).
VI-2) On rappelle la définition (Eq_7) de la transformée de Mellin de φ. Montrer que Mφ est bien définie et holomorphe sur l'ouvert H_1. Calculer explicitement Mφ sur H_1.
VI-3) Soit σ dans ]1, 2]. Montrer que la fonction t ∈ R ↦ Mφ(σ + it) est intégrable sur R. (Indication: on pourra utiliser les questions III-1g et V-6.)
VI-4) Déduire des questions précédentes que pour tout x dans R_+^∗ et tout σ dans ]1, 2 ], on a
∑_(n = 1)^∞Λ(n)e^(− nx) = − 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ(σ + it)(ζ^′(σ + it))/(ζ(σ + it))x^(− (σ + it))dt
VI-5) Pour tout s dans H_1, on pose h(s) = (ζ^′(s))/(ζ(s)) + 1/(s − 1).
VI-5a) Démontrer que h se prolonge continûment à {s ∈ C : Re(s) ≥ 1}. (Indication: on pourra utiliser le prolongement de la fonction s ↦ ζ(s) − (s − 1)^(− 1) à H_0 de la question V-2.)
VI-5b) Montrer l'existence d'un réel K_1 > 0 tel que |h(σ + it)| ≤ K_1(1 + |t|^(13/2)), pour tout σ dans [1, 2] et tout réel t.
VI-5c) Montrer l'existence d'un réel K_2 > 0 tel que |Γ(σ + it)h(σ + it)| ≤ K_2(1 + |t|)^(− 3/2) pour tout σ dans [1,2] et tout réel t. Pour tout x dans R_+^∗ et tout σ dans [1,2], en déduire que la fonction définie sur R par t∈↦Γ(σ + it)h(σ + it)x^(− (σ + it)) est intégrable sur R.
VI-5d) Pour tout x dans R_+^∗, on pose I(x) = x^(− 1)e^(− x) − ∑_(n = 1)^∞Λ(n)e^(− nx). Soit σ dans ]1, 2]. Montrer que
I(x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ(σ + it)h(σ + it)x^(− (σ + it))dt
VI-5e) Soit x dans R_+^∗. Montrer que xI(x) = 1/(2π)∫_(− ∞)^(+ ∞)Γ(1 + it)h(1 + it)e^(− itlogx) dt.
VI-6) Montrer que lim_(x → 0^+)xI(x) = 0.
VI-7) En utilisant (Eq_6), montrer (Eq_2) puis (Eq_1).

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Concours E|A|E
Section/option 1/3/0/0/A
Epreuve 1|0|2
Matière 26178

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2022 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2022 ?

Elle porte sur les fonctions Gamma et zêta, les séries de Dirichlet, les théorèmes taubériens, la transformée de Mellin et des éléments de probabilités, dans le cadre d'une démonstration du théorème des nombres premiers.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'agrégation d'analyse et probabilités 2022 ?

Une dérivation terme à terme abusive d'une série, la croyance qu'une fonction continue est nécessairement intégrable, l'idée fausse qu'une fonction intégrable tend vers 0 en l'infini, et l'oubli des hypothèses du principe des zéros isolés.

L'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation 2022 est-elle faisable en entier ?

Non, le rapport indique que moins de 5% des copies ont traité les questions au-delà de la partie IV, le sujet étant volontairement très long et progressif.

Pas de description pour le moment