Durée : 6 heures L 'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Les calculatrices, téléphones, tablettes, ordinateurs, montres connectées et tous appareils électroniques de communication ou de stockage, ainsi que les documents, sont interdits. La qualité de la rédaction sera un facteur important d'appréciation des copies. Il est possible d'utiliser les résultats énoncés dans les questions ou parties précédentes, en veillant toutefois à préciser la référence du résultat utilisé.
L'épreuve comporte deux parties :
-Une première partie, composée d'exercices. Les candidats sont invités à consacrer au moins un tiers du temps de l'épreuve à cette partie en cherchant à traiter les six exercices numérotés 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
-Un problème à traiter au choix parmi deux proposés : le Problème 1, plutôt orienté « Algèbre et Géométrie » ou bien le Problème 2, plutôt orienté « Analyse et Probabilités ». Le candidat devra indiquer clairement sur sa copie le problème qu'il choisit. Seul ce choix sera pris en compte dans l'évaluation. Au moins la moitié du temps de l'épreuve devrait être consacrée à l'un de ces problèmes.
Le barème tient compte de cette répartition indicative du temps à accorder à chaque partie.
Exercices
Exercice 1
Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels. On pose, pour tout n ∈ ℕ,
a. Montrer que si la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers une limite ℓ, alors (v_n)_(n ∈ ℕ) converge aussi vers ℓ.
Indication : le candidat pourra, s'il le juge utile, commencer par traiter le cas où ℓ = 0.
b. Dans cette question, on suppose que u_n ∼ _(n → + ∞)n. Déterminer un équivalent simple de v_n lorsque n tend vers + ∞.
c. Montrer que si la série de terme général u_n est absolument convergente, alors la série de terme général v_n l'est aussi.
d. Dans cette question, on considère les suites de fonctions (U_n)_(n ∈ ℕ) et (V_n)_(n ∈ ℕ) définies sur ]-1,1[ par
La série de fonctions ∑V_n converge-t-elle simplement sur ] − 1, 1[ ? uniformément sur ] − 1, 1[ ? uniformément sur tout segment [ − a, a] tel que 0 < a < 1 ?
Exercice 2
Soit f une fonction continue de [0,1] dans ℝ, à valeurs strictement positives. On pose, pour tout réel x > 0,
g(x) = (∫_0^1 f(t)^x dt)^(1/x)
a. Montrer que g est croissante.
Indication : on pourra utiliser l'inégalité de Hölder.
b. Montrer que g(x) tend vers M = sup_(t ∈ [0, 1])f(t) lorsque x tend vers + ∞.
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel sur le corps ℝ, de dimension finie n ⩾ 1.
a. Soit u un endomorphisme de E qui commute avec tous les projecteurs de E.
(i)Montrer que tout vecteur non nul de E est un vecteur propre de u.
(ii)Montrer que u est une homothétie.
b. Le centre d'un groupe (G, ⋅) est Z(G) = {x ∈ G|∀y ∈ G, xy = yx}.
Déterminer le centre du groupe linéaire GL(E) et celui du groupe spécial linéaire SL(E).
Indication : on pourra utiliser des automorphismes qui sont combinaisons linéaires d'un projecteur et de l'identité Id_E.
c. Montrer que les groupes GL(E) et SL(E) × ℝ^∗ sont isomorphes si et seulement si n = dimE est impair.
Exercice 4
Soit n un entier supérieur ou égal à 3 . Pour toute matrice A ∈ M_n(ℂ), on note Com(A) la comatrice de A, dont les coefficients sont les cofacteurs de A.
a. Déterminer le rang de Com(A) en fonction du rang de A, qu'on note rgA.
On distinguera trois cas : rgA = n, rgA ⩽ n − 2, rgA = n − 1.
b. Soit X = {Com(A)|A ∈ M_n(ℂ)}. Montrer que GL_n(ℂ) ⊂ X.
c. (i) Montrer que GL_n(ℂ) est dense dans M_n(ℂ). Quel est l'adhérence de X dans M_n(ℂ) ?
(ii) Déterminer l'intérieur de X dans M_n(ℂ).
Exercice 5
Soit f : ]0, + ∞[ → ℝ une fonction continue et bornée. On pose, pour tout réel s > 0,
L(s) = ∫_0^(+ ∞)f(x)e^(− sx)dx
a. Montrer que la fonction L est de classe C^∞ sur ]0, + ∞[ et donner l'expression de ses dérivées successives.
b. Soit (X_n)_(n ∈ ℕ∖{0}) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé noté (Ω, T, P), indépendantes et suivant toutes une même loi exponentielle de paramètre λ > 0. Montrer que pour tout n ∈ ℕ∖{0}, la variable aléatoire S_n = X_1 + … + X_n admet pour densité la fonction ρ_n définie par
Donner la densité de la variable T_n = S_n/n.
c. En considérant l'espérance des variables aléatoires Y_n = f(T_n), montrer que si L est la fonction nulle, alors f aussi.
Exercice 6
Les variables et vecteurs aléatoires considérés dans cet exercice sont définis sur un même espace probabilisé (Ω, T, P).
