Agrégation mathématiques externe 2025, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la seconde épreuve écrite de la session 2025

Pas encore noté

Opérateurs bornés sur les espaces de Hilbert (adjoint, norme, spectre)
Compacité d'opérateurs et théorème d'Ascoli
Fonctions Gamma et Bêta, intégrales à paramètre
Semi-groupes d'opérateurs
Opérateurs de Hilbert-Schmidt et opérateurs nucléaires

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Présentation du sujet

Difficile

Opérateur d'intégration, fonctions Gamma et Bêta, semi-groupe de Riemann-Liouville et opérateurs de Hilbert-Schmidt

Le problème étudie l'opérateur d'intégration (opérateur de Volterra) et ses itérés, d'abord sur l'espace des fonctions continues puis sur l'espace des fonctions de carré intégrable sur [0,1]. Il aborde ensuite un semi-groupe d'opérateurs construit à partir de cet opérateur, le semi-groupe de Riemann-Liouville, et caractérise l'appartenance de ces opérateurs aux classes Hilbert-Schmidt puis nucléaire.

1Partie I : préliminairesTraiter des résultats variés et indépendants (calcul d'intégrale, équation différentielle d'ordre 2, théorème fondamental de l'analyse, adjoint et norme d'un opérateur diagonal) utilisés à partir de la partie III.
2Partie II : fonctions Gamma et BêtaIntroduire les fonctions Gamma et Bêta et calculer un équivalent d'un coefficient de Fourier par des techniques d'analyse complexe.
3Partie III : l'opérateur d'intégration sur C([0,1])Montrer que le spectre ponctuel de l'opérateur est vide et qu'il est compact à l'aide du théorème d'Ascoli.
4Partie IV : l'opérateur d'intégration sur L2(0,1)Calculer l'adjoint de l'opérateur, les valeurs propres d'une base hilbertienne associée et sa norme.
5Partie V : un semi-groupe d'opérateursIntroduire le semi-groupe de Riemann-Liouville et montrer qu'il est fortement continu et constitué d'opérateurs compacts.
6Partie VI : opérateurs de Hilbert-SchmidtCaractériser à quelle condition sur s les opérateurs du semi-groupe sont Hilbert-Schmidt, puis nucléaires.

Difficile. Le rapport note une grande disparité de qualité entre les copies et indique que les deux dernières parties (semi-groupe et opérateurs de Hilbert-Schmidt) n'ont été abordées que par une petite proportion, voire une extrême minorité, des candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Norme d'un opérateur diagonal mal maîtrisée · Preuve du théorème fondamental de l'analyse bâclée · Manipulation imprudente du logarithme complexe

Le jury souligne que la variété du sujet a permis à la plupart des candidats de s'exprimer et d'aborder une proportion significative du problème, mais relève une grande disparité dans la qualité de la rédaction et de l'orthographe. Plusieurs résultats classiques attendus, comme le théorème fondamental de l'analyse ou la norme d'un opérateur diagonal, ont posé des difficultés inattendues, et les parties finales sur le semi-groupe et les opérateurs de Hilbert-Schmidt n'ont été traitées que par très peu de candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Norme d'un opérateur diagonal mal maîtriséePartie I, question sur la norme d'un opérateur diagonal
Expliciter la norme d'une somme de vecteurs orthogonaux n'était pas compris par une large majorité de candidats, qui confondaient les normes en somme l1 et en somme l2.
« a mis en grande difficulté une large majorité de candidats. »
2
Preuve du théorème fondamental de l'analyse bâcléePartie I
La réponse au résultat lui-même était le plus souvent correcte, mais sa démonstration était le plus souvent ignorée, fausse ou mal rédigée.
« pose des difficultés à une majorité de candidats »
3
Manipulation imprudente du logarithme complexePartie II, question 3.c
Le logarithme complexe est manipulé sans aucune précaution, notamment sur le logarithme d'un produit, et les hypothèses de la formule de Cauchy ne sont pas mentionnées.
4
Parties finales quasiment désertéesParties V et VI
Le début de la partie sur le semi-groupe n'a été abordé que par une petite proportion de candidats avec une réussite inégale, et la partie sur les opérateurs de Hilbert-Schmidt n'a été que très peu traitée.
« Cette dernière partie a été significativement abordée par extrêmement peu de candidats. »
5
Confusions entre les objets de l'énoncé
Le jury encourage les candidats à lire attentivement l'énoncé pour éviter les confusions entre les différents opérateurs notés dans le sujet.

