Agrégation mathématiques externe 2024, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2024

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Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2024.

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SESSION 2024

AGRÉGATION
Concours externe

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques générales

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Notations et vocabulaire

On note

ℕ

l'ensemble des entiers naturels,

ℕ^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls,

ℤ

l'anneau des entiers relatifs,

ℚ

le corps des nombres rationnels,

ℝ

le corps des nombres réels,

ℂ

le corps des nombres complexes.

Dans toute la suite de ces notations,

𝕂

désigne un corps.
Si

E

est un

𝕂

-espace vectoriel de dimension finie, la dimension de

E

sur

𝕂

est notée

dim_𝕂(E)

et plus simplement

dim(E)

s'il n'y a pas d'ambiguïté.

E

F

sont deux

𝕂

-espaces vectoriels, on note

L(E, F)

𝕂

-espace vectoriel des applications linéaires de

E

dans

F

. On note

L(E)

𝕂

-algèbre des endomorphismes de

E, GL(E)

le groupe des inversibles de

L(E)

; les éléments de

GL(E)

sont les automorphismes du

𝕂

-espace vectoriel

E

. L'élément neutre de

GL(E)

est l'application identique de

E

, notée

id_E

E

F

sont deux

𝕂

-espaces vectoriels et

u

un élément de

L(E, F)

, on désigne par

Ker(u)

le noyau de

u

et par

Im(u)

l'image de

u

. Si

E_1

est un sous-espace vectoriel de

E

et si

F_1

est un sous-espace vectoriel de

F

contenant

u(E_1)

, on note

u_(|E_1)^(|F_1)

l'élément de

L(E_1, F_1)

défini par

\forallx \in E_1, u_(|E_1)^(|F_1)(x) = u(x).

E = F

et si

E_1

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

u

, c'est-à-dire tel que

u(E_1) \subset E_1

, on abrège

u_(|E_1)^(|E_1)

u_(|E_1)

.
Si

E

est un

𝕂

-espace vectoriel non nul de dimension finie et

u

un endomorphisme de

E

, on note

χ_u

le polynôme caractéristique de

u

E

est un

𝕂

-espace vectoriel, une partie

L

L(E)

est dite commutative si

\forall(u, v) \in L^2, u \circ v = v \circ u.

Pour

(r, s)

dans

ℕ^(*2)

, on note

M_(r, s)(𝕂)

𝕂

-espace vectoriel des matrices à

r

lignes et

s

colonnes à coefficients dans

𝕂

. Pour

n

dans

ℕ^*

, on note

M_n(𝕂)

𝕂

-algèbre des matrices carrées à

n

lignes et

n

colonnes à coefficients dans

𝕂, GL_n(𝕂)

le groupe des inversibles de

M_n(𝕂)

; les éléments de

GL_n(𝕂)

sont les matrices inversibles de

M_n(𝕂)

. L'élément neutre de

GL_n(𝕂)

est la matrice identité de

M_n(𝕂)

, notée

I_n

Pour

n

dans

ℕ^*

M

dans

M_n(𝕂)

, on note

χ_M

le polynôme caractéristique de

M

.
Si

n

est un élément de

ℕ^*

, une partie

M

M_n(𝕂)

est dite commutative si

\forall(M, N) \in M^2, MN = NM.

n

est un élément de

ℕ^*

, on note

T_n(𝕂)

le sous-espace vectoriel de

M_n(𝕂)

constitué des matrices triangulaires supérieures,

T_n^0(𝕂)

le sous-espace vectoriel de

T_n(𝕂)

constitué des matrices triangulaires supérieures dont la diagonale est nulle.

Deux parties

P

P^'

M_n(𝕂)

sont dites conjuguées dans

GL_n(𝕂)

s'il existe

P

dans

GL_n(𝕂)

telle que

P^′ = {PMP^(− 1); M ∈ P}.

Un espace euclidien est un couple

(E, ⟨⟩

ù)oùE

est un

ℝ

-espace de dimension finie et

⟨

⟩unproduit

scalaire euclidien sur

E

. On note alors

O(E)

l'ensemble des isométries de

(E, ⟨⟩

à), c^' est - à - diredes

éléments

u

L(E)

tels que

\forall(x, y) \in E^2, ⟨u(x), u(y)⟩ = ⟨x, y⟩.

On rappelle que

O(E)

est un sous-groupe de

GL(E)

. On note

SO(E)

le sous-groupe de

O(E)

constitué des isométries de déterminant 1.

