Épreuve disciplinaire appliquée : fractions et géométrie repérée
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L'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES mathématiques s'appuie sur un dossier de ressources (textes officiels, extraits de manuels, productions d'élèves) portant sur deux thématiques : les fractions et la géométrie repérée. Les candidats doivent analyser des productions d'élèves, proposer des éléments de séquence d'enseignement, rédiger des corrections d'exercices et exploiter des ressources institutionnelles.
1Partie 1 : fractionscollègeAnalyse d'erreur d'élève, éléments d'une séquence pédagogique sur la droite graduée et le produit de fractions, exercice à prise d'initiative.
2Partie 2 : géométrie repéréelycéeÉléments d'une séquence d'enseignement, démonstration sur la colinéarité par le déterminant, analyse de ressources et de productions d'élèves.
Difficulté moyenne. La moyenne de la seconde épreuve écrite est de 10,99/20 avec un écart-type de 3,40, supérieure à celle de la première épreuve disciplinaire (8,55/20).
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevées
Illustration du produit de fractions confondue avec la fraction d'une fraction · Vocabulaire imprécis sur la colinéarité · Confusion entre le théorème de Thalès et sa réciproque
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Le jury a apprécié la pertinence de la réflexion didactique de nombreux candidats bien préparés, mais relève trop de fragilités sur les connaissances disciplinaires, notamment sur les notions et démonstrations du lycée. La qualité de la rédaction reste inégale, certaines copies manquant de concision et de maîtrise de la langue française.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Illustration du produit de fractions confondue avec la fraction d'une fractionPartie 1, section II
Des schémas ont été proposés pour illustrer le produit de deux fractions, mais ils illustraient, dans une grande majorité de copies, la fraction d'une fraction.
« ils illustraient, dans une grande majorité de copies, la fraction d’une fraction. »
2
Vocabulaire imprécis sur la colinéaritéPartie 2, section IV
Peu de candidats évoquent des vecteurs colinéaires, employant à la place des expressions incorrectes comme vecteurs parallèles ou vecteurs proportionnels.
« peu de candidats évoquent des vecteurs
colinéaires mais écrivent « vecteurs parallèles » ou « vecteurs proportionnels ». »
3
Confusion entre le théorème de Thalès et sa réciproquePartie 2, section VI
Les copies ont révélé, chez certains candidats, une confusion entre le théorème de Thalès et sa réciproque dans les corrections proposées.
« confusion entre le théorème de Thalès et sa réciproque. »
4
Notion d'annotation mal comprisePartie 2, section VI
Le mot annotation n'est pas toujours compris : il était attendu que le candidat précise explicitement où il écrit son annotation sur la copie de l'élève.
« Le mot annotation n’est pas toujours compris. »
Ce qui a été bien réussi
Les candidats qui ont su s'appuyer sur les textes institutionnels proposés dans le dossier ont rédigé des réponses pertinentes aux premières questions de la partie géométrie.
La première question de l'exercice à prise d'initiative, appelant à modifier l'énoncé, est globalement bien réussie.
Conseils du jury
S'appuyer pleinement sur les ressources et textes institutionnels fournis dans le dossier documentaire.
Employer un vocabulaire mathématique rigoureux et spécifique (colinéaire plutôt que parallèle ou proportionnel pour des vecteurs).
Rédiger des réponses sous forme de phrases courtes et bien construites plutôt que des développements longs et peu concis.
Prendre en compte la diversité des procédures possibles des élèves plutôt que de s'appuyer sur une démarche unique.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2022.
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Concours externe - Troisième concours CAPES / CAPES-CAFEP
Section : MATHÉMATIQUES
Deuxième épreuve écrite disciplinaire appliquée
Durée : 5 heures
L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie et poursuivre l'épreuve.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
-Concours externe du CAPES de l'enseignement public
-Section MATHEMATIQUES - EXTERNE - public
Concours E/BIE
Section/option 1/3/O/O/E
Epreuve 1|0|2
Matière 9/3/1/2
-Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé
-Section MATHEMATIQUES - EXTERNE - privé
Concours E|B|F
Section/option 1/3/0/01E
Epreuve 1|0|2
Matière 9/3/1/2
Le sujet est composé :
-des questions posées au candidat (pages 1 à 3) ;
-du dossier sur lequel portent ces questions (pages 4 à 9).