Ce qui a été bien réussi

La question 1 de la partie II (surtout les sous-questions a, b, c) a été en général plutôt bien traitée du point de vue calcul.
L'adjoint d'un opérateur sur un espace de Hilbert a en général été plutôt bien traité en partie I.
Très majoritairement, les candidats ont répondu correctement au théorème fondamental de l'analyse, même si sa preuve a posé des difficultés.

Conseils du jury

Lire attentivement l'énoncé pour éviter les confusions entre les différents objets définis dans le sujet.
Soigner particulièrement la rédaction en début de sujet, le jury y étant particulièrement attentif.
Prendre le temps de rédiger proprement les récurrences et les raisonnements par théorème de continuité, plutôt que de se contenter de calculs formels.
Ne pas négliger les dernières parties d'un problème, même longues, car elles restent notées et peu de candidats les abordent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2025.

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SESSION 2025

AGREGATION
Concours externe

Section
MATHÉMATIQUES

Composition d'analyse et probabilités

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Rappels et notations

Ce problème, constitué de six parties, a pour objet d'étudier l'opérateur d'intégration et ses itérés sur l'espace des fonctions continues et sur l'espace des fonctions de carré intégrable. La première partie contient des préliminaires qui seront utilisés à partir de la partie III. La deuxième partie porte sur les fonctions Gamma et Bêta, utiles notamment dans la partie V, et sur un calcul d'équivalent d'une intégrale qui sera utilisé dans la partie VI. La troisième partie est consacrée à l'étude de l'opérateur d'intégration sur l'espace des fonctions continues sur

[0, 1]

. On montre en particulier qu'il est compact. La partie IV est consacrée à l'étude de l'opérateur d'intégration sur l'espace des fonctions de carré intégrable sur [0, 1]. On calcule sa norme. Dans la partie V, on introduit un semi-groupe d'opérateurs sur

L^2(0, 1)

dont on montre qu'il est constitué d'opérateurs compacts. Dans la partie VI, on caractérise l'appartenance de ces opérateurs à la classe de Hilbert-Schmidt.

Dans tout le sujet, on note

ℕ

l'ensemble des entiers positifs ou nuls.
Tous les espaces vectoriels considérés dans le problème sont des

ℂ

-espaces vectoriels.
L'ensemble

C([0, 1])

désigne l'espace vectoriel des fonctions continues (ou de classe

𝒞^0

) sur

[0, 1]

à valeurs complexes. On le munit de la norme :

‖f‖_∞ = sup{|f(t)| : t ∈ [0, 1]}

.
Pour un entier

k ⩾ 1

, on dit qu'une fonction

f

, définie sur [0,1] et à valeurs complexes, est de classe

𝒞^k

sur [0, 1] lorsque

f

est dérivable sur [0, 1] et sa dérivée

f^'

est de classe

𝒞^(k - 1)

sur [0,1]. Dans ce cas, on note,

f^((0)) = f

f^((k)) = (f^((k - 1)))^'

.
Soient

a, b, p

des nombres réels tels que

a < b

p ⩾ 1

. On note

L^p(a, b)

l'espace des fonctions

f

[a, b]

dans

ℂ

, mesurables sur

[a, b]

(par rapport à la mesure de Lebesgue) et telles que

\int_a^b|f(t)|^p dt < + \infty.