Pour

n

dans

ℕ^*

, on note

O_n(ℝ)

l'ensemble des matrices orthogonales de

M_n(ℝ)

, c'est-à-dire des matrices

M

M_n(ℝ)

telles que

M^T M = I_n

, où

M^T

désigne la transposée de la matrice

M

. On rappelle que

O_n(ℝ)

est un sous-groupe de

GL_n(ℝ)

. On note

SO_n(ℝ)

le sous-groupe de

O_n(ℝ)

constitué des matrices de

O_n(ℝ)

de déterminant 1.
Pour

θ

dans

ℝ

, on introduit la matrice

R(θ) = (cos(θ), - sin(θ); sin(θ), cos(θ))

.
On rappelle que

SO_2(ℝ) = {R(θ); θ ∈ ℝ}.

Deux parties

P

P^'

M_n(ℝ)

sont dites conjuguées dans

O_n(ℝ)

s'il existe

P

dans

O_n(ℝ)

telle que

P^′ = {PMP^(− 1); M ∈ P}.

On note

𝕌

l'ensemble des nombres complexes de module 1 ; on rappelle que

𝕌

est un sous-groupe du groupe

(ℂ^*, \times)

.
Pour

n

dans

ℕ^*

, on désigne par

𝕌_n

le sous-groupe de

𝕌

dont les éléments sont les racines

n

-ièmes de 1.

Un nombre complexe

z

est une racine de l'unité s'il existe

n

dans

ℕ^*

tel que

z \in 𝕌_n

.
Si

x

est un nombre réel, on note

⌊x⌋

la partie entière de

x

, c'est-à-dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à

x

, et

⌈x⌉

la partie entière supérieure de

x

, c'est-à-dire le plus petit entier relatif supérieur ou égal à

x

Organisation et buts du sujet

La partie I fait établir quelques résultats utilisés dans les parties II et III.
Les parties II et III sont indépendantes.
La partie II est consacrée aux sous-algèbres commutatives de dimension maximale de

M_n(𝕂)

.
La partie III est consacrée aux sous-groupes commutatifs finis de cardinal maximal de

GL_n(ℚ)

I. Préliminaires

I.A. Commutation et trigonalisation simultanée

Dans les questions 1 à

3, 𝕂

est un corps.

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie.

a)Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$ . Démontrer que, pour tout $λ$ dans $𝕂, Ker(u - λid_E)$ est stable par $v$ . Plus généralement, démontrer que, pour $P$ dans $𝕂[X]$ , le sous-espace vectoriel $Ker(P(u))$ de $E$ est stable par $v$ .
b)Soit $L$ une partie commutative de $L(E)$ dont tous les éléments sont des endomorphismes trigonalisables de $E$ . On suppose qu'au moins un élément de $L$ n'est pas une homothétie. Démontrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , non nul et différent de $E$ , stable par tous les éléments de $L$ .

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie, $L$ une partie commutative de $L(E)$ dont tous les éléments sont des endomorphismes trigonalisables de $E$ , $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ non nul, distinct de $E$ et stable par tous les éléments de $L$ .

On note

n = dim(E), m = dim(F)

. On a donc

1 \leq m \leq n - 1

n \geq 2

. On fixe une base (

e_1, \dots, e_m

) de

F

, que l'on complète en une base

e = (e_1, \dots, e_n)

E

a)Justifier que, pour tout élément $u$ de $L$ , la matrice $M_u$ de $u$ dans la base $e$ s'écrit
$ù M_u = (A_u, B_u; 0, C_u) où (A_u, B_u, C_u) \in M_m(𝕂) \times M_(m, n - m)(𝕂) \times M_(n - m)(𝕂).$
Pour $(u, v)$ dans $L^2$ , établir les relations
$A_u A_v = A_v A_u et C_u C_v = C_v C_u.$
b)Soit $u$ dans $L$ . Calculer $χ_u$ en fonction de $χ_(A_u)$ et de $χ_(C_u)$ . En déduire que les matrices $A_u$ et $C_u$ sont trigonalisables.

a) En raisonnant par récurrence, démontrer que, pour tout élément $n$ de $ℕ^*$ , pour tout $𝕂$ -espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et toute partie commutative $L$ de $L(E)$ dont tous les éléments sont des endomorphismes trigonalisables de $E$ , il existe une base $e$ de $E$ telle que, pour tout $u$ de $L$ , la matrice de $u$ dans $e$ appartienne à $T_n(𝕂)$ .

