CAPES mathématiques externe 2008, épreuve 1Sujet

Le problème étudie les fonctions à variations bornées, notion introduite par Jordan pour étendre un théorème de Dirichlet sur les séries de Fourier. Il établit les propriétés élémentaires de ces fonctions, définit la longueur d'une fonction sur un segment et son lien avec les variations bornées, traite le cas des fonctions de classe C1 et des fonctions périodiques, étudie un exemple de fonction dérivable bornée mais non à variations bornées, puis généralise l'ensemble des résultats aux fonctions à valeurs dans Rn.

1. 1Partie A : premières propriétésÉtablissement des propriétés élémentaires des fonctions à variations bornées : structure d'espace vectoriel, décomposition en somme d'une fonction croissante et d'une décroissante, existence de limites latérales.
2. 2Partie B : fonctions de longueur bornéeDéfinition de la longueur d'une fonction sur un segment via les subdivisions, et établissement de ses propriétés : positivité, inégalité triangulaire, relation de Chasles.
3. 3Partie C : lien entre longueur bornée et variations bornéesDémonstration de l'équivalence entre être de longueur bornée sur tout segment et être à variations bornées.
4. 4Partie D : cas des fonctions de classe C1Démonstration que toute fonction de classe C1 est de longueur bornée sur tout segment, avec la formule de la longueur comme intégrale de la valeur absolue de la dérivée.
5. 5Partie E : cas des fonctions périodiquesÉtude des fonctions périodiques à variations bornées, avec l'exemple de la fonction partie fractionnaire décalée et de la fonction |sin x| + sin x.
6. 6Partie F : un exemple de fonction dérivable et bornée mais non à variations bornéesÉtude de la fonction x² sin(1/x²) en 0, dérivable et bornée, dont on montre qu'elle n'est pas à variations bornées au voisinage de 0.
7. 7Partie G : généralisation aux fonctions à valeurs dans RnExtension des définitions et propriétés de longueur bornée et de variations bornées aux fonctions vectorielles, avec la formule de la longueur comme intégrale de la norme de la dérivée.