On effectue l'identification classique suivante :

f = 0

dans

L^p(a, b)

f

est nulle presque partout, autrement dit si l'ensemble

{x \in [a, b] : f(x) \neq 0}

est de mesure nulle. Avec cette identification, on a une norme sur

L^p(a, b)

, définie par

‖f‖_(L^p(a, b)) = (\int_a^b|f(t)|^p dt)^(1/p)

Le plus souvent, on considérera

a = 0, b = 1

p = 2

. Dans ce cas, on note

‖f‖_2 = ‖f‖_(L^2(0, 1))

. Cette norme provient du produit scalaire (hermitien) défini, pour tous

f, g \in L^2(0, 1)

, par

⟨f, g⟩_2 = ⟨f, g⟩_(L^2(0, 1)) = \int_0^1 f(t)g(t)^-dt

On rappelle que

L^2(0, 1)

muni de ce produit scalaire est un espace de Hilbert.
Pour

k \in ℤ

, la fonction

e_k

est définie par

e_k(t) = e^(2iπkt)

, pour tout

t \in [0, 1]

. On rappelle que la famille

(e_k)_(k \in ℤ)

constitue une base hilbertienne de

L^2(0, 1)

, et on notera les coefficients de Fourier associés

fˆ(k) = ⟨f, e_k⟩_2

pour

f \in L^2(0, 1)

k \in ℤ

.
Pour

s

réel positif ou nul,

p_s

est la fonction continue sur [0, 1] définie, pour tout

x \in ]0, 1]

, par

p_s(x) = x^s = e^(sln(x))

X

est un espace de Banach et

T : X ⟶ X

est une application linéaire continue, la norme de

T

est définie par

‖T‖ = sup{‖T(x)‖_X : x ∈ X, ‖x‖_X ⩽ 1}.

Pour tout entier

n ⩾ 1

, on note

T^n = T \circ T \circ \dots \circ T

(

T

composé

n

fois), et

T^0 =

Id est l'application identité sur

X

On rappelle que si

T : X ⟶ X

est une application linéaire continue sur un espace de Banach

X

, on dit que

T

est compacte si l'ensemble

{T(x) : x ∈ X, ‖x‖_X ⩽ 1}

est relativement compact, c'est-à-dire si sa fermeture est un compact de

X

H

est un espace de Hilbert et si

T : H ⟶ H

est une application linéaire continue, alors il existe une unique application linéaire continue

T^* : H ⟶ H

telle que, pour tous

h_1, h_2 \in H

⟨T(h_1), h_2⟩_H = ⟨h_1, T^*(h_2)⟩_H.

L'application

T^*

s'appelle l'adjoint de

T

et on a alors

(T^*)^* = T

.
On rappelle que tout espace de Hilbert

H

séparable admet une base hilbertienne

(b_n)_(n \in ℕ)

I. Préliminaires

Les questions 1, 2, 3, 4 et 5 de cette partie sont indépendantes.

1.Pour $n, m \in ℕ$ , calculer
$\int_0^1 cos(((2n + 1)πx)/2)cos(((2m + 1)πx)/2)dx.$

Soit $λ \in ℝ$ , tel que $λ > 0$ .

- (a)À quelle condition sur $λ$ at-on $cos(1/(\sqrtλ)) = 0$ ?
- (b)Déterminer les fonctions complexes $g$ de classe $𝒞^2$ sur [0, 1] telles que
  $λg^('') + g = 0 et g(1) = g^'(0) = 0.$
3.Soit $f \in C([0, 1])$ . Pour $x \in [0, 1]$ , on définit $F(x) = \int_0^x f(t)dt$ .
Cette question concerne la dérivabilité de $F$ sur $[0, 1]$ dont la démonstration est demandée à la question b).
- (a)Donner sans justification l'expression de $F^'$ en fonction de $f$ .
- (b)En utilisant un taux d'accroissement, démontrer que $F$ est dérivable sur [0, 1].

Soit $H$ un espace de Hilbert et $T : H ⟶ H$ une application linéaire continue.