On demande de rédiger très précisément la démonstration par récurrence.

b)Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2 . Expliciter un couple $(A, B)$ de $T_n(𝕂)^2$ tel que $AB \neq BA$ . La réciproque de la propriété démontrée dans la question a) est-elle exacte?
c)Soient $n$ dans $ℕ^*, E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n, u_1, \dots, u_n$ des endomorphismes nilpotents de $E$ qui commutent deux à deux. Calculer $u_n \circ \dots \circ u_1$ .

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel non nul de dimension finie, $L$ une partie commutative de $L(E)$ . Démontrer qu'il existe une droite ou un plan de $E$ stable par tous les éléments de $L$ .

Indication. On pourra fixer une base

e

E

, considérer les matrices des éléments de

L

dans

e

comme des matrices complexes, justifier que ces matrices ont un vecteur propre complexe commun et décomposer ce vecteur en partie réelle et partie imaginaire.

I.B. Sous-groupes abéliens de $O_2(ℝ)$

Soit $n$ dans $ℕ^*$ .

a)Démontrer que $𝕌_n$ est le seul sous-groupe d'ordre $n$ de $𝕌$ .
b)Expliciter, sans détailler la vérification, un isomorphisme de groupes de $𝕌$ sur $SO_2(ℝ)$ . Démontrer que le groupe $SO_2(ℝ)$ admet exactement un sous-groupe d'ordre $n$ , que l'on note $R_n$ , dont on écrira les éléments.

a) Soit $O$ dans $O_2(ℝ)∖SO_2(ℝ)$ . Justifier que $O$ est conjuguée dans $O_2(ℝ)$ à $S = (1, 0; 0, - 1)$ . Déterminer le centralisateur $C(S)$ de $S$ dans $O_2(ℝ)$ , i.e. le sous-groupe de $O_2(ℝ)$ constitué des éléments de $O_2(ℝ)$ qui commutent à $S$ .

b)Démontrer que les sous-groupes commutatifs de $O_2(ℝ)$ sont les sous-groupes de $SO_2(ℝ)$ et les sous-groupes de $O_2(ℝ)$ conjugués dans $O_2(ℝ)$ à l'un des deux sous-groupes
${I_2, S} et {I_2, S, − I_2, − S}.$

Soit $A$ la matrice $A = (0, - 1; 1, 1)$ .

a)Démontrer qu'il existe $P$ dans $GL_2(ℝ)$ telle que $R(π/3) = PAP^(- 1)$ .
b)Démontrer que le sous-groupe $R_6$ de $SO_2(ℝ)$ , défini à la question 5.b), est conjugué dans $GL_2(ℝ)$ à un sous-groupe de $GL_2(ℚ)$ .

II. Sous-algèbres commutatives de dimension maximale de $M_n(𝕂)$

Dans toute cette partie II,

n

est un élément de

ℕ^*, 𝕂

un corps.
Si

n

est pair, on écrit

n = 2m

où

m \in ℕ^*

. L'ensemble des matrices de la forme

(0, A; 0, 0)

, où

A

parcourt

M_m(𝕂)

, est un sous-espace vectoriel de

M_n(𝕂)

, que l'on note

V_n(𝕂)

. On ne demande pas de le justifier.

n

est impair et supérieur ou égal à 3 , on écrit

n = 2m + 1

où

m \in ℕ^*

. L'ensemble des matrices de la forme

(0, A; 0, 0)

, où

A

parcourt

M_(m, m + 1)(𝕂)

(respectivement

M_(m + 1, m)(𝕂)

) est un sous-espace vectoriel de

M_n(𝕂)

, que l'on note

V_n^1(𝕂)

(respectivement

V_n^2(𝕂)

). On ne demande pas de le justifier.

n

est pair, on pose

A_n(𝕂) = {λI_n + M; λ ∈ 𝕂, M ∈ V_n(𝕂)}.

n

est impair et supérieur ou égal à 3, on pose, pour

i

dans

{1, 2}

A_n^i(𝕂) = {λI_n + M; λ ∈ 𝕂, M ∈ V_n^i(𝕂)}.

Pour

ℓ

dans

ℕ^*

, on pose

b(ℓ) = ⌊(ℓ^2)/4⌋

II.A. Les sous-algèbres $A_n(𝕂), A_n^i(𝕂)$

8.a) Justifier que, si $n$ est pair, la dimension de $V_n(𝕂)$ est $b(n)$ et que, si $n$ est impair supérieur ou égal à 3 et $i$ est dans ${1, 2}$ , la dimension de $V_n^i(𝕂)$ est $b(n)$ .
- b)Si $n$ est pair et si $M$ et $M^'$ sont dans $V_n(𝕂)$ , que vaut $M^' M$ ? Même question si $n$ est impair supérieur ou égal à 3 , si $i$ est dans ${1, 2}$ et si $M$ et $M^'$ sont dans $V_n^i(𝕂)$ .

