Barycentres, polynômes de Bernstein et courbes de Bézier
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Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties qui aborde le barycentre de n points du plan, les courbes de Bézier et l'algorithme de Casteljau, les polynômes de Bernstein, les isométries du carré, puis le raccordement de deux courbes de Bézier. Il mobilise vecteurs du plan, coefficients binomiaux, polynômes, récurrence, théorie des groupes, algèbre linéaire et courbes paramétrées.
1Partie A : barycentresDémontrer les premières propriétés du barycentre de n points du plan : homogénéité, associativité, lien avec les applications affines.
2Partie B : polynômes de BernsteinÉtudier les coefficients binomiaux et les polynômes de Bernstein comme vecteurs propres d'endomorphismes de l'espace des polynômes.
3Partie C : courbes de BézierIntroduire les courbes de Bézier à l'aide des polynômes de Bernstein.
4Partie D : algorithme de CasteljauÉtudier l'algorithme de Casteljau pour construire une courbe de Bézier.
5Partie E : points de contrôle aux sommets d'un carréÉtudier les isométries du carré appliquées à des points de contrôle d'une courbe de Bézier.
6Partie F : raccordement de courbes de BézierÉtudier les conditions de raccordement de deux courbes de Bézier.
Difficile. Le rapport indique que l'épreuve a été mal réussie, en raison d'une maîtrise insuffisante des connaissances mathématiques et d'un manque de rigueur dans les justifications, avec une moyenne de 8,39/20.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevées
Surjectivité mal posée · Vérification des degrés omise · Non-nullité omise pour un vecteur propre
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De manière générale, l'épreuve a été mal réussie, en raison d'une maîtrise insuffisante des connaissances et des compétences mathématiques nécessaires à la résolution du problème, ainsi que d'un manque de rigueur, de clarté et de précision dans les justifications attendues.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Surjectivité mal poséeA-I-1-b
81,8 % des candidats ne savent même pas poser le problème de la surjectivité, à savoir partir d'un vecteur quelconque et en rechercher un antécédent.
2
Vérification des degrés omiseB-VII-1
Pour démontrer qu'un endomorphisme est bien défini sur l'espace des polynômes de degré n, la vérification des degrés des images n'a été traitée que par moins de 10 % des candidats l'ayant abordée.
3
Non-nullité omise pour un vecteur propreB-VII-3
Les candidats omettent tous de mentionner la non-nullité d'un polynôme, pourtant nécessaire pour lui conférer le statut de vecteur propre.
4
Courbes paramétrées peu abordées
Les parties du problème faisant référence aux fonctions à valeurs dans R2 et aux courbes paramétrées, entrées au programme à la session 2020, ont été très peu abordées et sans grand succès quand elles l'ont été.
Ce qui a été bien réussi
Les candidats utilisent correctement la relation de Chasles dans la partie A.
La question de l'associativité simple du barycentre (A-III-2) est bien traitée par une majorité de candidats.
La propriété de symétrie des coefficients binomiaux, la formule du triangle de Pascal et celle du binôme de Newton sont dans l'ensemble connues.
Conseils du jury
Citer le nom des résultats de cours utilisés (triangle de Pascal, binôme de Newton).
Ne pas négliger les notions nouvellement entrées au programme, comme les fonctions à valeurs dans R2 et les courbes paramétrées.
Bien distinguer injectivité et surjectivité et savoir poser correctement chacun de ces problèmes.
Vérifier toutes les conditions nécessaires pour établir qu'une application est un endomorphisme bien défini.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2020.
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Page 8
Partie E : points de contrôle aux sommets d'un carré
Première ligne :
Au lieu de :
« Dans toute cette partie, A, B, C, D sont les sommets d'un carré du plan P. »
Lire :
« Dans toute cette partie, A, B, C, D sont les sommets consécutifs d'un carré du plan P. »
Page 8
Partie E : points de contrôle aux sommets d'un carré
À la fin de la question XVIII. 2
Au lieu de :
« Γ(A, B, C, D) »
Lire :
« Γ((A, B, C, D)) »
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Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
-Concours externe du CAPES de l'enseignement public :
-option Mathématiques :
Concours E|B|E
Section/option 1/3/0/01E
Epreuve 1|0|1
Matière 0|5|4|0
-
Langue régionale Breton :
Concours E|B|E
Section/option 0|4|4|1|E
Epreuve 1|0|2
Matière
0
4
6
6
-Langue Kanak Drehu :
Concours E/BIE
Section/option 0|4|7|6|E
Epreuve 10|2
Matière
0
4
6
6
Concours externe du CAFEP/CAPES de l'enseignement privé :
-option Mathématiques:
Concours E|BF
Section/option 1/3/0010
Epreuve 1|0/1
Matière 0|5|4|
-Langue régionale Breton :
Concours E|B|F
Section/option 0|4|4|1|E
Epreuve 10|2
Matière 0|4/6/6
Notations ℕ désigne l'ensemble des entiers naturels et ℝ l'ensemble des nombres réels.
