CAPES mathématiques externe 2008, épreuve 2Sujet

Le problème établit un encadrement classique de la fonction pi(n), qui compte les nombres premiers jusqu'à n, à l'aide du ppcm des entiers de 1 à n et d'une majoration du produit des nombres premiers inférieurs à n. Il démontre ensuite le théorème de Tchebychev, qui affirme que si pi(n) est équivalent à c fois n/ln(n), alors c vaut nécessairement 1, en s'appuyant sur la formule de Legendre et un théorème de Mertens.

1. 1Partie A.I : minoration de la fonction piOn établit, via une intégrale de type bêta et le ppcm des entiers jusqu'à n, une minoration de pi(n) par (ln 2) n / ln(n).
2. 2Partie A.II : majoration de la fonction piOn majore le produit des nombres premiers inférieurs à n par 4^n, puis on en déduit une majoration de pi(n) par e n / ln(n) par un raisonnement par l'absurde.
3. 3Partie B.I : formule de LegendreOn établit la formule de Legendre donnant la valuation p-adique de n! à l'aide de parties entières successives.
4. 4Partie B.II : théorème de MertensOn démontre un théorème de Mertens précisant le comportement asymptotique de la somme des ln(p)/p pour les nombres premiers p inférieurs à n.
5. 5Partie B.III : théorème de TchebychevOn étudie le comportement asymptotique de la somme des 1/p pour les nombres premiers p inférieurs à n et on en déduit le théorème de Tchebychev sur la constante c.
6. 6Partie B.IV : entiers à grand facteur premierOn applique les résultats précédents pour montrer que l'ensemble des entiers dont le plus grand facteur premier dépasse la racine carrée possède une densité égale à ln 2.