Agrégation mathématiques externe 2026, épreuve 1Sujet

Agrégation externe section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2026

Pas encore noté

Réduction des matrices (diagonalisation, spectre)
Produit scalaire et orthonormalisation de Gram-Schmidt
Théorie des graphes
Groupes de type fini et graphes de Cayley
Espaces de Hilbert et endomorphismes autoadjoints
Topologie (distances, compacité, densité)
Probabilités (variables aléatoires indépendantes, loi binomiale, convergence presque sûre)

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Présentation du sujet

Graphes, laplacien combinatoire, croissance des groupes et marches aléatoires

Le problème étudie le laplacien combinatoire sur des graphes, d'abord à travers des exemples matriciels concrets, puis dans un cadre général fini et infini. Il se poursuit par l'étude de la croissance des groupes de type fini via leurs graphes de Cayley, avec les exemples du groupe de Heisenberg discret et du groupe libre à deux générateurs, avant de relier marche aléatoire, bord du groupe libre, mesure harmonique et problème de Dirichlet.

1I. PréliminaireDiagonalise sur C une matrice circulante 3x3 et en donne une base explicite de vecteurs propres.
2II. Premiers exemplesDétermine le spectre et les espaces propres de deux familles de matrices symétriques liées aux graphes complets et étoiles, à l'aide de l'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
3III. GraphesIntroduit le vocabulaire des graphes non orientés, la relation d'équivalence de connexité et la distance associée à la longueur des chemins.
4IV. LaplacienDéfinit le laplacien combinatoire sur un graphe connexe, borné, fini ou infini, et étudie son injectivité, sa surjectivité et son caractère autoadjoint sur l'espace de Hilbert des fonctions de carré sommable.
5V. Cas finiDétermine le noyau et l'image de la matrice laplacienne d'un graphe fini et l'illustre sur les exemples de la partie II.
6VI. Graphe de Cayley et croissanceCalcule le spectre de la matrice laplacienne du graphe cyclique par diagonalisation dans les complexes et définit les notions de croissance polynomiale, exponentielle et intermédiaire d'un groupe de type fini.
7VII. Groupe de Heisenberg discretÉtudie le graphe de Cayley du groupe de Heisenberg discret et montre que sa croissance est polynomiale d'un degré explicite.
8VIII. Groupe libreÉtudie les arbres et l'unicité des chemins sans aller-retour, puis l'unicité de l'écriture réduite des éléments du groupe libre à deux générateurs.
9IX. Marche au hasard et vitesse de fuiteÉtudie une marche aléatoire sur le groupe libre à l'aide de l'inégalité de Hoeffding et montre la convergence presque sûre de la vitesse de fuite.
10X. CompactificationConstruit une distance ultramétrique sur la compactification du groupe libre par son bord et en étudie la compacité et la densité.
11XI. Sortie de la marche au hasardMontre la convergence presque sûre de la marche aléatoire vers un point du bord et introduit la mesure harmonique associée.
12XII. Problème de DirichletRésout le problème de Dirichlet sur le groupe libre compactifié en construisant l'unique fonction continue, harmonique à l'intérieur, prolongeant une fonction continue donnée sur le bord.

Description

Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2026.

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SESSION 2026

AGRÉGATION
Concours externe

Section
MATHÉMATIQUES

Composition de mathématiques générales

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents sont interdits.

La qualité de la rédaction est un facteur important d'appréciation des copies. Les candidats sont donc invités à produire des raisonnements clairs, complets et concis.

Les candidats peuvent utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant dans ce cas à préciser la référence du résultat utilisé.

