Agrégation mathématiques externe 2019, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Le sujet s'inscrit dans l'histoire du grand théorème de Fermat et étudie la structure de l'anneau des entiers de corps cyclotomiques. Il établit d'abord des outils techniques (division euclidienne dans Z[X], anneau Z[j] euclidien, polynômes cyclotomiques) avant de démontrer des résultats sur les nombres et entiers algébriques, puis d'aboutir au théorème de Fermat pour p=3 et pour les nombres premiers réguliers.

1. 1Partie I : outils techniquesDivision euclidienne dans Z[X], anneau Z[j] euclidien donc factoriel, irréductibilité du p-ième polynôme cyclotomique.
2. 2Partie II : nombres et entiers algébriquesRésultats classiques sur les nombres algébriques et démonstration que l'ensemble des entiers algébriques de C est un sous-anneau.
3. 3Partie III : anneau des entiers du corps cyclotomiqueDétermination de l'anneau des entiers de Q(zeta_p) et de la structure des unités de Z[zeta_p].
4. 4Partie IV : théorème de Fermat pour p=3Démonstration par un argument de descente utilisant la factorialité de Z[j].
5. 5Partie V : théorème de Fermat pour les premiers réguliersDémonstration dans le cas où p ne divise pas xyz, en admettant que l'anneau des entiers d'un corps de nombres est un anneau de Dedekind.

Difficile. Le rapport indique que dans l'immense majorité des copies, seules les deux premières parties ont été abordées, les meilleures copies avançant seulement dans la partie 3 sans traiter significativement les parties 4 ou 5.

Dans l'immense majorité des copies, seules les deux premières parties ont été abordées ; les meilleures copies ont avancé dans la partie 3 sans traiter significativement les parties 4 ou 5. Le jury regrette une présentation et une orthographe qui laissent souvent à désirer, ainsi qu'un manque de rigueur dans la précision des ensembles et la quantification des variables.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.