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Agrégation mathématiques externe 2025, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2025

Pas encore noté
  • Algèbre linéaire : polynôme caractéristique, polynôme minimal, bases
  • Extensions de corps, éléments algébriques et transcendants
  • Anneaux quotients, morphismes de K-algèbres
  • Corps différentiels, dérivation, corps des constantes
  • Corps finis
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Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Difficile
Composition de mathématiques générales : corps différentiels et théorème de Liouville sur les primitives élémentaires
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Le sujet part d’un exercice et d’une première partie d’algèbre linéaire et d’extensions de corps monogènes, qui préparent les parties suivantes consacrées aux dérivations et aux primitives élémentaires. Il construit le cadre des corps différentiels puis démontre, en suivant la démonstration algébrique de Rosenlicht, le théorème de Liouville-Ostrowski-Ritt sur l’existence d’une primitive élémentaire, avant d’en déduire un critère dû à Liouville lui-même appliqué à des primitives non élémentaires classiques.

  1. 1ExerciceOn démontre l’irréductibilité d’un polynôme de degré 3, qu’une famille est une base d’un espace vectoriel, puis on calcule le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d’une matrice.
  2. 2Partie I : extensions de corps et polynôme minimalOn étudie les éléments algébriques et transcendants d’une extension de corps L/K, la caractérisation du polynôme minimal et la dimension des extensions monogènes associées.
  3. 3Partie II : corps différentielsOn introduit la dérivation dans un cadre algébrique, ses propriétés de base, les corps de constantes, puis les extensions monogènes, isomorphismes et anneaux quotients qui en découlent.
  4. 4Partie III : logarithmes, exponentielles et théorème de LiouvilleOn définit logarithme et exponentielle d’un élément dans une extension différentielle, puis on démontre le théorème de Liouville-Ostrowski-Ritt et le critère de Liouville, appliqués à des primitives non élémentaires classiques.

Difficile. Le jury signale que la difficulté de la dernière partie, ainsi que de quelques questions des parties précédentes, est avérée ; très peu de compositions ont abordé non superficiellement la partie III au-delà des questions 29 à 31, et aucune n’a dépassé la question 43.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,64 / 20 · écart-type 3,32 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,64/ 20
Écart-type
3,32
moyenne 8,6405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Irréductibilité mal justifiée · Caractérisation des éléments algébriques peu réussie · Définitions de base d’algèbre générale imprécises
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L’exercice et les deux premières parties ont majoritairement suffi pour classer les compositions : toute copie ayant assuré un traitement patient et soigné de ces questions, avec une maîtrise des acquis essentiels de la préparation à l’agrégation, a également assuré l’admissibilité. Le jury a en revanche relevé, dans de nombreuses questions, des approximations sur des définitions pourtant vues tôt dans un parcours académique classique.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Irréductibilité mal justifiéeExercice, Q1

    Certains candidats oublient qu’il ne suffit pas qu’un polynôme soit sans racine pour être irréductible dès que son degré dépasse 3.

    « qu’il ne suffit pas d’être sans racine pour être irréductible »
  2. 2
    Caractérisation des éléments algébriques peu réussiePartie I, Q1

    La première question du problème, qui caractérise les éléments algébriques via la dimension de l’extension K(x)/K, a eu un succès surprenant faible ; la démonstration que K[x] est un corps a souvent posé problème.

    « Seule une proportion faible de copies (environ 15%) arrive à obtenir strictement plus que la moitié des points alloués à l’étude du cas algébrique. »
  3. 3
    Définitions de base d’algèbre générale imprécisesPartie I, Q4

    Les vérifications faisant d’une application un morphisme de K-algèbres, ou d’un ensemble un anneau, sont souvent oubliées ou imprécises.

    « les définitions des objets de base de l’algèbre ne sont pas connues ou manipulées avec suffisamment de rigueur. »
  4. 4
    Énoncé de la question 6 mal luPartie I, Q5-Q6

    Une question facile a été malmenée faute d’avoir lu l’énoncé avec attention, alors que la question précédente ne pouvait pas y répondre directement.

    « La question 5 ne pouvait pas servir à traiter la question 6 (facile et pourtant malmenée) : l’énoncé ne fut pas toujours lu avec attention. »
  5. 5
    Cohérence d’une définition d’application omisePartie II, Q18

    Peu de compositions vérifient que la relation proposée définit bien une application, c’est-à-dire que chaque élément de l’ensemble de départ n’a qu’une seule image.

    « La plus fréquemment omise est qu’une relation définit une application seulement lorsque chaque élément de l’ensemble de départ n’a qu’une seule image. »
  6. 6
    Troisième partie très peu abordéePartie III

    Au-delà des toutes premières questions, la partie III a rarement été traitée en profondeur.

    « Très peu de compositions ont abordé non superficiellement cette partie au-delà des questions 29 à 31, ce qui est compréhensible. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 3 et 4 de l’exercice ont été dans l’ensemble très bien traitées.
  • La récurrence de la question 12 fut souvent rédigée avec toute la précision exigée par le concours depuis plusieurs années.
  • La question 17 a rarement posé problème.