La formulation des questions permet d'identifier la forme attendue de la réponse : annotation de copie, énonce d'exercice, corrigé d'exercice, démonstration, etc. Lorsqu'une analyse ou un argumentaire est demandé, la réponse doit être précise et concise.
Partie 1 : fractions
Les questions sur ce thème se rapportent à la partie 1 du dossier (pages 4 et 5).
I- Analyse d'erreurs
1.Élève 1 : indiquer l'annotation que l'on pourrait inscrire sur sa copie pour l'aider à prendre conscience de son erreur.
2.Élève 2 : comment est-il arrivé à ce résultat ? Comment l'amener à critiquer son résultat pour instiller un doute ?
3.Dans un QCM, les réponses fausses proposées, appelées distracteurs, correspondent en général à des erreurs courantes. Préciser l'origine possible des distracteurs de l'exercice 1.
II - Éléments d'une séquence d'enseignement
1.À partir de la droite graduée de l'exercice 2, proposer quatre questions à l'attention des élèves permettant d'évaluer la mobilisation des compétences suivantes du programme :
-utiliser diverses représentations d'un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, repérage sur une droite graduée) ;
-passer d'une représentation d'un nombre à une autre.
2.Lorsqu'on introduit la multiplication des entiers à l'école primaire, il est courant de prendre appui sur des schémas. En se plaçant dans un cas simple, proposer de même une figure permettant d'expliquer l'origine de la propriété qui donne le produit de deux fractions.
3.En s'appuyant sur la définition du quotient a/b donnée dans le dossier, établir l'égalité suivante, vraie pour tous les nombres a, b, c et d avec b et d non nuls. a/b × c/d = (ac)/(bd)
On veillera à justifier chacune des étapes de la démonstration.
4.Dans le document ressource il est indiqué que la définition du quotient a/b comme étant le nombre dont le produit par b vaut a n'est pas d'accès facile. Préciser la nature des difficultés que pourrait susciter cette définition chez des élèves et proposer brièvement une façon de la rendre accessible.
5.L'extrait d'ouvrage historique (la Disme) est un document parfois utilisé pour passer de l'écriture d'une fraction comme somme de fractions décimales à son écriture à virgule.
5.1.Comment définir le sens des mots primes et quartes dans l'extrait ?
5.2.Comment expliquer à des élèves que 7 (1)12 ② et 8 ⑫ ② « valent autant » ?
5.3.L'écriture « 5 (8) 7 ② » risque de constituer un obstacle pour les élèves lors du passage à l'écriture à virgule. Expliciter cet obstacle et proposer une autre écriture susceptible de l'éviter.
5.4.Donner deux arguments en faveur de l'exploitation de ce document historique avec une classe de collège.
III - Exercice à prise d'initiative
1.Dans la formulation de l'exercice 3, le mot « moins » apparaît avec deux sens différents. Proposer une modification de l'énoncé pour éviter le risque de confusion.
2.Résoudre l'exercice 3.
3.Un enseignant choisit de faire travailler les élèves par groupes de quatre sur cet exercice. Proposer deux modalités d'animation qu'il peut mettre en place pour que chaque élève s'engage dans cette recherche et bénéficie du travail en groupe.
4.Proposer deux critères permettant d'apprécier la réussite partielle d'un élève dans la résolution de cet exercice.
Partie 2 : géométrie repérée
Les questions sur ce thème se rapportent à la partie 2 du dossier (pages 6 à 9).
IV - Éléments d'une séquence d'enseignement
1.Après avoir défini la colinéarité de deux vecteurs, un enseignant propose les questions flash de l'exercice 4. Préciser pour chaque question de cet exercice les objectifs visés.
2.La définition du déterminant proposée dans le manuel nécessite-t-elle de se placer dans un repère orthonormé ? Justifier la réponse.
3.
3.1.Rédiger une démonstration de la propriété « deux vecteurs du plan sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul ».
3.2.Parmi les raisonnements suivants, identifier ceux qui sont utilisés dans la réponse à la question 3.1, en précisant à quel endroit de la démonstration ils interviennent : raisonnement par l'absurde, disjonction de cas, double implication, équivalence, raisonnement par contre-exemple.
4.En utilisant le déterminant de deux vecteurs, établir la forme générale d'une équation de droite comme cela pourrait être présenté devant une classe de seconde.
