Agrégation mathématiques externe 2009, épreuve 2Sujet et rapport du jury
Agrégation externe mathématiques - composition d'analyse et probabilités 2009
- Analyse hilbertienne (espaces de Hilbert, projecteurs)
- Fonctions holomorphes et formule de Jensen
- Topologie (degré d'une application continue)
- Opérateurs compacts
- Opérateurs de Fredholm et théorie de l'indice
- Séries entières et rayon de convergence
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Présentation du sujet
DifficileÉpreuve écrite d'analyse et probabilités de l'agrégation externe : opérateurs de Toeplitz à symbole continuAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLe problème étudie les opérateurs de Toeplitz à symbole continu sur le cercle, définis à partir du projecteur orthogonal sur l'espace de Hardy H2. L'objectif final est la caractérisation des symboles continus pour lesquels l'opérateur de Toeplitz associé est inversible, en s'appuyant sur la notion de degré, les opérateurs compacts et les opérateurs de Fredholm.
- 1Partie I : formule de JensenÉtablissement de la formule de Jensen, utilisée ensuite pour montrer une propriété de rigidité des éléments de H2.
- 2Partie II : degré d'une application continueDéfinition du degré d'une application continue du cercle dans C*, utilisé pour la théorie de l'indice.
- 3Partie III : espace de Hardy H2Étude de l'espace H2 et démonstration du théorème de rigidité (une fonction de H2 non nulle sur un ensemble de mesure positive n'est pas nulle).
- 4Partie IV : opérateurs de ToeplitzDéfinition des opérateurs de Toeplitz Tphi et de leurs premières propriétés.
- 5Partie V : opérateurs compactsThéorie élémentaire des opérateurs compacts (caractère d'idéal fermé, premières propriétés spectrales).
- 6Partie VI : opérateurs de Fredholm et opérateurs de ToeplitzCaractérisation d'Atkinson des opérateurs de Fredholm, continuité de l'indice et caractérisation des opérateurs de Toeplitz inversibles.
Difficile. Le rapport indique que les parties III, IV et V ont été abordées de façon inégale et que la partie VI n'a réellement été entamée que dans très peu de copies, la dernière question n'ayant jamais été résolue complètement.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesIrréductibles de R[X] mal connus · Holomorphie du module d'une fonction holomorphe invoquée à tort · Convergence dans L2 mal compriseAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesLe problème, aux thèmes variés (intégration, fonctions holomorphes, topologie, analyse hilbertienne et fonctionnelle), a permis à d'assez nombreux candidats de faire preuve de réelles qualités mathématiques. Dans leur grande majorité, les candidats se sont réellement confrontés aux parties I et II, tandis que la partie VI n'a été entamée que par une minorité.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Irréductibles de R[X] mal connusI.1.a
La question I.1.a) a donné lieu à des erreurs surprenantes : beaucoup de candidats ne semblent pas connaître les irréductibles de R[X] ou ne pas être capables de regrouper deux racines conjuguées.
- 2Holomorphie du module d'une fonction holomorphe invoquée à tortI.2
Malgré l'indication, la question I.2 a rarement été traitée de façon satisfaisante ; parmi les arguments faux, relevons l'holomorphie du module d'une fonction holomorphe.
- 3Convergence dans L2 mal compriseIII.1
La question III.1 a montré que la notion de convergence dans L2 est en général mal comprise.
- 4Rayon de convergence mal maîtriséIII.2
On trouve dans beaucoup de copies la vérification de la convergence de la série pour tout z de module 1, révélant une mauvaise compréhension de la notion de rayon de convergence.
- 5Définition des opérateurs de Toeplitz mal compriseIV.1.a
La difficulté essentielle de la partie IV consistait à comprendre la définition des opérateurs de Toeplitz ; beaucoup de candidats se sont contentés de répondre à la première sous-question.
Ce qui a été bien réussi
- Traiter correctement l'ensemble des parties I et II représentait une performance très convenable.
- La question II.1 a été bien traitée par un assez grand nombre de candidats.
- La partie V, de caractère classique, a été abordée substantiellement dans un nombre non négligeable de copies, avec des questions en général correctement traitées.
Conseils du jury
- S'exercer davantage au calcul, la maîtrise des notions et techniques de base devant inclure une capacité raisonnable à les mettre en pratique.
- Soigner la rédaction : quantifier les énoncés, éviter les phrases incomplètes et une orthographe déficiente.
- Écrire lisiblement, présenter les copies de façon agréable et mettre en évidence les résultats en les soulignant ou en les encadrant.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation externe en mathématiques, session 2009.
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3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2009 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
3 questionsSur quels chapitres porte l'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation externe 2009 ?
Elle porte sur les opérateurs de Toeplitz, l'espace de Hardy H2, les opérateurs compacts et les opérateurs de Fredholm, avec des prérequis de fonctions holomorphes, de topologie et d'analyse hilbertienne.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à l'agrégation d'analyse et probabilités 2009 ?
Une méconnaissance des irréductibles de R[X], une confusion sur l'holomorphie du module d'une fonction holomorphe, une mauvaise compréhension de la convergence dans L2 et du rayon de convergence d'une série entière.
L'épreuve d'analyse et probabilités de l'agrégation 2009 est-elle faisable en entier ?
Non, le rapport indique que la partie VI, sur les opérateurs de Fredholm, n'a réellement été entamée que dans très peu de copies et que sa dernière question n'a jamais été résolue complètement.
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