Pour i et j deux entiers naturels tels que i ⩽ j, [ [i, j] ] désigne l'ensemble des entiers k tels que i ⩽ k ⩽ j.
Pour n et k deux entiers naturels tels que 0 ⩽ k ⩽ n, on note (n/k) le coefficient binomial k parmi n.
On désigne par ℝ[X] le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier naturel n, par ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
On identifie un polynôme de ℝ[X] et la fonction polynomiale associée.
On se place dans un plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé direct (O; i⃗, j⃗). On note P→ le plan vectoriel dirigeant P et B la base (i⃗, j⃗).
Pour tout vecteur u⃗ de P→, on note ‖u⃗‖ sa norme euclidienne.
Définitions
Un point pondéré est un couple (M, α), où M est un point de P et α un nombre réel.
Pour tout entier naturel n non nul, un système de n + 1 points pondérés est un (n + 1)-uplet ((P_0, α_0), …, (P_n, α_n)). Le poids total de ce système de points pondérés est
α = ∑_(k = 0)^n α_k.
Partie A : barycentres
I. Existence et caractérisation
Soit n un entier naturel non nul et ((P_0, α_0), …, (P_n, α_n)) un système de n + 1 points pondérés de poids total α.
1.On note f l'application de P dans P→ qui, à tout point M de P associe le vecteur f(M) = ∑_(i = 0)^n α_i MP_i^(→−).
a.Soient M et N deux points de P. Démontrer l'égalité vectorielle
f(N) = f(M) + αNM^(→−).
b.Démontrer que, si α ≠ 0, alors f est injective et surjective.
c.En déduire que f est bijective si et seulement si α ≠ 0.
2.On suppose α non nul. Montrer qu'il existe un unique point G tel que ∑_(i = 0)^n α_i GP^(→−)_i = 0→
Ce point G est appelé barycentre du système de points pondérés ((P_i, α_i))_(0 ⩽ i ⩽ n). On note G = bar((P_0, α_0), …, (P_n, α_n)).
3.On suppose que α ≠ 0 et on note G le barycentre du système ((P_i, α_i))_(0 ⩽ i ⩽ n). Montrer que, pour tout point M de P, ∑_(i = 0)^n α_i MP_i^⇀ = αMG^⇀
II. Barycentre de deux points
Soient P_0, P_1 deux points distincts du plan P.
1.Quel est le barycentre du système de points pondérés ((P_0, 1), (P_1, 1)) ?
2.Démontrer que, pour tout nombre réel t, le barycentre du système de points pondérés ((P_0, t), (P_1, 1 − t)) appartient à la droite (P_0 P_1).
3.Soit M un point de la droite (P_0 P_1).
a.Démontrer qu'il existe un unique nombre réel t tel que M soit le barycentre du système de points pondérés ((P_0, t), (P_1, 1 − t)).
b.Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur t pour que M soit un point du segment [P_0 P_1].
III. Propriétés du barycentre
Homogénéité
a.Soit λ un réel non nul. Montrer que le barycentre du système de points pondérés ((P_0, λα_0), (P_1, λα_1), ⋯, (P_n, λα_n)), de poids total supposé non nul, est égal au barycentre du système de points pondérés ((P_0, α_0), (P_1, α_1), ⋯, (P_n, α_n)).
b.Soient trois points P_0, P_1, P_2 formant un triangle non aplati du plan P. On suppose qu'il existe deux triplets (α_0, α_1, α_2) et (α_0^′, α_1^′, α_2^′) de nombres réels, chacun de somme non nulle, tels que les barycentres des systèmes ((P_0, α_0), (P_1, α_1), (P_2, α_2)) et ((P_0, α_0^′), (P_1, α_1^′), (P_2, α_2^′)) soient égaux. On note alors M ce point.
Démontrer que (α_0, α_1, α_2) et (α_0^′, α_1^′, α_2^′) sont proportionnels.
