Agrégation mathématiques externe 2020, épreuve 2Sujet et rapport du jury

AGREGATION
CONCOURS EXTERNE

Notations

• -Pour s un nombre complexe, on note Re(s) la partie réelle de s et Im(s) sa partie imaginaire.
• -Si t est un nombre réel strictement positif et s est un nombre complexe, la puissance complexe t^s est définie par t^s = exp((Re(s) + iIm(s))ln(t)).
• -Pour x réel, on définit la partie entière de x, notée ⌊x⌋ par
  ⌊x⌋ = max{n ∈ Z tel que n ≤ x}
  et la partie fractionnaire de x, notée {x} par {x} = x − ⌊x⌋.
• -Séries de Fourier
  Soit f une fonction localement intégrable 1 -périodique. Les coefficients de Fourier de f sont
  ∀n ∈ Z, c_n(f) = ∫_0^1 f(t)e^(− i2πnt) dt; ∀n ∈ N, a_n(f) = c_n(f) + c_(− n)(f), ∀n ∈ N^∗, b_n(f) = i(c_n(f) − c_(− n)(f)).
  La série de Fourier associée à f est la série trigonométrique
  ∑_(n ∈ Z)c_n(f)e^(i2πnx) = 1/2a_0(f) + ∑_(n ∈ N^∗)(a_n(f)cos(2πnx) + b_n(f)sin(2πnx)).
• -Soit I un intervalle de R d'intérieur non vide. On désigne par L^2(I) le R-espace vectoriel des fonctions f définies sur I, à valeurs dans R^– = R ∪ { − ∞, + ∞} telles que x ↦ |f(x)|^2 est intégrable sur I (au sens de la mesure de Lebesgue).
• -Pour f une fonction définie sur I ⊂ R, à valeurs dans R^–, on désigne par supp(f) son support : supp(f) = I∖O où O est la réunion de tous les ouverts sur lesquels f est nulle presque partout. En particulier, pour presque tout x ∉ supp(f), on a f(x) = 0.
• -Pour une fonction f de L^2(]0, + ∞[), on note ‖f‖_2 la norme euclidienne de f définie par
  ‖f‖_2 = (∫_(]0, + ∞[)|f(x)|^2 dx)^(1/2).
• -Pour tout borélien B ⊂ R, on désigne par 1_B la fonction caractéristique de cet ensemble B : 1_B(x) vaut 1 si x ∈ B et vaut 0 si x ∉ B.
• -Soit f une fonction intégrable sur R. On définit sa transformée de Fourier par
  fˆ : ξ ∈ R ⟼ fˆ(ξ) = ∫_R e^(− ixξ)f(x)dx.

• -Soit f une fonction mesurable sur ]0, + ∞[ à valeurs réelles, on définit sa transformée de Mellin par
  s ∈ C ⟼ Mf(s) = ∫_0^(+ ∞)f(t)t^(s − 1) dt
  aux points s de C pour lesquels t ↦ f(t)t^(s − 1) est intégrable sur ]0, + ∞[.
• -Soient (E, ‖ ⋅ ‖_E) et (F, ‖ ⋅ ‖_F) deux espaces vectoriels normés et T une application linéaire de E dans F. Si la quantité (‖T(u)‖)/(‖u‖) reste bornée quand u décrit E∖{0}, on appelle norme de l'application linéaire T sa borne supérieure et on note
  ‖|T‖| = sup_(u ≠ 0)(‖T(u)‖_F)/(‖u‖_E).

Rappels

• Théorème d'holomorphie pour les séries de fonctions
  Soit Ω un ouvert de C et (f_n)_(n ∈ N) une suite de fonctions de Ω dans C. On suppose

• • -pour tout n ∈ N, f_n est une fonction holomorphe sur Ω;
  • -pour tout compact K de Ω, la série de fonctions ∑_(n ≥ 0)f_n converge normalement sur K; alors, la fonction F définie sur Ω par F(z) = ∑_(n ≥ 0)f_n(z) est bien définie et holomorphe sur Ω.
• -L'ensemble des fonctions à valeurs réelles à support compact dans ]0, + ∞[ et continues sur leur support est dense dans L^2(]0, + ∞[).
• -Théorème de Plancherel
  La restriction de la transformée de Fourier à l'ensemble des fonctions de L^2(R) intégrables sur R se prolonge en un isomorphisme de L^2(R) sur L^2(R), que l'on note encore f ↦ fˆ.
  Pour presque tout ξ ∈ R, fˆ(ξ) est la limite au sens de la norme quadratique de L^2(R), lorsque T tend vers l'infini, de ∫_(− T)^T e^(− ixξ)f(x)dx.
  De plus, pour tout f ∈ L^2(R),
  ∫_R|f(t)|^2 dt = 1/(2π)∫_R|fˆ(ξ)|^2 dξ.
• -Lemme de Fatou
  Pour toute suite (f_n)_(n ∈ N) de fonctions mesurables sur un intervalle I de R à valeurs dans [0, + ∞], la limite inférieure de f_n est mesurable sur I pour tout n ∈ N et on a
  ∫_I lim inf_(n → + ∞)f_n(x)dx ≤ lim inf_(n → + ∞)∫_I f_n(x)dx
• -Théorème de prolongement des applications linéaires continues de L^2(]0, + ∞[).
  Soit D un sous-espace vectoriel dense de L^2(]0, + ∞[). Soit T : D → L^2(]0, + ∞[) une application linéaire continue sur D. Alors T se prolonge de façon unique en une application linéaire continue sur L^2(]0, + ∞[) de même norme que la norme de T sur D.