Notations et rappels

On note :

- $δ_(x, y)$ le symbole de Kronecker valant 1 si $x = y$ et 0 sinon, pour deux objets $x$ et $y$ ;
- $P_k(Y)$ l'ensemble des parties à $k$ éléments d'un ensemble $Y$ ;
- $ℕ^⋆ = ℕ∖{0}$ et $ℕ^′ = ℕ^⋆∖{1}$ ;
- $[ [p, q] ] = {n \in ℤ|p ⩽ n ⩽ q}$ , pour $p$ et $q$ deux entiers relatifs ;
- $X$ l'indéterminée des polynômes;
- $χ_M$ le polynôme caractéristique (unitaire) d'une matrice $M$ .

Pour

𝕂

désignant le corps

ℝ

ou le corps

ℂ

n

p

des éléments de

ℕ^⋆

- $U_(n, p)$ est la matrice de $M_(n, p)(𝕂)$ dont tous les coefficients valent 1 ;
-In est la matrice identité de $M_n(𝕂)$ ;
- $e = (e_i)_(i = 1)^n$ est la base canonique de $𝕂^n$ ;
-on identifie $𝕂^n$ et $M_(n, 1)(𝕂)$ en associant le vecteur $x = (x_i)_(i = 1)^n$ à la matrice $(x_1; ⋮; x_n)$ .

On pourra utiliser sans démonstration l'inégalité de Hoeffding pour une variable aléatoire

Y

suivant une loi binomiale

B(n, p)

\forallε > 0, P(|Y/n - p| ⩾ ε) ⩽ 2e^(- 2nε^2).

I. Préliminaire

Montrer que la matrice

J_3 = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0)

est diagonalisable sur

ℂ

.
En donner une base explicite de vecteurs propres dans

ℂ^3

, exprimée en fonction de

j = e^((2iπ)/3)

II. Premiers exemples

Soit

n

un élément de

ℕ^'

.
Dans cette partie, on travaille sur le corps de base

ℝ

et on s'intéresse aux éléments propres des matrices suivantes :

K_n = nI_n - U_(n, n) = (n - 1, - 1, \dots, - 1; - 1, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, - 1; - 1, \dots, - 1, n - 1)

S_n = ((n - 1), - U_(1, n - 1); - U_(n - 1, 1), I_(n - 1)) = (n - 1, - 1, \dots, \dots, - 1; - 1, 1, 0, \dots, 0; ⋮, 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, 0; - 1, 0, \dots, 0, 1).

2.Justifier l'existence d'une matrice $D$ diagonale à coefficients réels et d'une matrice $P$ orthogonale telles que $K_n = PDP^T$ .
3.Montrer que $χ_(K_n) = X(X - n)^(n - 1)$ .
4.Déterminer une base de $KerK_n$ .
En déduire une équation de l'espace propre de $K_n$ associé à la valeur propre $n$ . Montrer que $b = (b_i)_(i = 2)^n = (e_i - e_1)_(i = 2)^n$ est une base de cet espace propre.
5.Énoncer le théorème d'orthonormalisation de Gram-Schmidt pour une famille finie. On donnera les formules explicites utilisées pour construire la famille orthonormée.
6.Donner sans justification la forme générale des vecteurs $e_i^'$ de la famille $e^' = (e_i^')_(i = 2)^n$ obtenue par orthonormalisation de $b$ .
(On pourra, au brouillon, calculer quelques vecteurs, conjecturer la formule et la vérifier.) En déduire des matrices $P$ et $D$ qui vérifient le résultat du point 2.
7.On définit le déterminant suivant
$δ_n = |(1), U_(1, n - 1); U_(n - 1, 1), (X - 1)I_n| = |1, 1, \dots, \dots, 1; 1, X - 1, 0, \dots, 0; ⋮, 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, 0; 1, 0, \dots, 0, X - 1|.$
Prouver soigneusement que $δ_n = (X - n)(X - 1)^(n - 2)$ .
8.En déduire le spectre de $S_n$ .
On précisera les multiplicités de ses valeurs propres dans son polynôme caractéristique, ainsi que les dimensions de ses espaces propres.