V - Analyse de ressources
1.Quelle est la notion commune mobilisée dans les trois exercices 5, 6 et 7 ?
Comment qualifier chacun de ces exercices par rapport aux types de tâches mentionnés dans le préambule du programme de seconde ?
2.
2.1.En quoi les exercices 8 et 9 peuvent-ils permettre aux élèves de comprendre l'utilité d'une démonstration mathématique ?
2.2.Proposer, en justifiant ce choix, une autre situation qui réponde à cet objectif.
2.3.Rédiger, à l'attention d'une classe de seconde, une correction de l'exercice 8 qui mobilise l'outil vectoriel.
3.Un enseignant envisage de proposer l'exercice 9 à une classe de terminale.
En anticipant sur les initiatives à prendre et sur ce qui pourrait faire obstacle à sa résolution, proposer deux « coups de pouce » susceptibles d'aider des élèves qui en ont besoin.
VI - Analyse des productions d'élèves
1.
1.1Analyser les productions des groupes d'élèves pour l'exercice 10, au regard de la compétence raisonner.
1.2Quelles annotations pourraient figurer sur ces productions entre deux séances de travail, pour développer chez ces élèves la compétence raisonner ?
2.Proposer deux corrections différentes de l'exercice 10 telles qu'elles pourraient figurer dans un cahier d'élève de seconde. L'une des deux devra s'appuyer sur la production du groupe 1 et l'autre sur celle du groupe 2.
Dossier : partie 1
Document ressource
Extrait du document ressource du cycle 4 « Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les fractions » (MENJS, Eduscol, mars 2016)
Au cycle 4, on s'intéresse au quotient a/b de deux nombres a et b, b ≠ 0, quelconques, défini comme le nombre dont le produit par b vaut a. Le professeur prendra conscience que cette définition n'est pas d'accès facile, et pourra proposer aux élèves de chercher comment la reformuler.
La « vision-partage » de la fraction continue à être mobilisée. Le terme « vision-partage » est à comprendre au sens où, par exemple, la fraction 7/4 évoque ce qui est obtenu en partageant l'unité en 4 parts égales et en reportant 7 de ces parts, ce qui correspond d'ailleurs à la lecture sept quarts ( 7/4 c'est 7 fois le quart de l'unité).
(...)
Progressivement, l'élève est amené à mobiliser la « vision-nombre » de la fraction pour résoudre des problèmes (...). Le terme « vision-nombre » est donc à comprendre au sens où, par exemple, le quotient 7/4 est le nombre dont le produit par 4 vaut 7 .
Productions d'élèves
Énoncé
Quel dessin ferais-tu pour expliquer ce qu'est 1/3 ?
Production de l'élève 1
Énoncé
Calculer 1/2 + 2/5
Production de l'élève 2 1/2 + 2/5 = 3/7
Exercice 1 (QCM)
1/4 peut aussi s'écrire :
□0,4
□1,25
□1,4
□0,25
Exercice 2 (énoncé incomplet)
Extrait d'ouvrage historique
En 1585, le hollandais Simon Stévin publie La Theinde, traduit en français sous le titre La Disme. Le succès de cet écrit à travers toute l'Europe conduira à l'utilisation de l'écriture à virgule.
Comme 3 ① 7 ② 5 ③9 ④, c'est à dire 3 Primes 7 Secondes 5 Tierces 9 Quartes et ainsi se pourrait procéder en infini. Mais pour dire de leur valeur, il est notoire que selon cette définition les dits nombres font 3/(10)7/(100)5/(1000)9/(10000), ensemble (3759)/(10000). Semblablement 8 (0) 9 (1)3 (2) 9 (3), valent 89/(10)3/(100)9/(1000), et ensemble 8(939)/(1000) et ainsi d'autres semblables. Il faut aussi savoir que nous n'usons en la DISME d'aucun nombres rompus, aussi que le nombre de multitudes des signes, excepté (0), n'excède jamais le 9. Par exemple, nous n'écrivons pas 7 (1)12 (2) mais en leur lieu 8 (1)2 (2), car ils valent autant.
Exercice 3
D'après le document ressource du cycle 4, Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes : les fractions (MENJS, Eduscol, mars 2016)
Les 2/5 d'un groupe de personnes ont au moins 50 ans et 1/3 a moins de 20 ans.