Dans les questions 9 et 10,

V

est un sous-espace vectoriel de

T_n(𝕂)

tel que

\forall(M, M^') \in V^2, M^' M = 0.

On note

d = dim(V)

et on pose

A = {λI_n + M; λ ∈ 𝕂, M ∈ V}.

9.a) Vérifier que $A$ est une sous-algèbre commutative de $M_n(𝕂)$ . Exprimer $dim(A)$ en fonction de $d$ .
- b)Démontrer que le groupe des éléments inversibles de $A$ est
  $A^× = {λI_n + M; (λ, M) ∈ 𝕂^∗ × V}.$
- c)Démontrer que $V$ est le seul idéal de la $𝕂$ -algèbre commutative $A$ différent de $A$ et qu'il est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux de $A$ différent de $A$ .
10.a) Démontrer que le groupe ( $A^\times,$ . ) est isomorphe au produit direct du groupe ( $𝕂^*, \times$ ) par le groupe $(𝕂^d, +)$ .
- b)Soient $p$ un nombre premier, $r$ un élément de $ℕ^*, q = p^r, 𝔽_q$ un corps de cardinal $q$ .

Démontrer que, si

𝕂 = 𝔽_q

, le groupe (

A^\times

,.) des éléments inversibles de

A

est isomorphe au produit direct du groupe

(ℤ/(q - 1)ℤ, +)

par le groupe

((ℤ/pℤ)^(rd), +)

Indication. On rappelle que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.

II.B. Sous-espaces vectoriels commutatifs de matrices nilpotentes

Le but de cette sous-partie II.B est d'établir le résultat suivant.

Théorème 1.
(i) La dimension maximale d'un sous-espace vectoriel commutatif de

M_n(𝕂)

dont les éléments sont des matrices nilpotentes est

b(n)

.
(ii) Si

n \geq 4

, tout sous-espace vectoriel commutatif de

M_n(𝕂)

dont les éléments sont des matrices nilpotentes et dont la dimension est

b(n)

est conjugué dans

GL_n(𝕂)

au sous-espace

V_n(𝕂)

n

est pair, à l'un des deux sous-espaces

V_n^1(𝕂), V_n^2(𝕂)

n

est impair.

Soient

E

𝕂

-espace vectoriel de dimension

n, V

un sous-espace vectoriel commutatif de

L(E)

dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de

E

On note

F

le sous-espace vectoriel de

E

engendré par les images des éléments de

V

, i.e. le sous-espace des éléments de

E

de la forme

\sum_(i = 1)^r u_i(x_i)

où

r

parcourt

ℕ^*, (u_1, \dots, u_r)

parcourt

V^r

(x_1, \dots, x_r)

parcourt

E^r

Soient

S

un sous-espace vectoriel supplémentaire de

F

dans

E, Ψ

l'application de

V

dans

L(S, F)

définie par

\forallu \in V, Ψ(u) = u_(|S)^(|F).

L'application

Ψ

est linéaire; on ne demande pas de justifier ce point.
11. a) Démontrer que l'application

Ψ

est injective.

Indication. On pourra déterminer le noyau de

Ψ

en s'aidant de la question 3.c).

b)Démontrer que
$dim(V) \leq dim(F)(n - dim(F)) \leq b(n).$

On a ainsi établi l'item (i) du théorème 1.
Dans les questions 12 et 13 , on suppose que

V

est de dimension

b(n)

et que

n \geq 4

.
On note

d = dim(S)

.
12. a) Démontrer que l'application

Ψ

est un isomorphisme de

𝕂

-espaces vectoriels.

b)Démontrer que, si $n = 2m$ avec $m$ dans $ℕ^∗∖{1}$ , alors $d = m$ , et que, si $n = 2m + 1$ avec $m$ dans $ℕ^∗∖{1}$ , alors $d$ appartient à ${m, m + 1}$ .

En particulier, on a donc

d \geq 2

.
13. On se propose d'établir que

\forall(u, u^') \in V^2, u^' \circ u = 0.