III. Graphes

Un graphe (non orienté)

Γ

est un couple d'ensembles

Γ = (S, A)

, où

A \subset P_2(S)

. Les sommets de

Γ

sont les éléments de

S

. Les arêtes de

Γ

sont les éléments de

A

: ce sont des paires de sommets.
Pour deux sommets

x

y

, on dit que

x

est voisin de

y

et on note

x \sim y

si, et seulement si, l'arête

{x, y}

appartient à

A

. Cette relation est symétrique, puisque

{x, y} = {y, x}

.
Soient deux sommets

x

y

. On dit que

x

est relié à

y

et on note

x \leftrightarrow y

lorsque la condition suivante est réalisée :

\existsp \in ℕ, \exists(z_i)_(i = 0)^p \in S^(p + 1), (z_0 = x, z_p = y et \foralli \in [ [1, p] ], z_(i - 1) \sim z_i).

Un tel

(p + 1)

-uplet est un chemin de longueur

p

reliant

x

y

.
9. Montrer que ↔ est une relation d'équivalence sur

S

Les classes d'équivalence de cette relation sont appelées les composantes connexes de

Γ

. Le graphe

Γ

est dit connexe si, et seulement si,

\forallx, y \in S, x \leftrightarrow y.

Cela signifie que

Γ

a au plus une composante connexe.
On suppose dorénavant que le graphe

Γ

est connexe.
Pour deux sommets

x

y

, on note

d(x, y)

la plus petite longueur des chemins reliant

x

y

.
10. Montrer que l'application d est une distance sur l'ensemble

S

.
11. Quels sont les ouverts de

S

définis par cette distance?

Quelles sont les applications de

S

vers

ℝ

qui sont continues pour cette distance?

IV. Laplacien

Soit

Γ = (S, A)

un graphe connexe ayant au moins deux sommets.
On suppose que

Γ

est de degré uniformément borné, c'est-à-dire qu'il existe un entier

K

tel que tout sommet admette au plus

K

voisins.
Le degré

deg(x)

d'un sommet

x

est alors son nombre (fini) de voisins.
On note

E = ℝ^S

H = ℓ_ℝ^2(S) = {f ∈ E|∑_(x ∈ S)f(x)^2 < + ∞},

qu'on munit de son produit scalaire canonique défini par

\forall(f, g) \in H \times H, ⟨f, g⟩_H = \sum_(x \in S)f(x)g(x).

On définit l'application laplacien combinatoire de

Γ

Δ : {E, ⟶, E; f, ⟼, (Δf : x ⟼ deg(x)f(x) − ∑_(y ∈ S; y ∼ x)f(y)).

Les éléments de

KerΔ

sont appelés les fonctions harmoniques sur

Γ

.
12. Montrer que

Δ

est bien définie et que c'est un endomorphisme de

E

non injectif.
13. On étudie dans cette question deux exemples infinis.

(a)On prend ici $Γ = Γ_ℕ = (ℕ, {{n, n + 1}; n ∈ ℕ})$ .
Montrer que $KerΔ$ est une droite et que $Δ$ est surjectif.
(b)On prend ici $Γ = Γ_ℤ = (ℤ, {{n, n + 1}; n ∈ ℤ})$ .
Déterminer $KerΔ$ .
Est-ce que $Δ$ est surjectif?

On revient au cas général.
14. Montrer que

H = E

si, et seulement si,

S

est fini.
15. Montrer que

H

est stable par

Δ

On note

Δ_H

l'endomorphisme induit par

Δ

sur

H

.
16. Est-ce que

Δ_H

est continu pour la norme associée au produit scalaire canonique?
17. Montrer soigneusement que

∀f, g ∈ H, ⟨f, Δ_H g⟩_H = ∑_({x, y} ∈ A)(f(x) − f(y))(g(x) − g(y)).

On justifiera d'abord la notation du membre de droite, puis son existence.
En déduire que

Δ_H

est autoadjoint.