Soit n un entier ⩾ 1. L'espace ℝ^n (identifié à M_(n, 1)(ℝ) ) est muni de son produit scalaire canonique ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme associée ‖ ⋅ ‖. Soit
X = (X_1; ⋮; X_n)
un vecteur aléatoire à valeurs dans ℝ^n. On suppose que X est de carré intégrable, c'est-à-dire que E(‖X‖^2) < + ∞.
La covariance de deux variables aléatoires réelles Y et Y^′ est notée Cov(Y, Y^′). La matrice de covariance du vecteur X, notée C(X), est définie par
C(X) = (Cov(X_i, X_j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ).
a. (i) Soit v ∈ ℝ^n. Montrer que la variable aléatoire Y = ⟨v, X⟩ admet une variance, égale à ^t vC(X)v.
(ii) Soit A ∈ M_n(ℝ) et Z = AX. Exprimer C(Z) en fonction de A et C(X).
b. Soit M une matrice de M_n(ℝ). Montrer qu'il existe un vecteur aléatoire X à valeurs dans ℝ^n, de carré intégrable, tel que C(X) = M si et seulement si la matrice M est symétrique positive.
c. On suppose dans cette question que le vecteur aléatoire X à valeurs dans ℝ^n est de carré intégrable et centré : E(X) = 0.
(i) Soit H un hyperplan de ℝ^n et v un vecteur normal à H. Montrer que l'événement [X ∈ H] est presque sûr si et seulement si v ∈ Ker(C(X)).
(ii) Montrer qu'il existe un plus petit sous-espace vectoriel F de ℝ^n tel que X ∈ F presque sûrement et le déterminer en fonction de C(X).
Problème d'algèbre et géométrie
Le problème porte sur les notions de groupe dérivé et de groupe résoluble. Dans la première partie, on établit les propriétés les plus élémentaires concernant ces notions et on détermine les groupes dérivés de quelques groupes usuels; enfin on établit un célèbre théorème de Burnside sur les groupes résolubles, en admettant un résultat intermédiaire qui sera prouvé à la fin du problème.
Dans le seconde partie, on étudie quelques groupes matriciels : on y détermine notamment leurs groupes dérivés et on examine leur résolubilité.
La troisième partie, indépendante de la deuxième, a pour objectif d'établir le résultat admis à la fin de la partie I. Elle fait intervenir les notions d'entier algébrique et de caractère irréductible d'un groupe fini.
Notations et terminologie.
Dans tout le problème, les anneaux sont supposés unitaires et les corps commutatifs.
Si K désigne un corps, on note K^∗ = K∖{0}.
La matrice identité de l'anneau M_n(K) est notée I_n.
Si A est une matrice à coefficients complexes, la matrice adjointe est notée A^∗ = ^t A¯.
On identifie matrices et applications linéaires canoniquement associées.
Un groupe G d'élément neutre e est dit simple s'il n'est pas réduit à {e} et si ses seuls sous-groupes distingués sont {e} et G.
Pour tout entier n ⩾ 1, le groupe symétrique d'indice n (groupe des permutations de l'ensemble {1, …, n} ) est noté 𝔖_n et son sous-groupe alterné est noté 𝔄_n.
Si K est un corps de caractéristique différente de 2 et V un K-espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme quadratique Q, le groupe orthogonal de Q est :
O(Q) = {u ∈ GL(V)|∀x ∈ V, Q(u(x)) = Q(x)}
et le groupe spécial orthogonal de Q est :
SO(Q) = {u ∈ O(Q)|detu = 1}.
Si Q désigne le carré de la norme euclidienne canonique sur ℝ^n, les deux groupes en question sont notés O_n(ℝ) et SO_n(ℝ).
I. Groupe dérivé et résolubilité
Soit ( G, ⋅ ) un groupe. On note e son élément neutre. Si A est une partie de G, on note ⟨A⟩ le sous-groupe de G engendré par A.
Le commutateur de deux éléments x et y de G est l'élément [x, y] = xyx^(− 1)y^(− 1).
Le groupe dérivé de G, noté D(G), est le sous-groupe engendré par les commutateurs :
D(G) = ⟨C⟩ où C = {[x, y]|x, y ∈ G}.
On pose D^0(G) = G et on définit par récurrence le groupe dérivé d'ordre n de G en posant, pour tout n ∈ ℕ^∗, D^n(G) = D(D^(n − 1)(G)).
Tous les groupes considérés dans cette partie seront notés multiplicativement.
Un premier exemple
On considère dans cette question le groupe symétrique 𝔖_3.
a.Montrer que D(𝔖_3) ⊂ 𝔄_3.
b.Soit les transpositions σ = (12) et τ = (13) et φ un élément de 𝔖_3. Calculer φ ∘ τ ∘ φ^(− 1).
En déduire la valeur du commutateur [σ, τ].
c.Déterminer, pour tout entier n ⩾ 1, le groupe dérivé d'ordre n de 𝔖_3.
