CAPES mathématiques externe 2017, épreuve 2Sujet et rapport du jury
CAPES externe mathématiques - épreuve 2 2017
- Suites numériques : suites adjacentes, suites récurrentes linéaires
- Intégration : méthodes des rectangles et des trapèzes
- Algorithmique : boucles et instructions conditionnelles
- Probabilités : formule des probabilités totales, intervalle de confiance
- Graphes probabilistes et marches aléatoires
- Calcul matriciel et suites de matrices
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Présentation du sujet
Aire d'un quart de disque par les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Monte-Carlo ; marches aléatoires sur des graphes et algorithme PageRankAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
La seconde épreuve écrite du CAPES externe de mathématiques 2017 comporte deux problèmes indépendants. Le premier compare trois méthodes d'approximation de l'aire d'un quart de disque, avec étude de suites, écriture d'un algorithme et intervalle de confiance. Le second étudie des marches aléatoires sur des graphes, les matrices stochastiques, puis deux modèles de l'algorithme PageRank qui mesure la pertinence des pages web.
- 1Problème 1 : méthode des rectanglesConvergence des suites d'approximation, réponse à la conjecture d'un élève et algorithme de calcul de la somme des aires des rectangles.
- 2Problème 1 : méthodes des trapèzes et de Monte-CarloMeilleure approximation par les trapèzes, puis estimation de l'aire par un intervalle de confiance.
- 3Problème 2, partie A : marches aléatoires sur des graphesRésultats généraux, puis marche aléatoire sur un tétraèdre, traitable avec les outils du lycée, et sur une pyramide à base tronquée.
- 4Problème 2, deuxième partie : matrices stochastiquesPropriétés des matrices stochastiques et des densités de probabilité.
- 5Problème 2, troisième et quatrième parties : PageRankPremier modèle du PageRank, puis second modèle garantissant l'existence d'une densité de probabilité limite.
L'épreuve en chiffres
Moyenne 9,87 / 20 · écart-type 4,66 · où vous situez-vous ?Afficher ou masquer la section
L'épreuve en chiffres
- Moyenne
- 9,87/ 20
- Écart-type
- 4,66
- 1er quartile
- 7,3
- Médiane
- 9,83
- 3e quartile
- 13,09
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesSuites adjacentes mal définies · Récurrence mal rédigée · Liens logiques non établisAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesLe jury a évalué à la fois les qualités scientifiques et la posture professionnelle du futur enseignant. Le calcul matriciel, les sommes télescopiques et les algorithmes sont plutôt bien traités. En revanche, la rédaction des récurrences, la définition des suites adjacentes, le vocabulaire probabiliste et l'usage des quantificateurs restent insuffisants.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Suites adjacentes mal définiesProblème 1, III.6
Seuls 5 % des candidats prouvent que les suites de la méthode des rectangles sont adjacentes. Le sens de variation est souvent oublié ou mal traité à cause des indices.
« Cette question a révélé une méconnaissance de la définition de suites adjacentes »
- 2Récurrence mal rédigéeProblème 2, A.I.3 et A.II.3
Seuls 30 % des candidats rédigent correctement une récurrence. La propriété n'est pas définie ou porte un quantificateur universel, la conclusion manque et l'initialisation n'est pas toujours au bon rang.
« Trop fréquemment, la propriété à prouver est mal formulée, voire non mentionnée »
- 3Liens logiques non établisProblème 2, A.IV
Seuls 12 % des candidats relient correctement deux propositions par condition nécessaire ou suffisante, ce qui exigeait un contre-exemple pour la réciproque. 61 % n'abordent pas la question.
- 4Probabilités peu rigoureuses
Issue et événement sont confondus, le système complet d'événements est rarement posé et intervalle de confiance et intervalle de fluctuation sont mélangés, sans conditions d'application.
« la mise en place d’un système complet d’événements pour la formule des probabilités totales est généralement omise »
- 5Suites de matrices traitées comme des suites de réels
Les arguments valables pour les suites de nombres sont appliqués aux matrices, et les hypothèses comme le signe des coefficients des matrices stochastiques ne sont pas vérifiées.
« le critère de convergence d’une suite géométrique s’énonce trop souvent avec la seule comparaison à 1 de sa raison »
- 6Conjecture confondue avec démonstrationProblème 1
Dans la réponse à l'élève du problème 1, beaucoup ne distinguent pas une conjecture tirée d'une figure d'une propriété démontrée. La méthode des trapèzes est aussi souvent inconnue.
Ce qui a été bien réussi
- Les questions de calcul matriciel sont relativement bien traitées.
- La comparaison de deux nombres par le signe de leur différence et la simplification des sommes télescopiques sont bien maîtrisées.
- Les candidats connaissent les graphes probabilistes.
- 38 % des candidats ont écrit correctement l'algorithme de la question V.2 du problème 1, en progrès par rapport à 2016.
Conseils du jury
- Énoncer avec précision les connaissances de base utilisées et citer explicitement les théorèmes.
- Rédiger clairement une démonstration simple, compétence essentielle du métier de professeur.
- Détailler les étapes des raisonnements de niveau collège ou lycée.
- Utiliser correctement les quantificateurs et vérifier les hypothèses avant d'appliquer une propriété.
- Éviter les mots « évident », « trivial » ou « forcément » à la place d'un argument.
- Respecter les notations, conclure chaque argumentation et soigner la lisibilité de la copie.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2017.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte l'épreuve 2 du CAPES maths externe 2017 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quoi porte l'épreuve 2 du CAPES maths externe 2017 ?
Sur l'approximation de l'aire d'un quart de disque par les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Monte-Carlo, puis sur les marches aléatoires sur des graphes, les matrices stochastiques et l'algorithme PageRank.
Quelles erreurs le jury du CAPES maths 2017 épreuve 2 a-t-il relevées ?
Une définition des suites adjacentes mal assimilée, des récurrences sans propriété clairement énoncée, un vocabulaire probabiliste flou, des quantificateurs absents et des arguments sur les réels appliqués sans précaution aux suites de matrices.
Quelle est la moyenne de l'épreuve 2 du CAPES maths externe 2017 ?
Le tableau des statistiques de la seconde épreuve écrite donne une moyenne de 9,87 sur 20 pour l'ensemble des candidats, avec un écart-type de 4,66. Elle est de 10,35 pour l'option mathématiques et de 8,80 pour l'option informatique.
Quelles questions du CAPES maths 2017 épreuve 2 ont été les moins réussies ?
La preuve des suites adjacentes (question III.6 du problème 1) n'est réussie que par 5 % des candidats, et la question A.IV du problème 2 sur les liens logiques par 12 %.
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