Raisonnant par l'absurde, on suppose qu'il existe

u

u^'

dans

V

tels que

u^' \circ u \neq 0

a)Justifier l'existence de $x_1$ dans $S$ tel que $u^' \circ u(x_1) \neq 0$ .
b)On complète $x_1$ en une base $(x_1, \dots, x_d)$ de $S$ . Démontrer qu'il existe $v$ et $v^'$ dans $V$ tels que
$v(x_1) = u^'(x_2), v(x_2) = 0, v^'(x_1) = 0, v^'(x_2) = u(x_1).$
c)Démontrer que $v$ et $v^'$ ne commutent pas et conclure.

Établir l'item (ii) du théorème 1.

II.C. Sous-algèbres commutatives de $M_n(𝕂)$

Le but de cette sous-partie II.C est d'établir le résultat suivant.

Théorème 2.
(i) La dimension maximale d'une sous-algèbre commutative de

M_n(𝕂)

est

b(n) + 1

.
(ii) Si

n \geq 4

, toute sous-algèbre commutative de dimension

b(n) + 1

M_n(𝕂)

est conjuguée dans

GL_n(𝕂)

à la sous-algèbre

A_n(𝕂)

n

est pair, à l'une des deux sous-algèbres

A_n^1(𝕂)

A_n^2(𝕂)

n

est impair.
15. Soient

n_1

n_2

deux éléments de

ℕ^*

tels que

n_1 \leq n_2

. Démontrer que

(b(n_1) + 1) + (b(n_2) + 1) \leq b(n_1 + n_2) + 1.

Dans la suite de cette sous-partie II.C, on pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant.
Si

r

est un entier supérieur ou égal à 2 , si

n_1 \leq \dots \leq n_r

sont des éléments de

ℕ^*

, alors

\sum_(i = 1)^r(b(n_i) + 1) \leq b(\sum_(i = 1)^r n_i) + 1,

avec égalité si et seulement si

r = 2, n_1 = n_2 = 1

, ou

r = 2, n_1 = 1

n_2 = 2

.
16. On suppose que

𝕂

est algébriquement clos.
a) Démontrer que, pour tout

𝕂

-espace vectoriel

E

non nul de dimension finie et toute sousalgèbre commutative

A

L(E)

, il existe un élément

r

ℕ^*

, des sous-espaces vectoriels

E_1, \dots, E_r

non nuls de

E

vérifiant les conditions suivantes :

pour tout $i$ de $[ [1, r] ], E_i$ est stable par tout élément de $A$ ;
on a $E = ⨁_(i = 1)^r E_i$ ;
pour tout élément $u$ de $A$ et tout $i$ de $[ [1, r] ]$ , l'endomorphisme $u_(|E_i)$ de $E_i$ est de la forme $λ_i(u)id_(E_i) + ν_i(u)$ où $λ_i(u)$ est un élément de $𝕂$ et où $ν_i(u)$ est un élément nilpotent de $L(E_i)$ .
b) Établir le théorème 2 sous l'hypothèse $≪𝕂$ est algébriquement clos >>.

On ne suppose plus que $𝕂$ est algébriquement clos. Soit $Ω$ une extension algébriquement close de $𝕂 : 𝕂$ est un sous-corps du corps algébriquement $closΩ$ .

Soient

A

une sous-algèbre commutative de

M_n(𝕂)

de dimension

m, (U_i)_(i \in [ [1, m] ])

une base du

𝕂

-espace vectoriel

A

A_Ω

Ω

-sous-espace vectoriel de

M_n(Ω)

engendré

par(U_i)_(i \in [ [1, m] ])

.
a) Démontrer que

A_Ω

est une

Ω

-sous-algèbre commutative de

M_n(Ω)

de dimension

m

D'après la question 16.b), on a donc

m \leq b(n) + 1

.
Dans les questions b) à d) on suppose que

m = b(n) + 1

et que

n \geq 4

b)Démontrer que $A$ contient une matrice non inversible et non nulle.

Indication. On pourra s'intéresser à l'intersection de

A

et du sous-espace vectoriel de

M_n(𝕂)

constitué des matrices dont la première colonne est nulle.

c)Soit $M$ dans $A$ . D'après l'item (ii) du théorème 2 appliqué au corps algébriquement clos $Ω$ , la matrice $M$ s'écrit $λI_n + N$ où $λ$ est un élément de $Ω$ et où $N$ est une matrice nilpotente de $M_n(Ω)$ . Soit $C$ une matrice de $A$ non nulle et non inversible.

Établir l'égalité

(M - λI_n)C = 0

. En déduire que

λ

appartient à

𝕂

N

M_n(𝕂)

d)Établir le théorème 2.