- (a)Démontrer que, pour tout $x \in H$ , on a $‖T(x)‖_H^2 ⩽ ‖(T^* \circ T)(x)‖_H‖x‖_H$ .
- (b)En déduire que $|||T^*||| = |||T||$ et $|||T^* \circ T|| = |||T||^2$ .
5.Dans cette question, on suppose que $H$ est un espace de Hilbert séparable et on considère $(b_n)_(n \in ℕ)$ une base hilbertienne de $H$ . Soit $Λ = (λ_n)_(n \in ℕ)$ une suite bornée de nombres complexes et $D_Λ$ l'application linéaire définie sur l'espace vectoriel engendré par les $b_n$ par
$\foralln \in ℕ, D_Λ(b_n) = λ_n b_n.$
Démontrer que $D_Λ$ se prolonge en une unique application linéaire continue sur $H$ (que l'on notera encore $D_Λ$ ) et exprimer $‖|D_Λ|‖$ en fonction de $‖Λ‖_\infty = sup_(n \in ℕ)|λ_n|$ .

II. Fonctions $Γ$ et $B$

Pour tout réel $s > 0$ , on pose

Γ(s) = \int_0^(+ \infty)t^(s - 1)e^(- t) dt

(a)Justifier que la fonction $Γ$ est bien définie sur $]0, + \infty[$ .
(b)Démontrer que, pour tout $s > 0$ , on a $Γ(s + 1) = sΓ(s)$ .
(c)Que vaut $Γ(n + 1)$ pour $n \in ℕ$ ?
(d)Démontrer que $Γ$ est continue sur $]0, + \infty[$ .

Pour tous réels $s > 0$ et $s^' > 0$ , on pose

B(s, s^') = \int_0^1 t^(s - 1)(1 - t)^(s^' - 1) dt

(a)Justifier que la fonction B est bien définie sur $]0, + \infty[ \times ]0, + \infty[$ .
(b)i. Soit
$φ : ]0, + \infty[ \times ]0, 1[ ⟶ ]0, + \infty[ \times ]0, + \infty[; (x, y) ⟼ (xy, x(1 - y))$
Démontrer que $φ$ est un $𝒞^1$ -difféomorphisme.
ii.En déduire que, pour tous réels $s > 0$ et $s^' > 0$ , on a $Γ(s)Γ(s^') = B(s, s^')Γ(s + s^')$ .

Dans cette question, $α \in ] - 1, 1[$ et $n ⩾ 1$ est un entier. On pose

I_n(α) = \int_0^1 u^α e^(- 2iπnu) du,

qui est bien définie.

(a)Calculer $I_n(0)$ .
(b)Pour $α \in ]0, 1[$ , montrer que $I_n(α) = _(n \to + \infty)O(1/n)$ .
(c)Pour tout réel $r > 0$ , on note $γ_r$ le quart de cercle de centre 0 et de rayon $r$ reliant -ir à $r$ . Le même chemin parcouru dans l'autre sens est noté $γˇ_r$ . Pour $ε \in ]0, 1[$ , on considère $C_ε$ le contour suivant (parcouru une fois dans le sens trigonométrique), constitué de la concaténation du segment reliant 1 à $ε$ , de $γ˘_ε$ , du segment reliant $- iε$ à $- i$ et de $γ_1$ :

En intégrant la fonction

f(z) = exp(αlog(z) - 2iπnz)

sur le contour

C_ε

, où

log

désigne la détermination principale du logarithme, montrer que

I_n(α) = e^(- (α + 1)(iπ)/2)\int_0^1 u^α e^(- 2πnu) du + R_n(α),

où

R_n(α) = i\int_(- π/2)^0 exp(- 2iπne^(iθ) + i(α + 1)θ)dθ.

(d)Démontrer que $R_n(α) = _(n \to + \infty)O(1/n)$ .
(e)En déduire que pour $α \in ] - 1, 0[$ , on a, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ,
$I_n(α) \sim (Γ(α + 1))/((2πn)^(α + 1))e^(- (α + 1)(iπ)/2).$

III. L'opérateur d'intégration sur $C([0, 1])$

Dans cette partie, on s'intéresse à l'application

J : C([0, 1]) ⟶ C([0, 1])

définie par

J(f)(x) = \int_0^x f(t)dt

pour

f \in C([0, 1])

x \in [0, 1]

(a) Justifier que $J$ définit bien une application linéaire de $C([0, 1])$ dans $C([0, 1])$ . Démontrer que $J$ est continue et calculer sa norme.