Indication : on pourra justifier que (P_0 P_1^(→−), P_0 P_2^(→−)) est une base de l'espace vectoriel P→ et décomposer le vecteur P_0 M^(→−) dans cette base de deux façons différentes.
Associativité simple
a.Un cas particulier.
Étant donnés trois points A, B, C du plan P et trois réels α, β, γ tels que α + β + γ ≠ 0 et α + β ≠ 0, on note m_1 = α + β et G_1 le barycentre du système ((A, α), (B, β)).
i.Démontrer que le barycentre du système ((G_1, m_1), (C, γ)) est égal au barycentre du système ((A, α), (B, β), (C, γ)).
ii.En utilisant ce résultat, démontrer que les trois médianes d'un triangle non aplati sont concourantes en un point situé aux deux tiers de chacune à compter du sommet associé.
b.Cas général.
Soit n un entier naturel non nul, I = [ [0, n] ] et r un entier naturel non nul inférieur ou égal à n. On suppose que I = J_0 ∪ J_1 ∪ ⋯ ∪ J_r, les J_k(k ∈ [ [0, r] ]) étant non vides et deux à deux disjoints. On considère un système de points
pondérés ((P_i, α_i); i ∈ I) avec ∑_(i = 0)^n α_i ≠ 0. Pour tout k ∈ [ [0, r] ], on suppose que β_k = ∑_(i ∈ J_k)α_i ≠ 0 et on note Q_k le barycentre du système ((P_i, α_i); i ∈ J_k). Démontrer que ∑_(k = 0)^r β_k ≠ 0 et que
bar((P_i, α_i); i ∈ [ [0, n] ]) = bar((Q_k, β_k); k ∈ [ [0, r] ]).
3. Associativité double
On considère deux entiers naturels p et n, un n + 1-uplet ( P_0, …, P_n ) de points de P et deux familles finies de réels (α_(i, j))_(0 ⩽ i ⩽ p; 0 ⩽ j ⩽ n) et (β_i)_(0 ⩽ i ⩽ p) vérifiant
Pour tout i ∈ [ [0, p] ], on note B_i le barycentre du système de points pondérés ((P_j, α_(i, j)); j ∈ [ [0, n] ]) et on note G le barycentre du système de points pondérés ((B_i, β_i); i ∈ [ [0, p] ]).
Démontrer que ∑_(j = 0)^n(∑_(i = 0)^p β_i α_(i, j)) = 1 et que G est le barycentre du système de points pondérés ((P_j, ∑_(i = 0)^p β_i α_(i, j)); j ∈ [ [0, n] ]).
IV. Barycentre et application affine
Soit g une application affine de P dans P. On rappelle que sa partie linéaire φ_g est l'unique endomorphisme de P→ tel que, pour tous points A, B de P,
g(A)g(B)^(→−) = φ_g(AB^(→−)).
Soit ((P_0, α_0), …, (P_n, α_n)) un système de points pondérés de poids total non nul. Démontrer que l'image par g du barycentre du système ((P_0, α_0), …, (P_n, α_n)) est le barycentre du système de points pondérés ((g(P_0), α_0), …, (g(P_n), α_n)).
Partie B : polynômes de Bernstein
Définition
Pour tout entier naturel n et tout entier k de l'intervalle [ [0, n] ], on appelle k-ième polynôme de Bernstein de degré n le polynôme
Démontrer que, pour tout nombre réel t dans l'intervalle [0,1], tout entier naturel n et tout entier naturel k de [ [0, n] ],
B_(n, k)(t) ⩾ 0.
Symétrie
Démontrer que, pour tout nombre réel t, tout entier naturel n et tout entier naturel k de [ [0, n] ],
B_(n, k)(t) = B_(n, n − k)(1 − t).
Partition de l'unité
Démontrer que, pour tout nombre réel t et tout entier naturel n,
∑_(k = 0)^n B_(n, k)(t) = 1.
Relations de récurrence
a.Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 et tout nombre réel t, B_(n, 0)(t) = (1 − t)B_(n − 1, 0)(t); B_(n, n)(t) = tB_(n − 1, n − 1)(t)
b.Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , tout entier naturel k de [ [1, n − 1] ] et tout nombre réel t, B_(n, k)(t) = (1 − t)B_(n − 1, k)(t) + tB_(n − 1, k − 1)(t).
VI. Dérivabilité et maximum
Dans cette question, n désigne un entier naturel non nul.