Conseils du jury

  • Assurer un traitement patient et soigné de l’exercice et du début du problème plutôt que de viser en priorité les questions les plus ardues.
  • Revoir les notions de base d’algèbre générale (morphismes, sous-corps, sous-groupes) qui restent souvent approximatives.
  • Soigner la rédaction des récurrences en faisant clairement apparaître le prédicat, l’initialisation, l’hérédité et la conclusion.
  • Se familiariser avec les différentes démonstrations montrant que K[x] est un corps lorsque x est algébrique sur K.
  • Lire chaque énoncé de question avec attention avant d’y répondre, y compris pour les questions qui semblent faciles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2025.

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SESSION 2025
AGRÉGATION
Concours externe
Section MATHÉMATIQUES
Composition de mathématiques générales
Durée : 6 heures
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.
Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.
La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.
Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Définitions, notations et rappels

Si a et b sont deux entiers tels que a ⩽ b, on désigne par [ [a, b] ] l'ensemble des entiers compris au sens large entre a et b.
Tous les corps considérés sont commutatifs.
Soit K un corps.
On note 0 et 1 ses éléments neutres respectivement pour l'addition et la multiplication.
On note K^∗ l'ensemble des éléments non nuls de K.
Si (x, y) est un élément de K × K^∗, l'élément xy^(− 1) peut aussi être noté x/y.
On désigne par K[X] la K-algèbre des polynômes à coefficients dans K et par K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K. Si P est dans K[X], on note P^′ son polynôme dérivé. Si R est dans K(X), on note de même R^′ sa fraction dérivée. On rappelle que si P et Q sont des polynômes de K[X], avec Q non nul, tels que R = P/Q, alors R^′ = (P^′ Q − Q^′ P)/Q^2.
Une partie non vide k du corps K, qui est un corps pour les lois d'addition et de multiplication induites par celles de K est appelée un sous-corps de K.
On dit que L/K est une extension de corps si L est un corps vérifiant K ⊆ L et K est un sous-corps de L. On dit aussi dans ce cas que L est un surcorps de K.
Si L/K est une extension de corps, L est naturellement muni d'une structure de K-espace vectoriel. On dit que l'extension de corps L/K est finie si L est de dimension finie en tant que K-espace vectoriel. On note alors dim_K(L) la dimension du K-espace vectoriel L. On appelle K-base de L une base du K-espace vectoriel L.
On rappelle que si M/L et L/K sont deux extensions finies, alors M/K l'est également; on pourra utiliser sans démonstration la formule de multiplicativité des degrés
dim_K(M) = dim_K(L)dim_L(M).
Si L/K est une extension de corps, on désigne par Aut_K(L) l'ensemble des automorphismes de corps de L dont la restriction à K est l'identité. On admet que c'est un groupe pour la composition.
Soit L/K une extension de corps et soit x un élément de L.
On note K[x] le plus petit sous-anneau de L (au sens de l'inclusion) contenant K et x, et K(x) le plus petit sous-corps de L (au sens de l'inclusion) contenant K et x. On rappelle que
K[x] = {P(x)|P ∈ K[X]} et K(x) = {(P(x))/(Q(x))| (P, Q) ∈ K[X]^2, Q(x) ≠ 0}.
On définit de plus l'idéal annulateur de x comme
Ann_(x, K) = {P ∈ K[X]|P(x) = 0}.
On ne demande pas de justifier qu'il s'agit d'un idéal.
Lorsque l'idéal Ann_(x, K) est réduit à {0_(K[X])}, on dit que x est transcendant sur K. Dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsque l'idéal Ann_(x, K) contient au moins un polynôme non nul, on dit que x est algébrique sur K; dans ce cas, l'idéal Ann_(x, K) est engendré par un unique polynôme unitaire de K[X], appelé polynôme minimal de x sur K et noté μ_(x, K), ou simplement μ_x s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le corps K. On rappelle que μ_(x, K) est un polynôme irréductible de K[X].
Si p est un nombre premier, si k est un entier naturel non nul et q = p^k, on note 𝔽_q le corps à q éléments. Dans le cas particulier où k = 1, et donc q = p, on a simplement 𝔽_p = ℤ/pℤ.
Dans tout le problème, les corps de caractéristique nulle sont des surcorps de ℚ, et, pour tout nombre premier p, les corps de caractéristique p sont des surcorps de 𝔽_p.

Exercice

  • 1.Justifier que le polynôme X^3 − 2 est irréductible sur ℚ.
  • 2.Justifier que ( 1, 3√2, 3√4 ) est une base du ℚ-espace vectoriel ℚ[3√2].
On pose α = 1 + 3√2 + 3√4. On définit l'application
m_α : ℚ[3√2], ⟶ ℚ[3√2]; y, ⟼ αy
Il s'agit d'un endomorphisme du ℚ-espace vectoriel ℚ[3√2], ce qu'on ne demande pas de justifier.
  • 3.Écrire la matrice de m_α sur la base ( 1, 3√2, 3√4 ).
  • 4.Déterminer le polynôme caractéristique de m_α.
  • 5.En déduire le polynôme minimal de m_α.