I Exercices préliminaires

• 1.Soient s un nombre complexe et t un réel strictement positif. Montrer que |t^s| = t^(Re(s)).
• 2.(a) Montrer que la série de fonctions ∑_(n ≥ 1)((− 1)^n)/nx^n converge uniformément sur [0, 1] et que sa somme est une fonction continue sur [0, 1].
  • (b)Déterminer le rayon de convergence r de la série entière ∑_(n ≥ 1)((− 1)^n)/nx^n et rappeler la valeur de sa somme sur ] − r, r[.
  • (c)En déduire la valeur de ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^n)/n.
• 3.(a) Déterminer les coefficients de Fourier a_n et b_n (voir (1)) de la fonction 1-périodique
  x ⟼ {x} − 1/2.
  • (b)Montrer que la série ∑_(n ≥ 1)(sin(2πnx))/(− πn) converge simplement vers {x} − 1/2 sur R∖Z.
• 4.(a) Montrer que l'intégrale généralisée ∫_0^(+ ∞)(sinx)/x dx converge.
  • (b)En appliquant, pour 0 < ε < R, le théorème des résidus à la fonction F(z) = e^(iz)/z sur le contour γ_(ε, R) formé des segments [ε, R] et [ − R, − ε] et des demi-cercles de centre 0 et de rayons ε et R situés dans le demi-plan supérieur, montrer que ∫_0^(+ ∞)(sinx)/x dx = π/2.

II Autour de la transformée de Mellin

• 1.Soit f une fonction mesurable sur ]0, + ∞[ à valeurs dans R. On note I(f) l'ensemble
  I(f) = {σ ∈ R tel que ∫_(]0, + ∞[)|f(t)|t^(σ − 1) dt < + ∞}.

• 2.Montrer que si f ∈ L^2(]0, + ∞[) est presque partout nulle sur ]1, + ∞[, alors ]1/2, + ∞[ ⊂ I(f). On s'intéresse dorénavant à la transformée de Mellin (2) de f.
• 3.Montrer que Mf est bien définie sur la bande verticale du plan complexe (éventuellement non bornée à droite ou à gauche) D(f) = {s ∈ C tel que Re(s) ∈ I(f)}.
• 4.Déterminer l'intervalle I(1_([0, 1])) et la transformée de Mellin de la fonction indicatrice 1_(]0, 1]) sur D(1_([0, 1])).
• 5.Soit λ un réel strictement positif et soit f une fonction mesurable sur ]0, + ∞[ à valeurs dans R. On note T_λ f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par T_λ f(x) = f(λx). Montrer que I(f) = I(T_λ f) et que pour tout s ∈ D(f), on a M(T_λ f)(s) = λ^(− s)Mf(s).

III Fonction zeta de Riemann

• 1.(a) Montrer que les séries de fonctions ∑_(n = 1)^∞1/(n^s) et ∑_(n = 1)^∞((− 1)^n)/(n^s) convergent simplement dans le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > 1}.
  • (b)Montrer que les fonction ζ et G sont holomorphes dans le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > 1}.
• 2.Montrer que ζ(s) = (2^(s − 1))/(1 − 2^(s − 1))G(s) pour s ∈ C tel que Re(s) > 1.
• 3.Soit ε un réel strictement positif. On définit la suite (B_ε(n))_(n ∈ N) des sommes partielles de la série définissant G(ε) par B_ε(0) = 0 et pour n ≥ 1, B_ε(n) = ∑_(k = 1)^n((− 1)^k)/(k^ε).
  • (a)Vérifier que pour s ∈ C et N un entier strictement positif, on a
    ∑_(n = 1)^N((− 1)^n)/(n^s) = ∑_(n = 1)^N(B_ε(n))/((n + 1)^(s − ε))((1 + 1/n)^(s − ε) − 1) + (B_ε(N))/((N + 1)^(s − ε)).
    On pourra appliquer le principe de sommation d'Abel.
  • (b)En déduire que la série définissant G converge dans le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > ε} et que la fonction G vérifie pour s dans ce demi-plan,
    G(s) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(B_ε(n))/((n + 1)^(s − ε))((1 + 1/n)^(s − ε) − 1).
  • (c)i. Montrer que pour t ∈ R et u > 0, on a
    |(1 + u)^(it) − 1| ≤ |t|u.
    • ii.Montrer que pour x ∈ [0, 1] et u > 0, on a
      |(1 + u)^x − 1| ≤ xu.