1.Justifier que, pour tout k ∈ [ [0, n] ], B_(n, k) est dérivable et démontrer les égalités suivantes, valables pour tout nombre réel t : B_(n, 0)^′(t) = − nB_(n − 1, 0)(t),; B_(n, n)^′(t) = nB_(n − 1, n − 1)(t),; ∀k ∈ [ [1, n − 1] ],, B_(n, k)^′(t) = n(B_(n − 1, k − 1)(t) − B_(n − 1, k)(t)).
2.Montrer que, pour tout k ∈ [ [0, n] ], B_(n, k)^′(0) = {− n si k = 0,; n si k = 1,; 0 si k ⩾ 2. B_(n, k)^′(1) = {n si k = n,; − n si k = n − 1,; 0 si k ⩽ n − 2.
3.Soit k dans [ [0, n] ]. Démontrer que la fonction qui, à tout nombre réel t de l'intervalle [0, 1] associe B_(n, k)(t), admet un unique maximum, atteint en k/n. Donner la valeur de ce maximum.
VII. Un peu d'algèbre linéaire
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Pour P ∈ ℝ[X], on note P^′ son polynôme dérivé et on définit les polynômes Φ_n(P) et Ψ_n(P) par :
1.Démontrer que Φ_n et Ψ_n sont des endomorphismes de ℝ_n[X].
2.Démontrer que, pour tout entier k dans [ [0, n] ], Φ_n(B_(n, k))(X) = kB_(n, k)(X).
3.En déduire que ( B_(n, 0), B_(n, 1), …, B_(n, n) ) est une base de ℝ_n[X] et que Φ_n est diagonalisable dans ℝ_n[X].
4.Démontrer que Φ_n n'est pas bijectif et que Ψ_n est bijectif.
Partie C : courbes de Bézier
Les courbes de Bézier ont été inventées à la fin des années 1950 par Pierre Bézier, ingénieur des usines Renault, pour tracer des profils de carrosserie à l'aide d'un logiciel. Ces courbes sont également utilisées pour concevoir les polices de caractères dites polices vectorielles, comme la police Postscript.
Définition
Soit n un entier naturel non nul et (P_0, P_1, …, P_n) un n + 1-uplet de points de P. L'ensemble des points M(t) = bar((P_0, B_(n, 0)(t)), (P_1, B_(n, 1)(t)), …, (P_n, B_(n, n)(t))), lorsque t décrit l'intervalle [0, 1], s'appelle la courbe de Bézier de points de contrôle (P_0, P_1, …, P_n). On note cette courbe Γ((P_0, P_1, …, P_n)). Le point M(t) est le point de Γ((P_0, P_1, …, P_n)) de paramètre t.
VIII.1. Montrer que, pour tout réel t appartenant à l'intervalle [0, 1], M(t) est bien défini.
2.Montrer que, pour tout réel t appartenant à l'intervalle [0,1], OM(t)^(→−) = ∑_(k = 0)^n B_(n, k)(t)OP_k^(→−).
3.Démontrer que les points P_0 et P_n appartiennent à la courbe de Bézier Γ((P_0, P_1, …, P_n)).
IX.On considère la courbe de Bézier Γ associée aux points de contrôle (P_0, P_1, …, P_(n − 1), P_n) et la courbe de Bézier Γ^′ associée aux points de contrôle (P_n, P_(n − 1), ⋯, P_1, P_0) (la liste des points de contrôle de Γ^′ est parcourue en sens inverse de celle des points de contrôle de Γ ).
Pour tout réel t ∈ [0, 1], on pose : M(t), = bar((P_0, B_(n, 0)(t)), (P_1, B_(n, 1)(t)), …, (P_(n − 1), B_(n, n − 1)(t)), (P_n, B_(n, n)(t))),; N(t), = bar((P_n, B_(n, 0)(t)), (P_(n − 1), B_(n, 1)(t)), …, (P_1, B_(n, n − 1)(t)), (P_0, B_(n, n)(t))).
1.Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1], M(t) = N(1 − t).
2.Que peut-on en déduire pour les courbes de Bézier Γ et Γ^′ ?
X.Montrer que la courbe de Bézier associée aux points de contrôle (P_0, P_1) est le segment [P_0, P_1].
XI.Dans cette question on suppose que P_0 et P_1 sont distincts et que P_(n − 1) et P_n sont distincts.
Montrer qu'un vecteur tangent en P_0 à Γ((P_0, …, P_n)) est nP_0 P_1^(→−) et préciser un vecteur tangent en P_n à Γ((P_0, …, P_n)).