II.D. Cardinal maximal d'un sous-groupe abélien de $GL_n(𝔽_q)$

On fixe un nombre premier

p

, deux éléments

d

n

ℕ^*

, avec

n \geq 4

. On pose

q = p^d

et on note

𝔽_q

un corps de cardinal

q

On note

β_q(n) = (q - 1)q^(b(n)).

On remarquera que, grâce à l'étude menée dans la sous-partie II.A, on dispose des résultats suivants, que l'on ne demande pas de justifier :

-si $n$ est pair, le groupe des inversibles de $A_n(𝔽_q)$ est un sous-groupe commutatif de $GL_n(𝔽_q)$ de cardinal $β_q(n)$ ;
-si $n$ est impair, les groupes des inversibles de $A_n^1(𝔽_q)$ et $A_n^2(𝔽_q)$ sont des sous-groupes commutatifs de $GL_n(𝔽_q)$ de cardinal $β_q(n)$ .

Le but de cette sous-partie II.D est d'établir le résultat suivant.

Théorème 3. Supposons que

n \geq 4

(i)Le cardinal maximal d'un sous-groupe abélien fini de $GL_n(𝔽_q)$ est $β_q(n)$ .
(ii)Tout sous-groupe abélien de $GL_n(𝔽_q)$ de cardinal $β_q(n)$ est conjugué dans $GL_n(𝔽_q)$ au groupe des inversibles de $A_n(𝔽_q)$ si $n$ est pair, au groupe des inversibles de $A_n^1(𝔽_q)$ ou au groupe des inversibles de $A_n^2(𝔽_q)$ si $n$ est impair.
18.Soient $G$ un sous-groupe commutatif de $GL_n(𝔽_q), V_G$ le sous-espace vectoriel de $M_n(𝔽_q)$ engendré par $G, d_G$ la dimension de ce sous-espace.
- a)Démontrer que $V_G$ est une sous-algèbre commutative de $M_n(𝔽_q)$ et que $|G| \leq q^(d_G) - 1$ .
- b)On suppose que le sous-groupe $G$ est de cardinal maximal parmi les sous-groupes commutatifs de $GL_n(𝔽_q)$ et que $n \geq 4$ .

Démontrer que

d_G = b(n) + 1

, puis que

|G| = β_q(n)

. En déduire le théorème 3.

III. Sous-groupe abéliens finis de $GL_n(ℚ)$ de cardinal maximal

Pour

n

dans

ℕ^*

, on pose

c(n) = 6^(n/2)

n

est pair,

c(n) = 2.6^((n - 1)/2)

n

est impair.
Le but de cette partie III est d'établir le théorème suivant.
Théorème 4. Soit

n

dans

ℕ^*

(i)L'ensemble des cardinaux des sous-groupes commutatifs finis de $GL_n(ℚ)$ a pour maximum $c(n)$ .
(ii)Deux sous-groupes de $GL_n(ℚ)$ de cardinal $c(n)$ sont conjugués dans $GL_n(ℚ)$ .

III.A. Irréductibilité des polynômes cyclotomiques

Un nombre complexe

z

est dit algébrique si l'idéal annulateur

I_z = {P ∈ ℚ[X]; P(z) = 0}

n'est pas nul. Si tel est le cas, on note

Π_z

le générateur unitaire de cet idéal, i.e. le polynôme minimal de

z

sur

ℚ

; on rappelle que

Π_z

est un irréductible de l'anneau

ℚ[X]

z

est un nombre complexe, on dit que

z

est un entier algébrique s'il existe

P \in ℤ[X]

unitaire tel que

P(z) = 0

. Les entiers algébriques sont donc en particulier des nombres complexes algébriques. On note

ℤ^-

l'ensemble des entiers algébriques.
Pour

n

dans

ℕ^*

, on pose

μ_n = {exp((2ikπ)/n); k ∈ [ [1, n] ], k ∧ n = 1} et Φ_n = ∏_(z ∈ μ_n)(X − z).

19.Soit $n$ dans $ℕ^*$ .
- a)Démontrer que $μ_n$ est l'ensemble des éléments d'ordre $n$ du groupe $𝕌$ .
- b)Soit $D_n$ l'ensemble des diviseurs de $n$ dans $ℕ^*$ . Établir l'égalité $X^n - 1 = \prod_(d \in D_n)Φ_d$ .
- c)Démontrer que $Φ_n$ appartient à $ℤ[X]$ .

