Agrégation mathématiques externe 2015, épreuve 1Sujet et rapport du jury
Agrégation externe mathématiques - composition de mathématiques générales 2015
- Formes quadratiques et bases orthonormées
- Matrices et changement de base
- Groupes et action de groupe (conjugaison)
- Arithmétique (lemme de Gauss, indicatrice d'Euler)
- Corps finis et équations modulaires
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Présentation du sujet
DifficileÉpreuve écrite de mathématiques générales de l'agrégation externe : formes quadratiques sur R2 et représentation des entiersAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLe sujet étudie les formes quadratiques sur R2, la Z-congruence et le nombre de classes de formes quadratiques, la représentabilité d'un entier par une forme quadratique, puis le nombre de solutions d'équations modulaires et quadratiques sur des corps finis.
- 1Partie 1 : généralités sur les formes quadratiques sur R2Bilinéarité et symétrie des formes, changement de base, isométries et groupes de matrices associés.
- 2Partie 2 : Z-congruence et nombre de classesCongruence de formes quadratiques dans Z, formes réduites et finitude du nombre de classes d'équivalence.
- 3Partie 3 : représentabilité d'un entier par une formeDistinction entre matrice et endomorphisme selon la base, utilisation du lemme de Gauss.
- 4Partie 4 : nombre de solutions d'une équation modulaireUtilisation de l'indicatrice d'Euler et du passage au quotient dans Z/p^alpha Z.
- 5Partie 5 : nombre de solutions d'équations quadratiquesCardinal d'un sous-espace vectoriel sur un corps fini en fonction de sa dimension.
Difficile. Le rapport signale que plusieurs questions, notamment sur la réduction des formes et la finitude du nombre de classes, étaient délicates et que seules de très bonnes copies ont su déjouer les pièges qu'elles contenaient.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesTrinôme du second degré sans vérifier le coefficient dominant · Confusion entre matrice et endomorphisme · Caractéristique du corps non vérifiéeAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesLe sujet mêle algèbre linéaire, arithmétique et théorie des corps finis à travers l'étude des formes quadratiques. Le jury relève une confusion récurrente entre matrice et endomorphisme, ainsi qu'une difficulté fréquente à conclure une démonstration après en avoir posé correctement les prémisses.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Trinôme du second degré sans vérifier le coefficient dominant1.2.1
Les candidats abordent souvent une question avec l'argument du signe du discriminant du trinôme, sans vérifier que le coefficient dominant est non nul.
- 2Confusion entre matrice et endomorphisme3.3
Une matrice a parfois deux valeurs différentes selon la base choisie dans certaines copies, alors que lorsqu'on change de base, l'endomorphisme ne change pas, seule la matrice change.
- 3Caractéristique du corps non vérifiée4.2(a)
Les candidats énoncent rapidement que x carré égale 1 possède deux solutions, sans rappeler que le corps doit être de caractéristique différente de 2 pour qu'elles soient distinctes.
- 4Piège de réduction non détecté2.5
Dans une question de réduction utilisant deux matrices successivement, très peu de candidats ont remarqué que la seconde matrice détricotait légèrement l'intervention de la première.
- 5Finitude des formes réduites non reliée aux classes d'équivalence2.6(b)
Les candidats ont souvent oublié de montrer que la finitude du nombre de formes réduites répondait effectivement à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence.
Ce qui a été bien réussi
- La question sur la Z-congruence a souvent été abordée avec beaucoup de succès.
- La question demandant d'exhiber deux matrices générant PSL2(Z) a généralement été bien traitée par ceux qui l'ont abordée.
- La question 4.4(a) a été souvent traitée, les candidats ayant bien pensé à prouver que l'application naturelle est bien définie.
Conseils du jury
- Bien distinguer un endomorphisme de sa matrice, qui dépend du choix d'une base.
- Vérifier systématiquement les hypothèses implicites d'un résultat de cours, comme la non-nullité d'un coefficient dominant.
- Conclure explicitement une démonstration en reliant chaque étape intermédiaire à la question posée, plutôt que de s'arrêter une fois les prémisses établies.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2015.
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Questions fréquentes
3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2015 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation externe 2015 ?
Elle porte sur les formes quadratiques sur R2, la Z-congruence et le nombre de classes, la représentabilité d'un entier par une forme, et le nombre de solutions d'équations modulaires et quadratiques sur des corps finis.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'agrégation de mathématiques générales 2015 ?
Une confusion entre matrice et endomorphisme, l'oubli de vérifier le coefficient dominant d'un trinôme, l'oubli de la caractéristique du corps, et une difficulté à relier les étapes intermédiaires d'une démonstration à la question posée.
L'épreuve de mathématiques générales de l'agrégation 2015 est-elle difficile ?
Oui, le rapport signale plusieurs pièges subtils, notamment dans la partie sur la réduction des formes quadratiques, que seules de très bonnes copies ont su déjouer.
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