A. Propriétés des groupes dérivés
2. a. Soit G_1 et G_2 deux groupes et f : G_1 → G_2 un morphisme de groupes. Soit A un sous-ensemble de G_1. Montrer que f(A) est une partie génératrice de f(⟨A⟩). En déduire que f(D(G_1)) = D(f(G_1)).
b.Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, le groupe dérivé d'ordre n d'un groupe G est un sous-groupe distingué de G.
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Établir l'équivalence des deux propriétés suivantes :
(i)D(G) ⊂ H;
(ii)H est distingué dans G et G/H est abélien.
B. D'autres exemples
4. Soit n un entier supérieur ou égal à 5 . Déterminer le groupe dérivé de 𝔖_n, puis les D^k(𝔖_n) pour tout entier k > 1.
Indication : si a, b, c, d, e sont cinq éléments distincts de {1, …, n}, on pourra calculer le commutateur des cycles σ = (abc) et τ = (cde).
5. Soit n un entier supérieur ou égal à 2 . Le plan complexe ℂ est muni de sa structure canonique d'espace euclidien de dimension 2 . On note D_n le groupe des isométries de ce plan qui conservent le polygone régulier 𝕌_n formé des racines n^(ème) de l'unité. Lister les éléments du groupe D_n puis déterminer son groupe dérivé D(D_n).
Indication : si r désigne la rotation de centre l'origine et d'angle 2π/n, on pourra considérer le quotient D_n/⟨r^2⟩ et déterminer son cardinal.
6. On considère le groupe SO_3(ℝ) des rotations vectorielles de ℝ^3.
a.Soit r ∈ SO_3(ℝ). Montrer que r et r^(− 1) sont conjugués dans SO_3(ℝ).
b.En déduire que tout élément du groupe SO_3(ℝ) est un commutateur dans SO_3(ℝ).
Montrer que pour tout entier n > 3, D(SO_n(ℝ)) = SO_n(ℝ).
C. Résolubilité et théorème de Burnside
Un groupe G est dit résoluble s'il existe un entier n ∈ ℕ tel que D^n(G) = {e}.
8. Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que G est résoluble si et seulement si les deux groupes H et G/H sont résolubles.
9. Montrer que le groupe symétrique 𝔖_4 est résoluble.
10. Le théorème de Burnside (1904)
a. Soit p et q deux nombres premiers distincts et α, β ∈ ℕ non tous deux nuls. Soit G un groupe d'ordre p^α q^β. Montrer qu'il existe un élément de G différent de l'élément neutre dont le cardinal de la classe de conjugaison est égal à 1 ou à une puissance d'un nombre premier.
b. On admet dans cette question le théorème suivant (qui sera démontré à la fin de la partie III) :
Soit G un groupe fini non abélien dont une classe de conjugaison autre que celle de l'élément neutre a pour cardinal 1 ou une puissance d'un nombre premier. Alors G n'est pas simple.
Montrer que si p et q sont deux nombres premiers distincts et α, β ∈ ℕ, alors tout groupe fini d'ordre p^α q^β est résoluble.
II. Étude de quelques groupes de matrices
A. Le groupe SL_2(K)
Dans cette section, on suppose que K est un corps contenant au moins 4 éléments.
11. On désigne par T l'ensemble des matrices de SL_2(K) qui sont triangulaires (inférieures ou supérieures) et dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
Montrer que T est une partie génératrice du groupe SL_2(K).
Indication : on pourra s'inspirer de l'algorithme du pivot de Gauss.
12. Montrer que D(SL_2(K)) = SL_2(K).
Indication : on pourra calculer le commutateur [M, N] des deux matrices
M = (a, 0; 0, c) et N = (1, b; 0, 1).
Dans cette question, on montre que les éléments du groupe dérivé de SL_2(ℝ) ne sont pas tous des commutateurs.
a. Soit M ∈ SL_2(ℝ). Montrer que si M est semblable à − M, alors elle est aussi semblable à R = (0, − 1; 1, 0) dans M_2(ℝ).
b. Vérifier qu'il n'existe pas de matrice Q ∈ SL_2(ℝ) telle que QR = − RQ. En déduire que − I_2 est un élément de D(SL_2(ℝ)) qui n'est pas un commutateur dans SL_2(ℝ).
Montrer que SL_2(ℂ) est une partie connexe de l'espace vectoriel normé M_2(ℂ).
B. Le groupe de Lorentz
Dans cette section, on munit l'espace ℝ^4 de la forme quadratique Q définie par :
Déterminer l'orthogonal (au sens de Q ) du vecteur e_1 = (1, 0, 0, 0).
Le groupe orthogonal et le groupe spécial orthogonal associés à Q sont notés O_(1, 3)(ℝ) et SO_(1, 3)(ℝ) respectivement.
On identifie les éléments de O_(1, 3)(ℝ) à leur matrice dans la base canonique de ℝ^4. On rappelle que O_(1, 3)(ℝ) est l'ensemble des matrices A ∈ M_4(ℝ) telles que
^t AJA = J, où J désigne la matrice (1, 0, 0, 0; 0, − 1, 0, 0; 0, 0, − 1, 0; 0, 0, 0, − 1).
On pose
S = {X ∈ ℝ^4|Q(X) = 1} et, S^+ = {(t, x, y, z) ∈ S|t > 0},; S^− = {(t, x, y, z) ∈ S|t < 0}.