Est-il possible que l'âge moyen de ce groupe soit de 40 ans ?
Dossier : partie 2
Programme
Extrait du programme de mathématiques de seconde générale et technologique (arrêté du 17 janvier 2019, MENE1901631A)
Diversité de l'activité de l'élève
La mise en œuvre du programme doit permettre aux élèves d'acquérir des connaissances, des méthodes et des démarches spécifiques.
La diversité des activités concerne aussi bien les contextes (internes aux mathématiques ou liés à des situations issues de la vie quotidienne ou d'autres disciplines) que les types de tâches proposées : « questions flash » pour favoriser l'acquisition d'automatismes, exercices d'application et d'entraînement pour stabiliser et consolider les connaissances, exercices et problèmes favorisant les prises d'initiatives, mises au point collectives d'une solution, productions d'écrits individuels ou collectifs, etc.
Document ressource
Extrait du document ressource « Les compétences mathématiques au lycée » (MENJS, Eduscol, novembre 2013)
Raisonner
Utiliser les notions de la logique élémentaire (conditions nécessaires ou suffisantes, équivalences, connecteurs) pour bâtir un raisonnement.
Différencier le statut des énoncés mis en jeu : définition, propriété, théorème démontré, théorème admis...
Utiliser différents types de raisonnement (par analyse et synthèse, par équivalence, par disjonction de cas, par l'absurde, par contraposée, par récurrence...).
Effectuer des inférences (inductives, déductives) pour obtenir de nouveaux résultats, conduire une démonstration, confirmer ou infirmer une conjecture, prendre une décision.
Document ressource
Extrait de « La République à l'école » (MENJS, septembre 2021)
L'activité de l'élève dans la classe de mathématiques
Délivrer un savoir achevé et parfait ne suffit pas. Il s'agit que les élèves soient mis en activité de recherche, dans le cadre de la résolution des problèmes. C'est l'occasion pour eux d'explorer toute la richesse de la démarche mathématique : comprendre la question, la reformuler, se l'approprier ; émettre des hypothèses, faire des conjectures ; essayer, tâtonner ; définir des pistes de recherche ; accepter de se tromper ; échanger avec autrui, développer des arguments, écouter ceux des autres ; coopérer pour surmonter une difficulté ; constater qu'un problème peut admettre plusieurs solutions, qu'il peut y avoir plusieurs façons de démontrer un résultat. L'élève se convainc que vérifier une propriété sur quelques cas ne permet pas d'affirmer qu'elle est vraie dans tous les cas ; qu'une conjecture ayant toute l'apparence de la vérité peut s'avérer fausse ; ou qu'un résultat étonnant devient incontestable, car démontré.
Extraits d'un manuel
Math'x 2^(de), édition Didier
Définition
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel.
Propriété et définition
Soit deux vecteurs u⃗(x/y) et v⃗((x^′)/(y^′)) dans une base du plan.
-Le nombre xy^′ − x^′ y est appelé déterminant des vecteurs u⃗ et v⃗ et noté det(u⃗, v⃗).
-u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
Propriété et définition (équation cartésienne)
Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0).
Un point appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite d.
Énoncés d'exercices
Exercice 4 (questions flash)
D'après le manuel Hyperbole seconde, édition Nathan et le document ressource « Raisonnement et démonstration 2^(DE) » (MENJS, Eduscol, août 2019)
Qui a raison ?
Question 2 : Les vecteurs u⃗((− 1)/2) et v⃗(3/(− 6)) sont-ils colinéaires ?
Question 3 : Les vecteurs u⃗(8/(13)) et v⃗((13)/(21)) sont-ils colinéaires ?
Dans les trois exercices suivants, le plan est muni d'un repère ( O, ı⃗, ȷ⃗ ).
Exercice 5
Extrait du manuel Maths 2^(de) Magnard
68 1. Calculer les déterminants des vecteurs suivants.