(b)Démontrer que $J$ est injective.
(c)L'application $J$ est-elle surjective ? On justifiera la réponse.

Soit $λ \in ℂ$ , non nul, et soit $f \in C([0, 1])$ telle que $J(f) = λf$ . Démontrer que $f$ est de classe $𝒞^1$ sur [0, 1] et que $f$ est solution d'une équation différentielle du premier ordre que l'on précisera.
Quel est l'ensemble des valeurs propres de $J$ ?
Soient $f \in C([0, 1]), n \in ℕ$ et $k \in ℕ$ .
On rappelle que $J^n = J \circ J \circ \dots \circ J$ ( $J$ composé $n$ fois) et $J^0 = Id$ .

(a)Justifier que $J^n(f)$ est de classe $𝒞^n$ sur $[0, 1]$ et que, si $0 ⩽ k ⩽ n$ ,
$(J^n(f))^((k)) = J^(n - k)(f).$
(b)Si $0 ⩽ k < n$ , déterminer la valeur de $(J^n(f))^((k))(0)$ .
(c)En déduire que, si $n ⩾ 1$ et $x \in [0, 1]$ , on a
$(J^n(f))(x) = 1/((n - 1)!)\int_0^x(x - t)^(n - 1)f(t)dt$

(a) Soit $f \in C([0, 1])$ avec $‖f‖_\infty ⩽ 1$ . Démontrer que $J(f)$ est 1 -lipschitzienne sur $[0, 1]$ .

(b)En déduire que l'application linéaire $J$ est compacte de $C([0, 1])$ dans $C([0, 1])$ .

IV. L'opérateur d'intégration sur $L^2(0, 1)$

Pour $f \in L^2(0, 1)$ et $x \in [0, 1]$ , on pose

V(f)(x) = \int_0^x f(t)dt

Cette expression est définie pour tout

x \in [0, 1]

, et on ne demande pas de le justifier.

(a)Démontrer que $V(L^2(0, 1)) \subset C([0, 1])$ .
Démontrer que $V$ est bornée comme application linéaire de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ et que sa norme est inférieure ou égale à 1.
(b)Démontrer que pour $f \in L^2(0, 1)$ et pour presque tout $x \in [0, 1]$ , on a
$V^*(f)(x) = \int_x^1 f(t)dt$

Soit $λ \in ℂ$ avec $λ \neq 0$ . On suppose qu'il existe $h \in L^2(0, 1), h \neq 0$ , telle que $V^* \circ V(h) = λh$ dans $L^2(0, 1)$ .

(a)Justifier que $λ$ est un réel strictement positif.
(b)Démontrer qu'il existe $f \in C([0, 1])$ telle que $f(x) = h(x)$ pour presque tout $x \in [0, 1]$ et vérifiant $λf = c - V^2(f)$ pour une constante $c$ (qui dépend de $f$ ) à préciser.
(c)En déduire les valeurs propres non nulles et les sous-espaces propres associés de $V^* \circ V$ .

Pour tout

n \in ℕ

, on note

f_n

la fonction définie sur [0, 1] par

f_n(x) = \sqrt2cos(((2n + 1)πx)/2)

.
Le but de cette question est de montrer que la famille

(f_n)_(n \in ℕ)

constitue une base hilbertienne de

L^2(0, 1)

3.(a) Soit $g \in L^2(0, 1)$ . On peut supposer que $g$ est définie sur [ 0,1 ]. On considère alors la fonction $G$ définie d'abord sur $] - 1/2, 1/2]$ par
$G(u) = {g(2u)e^(− iπu), si u ∈ [0, 1/2]; g(− 2u)e^(− iπu), si u ∈ ] − 1/2, 0[$
puis prolongée sur $ℝ$ par 1-périodicité. Elle est ainsi définie sur $ℝ$ .
Pour $n \in ℤ$ , démontrer que $Gˆ(n) = \int_0^1 g(t)cos(((2n + 1)πt)/2)dt$ .
- (b)Démontrer que la famille $(f_n)_(n \in ℕ)$ engendre un sous-espace dense dans $L^2(0, 1)$ et conclure.
4.Calculer la norme de $V^* \circ V$ comme application linéaire de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ .
5.En déduire la norme de $V$ comme application linéaire de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ .

V. Un semi-groupe d'opérateurs

1.Soit $p ⩾ 1$ . Pour $w \in L^1(0, 1)$ et $f \in L^p(0, 1)$ , on pose
$(w*f)(x) = \int_0^x w(x - t)f(t)dt$
Démontrer que $(w*f)(x)$ est bien défini pour presque tout $x \in [0, 1]$ , que $w*f \in L^p(0, 1)$ avec
$‖w*f‖_(L^p(0, 1)) ⩽ ‖w‖_(L^1(0, 1))‖f‖_(L^p(0, 1)).$
2.Pour tout réel $s$ strictement positif, tout $f \in L^2(0, 1)$ et pour presque tout $x \in [0, 1]$ , on pose
$V_s(f)(x) = 1/(Γ(s))\int_0^x(x - t)^(s - 1)f(t)dt$
- (a)Démontrer que $V_s(f)(x)$ est bien défini pour presque tout $x \in [0, 1]$ et montrer que l'on définit ainsi une application linéaire continue $V_s$ de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ , et que $‖V_s‖ ⩽ 1/(Γ(s + 1))$ .
- (b)Pour $n$ entier positif ou nul et $s > 0$ , montrer que $V_s(p_n) = (n!)/(Γ(n + 1 + s))p_(n + s)$ .
- (c)Démontrer que, pour tout entier positif ou nul $n$ , on a $lim_(s \to 0^+)‖V_s(p_n) - p_n‖_2 = 0$ .
- (d)En déduire que pour tout $f \in L^2(0, 1)$ , on a $lim_(s \to 0^+)‖V_s(f) - f‖_2 = 0$ .

(e)Démontrer que $(V_s)_(s > 0)$ est un semi-groupe, c'est-à-dire que pour tous réels strictement positifs $s_1$ et $s_2$ , on a $V_(s_1) \circ V_(s_2) = V_(s_1 + s_2)$ .

Soient $H$ un espace de Hilbert et $(T_n)_(n \in ℕ)$ une suite d'applications linéaires continues compactes de $H$ dans $H$ . On suppose qu'il existe une application $T : H ⟶ H$ linéaire continue telle que $lim_(n \to + \infty)‖T_n - T‖ = 0$ . On se donne $(x_n)_(n \in ℕ)$ une suite de la boule unité fermée de $H$ .

(a)Démontrer qu'il existe une application strictement croissante $φ : ℕ \to ℕ$ telle que, pour tout $k \in ℕ$ , la suite $(T_k(x_(φ(n))))_(n \in ℕ)$ converge dans $H$ .
(b)En déduire que l'application $T$ est compacte.

Soit $Q_n$ un polynôme de degré $d_n$ . Il existe alors $d_n + 1$ polynômes $P_(j, n), 0 ⩽ j ⩽ d_n$ , tels que, pour tous $x, u \in [0, 1]$ , on a

Q_n(x - u) = \sum_(j = 0)^(d_n)x^j P_(j, n)(u).

(a)Pour $f \in L^2(0, 1)$ , on pose
$K_n(f) = \sum_(j = 0)^(d_n)(\int_0^1 f(u)P_(j, n)(u)du)p_j.$
Démontrer que $K_n$ définit une application linéaire continue compacte de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ .
(b)Soient $s > 0$ et
$ψ_s(u) = {1/(Γ(s))u^(s − 1), si u ∈ ]0, 1]; 0, si u ∈ [ − 1, 0].$
Démontrer que pour tout $f \in L^2(0, 1)$ , on a $‖V_s(f) - K_n(f)‖_2 ⩽ ‖ψ_s - Q_n‖_(L^1(- 1, 1))‖f‖_2$ .
(c)En déduire que, pour tout $s > 0$ , l'application $V_s$ est compacte de $L^2(0, 1)$ dans $L^2(0, 1)$ .