Problème
Partie I

Dans toute cette partie, on fixe une extension de corps L/K.
  • 1.Soit x un élément de L.
    • (a)Justifier qu'il existe un morphisme de K-algèbres Φ : K[X] → K[x] tel que Φ(X) = x, dont la restriction à K est l'identité. Préciser son noyau.
    • (b)On suppose que x est transcendant sur K. Démontrer que K[X] et K[x] sont des K-algèbres isomorphes et en déduire que K(X) et K(x) le sont aussi. Justifier alors que K(x) est de dimension infinie en tant que K-espace vectoriel.
    • (c)Soit x un élément de L algébrique sur K. Démontrer que K(x) = K[x], puis que K(x) est de dimension finie (en tant que K-espace vectoriel), de dimension égale à deg(μ_x). Donner une K-base de K(x).
Dans les questions 2 et 3, x désigne un élément de L algébrique sur K.
  • 2.Démontrer que si μ_x admet une racine au moins double, alors son polynôme dérivé μ_x^′ est le polynôme nul.
  • 3.Déterminer l'ensemble des polynômes P de K[X] dont le polynôme dérivé est nul selon que K est de caractéristique nulle ou de caractéristique p > 0.
    En déduire que, si K est un corps de caractéristique nulle ou un corps fini, alors μ_x est à racines simples.
    Indication : Dans le cas où K est un corps fini de caractéristique p > 0, on pourra raisonner par l'absurde et utiliser, en le justifiant, le fait que l'application x ↦ x^p est un morphisme de corps surjectif.
On note L_K(L) la K-algèbre des endomorphismes du K-espace vectoriel L.
Pour tout x dans L, on définit l'application de multiplication par x :
m_x : L; y ⟼ L.
Alors m_x ∈ L_K(L), ce qu'on ne demande pas de justifier.
  • 4.Démontrer que l'application x ↦ m_x est un morphisme injectif de K-algèbres de L dans L_K(L). En déduire
    ∀x ∈ L, ∀P ∈ K[X], m_(P(x)) = P(m_x),
    puis que, pour tout élément x de L algébrique sur K, le polynôme minimal de l'endomorphisme m_x existe et est égal à μ_x.
  • 5.On suppose uniquement dans cette question que L = K(x), où x est un élément de L algébrique sur K. On pose d = deg(μ_x) et μ_x = X^d + ∑_(i = 0)^(d − 1)a_i X^i, avec a_0, …, a_(d − 1) dans K. Démontrer que, dans une base convenable, la matrice représentative de m_x est la matrice compagnon associée à μ_x, c'est-à-dire la matrice carrée d'ordre d
    C = (0, ⋯, ⋯, 0, − a_0; 1, ⋱, ⋮, − a_1; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, − a_(d − 2); 0, ⋯, 0, 1, − a_(d − 1)).
Dans la suite de cette partie, on suppose que L/K est une extension finie. Pour tout x dans L, on pose
tr_(L/K)(x) = tr(m_x) et N_(L/K)(x) = det(m_x),
où tr(m_x) et det(m_x) désignent la trace et le déterminant de l'endomorphisme m_x ∈ L_K(L).
6. Justifier que, pour tout x dans L, tr_(L/K)(x) et N_(L/K)(x) sont dans K.
7. (a) Justifier que l'application tr_(L/K) : L → K est K-linéaire, et que
∀(x, y) ∈ L^2, N_(L/K)(xy) = N_(L/K)(x)N_(L/K)(y).
Vérifier que
∀x ∈ L^∗, N_(L/K)(x) ≠ 0.
  • (b)Pour tout u dans K, calculer tr_(L/K)(u) et N_(L/K)(u).
Dans les trois questions suivantes, on fixe un élément x de L.
8. Justifier que x est algébrique sur K.
On note d = deg(μ_x).
9. Soit a = dim_(K(x))(L) et soit (ℓ_1, …, ℓ_a) une K(x)-base de L. Démontrer que (ℓ_i ⋅ x^(j − 1))_(1 ⩽ i ⩽ a; 1 ⩽ j ⩽ d) est une K-base de L.
10. En ordonnant convenablement la base de la question 9, construire une K-base de L dans laquelle la matrice représentative de m_x est diagonale par blocs, de la forme :
(C, 0; ⋱; 0, C),
où C est la matrice compagnon associée à μ_x, définie dans la question 5.
On pose n = dim_K(L). Soit x_1, …, x_d les racines (comptées avec leurs multiplicités) de μ_x dans son corps de décomposition sur K. Justifier que
tr_(L/K)(x) = n/d∑_(i = 1)^d x_i et N_(L/K)(x) = (∏_(i = 1)^d x_i)^(n/d)