2. Dire s'ils sont colinéaires.
3. S'ils sont colinéaires, trouver un coefficient de colinéarité.
a) u⃗((− 2)/3) et v⃗(3/(− 4, 5))
b) s⃗(7/(− 2)) et t⃗((14)/4)
c) u⃗((− 2)/3) et r⃗(3/(4, 5))
d) v⃗(3/(− 4, 5)) et w⃗((− 8)/(12))
e) s⃗(7/(− 2)) et m⃗(1/(− 3/7))
f) m⃗(1/(− 3/7)) et t⃗((14)/4)
Exercice 6
Extrait du manuel Maths 2^(de) Magnard
72 Dans chaque cas, dire si le point C appartient à la droite (AB).
a)A(2; 3), B(2; − 1) et C(2; 7)
b)A(1 ; 4), B(-5 ; -4) et C(4 ; 8)
c)A(-3 ; 0), B(2 ; 3) et C(4 ; 4)
Exercice 7
Extrait du manuel Maths 2^(de) Magnard
104 Coordonnée inconnue
On donne les points A(6 ; 3), B(-3 ; 0), C(5 ; 4) et D(-1 ; 1).
1.Montrer que les droites (OA) et (BC) sont parallèles.
2.Les points B, C et D sont-ils alignés ?
3.Déterminer y pour que le point M(25; y) appartienne à la droite (AB).
Exercice 8 : le paradoxe de Lewis Caroll
En découpant le carré de la figure 1 et en repositionnant les morceaux on obtient la figure 2. Comparer les aires de ces deux figures. Que constate-ton ? Comment justifier ce constat ?
Exercice 9 : les aiguilles
Extrait du manuel Déclic édition Hachette
Un cube d'arête 8 cm est traversé par deux aiguilles suivant les droites (II^′) et (JJ^′). I et J sont situés sur la face EFGH. I est à 1 cm de (EH) et (EF). J est à 4 cm de (HG) et (FG). J^′ est un point de la face ABFE situé à 1 cm de (AB) et à 4 cm de (BF).I^′ est un point de la face BCGF situé à 1 cm de (BC) et à 5 cm de (CG).
Les deux aiguilles se touchent-elles ?
Exercice 10
ABCD est un carré. On place un point M à l'intérieur du carré.
La droite parallèle à (AB) passant par M, coupe [AD] en E et [BC] en F.
La droite parallèle à (AD) passant par M coupe [AB] en G et [CD] en H.
Où se situent les points M pour que les droites (EH) et (FG) soient parallèles ?
Productions de groupes d'élèves (exercice 10)
Groupe 1
D'après le théorème de Thalès (EH)//(FG) soit (EM)/(MF) = (HM)/(MG) = (EH)/(GF) donc EM × MG = MF × HM EM × MG → aire du rectangle EMGA MF × HM → aire du rectangle HCFM
(EH)//(FG) si l'aire de EMGA = l'aire de HCFM
Si M ∈ (DB) alors EMGA est le symétrique de HCFM par rapport à (DB).
Donc si M ∈ (DB) alors (EH)//(FG).
Groupe 2
On veut démontrer que les vecteurs EH^(→−) et GF^(→−) sont colinéaires pour cela il faudra mettre en place un repère orthonormé pour déterminer les coordonnées des vecteurs ensuite il faudra faire un produit en croix.
On suppose que le point M devra appartenir à la diagonale DB pour que les segments [EH] et [GF] soient parallèles. E(0; y)G(x; 0)H(x; 1)F(1; y)
Sur quels chapitres porte l'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES mathématiques 2022 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES mathématiques 2022 ?
+
Le sujet porte sur les fractions (numération, produit de fractions) et la géométrie repérée (vecteurs, colinéarité, déterminant), avec des questions d'analyse didactique et de production de séquences pédagogiques.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES maths 2022 ?
+
Le jury relève une confusion entre la fraction d'une fraction et le produit de fractions, un vocabulaire imprécis sur la colinéarité des vecteurs, une confusion entre le théorème de Thalès et sa réciproque, et une mauvaise compréhension de la notion d'annotation.
L'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES mathématiques 2022 est-elle difficile ?
+
La moyenne est de 10,99/20 avec un écart-type de 3,40, un résultat supérieur à celui de la première épreuve disciplinaire, mais le jury signale des fragilités disciplinaires fréquentes.
L'épreuve disciplinaire appliquée du CAPES maths 2022 demande-t-elle de connaître les textes officiels ?
+
Oui, le sujet s'appuie sur un dossier de ressources variées incluant des extraits de textes officiels, et les candidats qui savent les exploiter rédigent des réponses plus pertinentes.
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