XII.Soit g une application affine du plan P. Montrer que l'image par g de la courbe de Bézier Γ((P_0, …, P_n)) est une courbe de Bézier dont on précisera les points de contrôle.
XIII.Soit i_0 un entier de l'intervalle [ [0, n] ] et u⃗ un vecteur de P→. On note P_(i_0)^′ l'image du point P_(i_0) par la translation de vecteur u⃗. On considère la courbe de Bézier dans laquelle le point de contrôle P_(i_0) a été remplacé par P_(i_0)^′, les autres étant inchangés. Pour t appartenant à l'intervalle [0,1], on note N(t) le point courant de cette nouvelle courbe de Bézier.
Montrer que, pour tout réel t de l'intervalle [0,1], le vecteur M(t)N(t)^(→−) est colinéaire à u⃗ et que : max_(t ∈ [0; 1])‖M(t)N(t)^(→−)‖ = (n/(i_0))(i_0^(i_0)(n − i_0)^(n − i_0))/(n^n)‖u⃗‖.
Partie D : algorithme de Casteljau
XIV.Soient P_0, P_1, P_2 trois points du plan P. Soient t un réel appartenant à l'intervalle [0, 1] et M(t) le point de paramètre t de la courbe de Bézier de points de contrôle (P_0, P_1, P_2). On a donc : M(t) = bar((P_0, B_(2, 0)(t)), (P_1, B_(2, 1)(t)), (P_2, B_(2, 2)(t))).
On peut représenter cette construction à l'aide du schéma ci-dessous :
Montrer que M(t) = M_(0, 2)(t). On justifiera cette égalité en citant explicitement chacun des résultats utilisés.
XV. Soient n un entier naturel non nul, P_0, …, P_n n + 1 points du plan P et t un réel appartenant à l'intervalle [0,1]. On définit par récurrence sur l les points M_(k, l)(t) du plan indexés par l ∈ [ [0, n] ] et k ∈ [ [0, n − l] ] de la façon suivante :
Expliquer comment ces points permettent de construire le point M(t) de la courbe de Bézier Γ((P_0, P_1, …, P_n)).
XVI. Dans le repère orthonormé direct ( O; i⃗, j⃗ ), on considère les points
P_0(0; 0) P_1(1; 1) P_2(2; 1) P_3(2; 0).
Construire géométriquement, à l'aide de l'algorithme de Casteljau, le point M(1/2) de la courbe de Bézier Γ((P_0, P_1, P_2, P_3)) de paramètre t = 1/2.
Partie E : points de contrôle aux sommets d'un carré
Dans toute cette partie, A, B, C, D sont les sommets d'un carré du plan P.
On note Q l'ensemble {A, B, C, D}.
XVII. Isométries du carré
On se propose de déterminer l'ensemble I(Q) des isométries du plan P qui conservent globalement l'ensemble Q. Parmi elles, I^+(Q) désigne l'ensemble de celles qui sont directes et I^−(Q) l'ensemble de celles qui sont indirectes. La médiatrice du segment [BC] est notée Δ et s_Δ désigne la réflexion d'axe Δ.
1.Montrer que I(Q) et I^+(Q) munis de la composition des applications sont des groupes. En est-il de même pour I^−(Q) ?
2.Montrer que l'application F : {I^+(Q), →, I^−(Q); f, ↦, s_Δ ∘ f
est bijective.
3.Démontrer que I^+(Q) contient exactement 4 éléments. Donner la liste de ces éléments et la table du groupe I^+(Q).
4.Préciser les caractéristiques géométriques de chacune des isométries de I(Q).
XVIII. On se propose d'étudier toutes les courbes de Bézier dont les points de contrôle sont situés aux sommets du carré ABCD.
Rappel : l'ensemble des permutations d'un ensemble fini E est un groupe pour la composition des applications. Ce groupe est noté 𝔖(E).
1.Quel est le cardinal du groupe 𝔖(Q) ?
2.Pour σ ∈ 𝔖(Q), on note Γ_σ = Γ((σ(A), σ(B), σ(C), σ(D))) la courbe de Bézier de points de contrôle (σ(A), σ(B), σ(C), σ(D)). La courbe Γ_σ est dite courbe de Bézier associée à la permutation σ. En s'appuyant sur les questions précédentes, déterminer huit permutations σ ∈ 𝔖(Q) telles que Γ_σ soit isométrique à Γ(A, B, C, D).
3.On prend pour sommets du carré les points A = (− 1; − 1) B = (1; − 1) C = (1; 1) D = (− 1; 1)
et on note Γ_1 la courbe de Bézier Γ((A, B, D, C)) associée à la transposition qui échange C et D.