Soit A ∈ O_(1, 3)(ℝ). Montrer que l'image A(S) de l'ensemble S par A est égale à S, que S^+est connexe puis que l'on a
Dans le cas (a), on dit que A « conserve le sens du temps », et dans le cas (b) que A « renverse le sens du temps ».
17. Montrer que pour tout A = (a_(i, j))_(i, j ∈ {1, …, 4}) ∈ O_(1, 3)(ℝ), on a a_(1, 1) ≠ 0 et que l'application
f : (O_(1, 3)(ℝ), ⟶, { − 1, 1}^2; A, ⟼, ((a_(1, 1))/(|a_(1, 1)|), detA))
est un morphisme de groupes surjectif.
On note dans la suite de cette partie H_2 l'ensemble des matrices hermitiennes de M_2(ℂ) :
H_2 = {H ∈ M_2(ℂ)|H = H^∗}
et l'on définit l'isomorphisme de ℝ-espaces vectoriels
Φ : (ℝ^4, ⟶, H_2; (t, x, y, z), ⟼, (t + x, y − iz; y + iz, t − x)).
On observera que la forme quadratique Q se transporte sur H_2 par Φ et devient le déterminant : pour tout X ∈ ℝ^4, Q(X) = det(Φ(X)).
Enfin on considère l'action du groupe SL_2(ℂ) sur H_2 définie par :
∀(P, H) ∈ SL_2(ℂ) × H_2, P⊙H = PHP^∗.
Montrer que pour toute matrice H = Φ(t, x, y, z) avec (t, x, y, z) ∈ S^+, il existe P ∈SL_2(ℂ) tel que P⊙H = I_2.
On note 𝔖(H_2) le groupe des permutations de l'ensemble H_2 et T : SL_2(ℂ) → 𝔖(H_2) le morphisme de groupes associé à l'action ⊙, défini par T(P)(H) = P⊙H pour tous P ∈ SL_2(ℂ) et H ∈ H_2.
On pose enfin, pour tout P ∈ SL_2(ℂ), Θ(P) = Φ^(− 1) ∘ T(P) ∘ Φ.
a. Montrer que Θ est un morphisme de groupes de SL_2(ℂ) dans le groupe linéaire de ℝ^4. Déterminer son noyau.
b. Montrer que Θ(SL_2(ℂ)) ⊂ SO_(1, 3)(ℝ).
On note W le sous-espace de ℝ^4 d'équation t = 0, que l'on munit de la structure euclidienne induite par − Q.
Soit X = (0, a, b, c) ∈ W tel que Q(X) = − 1. Montrer que Θ(iΦ(X)) laisse W stable et que l'isométrie induite par Θ(iΦ(X)) sur W est la rotation vectorielle d'axe ℝX et d'angle π. Indication : on pourra calculer l'image de e_1 = (1, 0, 0, 0) par Θ(iΦ(X)). En déduire que pour tout R ∈ SO_3(ℝ), Θ(SL_2(ℂ)) contient la matrice
(1, 0, 0, 0; 0; 0, R; 0) ∈ M_4(ℝ).
Montrer que Kerf ⊂ Θ(SL_2(ℂ)) (le morphisme f a été défini à la question 17). Indication : on pourra montrer et exploiter le fait que le groupe Θ(SL_2(ℂ)) agit transitivement sur l'ensemble S^+.
Montrer que O_(1, 3)(ℝ) possède quatre composantes connexes et que celle qui contient I_4 est un groupe isomorphe à PSL_2(ℂ) = SL_2(ℂ)/{ − I_2, I_2}.
Le groupe O_(1, 3)(ℝ) est-il résoluble? Déterminer son groupe dérivé.
C. Un groupe orthogonal en dimension 2 sur un corps fini
Dans cette section, on considère un corps fini de cardinal q impair, que l'on note 𝔽_q. Soit α un élément de 𝔽_q qui n'est pas un carré :
∀x ∈ 𝔽_q, x^2 ≠ α.
Soit L un corps de rupture du polynôme X^2 − α sur 𝔽_q. On note √α une racine de ce polynôme dans L.
24. Justifier brièvement que tout élément z de L s'écrit de manière unique sous la forme z = x + y√α avec (x, y) ∈ (𝔽_q)^2 et montrer que les seuls automorphismes de 𝔽_q-algèbre de L sont l'identité et
σ : x + y√α ↦ x − y√α.
On munit le 𝔽_q-espace vectoriel L de la forme quadratique Q définie par
∀(x, y) ∈ (𝔽_q)^2, Q(x + y√α) = x^2 − αy^2.
a. Déterminer les vecteurs isotropes de Q (c'est-à-dire les z ∈ L tels que Q(z) = 0 ) et montrer que le seul élément du groupe spécial orthogonal SO(Q) ayant des points fixes non nuls est Id_L.
b. Soit G = {g ∈ L^∗|gσ(g) = 1}. On admettra sans vérification que G est un sous-groupe multiplicatif de L^∗. Pour tout g ∈ G, on définit
u_g : (L, ⟶, L; z, ⟼, gz).