V. Cas fini

On suppose dans cette partie que le graphe

Γ

est fini, c'est-à-dire que

S

est fini.
On peut supposer, sans perte de généralité, que

S = [ [1, n] ]

, avec

n

un élément de

ℕ^'

.
On peut alors identifier

E

ℝ^n

, en assimilant un élément

f

E

au vecteur

(f(1); ⋮; f(n)).

Enfin, Mat

_e(Δ)

est appelée la matrice laplacienne de

Γ

.
18. Est-ce que

Δ

est surjectif?
Est-ce que

Δ

est diagonalisable?
19. Utiliser la partie précédente pour montrer que

KerΔ

est une droite vectorielle.
20. Montrer que

ImΔ = {f ∈ E|∑_(x ∈ S)f(x) = 0}.

Dessiner sans justification deux graphes ayant pour matrices laplaciennes $K_5$ et $S_5$ .
On numérotera leurs sommets et on représentera leurs arêtes par des segments.

Figure 1 - Graphe cyclique à 5 sommets

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3 .
On considère le graphe cyclique à $n$ sommets, qu'on voit sur la figure 1 pour $n = 5$ .
Formellement, ce graphe est le couple $([ [1, n] ], {{i, i + 1}; i \in [ [1, n - 1] ]} \cup {{n, 1}})$ .
Donner sans justification sa matrice laplacienne $C_n$ .
Exprimer $C_n$ comme une combinaison linéaire de $I_n, J_n$ et $J_n^(- 1)$ , la matrice $J_n$ étant définie, en désignant par $k¯$ la classe d'un entier $k$ modulo $n$ , comme

J_n = (δ_(i + 1^-, j¯))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) = (0, 1, 0, \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, 0, 1; 1, 0, \dots, \dots, 0).

On note $ω_n = e^((2iπ)/n)$ .
Montrer que, pour tout élément $p$ de $[ [1, n] ], (ω_n^((p - 1)(k - 1)))_(k = 1)^n$ est un vecteur propre de $J_n$ .
En déduire une base de vecteurs propres de $C_n$ dans $ℂ^n$ , puis son spectre.
Déterminer soigneusement les multiplicités des valeurs propres.
Soit $n$ un élément de $ℕ^'$ .
On note $L_n$ la matrice laplacienne du graphe $([ [1, n] ], {{i, i + 1}; i \in [ [1, n - 1] ]})$ .

(a)Soit $x = (x_i)_(i = 1)^(2n)$ un vecteur propre de $C_(2n)$ tel que $x_(n + 1) = x_n$ et $x_(2n) = x_1$ .
Montrer que $x^' = (x_i)_(i = 1)^n$ est un vecteur propre de $L_n$ .
(b)En déduire, par des combinaisons linéaires judicieuses, les éléments propres de $L_n$ .

VI. Graphe de Cayley et croissance

On considère ici un groupe

(G, \cdot)

de type fini, i.e. qui possède une partie génératrice finie

Z

. Quitte à l'enlever, on peut supposer que le neutre

1_G

G

n'appartient pas à

Z

. Quitte à rajouter certains inverses de ses éléments, on peut aussi supposer que la partie

Z

est symétrique, c'est-à-dire que, pour tout élément

a

Z, a^(- 1)

appartient aussi à

Z

. Une telle partie génératrice sera appelée ici un système générateur.

Le graphe (non orienté) de Cayley

Γ(G, Z)

du groupe

G

muni du système générateur

Z

est le graphe

(S, A)

, où :

-l'ensemble $S$ des sommets est $G$ lui-même;
-l'ensemble des arêtes est $A = {{x, xa}; (x, a) \in G \times Z}$ .

(Bien remarquer que

{x, xa}

{xa, (xa)a^(− 1)}

ne forment qu'une seule et même arête.)
26. Déterminer, parmi les graphes définis dans les questions 13a, 13b, 21, 22 et 25, lesquels sont des graphes de Cayley, en précisant à chaque fois le groupe et le système générateur choisis et en justifiant les réponses négatives.