Dans toute la suite de cette sous-partie III.A, on pourra utiliser sans démonstration le fait que

ℤ^-

est un sous-anneau de

ℂ

20.a) Démontrer que $ℤ^- \cap ℚ = ℤ$ . Que peut-on en déduire si $a$ et $b$ sont deux éléments non nuls de $ℤ$ tels que $a$ divise $b$ dans $ℤ^-$ ?
- b)Soit $z$ dans $ℤ^-$ . Démontrer que $Π_z$ appartient à $ℤ[X]$ .

Indication. On pourra établir que les coefficients de

Π_z

sont des éléments de

ℤ^- \cap ℚ

21.Si $P$ est un élément de $ℂ[X]$ unitaire de degré $d$ appartenant à $ℕ^*$ qui se factorise sous la forme $P = \prod_(k = 1)^d(X - z_k)$ où les $z_k$ sont dans $ℂ$ , on pose
$Δ(P) = \prod_(1 \leq k < ℓ \leq d)(z_ℓ - z_k)^2.$

a)Avec les notations précédentes, démontrer que
$Δ(P) = (- 1)^((d(d - 1))/2)\prod_(k = 1)^d P^'(z_k).$
b)Soit $n$ dans $ℕ^*$ . Démontrer qu'il existe $ε_n$ dans ${ - 1, 1}$ tel que $Δ(X^n - 1) = ε_n n^n$ .

a) Soient $d$ un entier tel que $d \geq 2, U$ l'élément $U = \prod_(1 \leq k < ℓ \leq d)(X_ℓ - X_k)$ de $ℤ[X_1, \dots, X_d]$ . Si $σ$ est une permutation de l'ensemble $[ [1, d] ]$ , exprimer $U(X_(σ(1)), \dotsX_(σ(d)))$ en fonction de la signature $ε(σ)$ de $σ$ et de $U(X_1, \dots, X_d)$ .

b)Soient $𝔸$ un sous-anneau de $ℂ, P$ dans $𝔸[X]$ un polynôme unitaire non constant, $d$ le degré de $P$ . Démontrer que $Δ(P)$ appartient à $𝔸$ .

Indication. Si

m \in [ [1, d] ]

, soit

Σ_m = \sum_(1 \leq i_1 < i_2 < \dots < i_m \leq d)X_(i_1)X_(i_2)\dotsX_(i_m)

. On pourra utiliser sans démonstration le fait suivant : si

V

est un élément de

ℤ[X_1, \dots, X_d]

tel que, pour toute permutation

σ

[ [1, d] ]

V(X_(σ(1)), \dots, X_(σ(d))) = V(X_1, \dots, X_d),

alors il existe un élément

W

ℤ[X_1, \dots, X_d]

tel que

V(X_1, \dots, X_d) = W(Σ_1, \dots, Σ_d)

.
23. Soient

n

dans

ℕ^*, z

dans

μ_n

p

un nombre premier.

a)Démontrer que, pour $P$ dans $ℤ[X], P(X^p) - P(X)^p$ appartient à $pℤ[X]$ . En déduire que $Π_z(z^p)$ appartient à $pℤ^-$ .
b)Démontrer que, si $Π_z(z^p) \neq 0, p$ divise $n$ dans $ℤ^-$ .

a) Soit $n$ dans $ℕ^*$ . Démontrer que le polynôme $Φ_n$ est irréductible sur $ℚ$ .

b)Soit $P$ un polynôme non constant de $ℚ[X]$ . On suppose que les racines de $P$ dans $ℂ$ sont des racines de l'unité et que $P$ admet au moins une racine différente de 1. Démontrer que $P$ admet au moins une racine de la forme $exp(iθ)$ avec $θ$ dans $[π/3, π]$ .

III.B. Sous-groupe abéliens finis de $O_n(ℝ)$

Soient

(E, ⟨⟩

)unespaceeuclidiennonnul, ‖‖

la norme euclidienne associée à

⟨

⟩.Pouru

dans

L(E)

, on pose

‖u‖_(op) = sup{‖u(x)‖; x ∈ E, ‖x‖ = 1}.