Montrer que l'application g ↦ u_g est un isomorphisme de groupes de G sur SO(Q). En déduire que le groupe O(Q) est résoluble.
26. a. Montrer :
∀(a, b) ∈ (𝔽_q^∗)^2, ∀c ∈ 𝔽_q, ∃(x, y) ∈ (𝔽_q)^2, ax^2 + by^2 = c.
b. Déterminer le cardinal du groupe orthogonal O(Q).
27. Montrer qu'il existe un entier n tel que O(Q) soit isomorphe au groupe diédral D_n (défini à la question 5 de la partie I).
III. Entiers algébriques et caractères irréductibles
A. Entiers algébriques
On appelle entier algébrique tout nombre complexe qui est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. On note A l'ensemble des entiers algébriques.
28. Déterminer A ∩ ℚ.
29. a. Soit a ∈ ℂ. On note ℤ[a] le sous-anneau de ℂ engendré par a. Montrer l'équivalence des trois propriétés suivantes :
(i)a est un entier algébrique;
(ii)ℤ[a] est de type fini en tant que groupe abélien;
(iii)il existe un sous-anneau de ℂ contenant a et qui est de type fini en tant que groupe abélien.
b.Montrer que A est un sous-anneau de ℂ.
Soit a ∈ ℂ un entier algébrique. Montrer que son polynôme minimal sur ℚ est unitaire à coefficients entiers.
Soit ρ : G → GL(V) une représentation d'un groupe fini G dans un ℂ-espace vectoriel V de dimension finie. On note χ : g ↦ Tr(ρ(g)) le caractère de cette représentation. Montrer que pour tout g ∈ G, χ(g) est un entier algébrique.
Soit n et d deux entiers naturels non nuls et z_1, …, z_n des nombres complexes tels que z_1^d = ⋯ = z_n^d = 1. On suppose que le nombre
a = (z_1 + … + z_n)/n
est un entier algébrique non nul. On note P son polynôme minimal sur ℚ et K = ℚ[e^(2iπ/d)].
a. Soit b ∈ ℂ une racine de P. Montrer qu'il existe un morphisme de corps f : K → ℂ tel que f(a) = b.
b. Montrer que |b| ⩽ 1 puis que z_1 = … = z_n.
B. Caractères irréductibles
Soit ( G, ⋅ ) un groupe fini d'élément neutre noté e. On considère le groupe additif ℤ^G des fonctions de G dans ℤ. Pour tout g ∈ G, on note δ_g l'élément de ℤ^G défini par
δ_g(g) = 1 et ∀h ∈ G∖{g}, δ_g(h) = 0.
La famille (δ_g)_(g ∈ G) est une ℤ-base de ℤ^G.
On munit ℤ^G de l'application ℤ-bilinéaire (f_1, f_2) ↦ f_1∗f_2 définie par les conditions δ_g∗δ_h =δ_(gh) pour tous g et h ∈ G et étendue à ℤ^G × ℤ^G par bilinéarité. On admettra sans vérification que (ℤ^G, +, ∗) est un anneau. On note enfin B le centre de cet anneau :
B = {f ∈ ℤ^G|∀f^′ ∈ ℤ^G, f∗f^′ = f^′∗f}.
Montrer que B est l'ensemble des fonctions de G dans ℤ constantes sur chaque classe de conjugaison de G.
Soit ρ : G → GL(V) une représentation irréductible du groupe G dans un ℂ-espace vectoriel V de dimension finie. On note χ le caractère de cette représentation. Pour toute fonction f ∈ ℤ^G, on pose
ξ(f) = ∑_(g ∈ G)f(g)ρ(g)
a. On pose, pour toute homothétie λId_V de V, α(λId_V) = λ.
Montrer que si f ∈ B, alors ξ(f) est une homothétie de V puis que α(ξ(B)) est un sous-anneau de ℂ.
b. Soit g ∈ G, c(g) le cardinal de la classe de conjugaison de g dans G et d(g) =pgcd(c(g), dimV). Montrer que (c(g)χ(g))/(dimV) et (d(g)χ(g))/(dimV) sont des entiers algébriques.
35. On suppose dans cette question qu'il existe un élément g_0 de G différent de l'élément neutre e tel que le cardinal de la classe de conjugaison de g_0 soit une puissance d'un nombre premier : c(g_0) = p^m avec p premier et m ∈ ℕ.
a. Montrer qu'il existe une représentation irréductible non triviale ρ : G → GL(V) de G dont le caractère χ vérifie χ(g_0) ≠ 0 et dont le degré dimV est premier avec p.
Indication : on pourra calculer ∑_k χ_k(g_0)χ_k(e), où la somme porte sur les caractères irréductibles χ_k non triviaux de G.
b. En considérant (χ(g_0))/(dimV), montrer que ρ(g_0) est une homothétie de V. En déduire que, si l'on suppose en outre le groupe G simple, alors G est abélien.
Problème d'analyse
Notations.
Dans tout le problème, d désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On identifie les espaces ℝ^d et M_(d, 1)(ℝ).
La transposée d'une matrice A (carrée ou non) est notée ^t A.