On définit la fonction de croissance de

(G, Z)

par

β : {ℕ, ⟶, ℕ; k, ⟼, Card(B(1_G, k)),

où

B(1_G, k)

est la boule fermée de centre

1_G

et de rayon

k

pour la distance de la question 10 . On dit que la croissance de

(G, Z)

est :

-polynomiale lorsqu'il existe un entier naturel $n$ tel que $β(k) = _(k \to + \infty)O(k^n)$ ;
-polynomiale de degré $n$ si, de plus, $k^n = _(k \to + \infty)O(β(k))$ ;
-exponentielle lorsqu'il existe un réel $c > 1$ tel que $c^k = _(k \to + \infty)O(β(k))$ ;
-intermédiaire lorsque sa croissance n'est ni polynomiale, ni exponentielle.

On note $C$ le cardinal de $Z$ .

Montrer que, pour tout

k

appartenant à

ℕ^⋆, β(k) - β(k - 1) ⩽ C(C - 1)^(k - 1)

.
Commenter la définition de la croissance exponentielle ainsi que le mot « intermédiaire ».
28. On munit

(ℤ^2, +)

du système générateur

Z_(can) = {(1, 0), (0, 1), (− 1, 0), (0, − 1)}

Dessiner sans justification la boule

B((0, 0), k)

pour

k

dans

ℕ^⋆

.
En déduire une formule explicite pour la fonction de croissance de

(ℤ^2, Z_(can))

.
29. Soit

G

un groupe de type fini.

(a)Montrer que le type de croissance de $(G, Z)$ , ainsi, le cas échéant, que son degré de croissance polynomiale, ne dépendent pas du système générateur $Z$ choisi.
On peut donc parler du type de croissance du groupe $G$ .
(b)Montrer que si $G$ est abélien, alors sa croissance est polynomiale.

VII. Groupe de Heisenberg discret

Soit

H_3

le sous-groupe de

GL(3, ℝ)

engendré par les trois matrices suivantes :

S = (1, 0, 0; 1, 1, 0; 0, 0, 1), T = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 1, 1), U = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 1, 0, 1).

On note

Z = {S, S^(− 1), T, T^(− 1), U, U^(− 1)}

, d la distance sur

Γ(H_3, Z)

et, pour tout élément

X

du groupe

H_3, |X| = d(I_3, X)

30.(a) Calculer $S^k T^ℓ U^m$ pour $k, ℓ, m$ éléments de $ℤ$ .
En déduire que $f : {ℤ^3, ⟶, H_3; (k, ℓ, m), ⟼, S^k T^ℓ U^m$ est bijective.
- (b)Pour $k, ℓ, m, k^', ℓ^', m^'$ appartenant à $ℤ$ , expliciter $k^(''), ℓ^(''), m^('')$ dans $ℤ$ tels que
  $S^k T^ℓ U^m S^(k^')T^(ℓ^')U^(m^') = S^(k^(''))T^(ℓ^(''))U^(m^('')).$
  Le groupe $H_3$ est-il commutatif?
  Quel est le sous-groupe de $H_3$ engendré par ${S, T}$ ?
31.Montrer que $\forallk, ℓ, m \in ℤ, |S^k T^ℓ U^m| ⩽ |k| + |ℓ| + 6\sqrt(|m|)$ .
32.Soient $k, ℓ, m$ des éléments de $ℤ$ .
Montrer par récurrence que $|k| + |ℓ| ⩽ |S^k T^ℓ U^m|$ et $|m| ⩽ |S^k T^ℓ U^m|^2$ .
En déduire que $1/2(|k| + |ℓ| + \sqrt(|m|)) ⩽ |S^k T^ℓ U^m|$ .
33.Montrer que la croissance de $H_3$ est polynomiale d'un degré à préciser.

VIII. Groupe libre

Soit

Γ = (S, A)

un graphe.

