CAPLP physique-chimie externe 2021, épreuve 1Sujet et rapport du jury

CAPLP
CONCOURS EXTERNE et CAFEP
3^(ème) CONCOURS

SECTION : MATHÉMATIQUES - PHYSIQUE-CHIMIE

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours externe du CAPLP de l'enseignement public :
  

  

• -Concours externe du CAFEP/CAPLP de l'enseignement privé :
  

  

• - 3^(ème) Concours du CAPLP de l'enseignement public
  

  

Exercice 1

• 1.Soit (u_n) la suite de nombres réels telle que u_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = √(2 + u_n). Proposition : Pour tout n ∈ ℕ, 0 ⩽ u_n ⩽ 2.
• 2.Soit (u_n) une suite réelle positive décroissante. Proposition : La suite (u_n) converge vers 0.
• 3.Proposition : Pour tout n ∈ ℕ^∗, ∑_(k = 1)^n 1/(k(k + 1)) = n/(n + 1).
• 4.Soit ( u_n ) la suite de nombres réels telle que u_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = u_n + e^(− u_n). Proposition : La suite (u_n) diverge vers + ∞.
• 5.Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Proposition : Si f est strictement croissante sur I, alors f^′ est strictement positive sur I.
• 6.Proposition : Pour tout réel x, e^x ⩾ 1 + x.
• 7.Soit f la fonction définie sur ℝ par
  f(x) = {(sin(x))/x, si x ≠ 0; 1, si x = 0
  Proposition : La fonction f est dérivable sur ℝ.
• 8.Soit f une solution sur ℝ de l'équation différentielle y^(′′) + 3y^′ + 2y = 0. Proposition : lim_(x → + ∞)f(x) = 0.
• 9.Pour tout réel x, on note D(x) le déterminant de la matrice (x, 1, 1; 1, x, 1; 1, 1, x). Proposition : D(x) est nul si et seulement si x = 1.
• 10.On lance cinq fois un dé équilibré (six faces équiprobables numérotées de 1 à 6). Proposition : La probabilité d'obtenir exactement une fois la face « 6 » est égale à 5/6.

• 11.Soit n un entier naturel non nul et x_1, …, x_n des réels. On note m la moyenne de la série statistique (x_1, …, x_n) et s son écart type. Pour tout i ∈ [ [1, n] ], on pose y_i = 2x_i + 3.
  Proposition : La série statistique (y_1, …, y_n) a pour moyenne 2m + 3 et pour écart type 2s + 3.
• 12.Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1/2.
  Proposition : La probabilité de l'événement (X < ln(9)) est égale à 1/3.
• 13.Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C, D d'affixes 1, i, − 1, − i. On note Γ le cercle unité, c'est-à-dire l'ensemble des points dont l'affixe z vérifie |z| = 1.
  Si M est un point de Γ, on note p(M) le produit des distances de M aux points A, B, C, D :
  p(M) = MA × MB × MC × MD.
  Proposition : Lorsque M décrit Γ, le maximum de p(M) est égal à 2.
• 14.Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, ı⃗, ȷ⃗), soit A le point de coordonnées (1, 0) et B le point de coordonnées (0, 1).
  Proposition : L'ensemble des points M du plan tels que MA = MB√2 est un cercle de rayon 2 .
• 15.Dans l'espace affine muni d'un repère orthonormé (O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗), on considère la sphère 𝒮 d'équation x^2 + y^2 + z^2 + 6x − 2y − 15 = 0 et le plan 𝒫 d'équation 2x − 2y + z − 4 = 0.
  Proposition : L'intersection de 𝒮 et de 𝒫 est un cercle de rayon 3.