Notations pour la suite du problème

Soit A un anneau commutatif unitaire. Une application D : A → A est une dérivation sur A si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
∀(u, v) ∈ A^2, D(u + v) = D(u) + D(v) et D(u ⋅ v) = u ⋅ D(v) + D(u) ⋅ v.
On admet que si D et D^′ sont deux dérivations sur A, alors pour tous a, b éléments de A, aD + bD^′ est une dérivation.
On appelle corps différentiel un couple (K, D) où K est un corps et D une dérivation sur K. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté sur la dérivation, on parlera du corps différentiel K.
On note Der(K) l'ensemble des dérivations sur K et on admet que c'est un K-espace vectoriel.
Le corps des fractions rationnelles K(T) est muni d'une dérivation dite « usuelle » ∂ : R ↦ R^′ dont la restriction à K[T] vérifie pour rappel
∀d ∈ ℕ, ∀(a_i)_(0 ⩽ i ⩽ d) ∈ K^(d + 1), ∂(∑_(i = 0)^d a_i X^i) = (∑_(i = 0)^d a_i X^i)^′ = ∑_(i = 1)^d a_i iX^(i − 1).
Cette dérivation fait de (K(T), ∂) un corps différentiel; il n'est pas demandé de le démontrer.
Si (K, D) est un corps différentiel, alors l'ensemble
K_(cst) = {x ∈ K|D(x) = 0}
est appelé l'ensemble des constantes de K. Notons que la définition de K_(cst) dépend de D, mais on omet d'indiquer D pour alléger les notations.
Soit (K, D) un corps différentiel. Pour tout P = ∑_(i = 0)^n a_i X^i dans K[X], on définit un polynôme de K[X], noté P^D, en posant
P^D = ∑_(i = 0)^n D(a_i)X^i.
Si (L, D) est un corps différentiel et K un sous-corps de L, on dit que (L/K, D) est une extension différentielle si la dérivation D : L → L vérifie
D(K) ⊆ K, et L_(cst) = K_(cst).
On peut dire aussi que ( L, D ) est une extension différentielle de ( K, D ), ou plus simplement que L/K est une extension différentielle s'il n'y a pas d'ambiguïté.
On remarque et on admet que si (L, D) est une extension différentielle de K, alors (K, D_(|K)) est aussi un corps différentiel, où D_(|K) désigne la restriction de D à K.
L'égalité ensembliste L_(cst) = K_(cst) implique en particulier que si L est un surcorps différentiel de K, alors tout élément x de L vérifiant D(x) = 0 est dans K et donc, par contraposée, on a :
∀x ∈ L∖K, D(x) ≠ 0.

Partie II

Soit (K, D) un corps différentiel fixé pour l'intégralité de la partie II.

II. 1 - Formulaire de calcul.

  • 11.Justifier que D(1) = 0, et donner, pour tout élément x de K^∗, une relation entre D(1/x) et D(x).
  • 12.Soit (x, y) ∈ K × K^∗. Démontrer les identités suivantes :
    ∀n ∈ ℕ∖{0}, D(x^n) = nx^(n − 1)D(x) et D(x/y) = (D(x)y − xD(y))/(y^2).
    Démontrer que si x est non nul, alors la première relation vaut pour tout n dans ℤ.
  • 13.Vérifier que K_(cst) est un sous-corps de K et que D est une application K_(cst)-linéaire.
  • 14.Soit L_D l'application définie par :
    L_D : x ⟼ (D(x))/x.
    • (a)Démontrer que L_D est un morphisme de groupes de (K^∗, ×) dans (K, +). Déterminer son noyau.
    • (b)Dans cette question, on considère le cas particulier K = k(X) où k désigne un corps. Déduire de la question précédente que pour tout R dans k(X), tel que R se factorise sous la forme R = c∏_(i = 1)^r(X − α_i)^(β_i), avec c dans k^∗, les α_i dans k et les β_i dans ℤ, on a :
      (D(R))/R = (D(c))/c + ∑_(i = 1)^r β_i(D(X − α_i))/(X − α_i).