-On dit que c'est un arbre lorsqu'il est connexe et « minimal » pour cette propriété au sens où, pour toute arête $a = {x, y}$ , $x$ et $y$ ne sont plus reliés dans le graphe $Γ^′ = (S, A∖{a})$ .
-On dit qu'un chemin $(z_0, \dots, z_i, \dots, z_p)$ de $Γ$ admet un aller-retour en $i(i \in [ [1, p - 1] ])$ lorsque $z_(i - 1) = z_(i + 1)$ .
-On appelle lacet tout chemin de $Γ$ reliant un point à lui-même.

Soit $T = (S, A)$ un arbre.

- (a)Soient $x$ et $y$ deux sommets distincts à distance $p$ .
  Montrer qu'il existe un unique voisin de $y$ à distance $p - 1$ de $x$ et que tous ses autres voisins sont à distance $p + 1$ de $x$ .
  En déduire que tout lacet de longueur non nulle admet un aller-retour.
- (b)Soient $x$ et $y$ deux sommets de $T$ .
  Montrer qu'il existe un unique chemin reliant $x$ à $y$ sans aller-retour.
  En déduire que c'est aussi l'unique chemin reliant $x$ à $y$ de longueur $d(x, y)$ .

On admet l'existence d'un groupe

F_2

engendré par deux éléments

a

b

tels que, d'une part, l'ensemble

Z = {a, b, a^(− 1), b^(− 1)}

soit de cardinal 4 et, d'autre part,

Γ = Γ(F_2, Z)

soit un arbre. On note 1 son neutre. Ces notations valent jusqu'à la fin du sujet.

Dans une suite finie ou infinie d'éléments de

Z

, on appelle simplification toute succession d'un élément de

Z

et de son inverse

(aa^(- 1), bb^(- 1), a^(- 1)a, b^(- 1)b)

. Dans le cas d'une suite finie, une simplification peut être retirée sans changer la valeur du produit des éléments de la suite. Pour un élément

x

F_2

, on appelle écriture réduite de

x

toute écriture de

x

comme produit d'une suite finie d'éléments de

Z

sans simplifications.
On convient que le produit vide d'éléments de

Z

est une écriture réduite de 1, encore notée 1.

35.Dessiner la boule de $Γ$ de centre 1 et de rayon 3, en nommant les sommets qui sont à distance au plus 2 de l'élément neutre.
36.Montrer que chaque élément de $F_2$ admet une unique écriture réduite.
37.Calculer la fonction de croissance de $(F_2, Z)$ et déterminer son type.
En quel sens est-elle maximale?

On note

Δ

le laplacien de

Γ

.
38. Est-ce que

Δ

est surjectif?

Pour un élément

x

F_2

dont l'écriture réduite est

x_1 x_2\dotsx_k

, on note

x_(\to p) = x_1\dotsx_p

pour tout

p

dans

[ [0, k] ]

. Par convention,

x_(\to 0) = 1

.
On définit aussi le bord

\partialF_2

F_2

comme l'ensemble des suites infinies

φ = (φ_n)_(n \in ℕ^⋆)

d'éléments de

Z

sans simplifications.
Pour un tel

φ

et un entier naturel

p

, on définit aussi

φ_(\to p) = φ_1\dotsφ_p

.
Soit

φ

un élément de

\partialF_2

fixé.
Pour un élément

x

F_2

d'écriture réduite

x_1 x_2\dotsx_k

, on note

m = m(x, φ) = max{p ∈ [ [0, k] ]|x_(→ p) = φ_(→ p)}

et on pose

b_φ(x) = (k - m) - m = k - 2m

.
On définit ainsi la fonction de Busemann

b_φ

du point

φ

, dont on peut voir les lignes de niveau sur la figure 2.
On pourra utiliser sans démonstration le fait suivant : tout sommet

x

a un unique voisin dans l'ensemble

b_φ^(− 1)({b_φ(x) − 1})

et les trois autres dans l'ensemble

b_φ^(− 1)({b_φ(x) + 1})