VI. Opérateurs de Hilbert-Schmidt

Soit

T

une application linéaire continue sur un espace de Hilbert

H

séparable. On dit que

T

est un opérateur de Hilbert-Schmidt s'il existe une base hilbertienne

(b_n)_(n \in ℕ)

H

telle que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)‖T(b_n)‖_H^2 < + \infty.

On note

ℋ_s(H)

l'ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur

H

Démontrer que $T \in ℋ_s(H)$ si et seulement si pour toute base hilbertienne $(γ_n)_(n \in ℕ)$ de $H$ ,

\sum_(n = 0)^\infty‖T(γ_n)‖_H^2 < + \infty.

Soient $T \in ℋ_s(H)$ et $(b_n)_(n \in ℕ)$ une base hilbertienne de $H$ .
Pour $n \in ℕ$ , on pose $F_n = Vect{b_k : 0 ⩽ k ⩽ n}$ et on note $P_(F_n)$ la projection orthogonale sur $F_n$ . On pose enfin $S_n = T \circ P_(F_n)$ .

(a)Démontrer que
$‖T - S_n‖^2 ⩽ \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)‖T(b_k)‖_H^2.$
(b)En déduire que $T$ est compacte.

Soit $s \in ]0, 1[$ . On utilise les notations de la partie II.

(a)Exprimer $⟨V_s(e_n), e_n⟩_2$ en fonction de $I_n(s)$ et $I_n(s - 1)$ . En déduire un équivalent $de⟨V_s(e_n), e_n⟩_2$ quand $n$ tend vers l'infini.
(b)En déduire que si $V_s$ est un opérateur de Hilbert-Schmidt, alors nécessairement $s > 1/2$ .

Soit $K \in L^2([0, 1] \times [0, 1], dx dy)$ . Pour $f \in L^2(0, 1)$ , on pose pour presque tout $x \in [0, 1]$ ,

(T_K f)(x) = \int_0^1 K(x, y)f(y)dy.

Démontrer que

T_K

définit une application linéaire continue de

L^2(0, 1)

dans

L^2(0, 1)

qui est un opérateur de Hilbert-Schmidt.
5. Soit

s > 0

. Démontrer que

V_s

est un opérateur de Hilbert-Schmidt si et seulement si

s > 1/2

.
6. Démontrer que

V_s

peut s'écrire comme une série absolument convergente d'applications linéaires continues de

L^2(0, 1)

dans

L^2(0, 1)

de rang 1, si et seulement si

s > 1

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMTATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière EIAE 1/3/0/0/A 1|0|2 2/6/7/8

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de maths 2025 ?

Le sujet porte sur l'opérateur d'intégration (opérateur de Volterra) sur les fonctions continues puis sur L2(0,1), les fonctions Gamma et Bêta, un semi-groupe d'opérateurs (semi-groupe de Riemann-Liouville) et les opérateurs de Hilbert-Schmidt et nucléaires.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet d'analyse et probabilités 2025 ?

Le jury relève des difficultés inattendues sur la norme d'un opérateur diagonal, une preuve du théorème fondamental de l'analyse souvent mal rédigée, et une manipulation imprudente du logarithme complexe.

Le sujet d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme exigeant : les deux dernières parties, sur le semi-groupe et les opérateurs de Hilbert-Schmidt, n'ont été abordées que par une petite proportion des candidats.

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Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2025, épreuve 2

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Rappels et notations

I. Préliminaires

II. Fonctions Γ et B

III. L'opérateur d'intégration sur C([0, 1])

IV. L'opérateur d'intégration sur L^2(0, 1)

V. Un semi-groupe d'opérateurs

VI. Opérateurs de Hilbert-Schmidt

INFORMATION AUX CANDIDATS

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMTATIQUES

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de maths 2025 ?

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet d'analyse et probabilités 2025 ?

Le sujet d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2025 est-il difficile ?

Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2025, épreuve 2

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II. Fonctions $Γ$ et $B$

III. L'opérateur d'intégration sur $C([0, 1])$

IV. L'opérateur d'intégration sur $L^2(0, 1)$