II. 2 - Construction et extension de dérivations.

Soit p un nombre premier, k un entier naturel non nul et q = p^k. On rappelle que 𝔽_q désigne le corps à q éléments.
  • 15.Dans cette question, p = 2 et q = 4. Démontrer qu'il existe j dans 𝔽_4 tel que 𝔽_4 = 𝔽_2(j), et j^2 + j + 1 = 0.
    Soit D une dérivation sur 𝔽_4. Que vaut D(j^3) ? En déduire l'ensemble des dérivations sur 𝔽_4.
  • 16.On revient au cas général. Déterminer l'ensemble des dérivations sur le corps fini 𝔽_q.
On suppose dans tout le reste de la partie II. 2 que K est un corps de caractéristique nulle.
  • 17.Soit K^′ un corps isomorphe à K et soit Φ : K^′ → K un isomorphisme de corps. Démontrer que l'application
    D^′ = Φ^(− 1) ∘ D ∘ Φ
    définit une dérivation sur K^′, et que K_(cst)^′ = Φ^(− 1)(K_(cst)).
Soit L un surcorps de K et Dˆ une dérivation sur L. On note Dˆ_(|K) la restriction de Dˆ à K. On dit que Dˆ prolonge la dérivation D si Dˆ_(|K) = D.
L'objectif des questions suivantes est de démontrer que sous certaines hypothèses, on peut construire sur L une dérivation Dˆ qui prolonge la dérivation D.
18. Soit A un anneau commutatif intègre et soit B son corps de fractions. On rappelle que B = {a/b; (a, b) ∈ A × A∖{0}}. Démontrer que toute dérivation D sur A se prolonge de manière unique en une dérivation sur B.
Pour les questions 19 à 21, on rappelle que la notation P^D a été introduite à la page de notations qui précède la partie II.
19. On suppose dans cette question que L = K(x), où x est un élément de L transcendant sur K.
Construire une dérivation Dˆ sur L dont la restriction à K[x] est l'application qui, pour tout polynôme P dans K[X], envoie P(x) sur P^D(x). Vérifier alors que la dérivation Dˆ ainsi construite prolonge D.
On suppose, dans les questions 20 à 22, que L = K(x), où x est un élément de L algébrique sur K.
20. Démontrer l'existence de Q dans K[X] tel que
μ_x^D(x) + Q(x)μ_x^′(x) = 0.
  1. Soit Q un polynôme vérifiant l'égalité de la question précédente. Démontrer que l'image de l'idéal μ_x K[X] par l'application :
K[X], ⟶ K[X]; P, ⟼ P^D + Q ⋅ P^′
est incluse dans μ_x K[X]. En déduire que cette application induit une dérivation sur L dont la restriction à K est D.
22. Démontrer que si (K(x), D_1) et (K(x), D_2) sont deux corps différentiels tels que D_(1|K) = D_(2|K) = D, alors D_1 = D_2.
23. On suppose que L/K est une extension finie. Justifier qu'il existe un unique prolongement de D en une dérivation sur L. On rédigera précisément une démonstration par récurrence sur dim_K(L).
24. Soit L/K une extension finie et D une dérivation sur K(X). Justifier brièvement que L(X) est une extension finie de K(X) et qu'il existe une unique dérivation sur L(X) qui prolonge D.
25. On suppose dans cette question uniquement que K est de dimension finie sur ℚ. Déterminer l'ensemble des dérivations sur K.
26. Soit (L/K, D) une extension différentielle finie. Démontrer
∀σ ∈ Aut_K(L), σ ∘ D = D ∘ σ.
Il reste à étudier si ce résultat d'existence et d'unicité se prolonge aux corps infinis de caractéristique non nulle.
Soit p un nombre premier, k un entier naturel non nul et q = p^k.
On note 0_(Der) : 𝔽_q(X^q) → 𝔽_q(X^q) l'application nulle et on rappelle que Der(𝔽_q(X)) désigne le 𝔽_q(X)-espace vectoriel des dérivations sur 𝔽_q(X).
  • 27.Démontrer que 𝔽_q(X)/𝔽_q(X^q) est une extension finie et qu'il n'y a pourtant pas unicité du prolongement de 0_(Der) en une dérivation de 𝔽_q(X).
  • 28.Démontrer que l'application :
    Der(𝔽_q(X)), ⟶ 𝔽_q(X); D, ⟼ D(X)
    est un isomorphisme de 𝔽_q(X)-espaces vectoriels.
    En déduire la dimension de Der(𝔽_q(X)) sur 𝔽_q(X) et en donner une base explicite.

Partie III

Dans cette partie III, on fixe un corps différentiel ( K, D ) où K est de caractéristique nulle. Pour toute extension différentielle L de K, on note encore D la dérivation sur L qui prolonge celle de K et fait de L/K une extension différentielle.
Si K = ℂ(X), on note ∂(u) ou u^′ la dérivée usuelle d'un élément u appartenant à K ou à une extension différentielle de K.
Définitions. Si v appartient à une extension différentielle de K, on dit que :
  • - v est un logarithme d'un élément de K s'il existe u ∈ K^∗ tel que D(v) = (D(u))/u; dans ce cas, on dit que v est un logarithme de u;
  • - v est une exponentielle d'un élément de K si v ≠ 0 et s'il existe u dans K tel que D(v) = D(u)v; dans ce cas, on dit que v est une exponentielle de u.
Définitions. Soit (L/K, D) une extension différentielle. Pour tous corps K_1, K_2 tels que : K ⊆ K_1 ⊆ K_2 ⊆ L, on dit que l'extension K_2/K_1 est :
  • -logarithmique s'il existe v dans K_2 tel que K_2 = K_1(v), où v est un logarithme d'un élément de K_1;
  • -exponentielle s'il existe v dans K_2^∗ tel que K_2 = K_1(v), où v est une exponentielle d'un élément de K_1.
Définition. Soit (L/K, D) une extension différentielle. On dit que L est une extension élémentaire de K s'il existe un entier naturel m et une famille de corps (K_i)_(0 ⩽ i ⩽ m) vérifiant les propriétés suivantes :
  • - K_0 = K, K_m = L, et, pour tout i dans [ [0, m − 1] ], K_i ⊆ K_(i + 1);
  • -pour tout i dans [ [0, m − 1] ], l'extension de corps K_(i + 1)/K_i est finie ou logarithmique ou exponentielle.
Nous admettons les propriétés suivantes, qui découlent de théorèmes généraux d'analyse complexe :
  • -pour toute fraction rationnelle R dans ℂ(T), il existe une extension différentielle de (ℂ(T), ∂) contenant une exponentielle de R, notée e^R;
  • -pour toutes fractions rationnelles R_1, …, R_k ∈ ℂ(T)∖{0_(ℂ(T))}, il existe une extension différentielle de (ℂ(T), ∂) contenant des logarithmes de R_1, …, R_k, notés ln(R_1), …, ln(R_k).
Ces deux propriétés restent valables si l'on remplace ℂ(T) par une extension élémentaire de (ℂ(T), ∂).
On retient en particulier que par définition, pour tout R ∈ ℂ(X),
(e^R)^′ = R^′ e^R, et, si R ≠ 0, (ln(R))^′ = (R^′)/R.