On identifie matrices de M_d(ℝ) et endomorphismes de ℝ^d.
Si F : ℝ^d → ℝ^d est une application différentiable en un point a ∈ ℝ^d, on note DF(a) sa différentielle en a; c'est un élément de M_d(ℝ).
Pour tout ensemble E, on note Id_E l'application identité de E.
Pour tout nombre complexe z, on note Rez et Jmz ses parties réelle et imaginaire.
I. Résultats préliminaires
Dans les sections A et B ci-dessous, l'espace vectoriel ℝ^d est muni d'une norme notée ‖ ⋅ ‖.
A. Lemme de Grönwall
a. Soit a ∈ ℝ^∗, b ∈ ℝ, I un intervalle de ℝ contenant 0 et f : I → ℝ une fonction de classe C^1 telle que :
Trouver une inégalité similaire valable pour t ∈ I ∩ ] − ∞, 0].
Indication : on pourra considérer la fonction t ↦ f(t)e^(− at).
b. Dans cette question, on suppose a > 0 et on considère une fonction v : I → ℝ^d de classe C^1 telle que
Indication : on pourra considérer la fonction t ↦ ∫_0^t‖v^′(s)‖ds.
B. Flot d'un système différentiel
2. Rappeler la définition d'une solution maximale d'un système différentiel et écrire l'énoncé du théorème de Cauchy-Lipschitz.
Soit F : ℝ^d → ℝ^d une fonction de classe C^1 et L-lipschitzienne. Soit x_0 ∈ ℝ^d. On considère le système différentiel
(S){x^′(t) = F(x(t)); x(0) = x_0.
Soit ]t_1, t_2 [ l'intervalle de définition de la solution maximale x de ce système (on a donc t_1, t_2 ∈ ℝ ∪ { − ∞, + ∞}, t_1 < 0 < t_2 ).
3. a. Trouver à l'aide du lemme de Grönwall un réel M ⩾ 0 indépendant de t vérifiant, pour tout t ∈ [0, t_2[, l'inégalité ‖x(t)‖ ⩽ Me^(Lt).
b. On suppose par l'absurde t_2 fini. Montrer qu'alors x(t) et x^′(t) convergent lorsque t tend vers t_2.
c. En déduire une contradiction.
Ainsi on a t_2 = + ∞. On admet dans la suite que l'on a de même t_1 = − ∞.
On note désormais φ_t(x_0) = x(t) la solution maximale du problème de Cauchy (S). La fonction (t, x_0) ↦ φ_t(x_0) est donc définie pour tout t ∈ ℝ et tout x_0 ∈ ℝ^d.
Définition. Cette application (t, x_0) ↦ φ_t(x_0) est appelée le flot du champ de vecteur F.
4. a. Montrer que
b. Montrer que l'application (t, x_0) ↦ φ_t(x_0) est continue sur ℝ × ℝ^d.
5. a. Montrer que pour tous t et s réels, on a φ_t ∘ φ_s = φ_(t + s).
b. En déduire que φ_t est un homéomorphisme de ℝ^d sur ℝ^d.
C. Construction d'un produit scalaire adapté à une matrice
Soit A ∈ M_d(ℝ) une matrice dont les valeurs propres complexes sont toutes de partie réelle strictement négative. Soit ε > 0.
a. Montrer l'existence d'une matrice inversible P_ε ∈ GL_d(ℂ) telle que la matrice T_ε =P_ε AP_ε^(− 1) soit triangulaire supérieure, avec des coefficients non diagonaux de module inférieur ou égal à ε.
Indication : on pourra étudier l'effet sur une matrice triangulaire de la conjugaison par une matrice diagonale de coefficients diagonaux δ, δ^2, …, δ^d, avec δ ∈ ℝ_+^∗.
b. On munit ℝ^d du produit scalaire défini par
∀v, w ∈ ℝ^d, ⟨⟨v, w⟩⟩_ε = Re(^t v^t P_ε^–P_ε w).
Il n'est pas demandé aux candidats de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire. On note ‖ ⋅ ‖_ε la norme associée.
Montrer que si ε est assez petit, il existe un réel α > 0 tel que :
∀v ∈ ℝ^d, ⟨⟨v, Av⟩⟩_ε ⩽ − α‖v‖_ε^2.
Indication : on pourra expliciter ⟨⟨v, Av⟩⟩_ε et ‖v‖_ε à l'aide des coordonnées du vecteur z = P_ε v.
D. Point d'équilibre attractif
On reprend les notations et hypothèses de la section B, à savoir que F : ℝ^d → ℝ^d est une fonction lipschitzienne de classe C^1 et φ : (t, x_0) ↦ φ_t(x_0) désigne son flot. On suppose en outre qu'il existe un point a ∈ ℝ^d tel que F(a) = 0 et que la matrice A = DF(a) a toutes ses valeurs propres complexes de partie réelle strictement négative. On se donne enfin un produit scalaire ⟨⟨ ⋅, ⋅ ⟩⟩ sur ℝ^d vérifiant la propriété (1) ci-dessus et on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée.
a. Montrer qu'il existe un réel η > 0 tel que :
Dans toute cette partie, le candidat prendra soin de fournir des réponses rigoureuses ; il ne se contentera pas de justifier ses réponses par des intuitions de nature géométrique ou physique.