• • iii.Montrer que si s = σ + it avec t ∈ R et σ ∈ [ε, 1 + ε], on a
    |(1 + 1/n)^(s − ε) − 1| ≤ (1 + |t|)/n.
  • (d)Montrer que G définit une fonction holomorphe sur le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > 0}.
• 4.En déduire que la fonction ζ se prolonge en une fonction méromorphe dans le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > 0}, que l'on notera encore ζ, et déterminer la valeur du résidu de ζ au pôle s = 1.
  On pourra utiliser la question I.2.

IV Fonction partie fractionnaire

• 1.(a) Soit n un entier strictement positif. Déterminer l'expression de ρ sur l'intervalle ]1/(n + 1), 1/n]. Préciser en particulier la valeur de ρ(1/n). Déterminer également ρ sur ]1, + ∞[.
  • (b)Représenter la fonction ρ sur l'intervalle [1/4, 3].
  • (c)Déterminer le domaine de continuité de ρ sur ]0, + ∞[, montrer que ρ est bornée et déterminer l'image par ρ de l'intervalle ]0, + ∞[.
• 2.Montrer que ρ ∈ L^2(]0, + ∞[) et que ‖ρ‖_2 ≤ √2.
• 3.Pour s ∈ C tel que Re(s) < 1, montrer que (x ↦ ρ(x)x^(s − 1)) est intégrable sur [1, + ∞[ et calculer
  I_1(s) = ∫_1^(+ ∞)ρ(x)x^(s − 1) dx
• 4.(a) Pour s ∈ C tel que Re(s) > 0, montrer que (x ↦ ρ(x)x^(s − 1)) est intégrable sur ]0, 1] puis montrer que la fonction I_2 définie sur {s ∈ C tel que Re(s) > 0} par
  I_2(s) = ∫_0^1 ρ(x)x^(s − 1) dx
  est holomorphe sur {s ∈ C tel que Re(s) > 0}.
  • (b)Montrer que pour s ∈ C tel que Re(s) > 1, on a
    ζ(s) = s/(s − 1) − s∫_0^1 ρ(x)x^(s − 1) dx
    On pourra calculer ∑_(n = 1)^(+ ∞)∫_0^(1/n)x^(s − 1) dxde deux manières différentes.
  • (c)En déduire que 1 est l'unique pôle de ζ dans le demi-plan {s ∈ C tel que Re(s) > 0} et retrouver la valeur du résidu de ζ en s = 1.
• 5.Montrer que ]0, 1[ ⊂ I(ρ) et que pour s ∈ C tel que 0 < Re(s) < 1, Mρ(s) = − (ζ(s))/s.

V Distance de 1_(] 0, 1 ]) à un espace de fonctions

• 1.Montrer que si f ∈ B_N, alors f est nulle sur ]1, + ∞[ si et seulement si f ∈ B_N˜.
• 2.Si f ∈ B_N, on note f~ = f − Q_f(1)ρ.
  • (a)Montrer que f~ ∈ B_N˜.
  • (b)Montrer que
    ∫_1^(+ ∞)|f(x)|^2 dx = |Q_f(1)|^2
  • (c)En déduire que
    ∫_0^(+ ∞)|f(x) − f~(x)|^2 dx ≤ 2∫_0^(+ ∞)|f(x) − 1_(]0, 1])(x)|^2 dx
    puis que
    ‖f~ − 1_(]0, 1)‖_2 ≤ (1 + √2)‖f − 1_(]0, 1)]‖_2.
    On pourra utiliser la question IV.2.
• 3.Montrer que pour s ∈ C tel que 0 < Re(s) < 1 et f~ ∈ B_N˜, on a
  ∫_0^1 f~(x)x^(s − 1) dx = − Q_(f~)(s)(ζ(s))/s.
  On pourra utiliser les questions II. 5 et IV.5.
• 4.Supposons qu'il existe β ∈ C tel que 1/2 < Re(β) < 1 et ζ(β) = 0. Soit f une fonction de B_N. Déduire des questions précédentes la minoration suivante de la distance dans L^2([0, + ∞[) entre la fonction indicatrice 1_(]0,1]) et f~ :
  ‖f~ − 1_(]0, 1])‖_2 ≥ (√(2Re(β) − 1))/(|β|).
  On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
• 5.En déduire que si la fonction indicatrice 1_(]0, 1)] appartient à l'adhérence du sous-espace vectoriel de L^2(]0, + ∞[) engendré par les fonctions T_n ρ avec n ≥ 1, alors la fonction ζ ne s'annule pas dans la bande verticale {s ∈ C tel que 1/2 < Re(s) < 1}.