III. 1 - Transcendance des exponentielles et logarithmes.

Dans cette sous-partie, on étudie à quelle condition une exponentielle ou un logarithme d'un élément de K est transcendant sur K.
Soit (L/K, D) une extension différentielle et v dans L^∗.
29. On suppose que v est une exponentielle d'un élément u de K.
  • (a)Démontrer que, si v est algébrique sur K et si n = deg(μ_v), alors
    nD(u)μ_v = D(u)Xμ_v^′ + μ_v^D.
    En déduire que v^n est un élément de K.
    Indication : On pourra utiliser le coefficient constant du polynôme μ_v.
  • (b)Réciproquement, démontrer que s'il existe un entier strictement positif n tel que v^n est un élément de K, alors v est algébrique sur K.
On a ainsi démontré que v est transcendant sur K si et seulement si, pour tout entier n dans ℕ∖{0}, v^n ∉ K.
30. Dans cette question, on se place dans K = ℂ(T) muni de la dérivation usuelle.
  • (a)Soit R ∈ ℂ(T)∖ℂ. Démontrer qu'il n'existe pas S dans ℂ(T) tel que (R^′)/R = S^′. Indication : On pourra utiliser les décompositions en éléments simples des fractions rationnelles (R^′)/R et S.
  • (b)En déduire que pour tout S ∈ ℂ(T)∖ℂ, une exponentielle e^S est transcendante sur ℂ(T).
  1. On suppose que v est un logarithme d'un élément u de K^∗. Démontrer que, si v est algébrique sur K, alors v ∈ K.

III. 2 - Primitives élémentaires et théorème principal.

Définition. Soit f ∈ K. On dit que l'élément f admet une primitive élémentaire sur K s'il existe une extension élémentaire (L/K, D) et un élément g dans L tels que D(g) = f.
La question suivante étudie un exemple.
32. Soit e^(iT) une exponentielle de iT pour la dérivation usuelle de ℂ(T). On pose :
cos(T) = 1/2(e^(iT) + 1/(e^(iT))) et sin(T) = 1/(2i)(e^(iT) − 1/(e^(iT))).
  • (a)Démontrer que 1/(1 + T^2) admet une primitive élémentaire sur ℂ(T) (muni de ∂ ) et que (sin(T))/(1 + (cos(T))^2) admet une primitive élémentaire sur ℂ(e^(iT)).
  • (b)Si Arctan(cos(T)) désigne un élément d'une extension élémentaire dont la dérivée est :
    (Arctan(cos(T)))^′ = (sin(T))/(1 + (cos(T))^2),
    vérifier que √(Arctan(cos(T))) appartient à une extension élémentaire de (ℂ(T), ∂).
Définition. Soit f ∈ K. On dit que f est une somme de Liouville dans K s'il existe g dans K, un ensemble fini I (éventuellement vide) et deux familles (c_i)_(i ∈ I) dans (K_(cst))^I, (f_i)_(i ∈ I) dans (K^∗)^I tels que :
f = D(g) + ∑_(i ∈ I)c_i L_D(f_i),
où L_D est le morphisme de la question 14.
L'objectif de la partie III est de démontrer le théorème suivant.
Théorème principal. Si un élément f de K admet une primitive élémentaire sur K, alors f est une somme de Liouville dans K.
La clé de la démonstration réside dans le lemme suivant.
Lemme principal. Soit (L/K, D) une extension différentielle finie, ou logarithmique, ou exponentielle. Si un élément f de K est une somme de Liouville dans L, alors f est une somme de Liouville dans K.
33. Démontrer que le lemme principal implique le théorème principal.
Les questions 34 à 49 sont consacrées à la démonstration du lemme principal.