39.Trouver une fonction harmonique $f$ sur $Γ$ telle que
$f(1) = 1 et ∀ψ ∈ ∂F_2∖{φ}, lim_(p → + ∞)f(ψ_(→ p)) = 0.$
Vérifier que $lim_(p \to + \infty)f(φ_(\to p)) = + \infty$ .
40.Soient $q$ dans $ℕ$ et $h$ une fonction harmonique tels que $h(φ_(\to q)) = 0$ et $lim_(p \to + \infty)h(ψ_(\to p)) = 0$ pour tout point $ψ$ du bord tel que $ψ_(\to q + 1) \neq φ_(\to q + 1)$ .
Montrer que $h$ s'annule en tout $x$ de $F_2$ tel que $m(x, φ) ⩽ q$ .
En déduire l'unicité de la fonction $f$ précédente.

On note

p_φ

cette fonction.
41. Que dire de la dimension de

KerΔ

Figure 2 - Lignes de niveau de la fonction

b_φ

IX. Marche au hasard et vitesse de fuite

Soit

(Y_n)_(n \in ℕ^⋆)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la même loi uniforme d'image

Z

.
On définit, pour tout entier naturel

n

, la variable aléatoire suivante, à valeurs dans

F_2

X_n = Y_1\dotsY_n.

La variable aléatoire

X_0

est ainsi certaine de valeur 1.

42.Soit $φ$ un élément de $\partialF_2$ .
Montrer que $(b_φ(X_n) + n)/2$ suit une loi binomiale $B(n, 3/4)$ .
En déduire que, pour tout réel $ε$ strictement positif,
$P(|(b_φ(X_n))/n - 1/2| ⩾ ε) ⩽ 2e^(- nε^2/2).$

43.Montrer que, presque sûrement,
$(d(1, X_n))/n ⟶ _(n \to + \infty)1/2.$
44.Montrer que, pour toute partie finie $E$ de $F_2$ ,
$P(\existsN \in ℕ, \foralln ⩾ N, X_n \notin E) = 1.$

X. Compactification

On note

F_2^- = F_2 \cup \partial F_2

.
Par unicité de l'écriture réduite des éléments de

F_2

, on peut identifier un élément

x

F_2

et l'unique suite finie d'éléments de

Z

sans simplifications (

x_1, \dots, x_k

) telle que

x = x_1\dotsx_k

. Pour unifier l'écriture des éléments de

F_2^-

, on prolonge ces suites finies par une infinité de 1 en écrivant

x = (x_1, \dots, x_k, 1, 1, \dots)

. Ainsi, tout élément

y

F_2^-

est uniquement représenté par une suite infinie qu'on note

(y_n)_(n \in ℕ^⋆)

.
On étend naturellement la notation

y_(\to p)

déjà employée précédemment.
On étend aussi l'action de translation à gauche de

F_2

sur lui-même en une action de

F_2

sur

F_2^-

: pour

x = x_1\dotsx_k

dans

F_2

y

dans

F_2^-, x \cdot y

est l'élément de

F_2^-

décrit par la suite infinie obtenue en supprimant successivement toutes les simplifications de la concaténation

x_1\dotsx_k y_1 y_2\dots

.
Pour un élément

y

F_2^-

et un entier naturel

p

, on définit

C(y, p) = {z ∈ F_2^–|z_(→ p) = y_(→ p)} et I(y, p) = C(y, p) ∩ ∂F_2.

Pour

x

y

appartenant à

F_2^-

, on définit

d^′(x, y) = exp(− max{p ∈ ℕ|x_(→ p) = y_(→ p)}).

