Agrégation mathématiques externe 2016, épreuve 1Sujet et rapport du jury
Agrégation externe mathématiques - composition de mathématiques générales 2016
- Formes bilinéaires et dualité
- Algèbre bilinéaire (orthogonalité, non-dégénérescence)
- Groupes et actions de groupe
- Réduction des matrices (valeurs propres, racine carrée)
- Sous-variétés et submersions
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Présentation du sujet
DifficileÉpreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe : espaces vectoriels symplectiques et sous-espaces lagrangiensAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLe sujet présente les propriétés générales d'un espace vectoriel symplectique, puis étudie le groupe symplectique et l'un de ses sous-groupes. Il s'intéresse aux sous-espaces lagrangiens, à l'action du groupe symplectique sur des triplets de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses, et définit des indices invariants associés à ces configurations.
- 1Partie I : espace vectoriel symplectiqueDéfinition d'une forme symplectique, dualité, orthogonal d'un sous-espace pour la forme symplectique et existence de sous-espaces supplémentaires.
- 2Partie II : groupe symplectiqueÉtude du groupe symplectique et de l'un de ses sous-groupes, produits par blocs, racine carrée de matrice définie positive.
- 3Partie III : sous-espaces lagrangiensCaractérisation des sous-espaces lagrangiens comme isotropes maximaux et action du groupe symplectique sur ces sous-espaces.
- 4Partie IV : indices associés aux triplets lagrangiensDéfinition d'un indice associé à des triplets de sous-espaces lagrangiens deux à deux transverses, invariant par l'action du groupe.
Difficile. Le rapport indique qu'une majorité de candidats n'a traité que les parties I et II du problème, la fin de la partie III et le reste de la partie IV n'ayant été abordés que par les toutes meilleures copies.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesForme non dégénérée confondue avec forme définie · Déterminant par blocs invoqué à tort · Groupes O(n) et U(n) mal caractérisésAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesUne majorité de candidats n'a traité que les parties I et II du problème. Les correcteurs relèvent de nombreuses erreurs de logique et de rigueur sur des notions élémentaires d'algèbre bilinéaire, ainsi qu'une confusion fréquente entre notations matricielles et vectorielles.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Forme non dégénérée confondue avec forme définieI2, I6
Certains candidats pensent que, comme la forme est non dégénérée, une valeur nulle de la forme évaluée sur un même vecteur implique que ce vecteur est nul, ce qui est faux pour une forme antisymétrique.
- 2Déterminant par blocs invoqué à tortI3, II6a
Pour démontrer l'inversibilité d'une matrice, les correcteurs ont souvent trouvé un argument de déterminant par blocs fantaisiste, alors qu'il existe des méthodes rigoureuses comme le calcul du carré de la matrice.
- 3Groupes O(n) et U(n) mal caractériséspartie II
Un certain nombre de candidats ont une connaissance très floue des groupes O(n) et U(n), pensant à tort qu'ils sont caractérisés uniquement par une condition sur le déterminant.
- 4Racine carrée de matrices mal manipuléeII7
Certains candidats écrivent que la racine carrée d'un produit de matrices est le produit des racines carrées, ce qui est complètement faux.
- 5Définition de lagrangien mal justifiéeIII1
Beaucoup de candidats n'ont pas vraiment compris ce que signifie isotrope au sens maximal de l'inclusion et se contentent d'une affirmation sans rédaction rigoureuse par une suite d'inclusions.
Ce qui a été bien réussi
- La question II4 a été bien traitée par l'ensemble des candidats, qui manipulent convenablement les produits par blocs.
- Le III3 a été bien traité dans beaucoup de bonnes copies.
- Le II9a est bien traité par beaucoup de candidats.
Conseils du jury
- Ne pas mélanger notations matricielles et vectorielles dans une même démonstration.
- Justifier rigoureusement l'existence d'un objet avant d'en démontrer l'unicité, et réciproquement.
- Rédiger les preuves d'inclusion ou d'égalité d'ensembles par une suite d'inclusions explicites plutôt que par une simple affirmation.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2016.
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Questions fréquentes
3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2016 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2016 ?
Elle porte sur les espaces vectoriels symplectiques, le groupe symplectique, les sous-espaces lagrangiens et des indices invariants associés à des triplets de sous-espaces lagrangiens.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'agrégation de mathématiques générales 2016 ?
Une confusion entre forme non dégénérée et forme définie, un recours fautif au déterminant par blocs, une caractérisation floue des groupes O(n) et U(n), et une manipulation incorrecte de la racine carrée de matrices.
L'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation 2016 est-elle faisable en entier ?
Non, le rapport indique qu'une majorité de candidats n'a traité que les deux premières parties, la fin du sujet n'ayant été abordée que par les toutes meilleures copies.
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