Exercice 2

• -annexe 1 : énoncé de l'activité;
• -annexe 2 : extraits des programmes des classes de seconde et de première professionnelles;
• -annexe 3 : extrait du préambule des programmes des classes de seconde et première professionnelles.
• 1.À quel niveau de classe peut-on proposer l'exercice présenté en annexe 1?
• 2.Quelles capacités et connaissances du programme de cette classe un élève doit-il mobiliser pour résoudre cet exercice?
• 3.Quels sont les prérequis nécessaires à sa résolution?
• 4.Citer deux des cinq compétences figurant dans le tableau de l'annexe 3, que cet exercice permet de travailler particulièrement. Argumenter la réponse.
• 5.Proposer une correction de cet exercice, telle qu'elle pourrait figurer dans le cahier d'un élève.
• 6.Citer trois difficultés qu'un élève pourrait rencontrer et proposer pour chacune d'elles une question intermédiaire qui pourrait l'aider à les surmonter.
• 7.On s'intéresse à une série statistique à deux variables (x_i, y_i)_(1 ⩽ i ⩽ n), où n est un entier naturel. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O, u⃗, v⃗), on considère le nuage formé par les n points M_i(x_i, y_i). On suppose que ces points n'appartiennent pas à une droite parallèle à l'axe (O, v⃗).
  On souhaite réaliser un ajustement affine de ce nuage de points par une droite 𝒟, d'équation réduite y = ax + b, où a et b sont deux réels. On note P_i le point de 𝒟 d'abscisse x_i et S(a, b) la somme des carrés des distances M_i P_i :
  S(a, b) = ∑_(i = 1)^n M_i P_i^2.
  • (a)Montrer que
    S(a, b) = a^2∑_(i = 1)^n x_i^2 + nb^2 − 2a∑_(i = 1)^n x_i y_i − 2b∑_(i = 1)^n y_i + 2ab∑_(i = 1)^n x_i + ∑_(i = 1)^n y_i^2.
  • (b)On admet qu'il existe une unique droite 𝒟 pour laquelle la somme S(a, b) est minimale. Cette droite est appelée droite de régression de y en x de la série (x_i, y_i)_(1 ⩽ i ⩽ n).
    Soit S la fonction de deux variables réelles définie, pour tout couple (a, b) ∈ ℝ^2, par :
    S(a, b) = ∑_(i = 1)^n M_i P_i^2

• En tout point de ℝ^2, S admet une dérivée partielle d'ordre un par rapport à a et une dérivée partielle d'ordre un par rapport à b.
  On admet que le minimum de S est obtenu lorsque ces deux dérivées partielles sont nulles.
  Montrer qu'une première condition pour que la fonction S admette un minimum est :
  ∑_(i = 1)^n y_i = nb + a∑_(i = 1)^n x_i.
• (c)En déduire que le point moyen G(x¯, y¯) du nuage de points appartient à la droite 𝒟. (On note x¯ et y¯ les moyennes des séries statistiques (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) et (y_i)_(1 ⩽ i ⩽ n).)
• (d)Montrer qu'une seconde condition pour que la fonction S admette un minimum est :
  ∑_(i = 1)^n x_i y_i = b∑_(i = 1)^n x_i + a∑_(i = 1)^n x_i^2.
• (e)Montrer que les nombres a et b pour lesquels la fonction S admet un minimum sont :
  a = (∑_(i = 1)^n x_i y_i − nx¯y¯)/(∑_(i = 1)^n x_i^2 − nx¯^2) et b = y¯ − ax¯.
• (f)
  On considère la série statistique à deux variables ( x_i, y_i ) constituée à partir du tableau de l'activité de l'annexe 1.
  Les valeurs x_i représentent la température de l'air en °C, et les valeurs y_i représentent la température ressentie correspondante, en °C, pour un vent soufflant à 50 km/h.

  i	1	2	3	4	5
  x_i	-10	-5	0	5	10
  y_i	-23	-14	-7,5	-1	5,5

  • i.Calculer a et b.
  • ii.À l'aide de la droite de régression de y en x de la série (x_i, y_i)_(1 ⩽ i ⩽ 5), en déduire la température de l'air à partir de laquelle des lésions irréversibles peuvent apparaître sur les mains du conducteur d'un scooter roulant sans gants à 50 km/h pendant plus de 30 minutes.

Exercice 3

Introduction

• -Du fait que f est une densité, et qu'elle est nulle sur ]0, + ∞[, on a
  ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)dt = ∫_0^(+ ∞)f(t)dt = 1
• -Si θ_1 et θ_2 sont deux réels tels que θ_1 ⩽ θ_2, alors
  P(θ_1 ⩽ T ⩽ θ_2) = ∫_(θ_1)^(θ_2)f(t)dt.
• -La fonction de répartition de T est la fonction F de ℝ dans ℝ définie par
  ∀θ ∈ ℝ F(θ) = P(T ⩽ θ) = ∫_(− ∞)^θ f(t)dt = ∫_0^θ f(t)dt.
• -L'espérance de la variable aléatoire T est donnée par
  E(T) = ∫_0^(+ ∞)tf(t)dt
  sous réserve que cette intégrale converge.

A. Fonction de survie et taux de défaillance

• 1.Soit t un réel positif.
  Pour tout réel strictement positif h, on note q(t, h) la probabilité que le composant tombe en panne entre les instants t et t + h sachant qu'il fonctionne encore à l'instant t, c'est-à-dire le nombre q(t, h) défini par
  q(t, h) = P_([T > t])(t < T ⩽ t + h).

• (a)Établir pour tout réel h strictement positif, l'égalité : q(t, h) = (S(t) − S(t + h))/(S(t)).
• (b)Montrer que la fonction S est dérivable sur ℝ_+et préciser sa fonction dérivée.
• (c)Montrer que le rapport (q(t, h))/h a pour limite π(t) quand h tend vers 0 par valeurs supérieures.