L'application

u \mapsto ‖u‖_(op)

est une norme sur

L(E)

.
25. On suppose dans cette question 25 que

E

est de dimension 2 et on oriente

E

Soient

θ

dans [

0, 2π[, r_θ

la rotation d'angle

θ

du plan euclidien orienté ainsi défini. Exprimer le nombre réel

‖r_θ - id_E‖_(op)

en fonction de

sin(θ/2)

Dans la suite de cette sous-partie III.B,

G

est un sous-groupe commutatif de

O(E)

26.Démontrer que l'on peut écrire une décomposition en somme directe orthogonale
$E = D_1 \oplus ^⊥\dots \oplus ^⊥D_k \oplus ^⊥P_1\dots \oplus ^⊥P_ℓ$
où $(k, ℓ)$ est dans $ℕ^2$ , où $D_1, \dots, D_k$ sont des droites stables par tous les éléments de $G, P_1, \dots, P_ℓ$ des plans stables par tous les éléments de $G$ , et où, pour tout $j$ dans $[ [1, ℓ] ]$ et tout $g$ de $G$ , l'endomorphisme $g_(|P_j)$ de $P_j$ appartient à $SO(P_j)$ .

Dans la suite de cette sous-partie III.B, on suppose que

G

est fini.
On pose

V = ⨁_(i = 1)^k D_i et W = ⨁_(j = 1)^ℓ P_j.

On note

G_0 = {g ∈ G; g_(|V) = id_V}

. L'ensemble

G_0

est un sous-groupe de

G

, la justification de ce point n'est pas demandée.

27.a) Démontrer que $|G|$ divise $2^k|G_0|$ .
On suppose dans la suite de cette question 27 que $G_0 ≠ {id_E}$ .
On pose $ε = min{‖g − id_E‖_(op); g ∈ G_0∖{id_E}}$ .
- b)Démontrer que $ε$ appartient à $]0, 2]$ et que, pour tout couple $(g, g^')$ d'éléments distincts de $G$ ,
  $‖g - g^'‖_(op) \geq ε.$
- c)Démontrer que $|G_0| \leq ⌈π/(Arcsin(ε/2))⌉^ℓ$ .
28.On suppose dans cette question 28 que, pour tout $g$ dans $G$ , le polynôme caractéristique $χ_g$ de $g$ appartient à $ℚ[X]$ . Démontrer que $|G_0| \leq 6^ℓ$ .

III.C. Sous-groupes abéliens finis de $GL_n(ℚ)$

29.Soient $n$ dans $ℕ^*, G$ un sous-groupe fini de $GL_n(ℝ)$ . Démontrer que $G$ est conjugué dans $GL_n(ℝ)$ à un sous-groupe de $O_n(ℝ)$ .
Indication. On pourra partir d'un produit scalaire quelconque〈, 〉et considérer l'application
$B : (x, y) \in ℝ^n \times ℝ^n ⟼ \sum_(g \in G)⟨g(x), g(y)⟩.$
30.a) Établir le point (i) du théorème 4.
- b)Établir le point (ii) du théorème 4.

Indication. On pourra admettre sans démonstration le fait suivant : deux parties de

M_n(ℚ)

conjuguées dans

GL_n(ℝ)

sont conjuguées dans

GL_n(ℚ)

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Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière EATE 1/3/0/0/A 1/01 0/3/7/6

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Organisation et buts du sujet

I. Préliminaires

I.A. Commutation et trigonalisation simultanée

I.B. Sous-groupes abéliens de O_2(ℝ)

II. Sous-algèbres commutatives de dimension maximale de M_n(𝕂)

II.A. Les sous-algèbres A_n(𝕂), A_n^i(𝕂)

II.B. Sous-espaces vectoriels commutatifs de matrices nilpotentes

II.C. Sous-algèbres commutatives de M_n(𝕂)

II.D. Cardinal maximal d'un sous-groupe abélien de GL_n(𝔽_q)

III. Sous-groupe abéliens finis de GL_n(ℚ) de cardinal maximal

III.A. Irréductibilité des polynômes cyclotomiques

III.B. Sous-groupe abéliens finis de O_n(ℝ)

III.C. Sous-groupes abéliens finis de GL_n(ℚ)

INFORMATION AUX CANDIDATS

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Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2024, épreuve 1

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I.B. Sous-groupes abéliens de $O_2(ℝ)$

II. Sous-algèbres commutatives de dimension maximale de $M_n(𝕂)$

II.A. Les sous-algèbres $A_n(𝕂), A_n^i(𝕂)$

II.C. Sous-algèbres commutatives de $M_n(𝕂)$

II.D. Cardinal maximal d'un sous-groupe abélien de $GL_n(𝔽_q)$

III. Sous-groupe abéliens finis de $GL_n(ℚ)$ de cardinal maximal

III.B. Sous-groupe abéliens finis de $O_n(ℝ)$

III.C. Sous-groupes abéliens finis de $GL_n(ℚ)$