III. 3 - Le lemme principal pour les extensions finies.

Soit (L/K, D) une extension différentielle finie et f dans K. On suppose que f est une somme de Liouville dans L. Soit g dans L et (c_i)_(i ∈ I) dans (L_(cst))^I, (f_i)_(i ∈ I) dans (L^∗)^I tels que f = D(g) + ∑_(i ∈ I)c_i L_D(f_i).
Soit P un polynôme unitaire non constant de K[X] et soit M son corps de décomposition.
34. Soit x ∈ M. Démontrer que x est annulé par un polynôme de K[X] scindé sur M, et en déduire que toutes les racines de μ_(x, K) sont dans M.
On pourra librement utiliser le théorème suivant :
Théorème fondamental des fractions symétriques. Soit A un anneau commutatif et R ∈ A(X_1, …, X_n). Soit Σ_1, …, Σ_n les fonctions symétriques élémentaires en X_1, …, X_n dans A[X_1, …, X_n] définies par l'égalité :
∏_(i = 1)^n(X − X_i) = X^n + ∑_(i = 1)^n(− 1)^i Σ_i X^(n − i)
On suppose :
∀σ ∈ 𝔖_n, R(X_(σ(1)), …, X_(σ(n))) = R(X_1, …, X_n),
où 𝔖_n désigne le groupe des permutations de [ [1, n] ].
Alors il existe Q dans A(X_1, …, X_n) tel que R = Q(Σ_1, …, Σ_n).
Dans les questions 35 à 37, on fixe un élément x de M. On note : μ_(x, K) = ∑_(i = 0)^n a_i X^i, avec les a_i dans K. Pour tout morphisme σ défini d'un surcorps de K dans M, on note μ_(x, K)^σ = ∑_(i = 0)^n σ(a_i)X^i.
  • 35.Démontrer que si σ : K(x) → M est un morphisme de corps, alors σ(x) est une racine du polynôme μ_(x, K)^σ.
  • 36.Soit τ un morphisme de corps de K dans M; on note K^τ l'image de τ. Démontrer que, pour toute racine y de μ_(x, K)^τ, prise dans le corps de décomposition sur K^τ de ce polynôme, il existe un unique morphisme de corps σ de K(x) dans K^τ(y) envoyant x sur y et qui prolonge τ.
  • 37.Soit y une racine de μ_(x, K) dans M. Démontrer qu'il existe exactement dim_(K(x))(M) automorphismes σ de Aut_K(M) tels que σ(x) = y.
  • 38.En déduire :
    ∀x ∈ M, tr_(M/K)(x) = ∑_(σ ∈ Aut_K(M))σ(x), et N_(M/K)(x) = ∏_(σ ∈ Aut_K(M))σ(x).
  • 39.On suppose dans cette question que M est le corps de décomposition de μ_(g, K) ⋅ ∏_(i ∈ I)μ_(f_i, K) sur K. Déduire de tout ce qui précède :
    ∀i ∈ I, tr_(M/K)(L_D(f_i)) = L_D(N_(M/K)(f_i)), et tr_(M/K)(D(g)) = D(tr_(M/K)(g)),
    puis que f est une somme de Liouville dans K.

III. 4 - Le lemme principal pour les extensions logarithmiques ou exponentielles.

On ne suppose plus que L/K est finie. On suppose que l'extension L/K est logarithmique ou exponentielle. Soit v un élément de L tel que L = K(v) et u un élément de K tel que D(v) = (D(u))/u si L/K est logarithmique, et tel que D(v) = D(u)v si L/K est exponentielle.
  • 40.Justifier qu'on peut supposer sans perte de généralité que v est transcendant sur K. En déduire l'existence d'un isomorphisme de K-algèbres Φ : K(X) → L dont la restriction à K est l'identité, et d'une extension différentielle (K(X)/K, D_1), tels que Φ ∘ D_1 = D ∘ Φ, et vérifiant :
    D_1(X) = (D(u))/u (cas logarithmique), ou (D_1(X))/X = D(u) (cas exponentiel).
    Nous dirons que D_1 est une dérivation logarithmique dans le premier cas et que c'est une dérivation exponentielle dans le second. On pose α = D_1(X) dans le cas logarithmique et α = (D_1(X))/X dans le cas exponentiel. On remarque que α est un élément de K.
Soit f ∈ K. On suppose que f est une somme de Liouville dans L.
  • 41.Démontrer que f est une somme de Liouville dans K(X) (muni de la dérivation D_1 de la question 40).
  • 42.Démontrer qu'il existe R dans K(X), (R_i)_(i ∈ I) dans (K(X)^∗)^I, (c_i)_(i ∈ I) dans K_(cst)^I (où I est un ensemble fini, éventuellement vide) avec les c_i non nuls et linéairement indépendants sur ℚ, tels que
    f = D_1(R) + ∑_(i ∈ I)c_i L_(D_1)(R_i).
  • 43.Expliciter un corps de décomposition sur K, noté M, sur lequel f peut s'écrire :
    f = D_1(P) + ∑_((j, s) ∈ J × S)D_2((n_(j, s))/((X − λ_j)^s)) + ∑_(i ∈ I)c_i L_(D_1)(a_i) + ∑_((i, j) ∈ I × J)c_i m_(i, j)(D_1(X) − D_2(λ_j))/(X − λ_j)
    où D_2 est l'unique prolongement de D_1 en une dérivation de M(X) et
    • -les ensembles I, J et S sont des parties finies de ℕ∖{0} (éventuellement vides);
    • -les n_(j, s) et les λ_j sont dans M, les λ_j étant distincts deux à deux ;
    • -les c_i sont dans K_(cst)^∗ et ℚ-linéairement indépendants, et les a_i dans K^∗;
    • -les m_(i, j) sont des entiers relatifs;
    • -le polynôme P est dans K[X].
  • 44.Soit j ∈ J. Démontrer que la fraction (D_1(X) − D_2(λ_j))/(X − λ_j) de M(X) vérifie selon les cas :
    • -si D_1 est exponentielle et λ_j = 0, (D_1(X) − D_2(λ_j))/(X − λ_j) ∈ K;
    • -sinon, (D_1(X) − D_2(λ_j))/(X − λ_j) est non nulle et sous forme irréductible.
    Indication : Pour cela, on pourra raisonner par l'absurde et utiliser la fonction tr_(M/K). On procédera alors en deux temps :
    • -si D_1 est logarithmique, démontrer qu'il existe β dans K, tel que X − β appartienne à K_(cst), puis conclure;
    • -si D_1 est exponentielle et si λ_j ≠ 0, démontrer qu'il existe n dans ℕ∖{0} et u dans K^∗ tels que nα = L_(D_1)(u), puis conclure.
  • 45.Par une étude analogue, démontrer que si n_(j, s) ≠ 0 alors le plus grand exposant de 1/(X − λ_j), dans la décomposition en éléments simples de D_2((n_(j, s))/((X − λ_j)^s)), est supérieur ou égal à 2 , sauf éventuellement si D_1 est exponentielle et λ_j = 0.
    Démontrer que dans ce cas exceptionnel, si n_(j, s) ≠ 0 alors le plus grand exposant de 1/X dans la décomposition en éléments simples de D_2((n_(j, s))/(X^s)) est égal à s.
  • 46.Démontrer que D_1(P) ∈ K[X]. En déduire que n_(j, s) = 0 pour tout (j, s) ∈ J × S, puis que m_(i, j) = 0 pour tout (i, j) ∈ I × J sauf éventuellement si D_1 est exponentielle et λ_j = 0.
  • 47.On suppose D_1 logarithmique. Démontrer que si D_1(P) est un polynôme constant, alors P est de degré au plus 1 et son coefficient dominant est dans K_(cst).
  • 48.On suppose D_1 exponentielle. Démontrer que si D_1(P) est un polynôme constant, alors P l'est également.
    Donner également une condition nécessaire sur le degré de P pour que D_1(P) soit de degré au plus 1.
  • 49.Conclure en démontrant que f est une somme de Liouville dans K.
On a ainsi démontré le lemme principal dans tous les cas. Par la question 33, le théorème principal est démontré.

