Agrégation mathématiques externe 2016, épreuve 2Sujet et rapport du jury
Agrégation externe mathématiques - composition d'analyse et probabilités 2016
- Théorie de la mesure et intégration de Lebesgue
- Séries de Fourier
- Théorème ergodique de Birkhoff
- Fractions continuées
- Probabilités : limites supérieure et inférieure, théorème de Cesàro
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Présentation du sujet
DifficileThéorème ergodique ponctuel de Birkhoff et développement en fractions continuées des réels irrationnelsAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileCette épreuve écrite d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de mathématiques établit le théorème ergodique ponctuel de Birkhoff et l'applique au développement en fractions continuées des réels irrationnels. Elle part des propriétés élémentaires de ce développement, généralisation de l'algorithme d'Euclide, démontre le théorème de Birkhoff par la méthode de F. Riesz (1944), étudie la transformation de Gauss sur [0,1], puis en tire les théorèmes de Khintchine (1935) et de Lévy (1936).
- 1Partie I : résultats préliminairesPropriétés élémentaires du développement en fractions continuées d'un réel irrationnel de [0,1], généralisant l'algorithme d'Euclide.
- 2Partie II : théorème de BirkhoffDémonstration du théorème ergodique ponctuel de Birkhoff, généralisation de la loi forte des grands nombres, selon la preuve de F. Riesz (1944).
- 3Partie III : propriétés de l'opérateur TÉtude de la transformation de Gauss T sur [0,1] : invariance de la mesure µ par T (III.1) puis ergodicité de T (III.2).
- 4Partie IV : applications du théorème de BirkhoffApplication du théorème ergodique à la transformation de Gauss pour établir le théorème de Khintchine sur les moyennes géométriques des quotients partiels, et le théorème de Lévy sur la vitesse de convergence des réduites.
Difficile. Le jury dit avoir été très défavorablement impressionné par le grand nombre de copies très mal présentées, voire pratiquement illisibles, et relève que plusieurs questions clés, notamment II.7, n'ont été que très rarement abordées de façon concluante, la suite du sujet n'étant traitée significativement que par un nombre restreint de candidats.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesUnicité de la suite des quotients partiels rarement établie · Récurrence double mal rédigée · Intégration terme à terme non justifiéeAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesLe jury déplore la qualité de présentation de nombreuses copies et une rédaction des raisonnements par récurrence particulièrement maltraitée. Il souligne l'importance de l'efficacité rédactionnelle et regrette un manque de rigueur récurrent sur les questions de théorie de la mesure, notamment sur la justification de la positivité et l'intégrabilité.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Unicité de la suite des quotients partiels rarement établieI.2
L'unicité de la suite (an(x)) caractérisant le développement en fractions continuées a été très rarement correctement établie par les candidats.
- 2Récurrence double mal rédigéeI.4
La minoration attendue se montre par une récurrence double, rédigée avec une grande désinvolture par une écrasante majorité de candidats, notamment sans initialisation sur les deux premiers rangs.
- 3Intégration terme à terme non justifiéeI.7
Beaucoup de candidats intègrent un développement en série entière terme à terme sans se préoccuper de justifier cette opération, ou confondent convergence uniforme et convergence normale.
- 4Question à plusieurs ingrédients rarement conclueII.7
Cette question délicate combinait l'invariance de la mesure, un passage à la limite par convergence dominée et le théorème de Cesàro ; elle a été très rarement abordée de façon concluante.
« Elle a été très rarement abordée de façon concluante. »
- 5Caractère de mesure insuffisamment justifiéIII.1.1
Presque tous les candidats vérifient que la mesure totale vaut 1, mais peu pensent à justifier que l'objet considéré est bien une mesure, se contentant souvent de la seule additivité finie.
- 6Question de cours sur les composantes connexes délaisséeIII.1.6
Cette question de cours, qui consistait à considérer les composantes connexes de l'ouvert, a été traitée par très peu de candidats.
« malheureusement traitée par très peu de candidats. »
Ce qui a été bien réussi
- La première question de la partie I n'a pas posé de difficulté pour la grande majorité des candidats.
- L'utilisation du déterminant en I.4 pour obtenir la première identité a été bien vue par la grande majorité des candidats.
- La question II.6, une réindexation, a le plus souvent été bien traitée.
- La question III.1.7, conséquence directe de la question précédente, a souvent été bien traitée.
Conseils du jury
- Rédiger les raisonnements par récurrence avec rigueur : expliciter le prédicat, initialiser correctement (sur deux rangs pour une récurrence double), puis démontrer l'hérédité pour un entier fixé.
- Justifier systématiquement les échanges limite-intégrale ou limite-somme, en particulier via la positivité de l'intégrande.
- Chercher l'efficacité rédactionnelle : aller à l'essentiel tout en donnant assez de détails pour emporter l'adhésion du correcteur.
- Ne pas négliger les questions de cours classiques (intégration de Lebesgue, séries de Fourier), significativement valorisées par le barème.
- Vérifier explicitement qu'un objet candidat à être une mesure possède bien la sigma-additivité, pas seulement l'additivité finie.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2016.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve écrite d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de mathématiques 2016 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve écrite d'analyse et probabilités de l'agrégation externe de mathématiques 2016 ?
Elle porte sur la théorie de la mesure et l'intégration de Lebesgue, les séries de Fourier et le théorème ergodique ponctuel de Birkhoff, appliqué au développement en fractions continuées des réels irrationnels.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation ?
Le jury signale une rédaction des récurrences particulièrement maltraitée, des intégrations terme à terme non justifiées, et un manque de rigueur sur la justification qu'un objet est bien une mesure.
Ce sujet d'agrégation externe 2016 sur le théorème ergodique de Birkhoff est-il difficile ?
Oui, le jury dit avoir été très défavorablement impressionné par la présentation de nombreuses copies et relève que plusieurs questions clés n'ont été que très rarement abordées de façon concluante.
Faut-il bien maîtriser la théorie de la mesure pour cette épreuve d'agrégation sur les fractions continuées ?
Oui, le jury attend des candidats une connaissance précise des propriétés de l'intégrale de Lebesgue et du rôle central de la positivité, qui interviennent dans plusieurs questions du sujet.
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