A. Pendule amorti
Donner (sans justification) une fonction F_q : ℝ^2 → ℝ^2 telle que le système (P) ci-dessus soit équivalent au système
Démontrer que le système (P) possède une unique solution θ définie sur ℝ.
9. On suppose dans cette question que q > 0. En supposant θ_0 assez proche de 0, déterminer le comportement asymptotique de θ(t) quand t tend vers + ∞.
B. Pendule non amorti
On suppose dans cette section B que q = 0 et on rappelle que 0 < θ_0 < π. On étudie l'équation
a. Justifier l'existence d'un réel C > 0 tel que, pour tout r > 0,
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2 π^2 + r) ⩽ C/(√r).
b. Montrer que la fonction σ est holomorphe sur ℂ∖πℤ.
c. Montrer que la fonction Δ se prolonge en une fonction continue sur ℂ, impaire et π-périodique.
d. Montrer que la fonction Δ est bornée sur le domaine du plan complexe d'équations |Rez| ⩽ π/2 et |Jmz| ⩾ π.
e. Montrer que Δ est la fonction nulle sur ℂ.
15. a. Établir l'identité suivante pour tout t ∈ ]0, π[ :
les flots respectifs des champs de vecteurs F et G (tels que définis dans la section I.B). On rappelle que pour tout t ∈ ℝ, les fonctions φ_t et ψ_t sont des homéomorphismes de ℝ^d.
Définition. On dit que les flots φ et ψ sont topologiquement conjugués s'il existe un homéomorphisme h de ℝ^d sur ℝ^d tel que :
∀t ∈ ℝ, h ∘ φ_t = ψ_t ∘ h.
A. Quelques exemples
17. Dans cette question, d = 1 et les fonctions F et G sont définies par F(x) = thx, G(x) = x pour tout x ∈ ℝ (la notation th(x) = (e^x − e^(− x))/(e^x + e^(− x)) désigne la fonction tangente hyperbolique).
a. Calculer les flots φ et ψ de ces deux champs de vecteurs et trouver un homéomorphisme h de ℝ sur ℝ vérifiant la propriété (2).
b. Montrer que le flot de F n'est pas topologiquement conjugué au flot de − G.
18. Dans cette question, d = 2; on considère les matrices
A = (1, 0; 0, − 1) et B = (1, 0; 0, − 3)
et les fonctions F et G définies par F(x) = Ax, G(x) = Bx pour tout x ∈ ℝ^2.
a. Trouver un homéomorphisme h de ℝ^2 sur ℝ^2 vérifiant la propriété (2).
b. Montrer qu'il n'existe pas de C^1-difféomorphisme h vérifiant cette même propriété.
19. Dans cette question, pour tout réel q ⩾ 0, F_q désigne la fonction trouvée à la question 8, associée à l'équation du pendule (amorti si q > 0, non amorti si q = 0 ).
Démontrer qu'il n'existe pas d'homéomorphisme h de ℝ^2 sur ℝ^2 qui conjugue les flots associés aux champs de vecteurs F_0 et F_1 et tel que h(0) = 0.
B. Conjugaison topologique : cas d'un point d'équilibre attractif
On considère dans cette section une fonction F : ℝ^d → ℝ^d de classe C^1 telle que F(0) = 0. On suppose que la matrice A = DF(0) est à valeurs propres de parties réelles strictement négatives et on se donne un produit scalaire ⟨⟨ ⋅, ⋅ ⟩⟩ sur ℝ^d vérifiant la propriété (1) : il existe α > 0 tel que
∀v ∈ ℝ^d, ⟨⟨v, Av⟩⟩ ⩽ − α‖v‖^2
(où ‖ ⋅ ‖ désigne la norme associée à ce produit scalaire). On suppose enfin que la fonction F − DF(0) est α/2-lipschitzienne sur ℝ^d (au sens de cette norme ‖ ⋅ ‖ ).
On note φ : (t, x) ↦ φ_t(x) le flot associé à F, défini sur ℝ × ℝ^d. L'objectif de cette section est de démontrer que φ est topologiquement conjugué au flot linéaire ψ associé à − Id_(ℝ^d).
20. Soit x ∈ ℝ^d∖{0}. Montrer que la fonction t ↦ ‖φ_t(x)‖ est une bijection strictement décroissante de ℝ sur ]0, + ∞[ et qu'elle vérifie les inégalités :
Analyse du problème.
Soit h est un homéomorphisme de ℝ^d sur ℝ^d tel que φ_t ∘ h = h ∘ ψ_t pour tout t ∈ ℝ (on rappelle que ψ désigne ici le flot de G = − Id_(ℝ^d) ). On suppose en outre que h(x) = x pour tout x ∈ ℝ^d de norme 1. Montrer que h(0) = 0 et
∀x ∈ ℝ^d∖{0}, h(x) = φ_(− ln‖x‖)(x/(‖x‖)).
Synthèse.