2. On suppose, dans cette question, que λ est un réel strictement positif et que T suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0. On rappelle que T admet alors pour densité la fonction f donnée par f(t) = λe^(− λt) pour t ⩾ 0 et f(t) = 0 pour t < 0.

• (a)Rappeler la valeur de l'espérance de T, notée E(T), et justifier ce résultat par le calcul.
• (b)Déterminer la fonction de survie du composant et donner l'allure de sa courbe représentative.
• (c)Établir, pour tout réel t positif, l'égalité π(t) = 1/(E(T)).

3. On suppose dans cette question que T est une variable aléatoire de densité f définie par

• (a)Vérifier que f est une densité de probabilité.

• (b)En déduire les égalités : ∫_0^(+ ∞)exp(− (t^2)/2)dt = √(π/2) = ∫_0^(+ ∞)t^2 exp(− (t^2)/2)dt.
• (c)Calculer l'espérance de la variable aléatoire T.
• (d)Montrer que la variable aléatoire T^2 suit une loi exponentielle et préciser son paramètre. En déduire la variance de la variable aléatoire T.
• (e)Déterminer la fonction de survie S du composant.
• (f)Calculer, pour tout réel t positif, le taux de défaillance π(t).

4. On suppose dans cette question qu'il existe une constante α strictement positive telle que

• (a)Montrer que, pour tout réel t positif, S^′(t) = − αS(t).
• (b)Soit g la fonction de ℝ_+dans ℝ telle que, pour tout réel t positif, g(t) = e^(αt)S(t). Montrer que la fonction g est constante sur ℝ_+.
• (c)En déduire que T suit une loi exponentielle et préciser son paramètre.

B. Entretien préventif

• 1.À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout réel θ > 0,
  ∫_0^θ S(t)dt = P(T > θ) × θ + P(T ⩽ θ) × ∫_0^θ t(f(t))/(F(θ))dt.
  L'intégrale ∫_0^θ S(t)dt peut donc s'interpréter comme la durée moyenne de fonctionnement du composant dans la deuxième méthode.
• 2.Dans le cas où T suit la loi exponentielle de paramètre λ, calculer c_1 et, pour tout réel θ strictement positif, exprimer c_2(θ) en fonction de C, K et λ.
  Indication : utiliser la question A.2.
  Montrer qu'alors la deuxième méthode ne présente pas d'avantage.
  Comment peut-on expliquer ce résultat?
• 3.On suppose que T suit la loi décrite dans la question A.3.
  • (a)Préciser la valeur de c_1 et montrer que l'on a : lim_(θ → + ∞)c_2(θ) = c_1.
  • (b)On pose pour tout réel strictement positif θ,
    φ(θ) = C∫_0^θ exp(− (t^2)/2)dt − 1/θ(K + C(1 − exp(− (θ^2)/2))).
    Montrer que la fonction φ est dérivable sur ℝ_+^∗ et que sa fonction dérivée est strictement positive.
    En déduire le tableau de variations de φ en y portant les limites aux bornes.

• (c)Étudier les variations de la fonction c_2 et montrer qu'elle admet un minimum en θ_0 qui vérifie c_2(θ_0) < c_1.
• (d)Établir l'égalité c_2(θ_0) = Cθ_0 puis l'inégalité θ_0 < √(2/π)(1 + K/C).
• (e)On suppose, dans cette question, que K et C sont tous deux égaux à 1 , et on donne : c_2(1, 5) = 1, 5429 et c_2(1, 45) = 1, 5439.
  En déduire un encadrement de θ_0 d'amplitude 0,1 .

Annexe 1

Énoncé de l'activité

Annexe 2

Extraits des programmes des classes de seconde et de première professionnelles

Annexe 2 (suite)

• -Statistique à deux variables quantitatives (groupements A, B et C)

• -Déterminer des indicateurs de position et de dispersion d'une série statistique en utilisant les listes.
• -Déterminer l'équation réduite d'une droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés à l'aide d'outils numériques.
• -Déterminer le coefficient de détermination d'une série statistique à deux variables quantitatives à l'aide d'outils numériques.

Annexe 2 (fin)

• -On indique aux élèves l'ajustement à réaliser (ajustement de x en y ou de y en x ).
• -Ce module donne l'occasion de travailler sur la droite de régression et de faire percevoir le sens de l'expression « moindres carrés ».
• -Le coefficient de détermination, carré du coefficient de corrélation, est obtenu à l'aide d'outils numériques.
• -Aucune théorie n'est attendue sur ces coefficients; un coefficient de détermination proche de 1 signifie qu'il existe une forte corrélation entre les deux variables. On montrera, au moins sur un exemple, que cela ne signifie pas nécessairement qu'il y a une relation de causalité entre les deux variables.