CAPES mathématiques externe 2009, épreuve 2Sujet

Le problème étudie des aspects géométriques liés aux racines de polynômes complexes. Les parties A et B établissent des majorations du module des racines d'un polynôme à partir de ses coefficients, via la matrice compagnon puis la borne de Cauchy. Les parties C et D localisent les racines du polynôme dérivé par rapport à celles du polynôme : le théorème de Lucas (les racines de f' appartiennent à l'enveloppe convexe des racines de f), puis un raffinement pour les polynômes de degré 3 reliant les racines de f' aux foyers d'une ellipse tangente au triangle formé par les racines de f.

1. 1Partie A : une majoration des modules des racines d'un polynômeDémonstration, via la matrice compagnon d'un polynôme et les valeurs propres, que les racines d'un polynôme unitaire appartiennent à un disque dont le rayon dépend de ses coefficients.
2. 2Partie B : la borne de CauchyConstruction de la borne de Cauchy d'un polynôme comme unique racine positive d'une équation associée, encadrement des modules des racines par cette borne, puis raffinement de cet encadrement.
3. 3Partie C : un théorème de LucasDémonstration que l'ensemble des racines du polynôme dérivé f' est inclus dans l'enveloppe convexe des racines de f, via une expression barycentrique de f'/f.
4. 4Partie D : théorème de Lucas et polynômes de degré 3Démonstration, pour un polynôme unitaire de degré 3, que les racines de f' sont le centre du cercle inscrit si le triangle des racines de f est équilatéral, ou les foyers d'une ellipse tangente aux côtés du triangle en leurs milieux sinon, en s'appuyant sur un théorème de Poncelet.