On définit une fonction H en posant, pour tout x ∈ ℝ^d,
{H(x) = φ_(− ln‖x‖)(x/(‖x‖)) si x ≠ 0,; H(0) = 0.
a.Montrer que H est continue sur ℝ^d et qu'elle vérifie, pour tout t ∈ ℝ, φ_t ∘ H = H ∘ ψ_t.
b.Pour tout x ∈ ℝ^d∖{0}, justifier qu'il existe un unique couple (t, v) ∈ ℝ × ℝ^d vérifiant les conditions ‖v‖ = 1 et φ_t(v) = x.
On note ce couple (θ(x), u(x)). Montrer que |θ(x)| ⩽ 2/α|ln‖x‖| et en déduire que la fonction x ↦ (θ(x), u(x)) est continue sur ℝ^d∖{0}.
c. Montrer que H est un homéomorphisme de ℝ^d sur ℝ^d et exprimer sa bijection réciproque à l'aide des fonctions θ et u.
IV. Conjugaison de difféomorphismes
A. Lemmes préliminaires
Soit B un espace de Banach. On note dans cette question L(B) l'espace des endomorphismes continus de B; ‖ ⋅ ‖_B désigne la norme de B et |‖ ⋅ |‖_B la norme subordonnée associée sur l'espace L(B).
Soit ℓ ∈ L(B) un endomorphisme continu de B, inversible et d'inverse continu. Soit en outre m : B → B une application (non linéaire) K-lipschitzienne. On suppose que K‖ℓ^(− 1)‖‖_B < 1. Montrer que ℓ + m est un homéomorphisme de B sur B, lipschitzien et à réciproque lipschitzienne.
a. Soit A ∈ M_d(ℝ) une matrice dont les valeurs propres complexes sont de module strictement inférieur à 1 . Montrer qu'il existe une norme ‖ ⋅ ‖ sur ℝ^d telle que la norme subordonnée associée ||| ⋅ ||| sur M_d(ℝ) vérifie |||A||| < 1.
b. Soit A ∈ GL_d(ℝ) une matrice inversible dont les valeurs propres complexes sont de module différent de 1 . Montrer qu'il existe deux sous-espaces vectoriels E_a et E_r de ℝ^d et une norme ‖ ⋅ ‖ sur ℝ^d vérifiant les trois propriétés suivantes :
(i)ℝ^d = E_a ⊕ E_r;
(ii)E_a et E_r sont stables par A;
(iii)les endomorphismes A_a et A_r induits par A sur E_a et E_r vérifient ‖|A_a‖| < 1 et ‖|A_r^(− 1)‖| < 1.
On dit que le sous-espace E_a est attractif pour A et que le sous-espace E_r est répulsif pour A.
B. Une version globale du théorème de Grobman-Hartman pour les difféomorphismes
Soit A ∈ GL_d(ℝ) une matrice sans valeur propre complexe de module 1 . On conserve les notations de la question 24.b : la norme ‖ ⋅ ‖, les sous-espaces attractif et répulsif E_a, E_r de A, ainsi que les endomorphismes A_a et A_r induits par A sur ces deux sous-espaces, qui vérifient ‖|A_a‖| < 1 et |‖A_r^(− 1)‖| < 1.
Soit f_1 et f_2 : ℝ^d → ℝ^d deux fonctions de classe C^1, de la forme f_1 = A + g_1 et f_2 = A + g_2 où g_1 et g_2 sont deux fonctions ε-lipschitziennes de ℝ^d dans ℝ^d.
On suppose que ε‖A^(− 1)‖|<1.
25. Montrer que f_1 et f_2 sont des difféomorphismes de classe C^1 de ℝ^d sur ℝ^d.
Jusqu'à la fin de cet énoncé, on désigne par B = C_b^0(ℝ^d, ℝ^d) l'espace des applications continues et bornées de ℝ^d dans ℝ^d, muni de la norme ‖ ⋅ ‖_B définie par
∀φ ∈ B, ‖φ‖_B = sup_(x ∈ ℝ^d)‖φ(x)‖.
Pour tout φ ∈ B, on pose
L(φ) = φ ∘ f_1 − A ∘ φ.
Les sous-espaces B_a = C_b^0(ℝ^d, E_a) et B_r = C_b^0(ℝ^d, E_r) sont stables par L; on note L_a et L_r les endomorphismes induits par L sur B_a et B_r.
26. Montrer que L_a, L_r et L sont des endomorphismes continus, inversibles et d'inverses continus de B_a, B_r et B respectivement.
27. On note Id l'application identité de ℝ^d.
Montrer que si ε est assez petit, alors il existe un unique φ ∈ B tel que
(Id + φ) ∘ f_1 = f_2 ∘ (Id + φ).
Montrer que si ε est assez petit, Id + φ est un homéomorphisme de ℝ^d sur ℝ^d.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Sujet proche avec corrigéBanque PT Mathématiques C PT 2025Banque PT · 2025Corrigé
Même année, CAPESCAPES mathématiques externe 2020, épreuve 1CAPES · 2020Sujet seul
Sujet proche avec corrigéX ENS Mathématiques A MP MPI 2025X-ENS · 2025Corrigé