Agrégation mathématiques externe 2018, épreuve 1Sujet et rapport du jury

L'épreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe de mathématiques 2018 introduit, à travers l'étude locale d'équations différentielles à coefficients constants, les prémices de la théorie de Galois différentielle. Après des exercices préliminaires sur la décomposition de Dunford, le sujet étudie cette décomposition pour les matrices inversibles, démontre la surjectivité de l'exponentielle de matrices, construit la fonction matricielle z élevé à la puissance A et sa monodromie, puis aborde les algèbres différentielles et les groupes de représentation de Picard-Vessiot.

1. 1Exercices préliminairesCinq exercices indépendants sur la décomposition de Dunford d'une matrice triangulaire, la continuité de l'exponentielle, l'interpolation polynomiale en présence de valeurs propres multiples, une propriété de représentation, et la structure de groupe.
2. 2Partie II : la décomposition de DunfordAdaptation de la décomposition de Dunford aux matrices inversibles, étude des fonctions matricielles définies par un polynôme ou une série entière appliqués à la partie semi-simple d'une matrice.
3. 3Partie III : surjectivité de l'exponentielle de matricesDémonstration de la surjectivité de l'application exponentielle de l'espace des matrices carrées complexes vers le groupe linéaire, en vue de son usage ultérieur pour la représentation de monodromie.
4. 4Partie IV : la fonction matricielle z^A et sa monodromieÉtude de l'indétermination de la fonction z élevé à la puissance A pour une matrice A, liée à l'indétermination du logarithme complexe, et introduction de la monodromie de l'équation différentielle X' = AX.
5. 5Partie V : algèbres différentielles et automorphismes différentielsRaisonnements typiques d'algèbre différentielle utilisant la dérivation pour établir des relations d'indépendance algébrique, en vue d'une première approche de la représentation de Picard-Vessiot.
6. 6Partie VI : groupes et représentations de Picard-VessiotPoursuite de l'étude de la partie V et mise en relation avec la représentation de monodromie construite dans la partie IV.

Difficile. La moyenne des candidats présents à l'ensemble des épreuves est de 8,7/20 pour cette épreuve, avec un écart-type de 3,5 ; le rapport signale que la partie V n'a été abordée que par moins d'un quart des candidats et la partie VI par environ 4 % des copies seulement.

Moyenne

8,7/ 20

Écart-type

3,5

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Le sujet 2018 proposait une introduction à la théorie de Galois différentielle à travers l'étude locale d'équations différentielles à coefficients constants, mobilisant la décomposition de Dunford, l'exponentielle de matrices et l'interpolation polynomiale. Les trois premières parties, cœur de métier de l'agrégatif, ont été abordées par la quasi-totalité des candidats et globalement de manière satisfaisante, tandis que les trois dernières parties ont suscité un grapillage peu rentable. Le jury regrette un manque de rigueur récurrent dans les notations, la justification des passages à la limite et la structuration logique des démonstrations.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.