VI Applications linéaires de L^2(]0, + ∞[).

• 1.Soit θ un réel strictement positif. Pour f ∈ L^2(]0, + ∞[), on définit D_θ f : ]0, + ∞[ → R par D_θ f(x) = √θf(θx) pour x > 0.
  • (a)Montrer que D_θ est une application linéaire bijective sur L^2(]0, + ∞[) telle que
    ‖D_θ f‖_2 = ‖f‖_2.
  • (b)Montrer que l'ensemble {D_θ, θ > 0} muni de la loi de composition est un groupe commutatif. On dira qu'une application de L^2(]0, + ∞[) dans L^2(]0, + ∞[) est invariante si elle commute avec les endomorphismes D_θ pour tout θ > 0.
• 2.Pour f ∈ L^2(]0, + ∞[), on définit Jf : ]0, + ∞[ → R par Jf(x) = 1/xf(1/x) pour x > 0.
  • (a)Montrer que J est un endomorphisme continu de L^2(]0, + ∞[) et déterminer sa norme.
  • (b)Pour θ > 0, déterminer θ^′ tel que JD_θ = D_(θ^′)J.
• 3.Pour f ∈ L^2(]0, + ∞[), on définit Hf : ]0, + ∞[ → R par Hf(x) = 1/x∫_0^x f(t)dt pour x > 0.
  • (a)Soit f ∈ L^2(]0, + ∞[). On suppose de plus que f est continue.
    Montrer que Hf ∈ L^2(]0, + ∞[) et ‖Hf‖_2 ≤ 2‖f‖_2.
    On pourra majorer, pour 0 < ξ < X, l'intégrale ∫_ξ^X Hf(x)^2 dx en commençant par intégrer par parties.
  • (b)Montrer que H est un endomorphisme continu de L^2(]0, + ∞[).
• 4.(a) Montrer que si f ∈ L^2(]0, + ∞[), alors pour presque tout réel x, la limite au sens de la norme quadratique ‖ ⋅ ‖_2, lorsque T tend vers l'infini, de 2∫_0^T f(u)cos(2πxu)du existe. On note G(x) cette limite. Montrer que G ∈ L^2(R).
  • (b)On note C l'application qui à f ∈ L^2(]0, + ∞[) associe Cf : ]0, + ∞[ → R définie presque partout sur ]0, + ∞[ par Cf(x) = G(x).
    Montrer que C est un endomorphisme continu de L^2(]0, + ∞[) et donner une majoration de sa norme.
• 5.On note I l'identité de L^2(]0, + ∞[) et V l'application V = (H − I)CJ.
  • (a)Montrer que V est une application linéaire continue de L^2(]0, + ∞[) dans L^2(]0, + ∞[).
  • (b)Soit f ∈ L^2(]0, + ∞[). On suppose de plus f à support compact et continue sur son support. Montrer que pour x > 0, on a
    Vf(x) = ∫_0^(+ ∞)f(v)d/(dv)((sin(2πx/v))/(πx/v))dv.
  • (c)Montrer que V est une application invariante.
  • (d)Le but de cette question est de montrer que Vρ = Jρ.
    • i.Soit n un entier strictement positif. Montrer que pour x ∈ ]0, + ∞[∖{1/n, n}, on a
      ρ(x)1_(]1/n, n])(x) = (J1_(]1/n, n]))(x) − ∑_(j = 1)^(n − 1)j1_(]1/(j + 1), 1/j])(x).
    • ii.En utilisant la question précédente, montrer que pour x ∈ ]0, + ∞[∖{1/n, n}, on a
      V(ρ1_(]1/n, n]))(x) = 1/(πx)(sin(2πx/n) + ∫_(2πx/n)^(2πxn)(sin(u))/u du − ∑_(j = 1)^n(sin(2πxj))/j).
    • iii.Montrer que la suite de fonctions (V(ρ1_(]1/n, n])))_(n ∈ N^∗) converge simplement vers Jρ sur ]0, + ∞[∖N^∗.
      On pourra utiliser les résultats des questions I. 3 et I.4.
  • iv.En déduire Vρ = Jρ presque partout sur ]0, + ∞[.