CAPES mathématiques externe 2019, épreuve 2Sujet et rapport du jury
Capes externe section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2019
- Équations différentielles et fonction logarithme
- Étude de fonctions, limites et bijections
- Calcul intégral, encadrement de sommes par des intégrales
- Arithmétique, PGCD et raisonnement par récurrence
- Logique, équivalences et raisonnement par l'absurde
- Suites de Farey et fractions irréductibles
- Géométrie du triangle
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Présentation du sujet
DifficileDeux problèmes indépendants : construction des fonctions logarithmes de base a et approximation de ln(2), ln(3), ln(n), puis une loi de composition interne (la somme des cancres) sur Q+ et les suites de FareyAfficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLa seconde épreuve écrite du CAPES externe mathématiques comporte deux problèmes indépendants. Le premier construit les fonctions logarithmes de base a comme solutions d'une équation différentielle, étudie le cas du logarithme décimal dans des situations contextualisées proches du lycée, puis deux méthodes d'approximation de ln(2), ln(3) et ln(n). Le second étudie une loi de composition interne sur les rationnels positifs appelée somme des cancres, puis les suites de Farey et la construction d'une fraction entre deux termes consécutifs.
- 1Problème 1, partie A : logarithme de base aExistence et unicité des fonctions logarithmes de base a définies comme solutions d'une équation différentielle, démonstration de leurs propriétés algébriques.
- 2Problème 1, partie B : logarithme décimallycéeActivité de classe de lycée mettant en œuvre les propriétés du logarithme décimal dans des situations contextualisées.
- 3Problème 1, partie C : calcul approché de valeurs du logarithme népérienDeux méthodes d'approximation de ln(2) et ln(3), puis approximation de ln(n) pour un entier n strictement supérieur à 1.
- 4Problème 2, partie A : somme des cancresÉtude d'une loi de composition interne sur les rationnels positifs, propriétés arithmétiques et questions de géométrie sur le triangle.
- 5Problème 2, partie B : suites de FareyDétermination du nombre d'éléments de la suite de Farey d'ordre n.
- 6Problème 2, partie C : éléments consécutifs des suites de FareyConstruction de la première fraction apparaissant entre deux termes consécutifs dans une suite de Farey d'ordre supérieur.
Difficile. Le rapport indique qu'environ 4% seulement des candidats ont répondu correctement à la question sur les limites de ln aux bornes, que la démonstration classique ouvrant le problème 2 n'a pas été traitée par 40% des candidats, et que la partie C du problème 2 a été très peu abordée.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesLimite en plus l'infini du logarithme mal justifiée · Existence non établie malgré une unicité bien justifiée · Démonstration classique de PGCD non traitéeAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevéesLe jury constate que des compétences comme le raisonnement par récurrence, le calcul intégral ou la preuve d'une équivalence par double implication sont régulièrement bien maîtrisées, mais relève un degré de maîtrise insuffisant sur la rigueur des inégalités, la vérification des hypothèses et l'usage des quantificateurs et des symboles logiques.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Limite en plus l'infini du logarithme mal justifiée
Trop de candidats affirment qu'une fonction croissante et positive admet comme limite plus l'infini en plus l'infini, sans justification correcte de la limite de ln.
« trop de candidats affirment qu’une fonction croissante et positive admet comme limite + ∞ en + ∞ »
- 2Existence non établie malgré une unicité bien justifiéeA.I
Dans la question A I du problème 1, si l'unicité est bien justifiée par de nombreux candidats, l'existence de la fonction logarithme de base a n'est souvent pas établie.
- 3Démonstration classique de PGCD non traitéeA.I
Le problème 2 débute par une démonstration classique et élémentaire de terminale spécialité mathématiques, pourtant très mal réussie et non traitée par 40% des candidats.
- 4Confusion entre écriture fractionnaire et forme irréductible
Le caractère irréductible des fractions n'est pas suffisamment pris en compte, des candidats ne faisant pas la différence entre une écriture fractionnaire et la forme fractionnaire irréductible.
- 5Confusion entre droites remarquables du triangle
Le traitement des questions de géométrie en fin de partie A révèle une méconnaissance des droites remarquables du triangle, avec confusion entre médiatrice, hauteur et médiane.
Ce qui a été bien réussi
- La question III sur la somme des cancres a été globalement bien réussie.
- La première question de la partie B sur les suites de Farey a été plutôt bien réussie.
- Les candidats montrent une maîtrise satisfaisante du calcul intégral dans la partie C du problème 1.
- Le sens direct de l'équivalence de la question VIII a été bien mieux traité que la réciproque.
Conseils du jury
- Maîtriser et énoncer avec précision les connaissances mathématiques de base utilisées dans une démonstration.
- Rédiger clairement et de manière rigoureuse une démonstration simple, composante essentielle du métier de professeur de mathématiques.
- Exposer avec précision les étapes d'un raisonnement, en particulier ceux relevant du collège ou du lycée.
- Respecter les notations mathématiques, notamment la distinction entre les symboles d'équivalence et d'implication.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel CAPES externe en mathématiques, session 2019.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite du CAPES externe mathématiques 2019 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite du CAPES externe mathématiques 2019 ?
L'épreuve couvre les équations différentielles et la fonction logarithme, le calcul intégral, l'arithmétique avec le PGCD, la logique et le raisonnement par l'absurde, ainsi que les suites de Farey et la géométrie du triangle.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur la seconde épreuve écrite du CAPES maths 2019 ?
Le jury relève un manque de rigueur dans les inégalités, des hypothèses non vérifiées, un usage imprécis des quantificateurs et des symboles logiques, ainsi qu'une confusion entre écriture fractionnaire et forme irréductible.
La seconde épreuve écrite du CAPES maths 2019 est-elle difficile ?
Oui, plusieurs questions n'ont été réussies que par une très faible proportion de candidats, comme la question sur les limites de ln aux bornes réussie par environ 4% des candidats seulement, et la partie C du second problème a été très peu abordée.
La seconde épreuve écrite du CAPES maths 2019 est-elle accessible à un niveau lycée ?
La partie B du premier problème, sur le logarithme décimal, peut être une activité de classe de lycée, mais l'ensemble de l'épreuve reste de niveau CAPES et demande une rédaction rigoureuse au-delà de ce simple cadre.
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