45.Montrer que
$\forallx, y, z \in F_2^-, d^'(x, z) ⩽ max(d^'(x, y), d^'(y, z)).$
En déduire que d' est une distance sur $F_2^-$ .
Montrer que sa restriction à $F_2 \times F_2$ est topologiquement équivalente à d.
Décrire les boules ouvertes et les boules fermées, pour la distance d', à l'aide des $C(y, p)$ ci-dessus et en déduire que ces ensembles sont à la fois ouverts et fermés.
46.Montrer que $F_2^-$ est un compact dont $F_2$ est une partie dense.
47.Montrer que $\partialF_2$ est compact.
Montrer qu'il est sans point isolé : aucun singleton n'est ouvert.
Montrer qu'il est totalement discontinu : ses composantes connexes sont les singletons.

XI. Sortie de la marche au hasard

48.Démontrer que, presque sûrement, il existe un élément du bord $X_\infty$ tel que
$X_n ⟶ _(n \to + \infty)X_\infty.$

On admet les faits intuitifs suivants :

- -l'application $X_\infty$ est une variable aléatoire (lorsqu'on munit $\partialF_2$ de la tribu borélienne). On appelle mesure harmonique basée en 1 sa loi $μ_1 = P_(X_\infty)$ , qui est donc une probabilité sur $\partialF_2$ : c'est la loi de sortie de la marche au hasard;
- -en lançant la marche au hasard à partir d'un point $x$ de $F_2$ autre que 1, autrement dit en considérant les variables aléatoires $xY_1\dotsY_n$ , on obtient des résultats analogues : presque sûrement, la marche tend vers un point du bord et sa loi de sortie est $μ_x$ , mesure harmonique basée en $x$ ;
- -pour des raisons de symétrie, si l'on fixe un élément $x$ de $F_2$ et un entier naturel $p$ , la probabilité $μ_x(x \cdot I(φ, p))$ ne dépend pas de l'élément $φ$ de $\partialF_2$ .
49.Soit $(x, φ, p)$ un élément de $F_2 \times \partialF_2 \times ℕ$ .
Calculer $μ_x(x \cdot I(φ, p))$ et vérifier que ce nombre ne dépend pas de $x$ .
Montrer que, pour tout élément $x$ de $F_2$ et tout borélien $B$ de $\partialF_2$ ,
$μ_x(B) = \int_B p_φ(x)dμ_1(φ)$
(On rappelle que les fonctions $p_φ$ ont été définies à la question 40.)

XII. Problème de Dirichlet

Soit

g

une fonction continue sur

\partialF_2

50.Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ définie sur $F_2^-$ vérifiant les trois propriétés suivantes :
- -la fonction $f$ est continue;
- -la restriction de $f$ à $F_2$ est harmonique;
- -la restriction de $f$ à $\partialF_2$ égale $g$ .

On pourra commencer par montrer que la fonction

h : {F_2, ⟶, ℝ; x, ⟼, ∫_(∂F_2)g(φ)dμ_x(φ)

est harmonique.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION EXTERNE - MATHÉMATIQUES

Concours Section/option Epreuve Matière EIAE 1/3/0/0/A 1|0|1 0|3|7|6

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve 1 de mathématiques générales de l'agrégation externe 2026 ?

Elle porte sur la réduction des matrices, les espaces de Hilbert, la théorie des graphes, les groupes de type fini et leur croissance, la topologie et les probabilités, à travers l'étude du laplacien combinatoire et des marches aléatoires.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, le sujet est très progressif : les parties utilisent les résultats des parties précédentes, en particulier la notion de laplacien et de croissance introduites tôt dans le problème sont réutilisées jusqu'à la fin.

Quels exemples de groupes sont étudiés dans ce sujet ?

Le sujet étudie le groupe cyclique via le graphe cyclique, le groupe de Heisenberg discret et le groupe libre à deux générateurs, pour illustrer différents types de croissance.

Faut-il des connaissances de probabilités pour ce sujet ?

Oui, la fin du sujet étudie une marche aléatoire sur le groupe libre à l'aide de variables aléatoires indépendantes, de la loi binomiale et de résultats de convergence presque sûre.

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Commentaires• Agrégation mathématiques externe 2026, épreuve 1

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