III. 5 - Primitives élémentaires de fe^g et de (ln(T))/(T − λ).

La fin du sujet est consacrée à une application du théorème principal à l'étude des primitives d'un élément de la forme fe^g ou (ln(T))/(T − λ).
  • 50.Soit D une dérivation exponentielle sur K(X). Soit f ∈ K. Déduire de ce qui précède que Xf est une somme de Liouville dans K(X) si et seulement s'il existe a dans K tel que Xf = D(aX).
  • 51.Soit f ∈ ℂ(T) et g ∈ ℂ(T)∖ℂ. Démontrer que l'élément fe^g admet une primitive élémentaire sur ℂ(T)(e^g) (pour la dérivation usuelle) si et seulement s'il existe une fraction rationnelle b de ℂ(T) telle que f = b^′ + bg^′.
  • 52.Soit n ∈ ℕ∖{0, 1}. Démontrer que
    e^(T^n) et (e^T)/T
    n'admettent pas de primitive élémentaire sur ℂ(T)(e^(T^n)) et respectivement ℂ(T)(e^T) pour la dérivation usuelle.
  • 53.Soit λ ∈ ℂ. En s'inspirant des questions précédentes, donner une condition nécessaire et suffisante simple sur λ pour que
    (ln(T))/(T − λ)
    admette une primitive élémentaire sur ℂ(T)(ln(T)) pour la dérivation usuelle.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière EATE 1|3/0|0|A 1|0|1 0|3|7|6

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l’épreuve 1 de mathématiques de l’agrégation externe 2025 ?
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Sur quels chapitres porte l’épreuve 1 de mathématiques de l’agrégation externe 2025 ?

Le sujet porte sur l’algèbre linéaire (polynôme caractéristique et minimal), les extensions de corps algébriques et transcendantes, puis sur les corps différentiels et le théorème de Liouville sur les primitives élémentaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l’épreuve 1 de mathématiques de l’agrégation externe 2025 ?

Le rapport cite des définitions de base d’algèbre générale mal maîtrisées, une démonstration que K[x] est un corps souvent manquée, une question facile malmenée faute de lecture attentive, et des résultats affirmés sans démonstration en fin de sujet.

Quelle était la moyenne à l’épreuve 1 de mathématiques (mathématiques générales) de l’agrégation externe 2025 ?

La moyenne des candidats admissibles à cette épreuve écrite s’est établie à 8,64/20, avec un écart-type de 3,32.

L’épreuve 1 de mathématiques de l’agrégation externe 2025 est-elle difficile ?

Le jury indique que la difficulté de la dernière partie est avérée et que très peu de compositions l’ont abordée en profondeur, alors que l’exercice et les deux premières parties ont suffi à assurer l’admissibilité de nombreux candidats.

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