CAPES mathématiques externe 2018, épreuve 2Sujet et rapport du jury
CAPES externe mathématiques - épreuve 2 2018
- Arithmétique : divisibilité, congruences, lemme de Gauss
- Algorithmique : écriture d'un algorithme avec boucle
- Nombres complexes : racines n-ièmes de l'unité
- Géométrie : constructions à la règle et au compas
- Tableur
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Présentation du sujet
DifficileChiffrement par fonctions puissances modulo 29 et constructions à la règle et au compas (points et nombres constructibles, polygones réguliers)Afficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLa seconde épreuve écrite est composée de deux problèmes indépendants. Le premier étudie une méthode de chiffrement lettre à lettre fondée sur des fonctions puissances modulo 29, en trois parties allant des premiers essais à la détermination des exposants permettant le déchiffrement. Le second porte sur les points et nombres constructibles à la règle et au compas, puis sur les polygones réguliers via les racines n-ièmes de l'unité, jusqu'à la construction du pentagone régulier.
- 1Problème 1, Partie A : premiers essaisDécouverte de la méthode de chiffrement à partir de plusieurs fonctions puissances et utilisation d'un tableur.
- 2Problème 1, Partie B : détermination des exposants de déchiffrementRecherche des valeurs de k pour lesquelles la fonction de cryptage associée permet le déchiffrement du message.
- 3Problème 1, Partie C : calcul de f19Étude de trois méthodes de calcul de la fonction de cryptage associée à k=19.
- 4Problème 2, Partie A : points et nombres constructiblesÉtude de la constructibilité à la règle et au compas de points et de nombres (médiatrice, parallèle, perpendiculaire, opérations sur les nombres constructibles, racine carrée).
- 5Problème 2, Partie B : polygones réguliersÉtude des racines n-ièmes de l'unité, conditions de constructibilité des polygones réguliers et construction effective de polygones à 3, 4, 6 côtés puis du pentagone régulier.
Difficile. Le rapport indique des taux de réussite très faibles sur plusieurs compétences clés du sujet : environ 15,3% pour la question sur les racines n-ièmes de l'unité et 18% pour la question d'algorithmique avec boucle « tant que ».
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesFragilité en arithmétique · Mauvais type de boucle pour l'algorithme · Réussite très faible sur les racines n-ièmes de l'unitéAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesLe jury a porté une attention particulière à quatre compétences (divisibilité, usage du tableur, écriture d'un algorithme, racines n-ièmes de l'unité), dont les taux de réussite mesurés restent faibles. Il relève une maîtrise insuffisante des quantificateurs et du langage mathématique formalisé, une rédaction souvent longue et imprécise, et un niveau de langue parfois très insuffisant.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Fragilité en arithmétique
Une partie non négligeable des candidats confond diviser et être divisible, ou la division euclidienne avec la relation de divisibilité.
« Les calculs sur les congruences sont peu maitrisés et très mal justifiés »
- 2Mauvais type de boucle pour l'algorithmeB.VIII.4
Quand la question sur l'écriture d'un algorithme a été traitée, les candidats ont souvent choisi une boucle « pour » alors qu'une boucle « tant que » était attendue.
« les candidats ont choisi une boucle « pour » plutôt qu’une boucle « tant que »
- 3Réussite très faible sur les racines n-ièmes de l'unitéB.IX.1
Seuls 15,3% des candidats répondent correctement à la question sur les racines n-ièmes de l'unité, et 42% n'abordent pas la question.
« Environ 15,3 % des candidats ont répondu correctement à la question »
- 4Constructibilité non justifiée à partir des points déjà construits
La constructibilité d'un point est rarement justifiée en la reliant explicitement aux points déjà construits.
« constructibilité d’un point n’est que très rarement justifiée à partir, le cas échéant, de points déjà construits »
- 5Confusion entre cardinal et dimensionB.X.3
Une confusion fréquente apparaît entre le cardinal d'un ensemble et la dimension d'un espace.
- 6Calculs sur les nombres complexes mal maîtrisés
Peu de candidats savent résoudre l'équation zⁿ = 1 par une véritable résolution plutôt que d'énoncer directement les solutions, et la somme des racines n-ièmes de l'unité n'est pas un résultat connu.
« Les calculs sur les nombres complexes sont très diversement maitrisés »
Ce qui a été bien réussi
- Les candidats ont en général bien réussi le cryptage des messages du problème 1.
- Le théorème de Thalès est bien utilisé (question A.IV.3 du problème 2).
- La recherche des solutions d'une équation diophantienne, les règles de calcul élémentaire sur les congruences et l'utilisation du tableur ont été régulièrement bien maîtrisées.
Conseils du jury
- Maîtriser et énoncer avec précision les connaissances mathématiques de base indispensables à la prise de recul sur les notions enseignées.
- Rédiger clairement et de manière rigoureuse une démonstration simple.
- Exposer avec précision les étapes successives d'un raisonnement, en particulier pour les notions relevant du collège ou du lycée.
- Vérifier les hypothèses avant d'appliquer une propriété plutôt que de justifier par des formules approximatives comme « il est clair que ».
- Respecter les notations et conclure explicitement chaque argumentation.
- Exploiter les résultats obtenus dans les questions précédentes plutôt que d'utiliser des résultats restant à démontrer.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2018.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite du CAPES maths externe 2018 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite du CAPES maths externe 2018 ?
Le sujet associe un problème d'arithmétique et de cryptage par fonctions puissances modulo 29 (divisibilité, congruences, algorithmique) à un problème de géométrie sur les constructions à la règle et au compas et les polygones réguliers via les racines n-ièmes de l'unité.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve CAPES maths 2018 ?
Le jury relève une fragilité en arithmétique (confusion entre diviser et être divisible), un mauvais choix de boucle pour l'algorithme demandé, une confusion entre cardinal et dimension, et une maîtrise insuffisante des quantificateurs et du langage mathématique formalisé.
Cette épreuve écrite 2 du CAPES externe maths 2018 est-elle difficile ?
Oui, le rapport indique des taux de réussite faibles sur plusieurs compétences ciblées, avec par exemple seulement 15,3% de bonnes réponses sur la question portant sur les racines n-ièmes de l'unité.
Le problème de cryptage du sujet CAPES maths externe 2018 est-il bien réussi ?
Oui, le rapport indique que les candidats ont en général bien réussi le cryptage des messages, même si une partie d'entre eux montre une fragilité en arithmétique sur les questions plus poussées.
Pas de description pour le moment