CAPES mathématiques externe 2009, épreuve 1Sujet

Le problème établit la formule de Stirling donnant un équivalent de n! à l'aide des intégrales de Wallis, puis l'applique au volume des boules de R^n. Il introduit ensuite les polynômes et nombres de Bernoulli, avec des applications au calcul des sommes de puissances d'entiers et au développement en série entière de t/(e^t - 1). Il calcule enfin les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs et affine la formule de Stirling par un développement asymptotique.

1. 1Partie I : intégrales de Wallis et formule de StirlingOn étudie la suite des intégrales de Wallis, on en déduit la formule de Stirling, puis on applique ces résultats au calcul du volume des boules de R^n en fonction de la dimension.
2. 2Partie II : polynômes et nombres de BernoulliOn définit la suite des polynômes de Bernoulli, on étudie leurs propriétés (symétrie, variations, signe), et on les applique au calcul des sommes de puissances d'entiers et au développement en série entière de t/(e^t-1).
3. 3Partie III : fonction zêta de Riemann et nombres de BernoulliOn étudie la fonction zêta de Riemann, on calcule sa valeur aux entiers pairs à l'aide des nombres de Bernoulli et des coefficients de Fourier, puis on en déduit un équivalent des nombres de Bernoulli.
4. 4Partie IV : formule de Stirling généraliséeOn décrit une méthode pour obtenir un développement limité en 1/n à un ordre donné de la formule de Stirling, à l'aide de la fonction zêta.