Pour t ∈ [0, 1], on rappelle que le point courant de Γ_1 de paramètre t est le point M(t) = bar((A, B_(3, 0)(t)), (B, B_(3, 1)(t)), (D, B_(3, 2)(t)), (C, B_(3, 3)(t)))
a.Montrer que Γ_1 et Γ((C, D, B, A)) sont égales. En déduire que Γ_1 est symétrique par rapport au point O.
b.Montrer que les coordonnées (x(t); y(t)) de M(t) dans le repère (O; i⃗, j⃗) sont données par : x(t) = 8t^3 − 12t^2 + 6t − 1, y(t) = − 4t^3 + 6t^2 − 1.
c.Tracer la courbe paramétrée Γ_1.
4.
On admet que les deux courbes Γ_2 et Γ_3 représentées ci-dessous sont aussi des courbes de Bézier ayant pour points de contrôle les sommets du carré ABCD.
Γ_3
Déterminer une permutation τ_2 de 𝔖(Q) telle que Γ_2 = Γ_(τ_2) et une permutation τ_3 de 𝔖(Q) telle que Γ_3 = Γ_(τ_3).
5.À l'aide du résultat précédent, démontrer que Γ_2 et Γ_3 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, ce qui est confirmé par les représentations graphiques.
6.Démontrer que toute courbe de Bézier ayant pour points de contrôle les sommets du carré ABCD est isométrique à l'une des trois courbes Γ_1, Γ_2, Γ_3.
7.En déduire que toute courbe de Bézier dont les points de contrôle sont les sommets d'un carré est semblable à l'une des trois courbes Γ_1, Γ_2, Γ_3.
Partie F : raccordement de courbes de Bézier
Pour construire une courbe de Bézier de forme complexe, il faut utiliser de nombreux points de contrôle. Dans ce cas, le degré des polynômes de Bernstein est élevé et la construction de la courbe de Bézier peut être lourde. Il est alors plus judicieux de raccorder des courbes de Bézier de degré peu élevé.
Soient n et m deux entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à 2 et soient P_0, …, P_n et Q_0, …, Q_m des points de P. On pose :
On suppose que P_n et Q_0 sont confondus ; les deux courbes de Bézier Γ((P_0, P_1, …, P_n)) et Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m)) se raccordent donc en ce point. La courbe raccordée est notée
Γ((P_0, P_1, …, P_n)) ∨ Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m))
On dit que la courbe raccordée Γ((P_0, P_1, …, P_n)) ∨ Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m)) est lisse au point de raccordement lorsque la demi-tangente à gauche à Γ((P_0, …, P_n)) en P_n et la demi-tangente à droite à Γ((Q_0, …, Q_m)) en Q_0 ont la même direction.
XIX.Dans cette question on suppose que P_(n − 1), P_n et Q_1 sont trois points deux à deux distincts.
1.Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur P_(n − 1), P_n et Q_1 pour que la courbe raccordée Γ((P_0, P_1, …, P_n)) ∨ Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m)) soit lisse au point de raccordement.
Une démonstration du caractère nécessaire et suffisant de la condition donnée est attendue.
2.On admet que la courbe raccordée Γ((P_0, P_1, …, P_n)) ∨ Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m)) peut être paramétrée par : t ↦ OR(t)^(→−) = {OM(2t)^(→−), si 0 ⩽ t ⩽ 1/2,; ON(2t − 1)^(→−), si 1/2 < t ⩽ 1.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur P_(n − 1), P_n et Q_1 pour que ce paramétrage de Γ((P_0, P_1, …, P_n)) ∨ Γ((Q_0, Q_1, …, Q_m)) soit de classe C^1.
Une démonstration du caractère nécessaire et suffisant de la condition donnée est attendue.
XX.On reprend la courbe Γ_1 introduite dans la question XVIII. 3.
1.On se propose de raccorder Γ_1 en C à une courbe de Bézier Γ((C, E, F)) à trois points de contrôle. Expliquer où il faut placer les points E et F pour respecter les deux contraintes suivantes :
a.le paramétrage de la courbe raccordée introduit dans la question XIX. 2. est de classe C^1;
b.le point F est situé sur l'axe (Ox) et la tangente en F à la courbe a pour pente 1.
On note alors Γ = Γ_1 ∨ Γ((C, E, F)).
2.Donner l'allure de la courbe Γ.
Questions fréquentes
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